SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNHKiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ bản của THCS.. Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn
Trang 1SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH
Kiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ bản của THCS Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng Ta nhớ lại những điều cần thiết :
* Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), ta thường kí hiệu P = c/a ; S = - b/a , và x1,
x2 là các nghiệm của phương trình
* Các điều kiện quan trọng :
+) x1 < 0 < x2 tương đương P < 0
+) 0 = x1 < x2 tương đương P = 0 và S > 0
+) x1 < x2 = 0 tương đương P = 0 và S < 0
+) x1 = x2 = 0 tương đương P = 0 và S = 0 hoặc là Δ = 0 và S = 0
+) 0 < x1 < x2 tương đương với Δ > 0 , P > 0 và S > 0
+) x1 < x2 < 0 tương đương Δ > 0 , P > 0 và S < 0
Sử dụng các kiến thức trên chúng ta có thể xét được số nghiệm của nhiều loại phương trình
1 Phương trình trùng phương
ax4 + bx2 + c = 0 (1)
Đặt ẩn phụ t = x2 ≠ 0 thì (1) sẽ trở thành
at2 + bt + c = 0 (2)
Mỗi nghiệm t > 0 của (2) cho hai nghiệm của (1)
Nghiệm t = 0 của (2) sẽ cho một nghiệm x = 0 của (1) Tất nhiên t < 0 sẽ không cho nghiệm của (1)
Bài toán 1 : Biện luận số nghiệm của phương trình : x4 - mx2 + 3m - 8 = 0 (3)
Lời giải : Đặt t = x2 Δ 0 thì (3) trở thành : t2 - mt + 3m - 8 = 0 (4)
Số nghiệm của (3) phụ thuộc vào dấu các nghiệm của (4), tức là phụ thuộc vào dấu của các biểu thức :
Δ = m2 - 12m + 32 ; P = 3m - 8 ; S = m
Ta lập bảng biện luận :
Bài toán 2 : Tìm m để phương trình x4 - 2mx2 + m2 - 3 = 0 (5) có đúng ba nghiệm phân biệt
Lời giải : Đặt t = x2 0 thì (5) trở thành : t2 - 2mt + m2 - 3 = 0 (6)
Phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (6) có nghiệm t1, t2
thỏa mãn 0 = t1 < t2 tương đương P = 0 & S > 0 hay :
2.Phương trình a(x - α) 2 + b|x - α| + c = 0 (7)
Đặt ẩn phụ t = |x - α| thì (7) cũng sẽ trở thành phương trình (2)
Trang 2Ta thấy mối quan hệ giữa số nghiệm của (1), (7) với nghiệm của (2) rất giống nhau Có thể tổng kết lại nhờ bảng sau :
Bài toán 3 : Tìm m để phương trình x2 - 2x - |x - 1| + m = 0 (8) có đúng hai nghiệm phân biệt
Lời giải : Ta có (8) (x - 1)2 - |x - 1| + m - 1 = 0
Đặt t = |x - 1| ≥ 0 thì (8) trở thành : t2 - t + m - 1 = 0 (9)
Phương trình (8) có đúng hai nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (9) có nghiệm t1, t2
thỏa mãn t1 < 0 < t2 hoặc t1 = t2 > 0
3 Phương trình:
Để không tầm thường ta giả sử k ≠ 0
Đặt ẩn phụ :
thì (10) trở thành (2) Với mỗi giá trị t ≥ 0 cho ta một nghiệm duy nhất x = 1/k.(t2 - n) Do đó số nghiệm của phương trình (10) đúng bằng số nghiệm không âm của phương trình (2)
Bài toán 4 : Tìm m sao cho phương trình:
có hai nghiệm phân biệt
Lời giải : Đặt thì phương trình (11) trở thành t2 - mt + 2m - 3 = 0 (12)
Phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt tương đương Phương trình (12) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn t2 > t1 ≥ 0
Tương đương với Δ > 0 , P ≥ 0 và S > 0
hay : m2 - 8m + 12 > 0 , 2m - 3 ≥; 0 và m > 0
hay là : m > 6 hoặc m < 2 , m ≥ 3/2 và m > 0
Tươn đương : m > 6 hoặc 3/2 ≥ m < 2
Trước khi dừng bài viết, xin đề nghị các em có thể tự giải các bài tập sau đây :
Bài tập 1 : Tìm m để phương trình x2 + 2m|x - 2| - 4x + m2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm
Trang 3Bài tập 2 : Chứng minh rằng phương trình : mx4 - 3(m - 2)x2 + m - 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m
Bài tập 3 : Biện luận số nghiệm của phương trình :