Tìm x sao cho y’ không xác định tại đó.. + Lập bảng biến thiên của hàm số.. + Kết luận từ bảng biến thiêncăn cứ vào định nghĩa1 trên.. Từ đó tính được và xét dấu các giá trị y’’xk rồi kế
Trang 1CÁC BÀI TẬP CÓ THAM SỐ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt kiến thức cơ bản:
- Định nghĩa1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và x0∈ K
+ Ta gọi x0 là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu thoả mãn:
+) x0 là nghiệm của pt: y’ = 0 hoặc y’ không xác định tại x0
+) y’ đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua x0 Kí hiệu : x0 = xCĐ , f(x0) = yCĐ + Ta gọi x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu thoả mãn:
+) x0 là nghiệm của pt: y’ = 0 hoặc y’ không xác định tại x0
+) y’ đổi dấu từ (-) sang (+) khi x đi qua x0 Kí hiệu : x0 = xCT , f(x0) = yCT
Ta gọi chung các điểm CĐ, CT của hàm số là các điểm cực trị của hàm số
- Định nghĩa2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và x0∈ K
+ Ta gọi x0 là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu thoả mãn:
+) x0 là nghiệm của pt: y’ = 0 hoặc y’ không xác định tại x0
+) y’’(x0) < 0 Kí hiệu : xCĐ , f(x0) = yCĐ
+ Ta gọi x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu thoả mãn:
+) x0 là nghiệm của pt: y’ = 0 hoặc y’ không xác định tại x0
+) y’’(x0) > 0 Kí hiệu : xCT , f(x0) = yCT
Ta gọi chung các điểm CĐ, CT của hàm số là các điểm cực trị của hàm số
- Các quy tắc tìm cực trị của hàm số :
+ Quy tắc 1 : Thực hiện theo các bước sau :
+) TXĐ
+) Tính y’ Gpt y’ = 0 Tìm x sao cho y’ không xác định tại đó
+) Lập bảng biến thiên của hàm số
+) Kết luận từ bảng biến thiên(căn cứ vào định nghĩa1 trên)
+ Quy tắc 2 : Thực hiện theo các bước sau :
+) TXĐ
+) Tính y’ Tìm xk sao cho y’ = 0 hoặc y’ không xác định tại đó
+) Tính y’’ Từ đó tính được và xét dấu các giá trị y’’(xk) rồi kết luận về cực trị (căn cứ vào định nghĩa 2)
Một số dạng bài tập :
*Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị
- Phương pháp :
+ Hàm số bậc 3 có CĐ, CT ⇔ có cực trị ⇔Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
+ Hàm số bậc 4 trùng phương có CĐ, CT ⇔ Phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Hàm số bậc 4 có 1CĐ và không có CT ⇔(Phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm và hệ số
a < 0) hoặc (Phương trình y’ = 0 có 1nghiệm kép và hệ số a < 0)
+ Hàm số bậc 4 có 1CT và không có CĐ ⇔(Phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm và hệ số
a > 0) hoặc (Phương trình y’ = 0 có 1nghiệm kép và hệ số a >0)
Câu 1 : Tìm điều kiện của các tham số để các hàm số sau có cực trị :
y = (x + a)3 + (x + b)3 – x3 (a, b là tham số)
Trang 2Câu 2 : Tìm m để các hàm số có cực đại, cực tiểu :
a) y = 1 3 2 ( 6) 1
3x +mx + m+ x+ b) y = x3 – 3mx2 + 2
c) y = 3 2( 1) 2 4 1 3 m x − m+ x + mx− d) y = x3 – 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1
e) y = - x4 + 2mx2 – 2m + 1 g) y = x3 - mx2 + 2mx - 1
h) y = m 3x 3 - (m+1)x2 + mx - 1 i) y = mx3 - 3x2 + mx k) y = x3 + mx2 + 3mx + 5 Câu 3 : Tìm m để hàm số y = -x4 + 2mx2 có 3 cực trị ? Kq : m > 0 Câu 4 : Xác định m để hàm số y = (1-m)x4 - mx2 + 2m - 1 có đúng một cực trị ? Câu 5 : Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1 không có cực trị ? * Dạng 2 : Xác lập hàm số khi biết cực trị của hàm số - Bài toán : Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a ? - Phương pháp : + Bước1 : Tính f ’(x) = ? + Bước2 : Vì x = a là điểm cực trị của hàm số nên f’(a) = 0 Suy ra, điều kiện của m + Thử lại với giá trị của m vừa tìm được có thoả mãn đề bài không ? - Ví dụ : Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 +(m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 ? G : Ta có : y’ = 3x2 – 6mx + m – 1 Vì xCT = 2 nên y’(2) = 0 ⇔3.22−6 .2m + − = ⇔ =m 1 0 m 1 Với m = 1 ta có y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) Cho y’ = 0 0 2 x x = ⇔ = Ta có bảng biến thiên của hàm số :
x −∞ 0 2 +∞
Y’ + 0 - 0 +
y 2 +∞
−∞ -2
Suy ra, xCT = 2 Do đó, m = 1 thoả mãn bài ra
- Bài tập:
Câu 1: Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2
(Kq: m = 17
12
− ) Câu 2: Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1 (Kq: m = 1) Câu 3: Tìm m để hàm số y = 3 2 2 5
3
x mx m x
− + − + có cực trị tại x = 1 Khi đó hàm
số có cực đại hay cực tiểu ?(Kq: m = 7/3; CT)
Câu 4: Tìm bộ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm
x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 ?(Kq: (3; -9; 2))
Trang 3Câu 5: Tìm điều kiện của a, b sao cho hàm số f(x) = 5 2 3 2ax2 9
3a x + − +x b đạt cực đại
tại x = 5
9
− và các giá trị cực trị đều dương? (
a=
a Kq
= −
> >
)
Câu 7: Tìm a, b để hàm số f(x) = x4 + ax2 + b có giá trị cực trị bằng 3
2 khi x = 1 ? Câu 8:Tìm m để hàm số y = x3 - mx2 + (m-3)x - 1 đạt cực trị tại x = 1 ? Kq: m = 0 Câu 9: Tìm m để x = 3 là cực đại của hàm số y = x4 - 2mx2 + m + 3? Kq: không có Câu 10: Tìm m để x = 2 là cực tiểu của hàm số y = mx4 - 4(m+1)x2 + m2 ? Kq: m = 1 Câu 11: Với giá trị nào của m thì hàm số: y = x3 - (m+3 x) 2 + mx + m + 5 đạt cực tiểu tại x = 2 ? Kq: m = 0
Câu 12: Với giá trị nào của m thì hàm số: y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x - 6 đạt cực đại tại x = 1 ? Kq: m = 1
* Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số (hàm
bậc 3, b2/b1), phương trình đường Parabol đi qua 3 điểm cực trị của hàm bậc 4
- Phương pháp:
+ Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)
+) Tính y’ ; Chỉ ra phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
+) Giả sử (x0 ; y0) là điểm cực trị của hàm số Khi đó, ta có : y’(x0) = 0
Suy ra : y0 = ax30+bx02+cx0+ =d y x'( ).(0 a x1 0+b1)+ p x 0+q= p.x0 + q
Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y = px + q
+ Hàm số trùng phương : y = ax4 + bx2 + c (a≠0)
+) Tính y’ ; Chỉ ra phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
+) Giả sử (x0 ; y0) là điểm cực trị của hàm số Khi đó, ta có : y’(x0) = 0
Suy ra : y0 = 0 2
4 2
Vậy phương trình đường Parabol đi qua 2 điểm cực trị là : y = 2
1x 1x
- Bài tập:
Câu 1 : Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của các hàm số sau :
a) y = x3 – 3x2 + 5 b) y = x3 – x2 – 94x + 95
c) y = -x3–(m - 1)x2 1
3
− (m2 - 2m)x – m(m - 1) (KQ : y = 2 ( 1)( 29)
Câu 2 : Viết phương trình đường Parabol đi qua các điểm cực trị của các hàm số sau : a) y = -2x4 + 5x2 + 3 b) y = x4 – 3x2 + 2
Câu 3 : Tìm m để hàm số y = 2x3 + 3(m - 3)x2 + 11 – 3m có CĐ, CT Viết
phương trình đường thẳng đi qua CĐ & CT ? Kq : m ≠ 3, y = - (m-3)2
x + 11 -3m Câu 4 : Tìm m để hàm số y = mx3 - 3mx2 + (2m + 1)x + 3 - m có CĐ, CT CMR : đường thẳng nối CĐ & CT của hàm số luôn đi qua một điểm cố định?
Kq : m < 0 or m > 1 ; y = - 2
3 (m-1)x +
1
3 (10 - m) ; Điểm cố định A
-1
2 ;3
Trang 4* Dạng 4 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thoả mãn một điều kiện cho trước
- Phương pháp : +) Tìm điều kiện để hàm số có cực trị ;
+) Tìm điều kiện để cực trị thoả mãn bài ra ;
+) Kết hợp các điều kiện trên và kết luận
- Bài tập :
Câu 1: a)Cho hàm số y = 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1
3mx − m− x + m− x+3 Tìm m để hàm số có CĐ,
CT tại các điểm x1, x2 thoả mãn : x1 + 2x2 = 1 ?(Kq : m =2 or m=2/3)
b) Cho hàm số y = 2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x− 1 Tìm m để hàm số có CĐ, CT tại các điểm x1, x2 thoả mãn : |x1+x2| = 2 ? Kq : m = -1
Câu 2: Tìm m để hàm số y = 1 3 ( 2) 2 (5 4) 2 1
3x + m− x + m+ x m+ + đạt CĐ, CT tại các điểm x1, x2 thoả mãn : x1 < -1 < x2 ? (Kq : m < -3)
Câu 3: Tìm m để hàm số y = 1 3 ( 3) 2 4( 3) 2
3 x + + m x + m + x m + − m đạt CĐ, CT tại các điểm x1, x2 thoả mãn : -1< x1< x2 ? (Kq : -7/2 < m <-3)
Câu 4: Tìm m để hàm số y = 1 3 2 1
3 x −mx + mx− đạt CĐ, CT tại các điểm x1, x2 thoả mãn : x1−x2 ≥8 ? (Kq :
2
2
m m
≥ +
≤ −
)
Câu 5: Tìm m để hàm số y = 2x3+3(m−1)x2+6 (1 2 )m − m x có CĐ, CT nằm trên đường thẳng y = -4x ? (Kq : m = 1)
Câu 6: Tìm m để hàm số y = x3 + mx2 + 7x +3 có đường thẳng đi qua CĐ, CT
vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7 ?(Kq : m= 3 10
2
± ) Câu 7: Tìm m để hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m có CĐ, CT đối xứng nhau qua
đường thẳng x – 2y – 5 = 0 ? (Kq : m = 0)
Câu 8: Tìm m để hàm số :
a) y = x3 – 3mx2 + 4m3 có CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ?
b) y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2 ?
Câu 9 : Tìm m để hàm số y = x3 – 3
2 mx
2
+ 1
2 m
3
có CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ?
Câu 10 : Tìm m để hàm số y = x4 - 2m2x2 + 5 có điểm cực tiểu thuộc khoảng (2 ;3) ? (Kq : 2 < | |m < 3)
Câu 11 : tìm m để hàm số y = x4 - 2m2x2 + 2m + m4 có các điểm CĐ, CT lập thành một tam giác đều ? Kq : m = 4
3