SKKN khai thác bài toán tìm khoảng đơn điệu và bài toán cực trị của hàm số y=f(x) khi biết đồ thị hàm số y = f (x) trong đề thi THPTQG

Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để 5giải quyết vấn đề.Giải pháp 1: Rèn luyên cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị của hàm số f x tìm khoảng đơn đ

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 42.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 52.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để 5giải quyết vấn đề.

Giải pháp 1: Rèn luyên cho học sinh khả năng giải quyết bài

toán cho đồ thị của hàm số f x tìm khoảng đơn điệu của hàm số 5

f x

Giải pháp 2: Rèn luyên cho học sinh khả năng giải quyết bài

toán cho đồ thị của hàm số f x tìm khoảng đơn điệu của hàm số 7

hợp f u x

Giải pháp 3: Rèn luyên cho học sinh khả năng giải quyết bài

toán cho đồ thị của hàm số f x tìm khoảng đơn điệu của hàm số 9

f (u ( x ) ) + g ( x)

Giải pháp 4: Rèn luyên cho học sinh khả năng khả năng giải

quyết bài toán cho đồ thị của hàm f x để giải quyết bài toán tìm cực 14

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học vào giải một bài toán cụ thểcủa học sinh còn gặp một số khó khăn Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫncho học sinh sử dụng phương pháp nào hợp lý để đi đến kết quả nhanh nhất làrất cần thiết và phù hợp Đặc biệt hơn nữa bắt đầu từ năm học 2016-2017, BộGiáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốcgia (THPTQG) Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sanghình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi kì thi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng nhưkhó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện Hình thức thi trắcnghiệm môn toán luôn đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thứcthi tự luận

Xét ví dụ sau: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số đã

cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A (0;2) B (- ¥ ;- 2) C (- 2; 2) D (- 2;0)

Đối với ví dụ trên thì học sinh dễ dàng tìm ra đáp án D Ta thử đặt vấn đề nếu

cho đồ thị của hàm số y = f '( x) thì có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số y

A Hàm sốy f x nghịch biến trên khoảng 2; 4

B Hàm sốy f x đồng biến trên khoảng 1;3

C Hàm sốy f x nghịch biến trên khoảng;2

D Hàm sốy f x đồng biến trên khoảng 4;

Khi đó học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:

- Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số y f x

- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số y

Bên cạnh đó ta lại có thể gặp một dạng bài toán như ví dụ sau

Cho hàm số f x xác định trên và có đồ thị của hàm số

vẽ Hỏi hàm số y f x đã cho có mấy điểm cực trị?

Vì vậy tôi đã chọn đề tài: “ Khai thác bài toán tìm khoảng đơn điệu và khi biết đồ thị hàm số y = f ¢(x)

Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y = f ¢

3

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số đồng nghiệp trong trường

- Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm

- Xây dựng trên cơ sở lý thuyết hàm số

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Sự tương giao giữa đồ thị hàm số

Giao điểm của đồ thị hàm số y f x

phương trình hoành độ giao điểm f ( x) = 0

Suy ra phương trình f ( x) = 0 có 3 nghiệm ( x = a ; x = b; x = c)

2.1.2 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên.

Bảng 1:

Bảng 2:

Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x = x0

2.1.3 Các phép biến đổi đồ thị được sử dụng trong sáng kiến.

+, Hàm số y = f ( x +a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox

qua trái a đơn vị

+, Hàm số y = f ( x - a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox

qua phải a đơn vị

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy và ôn thi THPTQG cho học sinh, tôi thấy khi

học sinh giải các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số y f x thông thường học

sinh bế tắc và không làm được Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy họctôi đã dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên cho học sinh nắmvững lý thuyết về hàm số Do đó trong giảng dạy chính khoá cũng như dạy bồidưỡng, tôi thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông và phương pháp giải toánđại số cho học sinh

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Xây dựng các bước giải quyết bài toán

- Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam

mê phương pháp mới cho các em

- Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp hơn

Giải pháp 1: Rèn luyên cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị

của hàm số f x tìm khoảng đơn điệu của hàm số f x

Khi giải toán ta có thể gặp hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị

của hàm số y = f ¢

(x) trên K như hình vẽ cho trước Yêu cầu chỉ ra khoảng đơn

điệu của hàm số y = f ( x) đó Học sinh dễ nhầm tưởng đồ thị cho trước là của

hàm số y = f ( x ) dẫn đến đưa ra đáp án sai Để khắc phục những điều đó tôi đưa

ra một vài ví dụ hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán trên

5

Ví dụ 1.1: Hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f

¢

(x) trên K như hình vẽ bên.

Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hướng dẫn: Đối với dạng này học sinh dễ nhận nhầm đây là đồ thị của hàm số

y = f ( x) nên dễ đưa ra đáp án sai Vì câu hỏi là hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào tức f x 0 nên ta chỉ cần tìm xem phần đồ thị của hàm số y = f '( x)

Hướng dẫn: Tương tự như ví dụ trên Ta chọn đáp án B ứng với phần đồ thị

của hàm số y = f ¢

(x) nằm phía trên trục hoành.

Ví dụ 1.3: Cho hàm số y f x Biết f x có đạo hàm là f x trên ¡ và hàm

số y f x có đồ thị như hình vẽ bên.

y

Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm sốy f x nghịch biến trên khoảng 2; 4

B Hàm sốy f x đồng biến trên khoảng 1;3

C Hàm sốy f x nghịch biến trên khoảng;2

D Hàm sốy f x đồng biến trên khoảng 4;

Hướng dẫn: Tương tự như hai ví dụ trên Ta chọn đáp án B ứng với phần đồ thị

của hàm số y = f ¢

(x) nằm phía trên trục hoành.

Giải pháp 2: Rèn luyên cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị

của hàm số f x tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp f u x

Bên cạnh đó ta có thể gặp dạng toán cho hàm số y f x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm sốy= f¢

(x)trên K như hình vẽ cho trước Yêu cầu chỉ

ra khoảng đơn điệu của hàm số hợp y = f (u ( x) ) đó Để giải quyết bài toán trêntôi đưa ra một vài ví dụ hướng dẫn học sinh cách giải quyết bài toán đó

Ví dụ 2.1: Hàm số y f x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f ¢

(x)

trên K như hình vẽ bên.

7

Hàm số y = f ( 2 - x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hướng dẫn: Đối với dạng này vì câu hỏi là hàm số hợp y = f ( 2 - x) đồng

biến trên khoảng nào nên ta phải xét y f 2 x 0 f 2 x 0

2 x 1 x 3 Ta chọn đáp án C.

x 1

1 2 x 4 2

Ví dụ 2.2: Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới

Hàm số g ( x ) = f (3- 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Ví dụ 2.3: Cho ham sô y f x co đạo hàm trên Đường cong trong hình vẽ

bên là đồ thị của hàm sô y f x ( y f x liên tục trên ) Xet ham sô

g x f x2 3

Mệnh đề nao dươi đây sai?

8

y

4

A Ham sôg x đồng biên trên 1;0

B Ham sôg x nghịch biên trên; 1

C Ham sôg x nghịch biên trên 1;2

D Ham sôg x đông biên trên 2;.

Giải pháp 3: Rèn luyên cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị

của hàm số f x tìm khoảng đơn điệu của các hàm số f ( x ) +v ( x) ,

Ví dụ 3.1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y = f

¢

(x)như hình bên dưới

9

Hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) - x2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

(- 2;2 )

Từ đó ta Chọn B.

d : y = x

2; 2)thì đồ thị hàm số f ¢

¾¾® hàm sốg(x)đồng biến trên

10

Số nghiệm của phương trình g¢

(x) =0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y

Từ đó ta Chọn B.

Ví dụ 3.3: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡. Đồ thị hàm số y = f

¢(x) như hình bên dưới

11

Bên cạnh các bài toán về tính đơn đieh trên ta có thể gặp dạng toán cho hàm số

y = f ( x) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y= f¢

(x) trên K như

hình vẽ cho trước Yêu cầu chỉ ra điểm cực trị hoặc số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x) Để giải quyết bài toán trên tôi đưa ra một vài ví dụ hướng dẫn họcsinh cách giải quyết bài toán đó

13

Ví dụ 4.1: Hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số

y = f ¢(x) trên K như hình vẽ bên Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x) trên K

Hướng dẫn: Ta thấy đồ thị hàm số f ¢(x) có 4 điểm chung với trục hoành

x1 ; 0; x2 ; x3 nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là 0 và x3

Bảng biến thiên

Vậy hàm số y = f ( x) có 2 điểm cực trị Chọn A.

Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của f ' ( x) có 4 điểm chung với trục hoành

nhưng cắt và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị

*, Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại

*, Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu

14

Ví dụ 4.3: Hàm số

thị của hàm số

trị?

A.0

f ( x ) có đạo hàm f '( x ) trên khoảng K Hình vẽ bên là đồ trên khoảng K Hỏi hàm số f ( x )

có bao nhiêu điểm cực

Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại điểm x=-1 nên chọn B.

Ví dụ 4.4: Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình

vẽ Khi đó trên K, hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 1 điểm

Từ đó chọn A.

Ví dụ 4.5: Cho hàm số y f ( x ) xác định và liên tục trên

Biết đồ thị của hàm số f x như hình vẽ

Tìm điểm cực tiểu của hàm số y f(x) trên

15

Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy f x đổi

dấu từ âm sang dương khi qua x= 2 nên chọn đáp án C

Nhận xét: Xét một thực a dương Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị

của hàm số y =f ( x +a) hoặc y =f( x -a ) trên K , thì đáp án vẫn không thay đổi Chú ý số cực trị của các hàm số y =f( x) , y= f( x +a ) và y=f ( x- a) là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị x0 khác nhau!

Ví dụ 4.6: Hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số

(x) trên K như hình vẽ Tìm số cực trị của hàm sốg (x)= f ( )

g ' x = f ' x +1 vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm Ta chọn B.

Ví dụ 4.7: Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình

Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f '( x - 2020) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

f x theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f '( x - 2020) vẫn cắt trục

A 1. B 2.

Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f '( x +2020) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

f x theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f '( x +2020) vẫn cắt trục

hoành tại 3 điểm.Ta chọn C.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Để kiểm nghiệm kết quả cho đề tài nghiên cứu tôi đã chọn 2 lớp, học sinhđều có trình độ ngang nhau đó là các lớp 12A2, 12A3 năm học 2019-2020 của

trường THPT Thạch Thành 2 Lớp thực nghiệm là lớp 12A3 được học “ Khai

thác bài toán tìm khoảng đơn điệu và bài toán cực trị của hàm số y = f ( x)

biết đồ thị hàm số y = f ¢

(x) trong đề thi THPT quốc gia” như trao đổi trong

đề tài Lớp đối chứng là lớp 12A2 được học theo phương pháp thông thườngchưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong tiết dạy tôi đã kiểm trakiến thức của các em ở hai lớp thông qua cùng một đề kiểm tra (đề 15 phút vàgiao cung hệ thống câu hỏi trắc nghiệm) và thu được kết quả như sau:

Lớp Học sinh không giải được hoặc giải và Học sinh giải đúng và đưa

Lớp Học sinh không giải được hoặc giải sai Học sinh giải đúng

Nhìn vào thống kê trên ta thấy số lượng học sinh giải đúng và có đáp ánchính xác ở lớp không được tiếp cận với sáng kiến kinh nghiệm và số học sinh ởlớp được tiếp cận với sáng kiến kinh nghiệm là chênh lệch rõ ràng Tất nhiên,việc áp dụng “ kinh nghiệm” vừa học vào bài tập thì bao giờ học sinh cũng hiểu,chưa quên và do vậy nhiều em sẽ áp dụng được hơn Nhưng không bởi vậy mà

17

ta phủ nhận việc giúp học sinh, cùng học sinh xây dựng các bước làm cụ thể chonhững loại bài toán khó.

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Được giảng dạy các lớp 12 nên tôi đã nhận thấy đa số học sinh thườngchưa có phương pháp phù hợp để giải quyết các dạng bài toán mà tôi đưa ratrong sáng kiến

Khi hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán trên tôi thường trăn trởphải làm sao cho các em thấu suốt một cách triệt để, biết phân loại các bài toán,phân tích mỗi loại và tìm phương pháp vận dụng lý thuyết vào mỗi loại bài.Trên

cơ sở đó tôi luôn tích luỹ kinh nghiệm sau mỗi tiết dạy, tìm tòi đổi mới và đưacác bài tập áp dụng vào một tiết học giải bài tập,luyện tập hoặc ôn tập chươngnên phần nào các em đã hiểu đựơc Qua đó các em phần nào tự tin hơn khi giảimột bài toán đó để có được kết quả đúng và cao hơn

Trong bài viết này, tôi chỉ giới thiệu một số dạng bài toán tìm khoảng đơnđiệu và bài toán cực trị của hàm số y = f ( x ) khi biết đồ thị của hàm số

(x)trong đề thi THPTQG ” cho các em nắm được một số cách giải quyếtbài toán đó Mong rằng có những ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm của đồngnghiệp để bài viết hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

Tôi kiến nghị lên BGH nhà trường và tổ bộ môn xây dựng thư viện cónhiều đầu sách tham khảo hay, cung cấp đầy đủ trang thiết bị dạy và học tốthơn nữa

Bài viết của tôi chỉ trình bày theo những kinh nghiệm của cá nhân trongquá trình giảng dạy, do đó chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu xót và chưa thật hoànchỉnh Vì vậy tôi rất mong được các đồng nghiệp góp ý chân thành cho bản sángkiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 01 tháng 07 năm

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bảnthân, không sao chép nội dung củangười khác

Đoàn Mạnh Hùng

18

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI

Họ và tên tác giả: Đoàn Mạnh Hùng

Chức vụ: Giáo viên; Đơn vị công tác: Trường THPT Thạch Thành 2

giá xếp loại đánh giá đánh giá xếp