SKKN Kinh nghiệm ra đề và các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức

ở bộ môn này học sinh đợc học nhiều phơng pháp giải các bài tập, học sinh đợc rèn luyện nhiều kỹ năng nh: Kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận, kỹ năng áp dụng lý thuyết vào bài tập, kỹ n

A Những vấn đề chung.

i lý do chọn đề tài:

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong cuộc sống ở bộ môn này học sinh đợc học nhiều phơng pháp giải các bài tập, học sinh đợc rèn luyện nhiều kỹ năng nh: Kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận, kỹ năng áp dụng lý thuyết vào bài tập, kỹ năng khai thác bài toán.Môn học này còn bồi dỡng cho học sinh nhiều phẩm chất t duy, phẩm chất đạo đức nh: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính kiên trì, tính chính xác, tính nghiêm túc

Là một giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ở trờng THCS tôi nhận thấy: Dạng toán xoay quanh nghiệm của đa thức đợc đề cập đến rất nhiều Song cha có một cuốn sách nào đi chuyên sâu về vấn đề này chỉ thấy tản mạn trong các loại sách khác nhau Do vậy khi bồi dỡng học sinh giỏi về dạng toán này phần lớn anh em giáo viên chúng tôi và học sinh còn gặp nhiều khó khăn lúng túng Mặt khác đứng trớc xã hội nh hiện nay yêu cầu của giáo dục là phải

đổi mới phơng pháp dạy học, lấy việc bồi dỡng học sinh khá giỏi là công việc cấp bách, mũi nhọn thờng xuyên đặt ra trong mỗi nhà trờng Đối với mỗi dạng toán đòi hỏi ngời giáo viên phải đi sâu vào việc phân tích bản chất dạng toán Tránh tình trạng để học sinh tiếp thu một cách thụ động, dập khuôn

Chính vì những lí do trăn trở trên nên tôi chọn chuyên đề “Kinh nghiệm ra

đề và các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức”

ii mục đích của chuyên đề:

- Nhằm nâng cao chất lợng, trình độ học toán của học sinh góp phần hình thành lòng say mê môn toán, hạn chế tình trạng giải toán một cách đơn điệu, gây sức ì trong t duy

- Khắc phục những khó khăn trớc mắt cho giáo viên học sinh tránh việc dạy và giải bài tập xoay quanh nghiệm của đa thức

- Rèn kỹ năng trình bày, khả năng suy luận khi giải toán

iii nhiệm vụ của đề tài:

* Dạng toán xoay quanh của một đa thức hết sức rộng, các dạng bài tập lại

đa dạng Nhất là các bài tập để bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi trong nhà trờng,

đòi hỏi ngời thầy phải hiểu thấu đáo về lý thuyết nghiệm của đa thức Từ đó có

cách khai thác, mở rộng các dạng bài tập giúp học sinh nắm kiến thức một cách chắc hơn, sâu hơn, giúp các em tiếp cận đến những kiến thức cao hơn, tiếp cận

đến các bộ môn khác một cách tốt hơn

iv phơng pháp nghiên cứu:

1 Nghiên cứu qua các tài liệu: Phơng pháp dạy học, đổi mới dạy học môn toán, sách giáo khoa đại số 8; 9 bài tập đại số 8; 9; các sách nâng cao đại số 8; 9

2 Quan sát thực tiễn: Dự giờ, thăm lớp, trao đổi đồng nghiệp

3 Qua kiểm tra trắc nghiệm đối chứng với kết quả học tập của học sinh

B-nội dung và phơng pháp thực hiện

i nội dung:

Trong thời gian không cho phép và tính rộng lớn của đề tài nên tôi xin phép chỉ đa ra hai phong pháp cơ bản để giải bài toán xoay quanh nghiệm của

đa thức với một số phép biến đổi nh s

1 Dựa vào định nghĩa nghiệm của đa thức

Nếu x= a ( a ∈ R) là nghiệm của đa thức f (x) thì f (x) = 0

2 Dựa vào định nghĩa căn bậc hai

Giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa to lớn của việc hiểu bản chất vấn đề Từ đó

có một hớng giải đúng đắn mỗi bài toán khi ngời ra đề có thể thay đổi số liệu hoặc câu hỏi khác đi làm các em lầm tởng đó là dạng toán khác không giải đợc

* Ví dụ:

Từ bài toán: Cho x= 2 - 3 Tính giá trị của biểu thức A = x2- 4x + 1

NX: Đứng trớc bài toán này học sinh có thể làm theo nhiều kiểu khác nhau, có

em thay trực tiếp giá trị của x vào biểu thức khai triển hằng đẳng thức rồi rút gọn Có em biến đổi từ giả thiết chuyển vế rồi bình phơng hai vế, cuối cùng ra một phơng trình có một vế chính là biểu thức A còn vế kia bằng 0 từ đó kết luận

Nhng cũng là nội dung bài toán này, cách giải này nếu ta thay đổi câu hỏi nh:

? Tìm các số hữu tỉ a, b sao cho x=

1 3

1 3

x3 -3bx2 +3b2x -b3- a3= 0

VÝ dô 1: -Cho x= 4 - 5=> 5= 4 - x B×nh ph¬ng hai vÕ

VËy ta cã thÓ ra c¸c bµi to¸n nh sau

BT1: 1-CMR 4 - 5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2- 8 x+ 11 = 0

2- CMR 4 - 5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3-12x2+43x - 44 =0

HoÆc

BT2 : Cho x= 4 - 5 1-TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = x2 - 8 x + 11

2- TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B’= x3-12x2+43x - 44

BT5 : 1-Gọi 4 - 5 là nghiệm của phơng trình x2 - 8x + b = 0

2- Từ x= 4 - 5 <=> 5= 4 - x Lập phơng hai vế => 5 5= 64 - 48x +12x2 - x3 <= > 5( 4-x)= 64 - 48x +12x2 - x3 <= > x3 -12x2 + 43x - 44 =0 Vậy x

= 4 - 5là nghiệm của phơng trình x3 -12x2 + 43x - 44 =0

BT2: 1-Từ x= 4 - 5 <=> 5= 4 -x Bình phơng hai vế

=> 5 = 16 - 8 x+ x2

<=> x2 - 8 x + 11 = 0Vậy x = 4 - 5là nghiệm của phơng trình x2 - 8 x + 11 = 0

Hay khi x = 4- 5 thì B = x2 - 8 x + 11 có giá trị bằng 0

2- Từ x= 4 - 5 <=> 5= 4 -x Lập phơng hai vế rồi thu gọn ta đợc phơng trình x3 -12x2 + 43x - 44 =0 Vậy x = 4 - 5là nghiệm của phơng trình

Vậy với a = - 8 và b = 11 thì x = 4 - 5 là một nghiệm của phơng trình x2 + a x + b = 0

2-Với cách lập luận nh trên x = 4 - 5là nghiệm của phơng trình x3 -12x2 + 43x - 44 =0 (3) Để x = 4 - 5là một nghiệm của phơng trình

x3 -12x2 + 43x - 44 =0 (4) đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta đợc a=-12; b=43

Suy ra x=

2

) 3 2 (

2 − =

2

3 2

4 − =

2 2

2

1 ) 3 (

) 1 3 (

−

−

=

) 1 3 ).(

1 3 (

) 1 3 ( 2

1 3

* D¹ng 1:

BT1: 1-CMR 2 - 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 4x + 1 = 0

2- CMR 2 - 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3- 6x2 + 9x -2 =0HoÆc

BT2: Cho x= 2 - 3

1-TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C = x2 - 4 x + 1

2- TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C’= x3- 6x2 + 9x -2

1 3

1 3

1 3

+

− 1-TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc D = x2

- 4 x + 1 2- TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc D’= x3- 6x2 + 9x - 2HoÆc

BT8:1- T×m c¸c sè h÷u tØ a, b sao cho x=

1 3

1 3

+

− lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 + a x + b = 0

2- T×m c¸c sè h÷u tØ a, b ,c sao cho x=

1 3

1 3

+

− lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3+ax2 + bx +c= 0

BT9: 1-H·y lËp ph¬ng tr×nh f (x) = x2 + a x + b víi hÖ sè nguyªn cã mét

nghiÖm lµ x =

1 3

1 3

+

− .2- H·y lËp ph¬ng tr×nh g(x)= x3+ax2 + bx +c= 0 víi hÖ sè nguyªn

cã mét nghiÖm lµ x =

1 3

1 3

+

− .

BT10 : 1- Cho x =

1 3

1 3

+

− lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2

- 4 x+ b=0 T×m nghiÖm cßn l¹i?

2- Cho x =

1 3

1 3

+

− lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3- 6x2 + 9x +c=0 T×m c¸c nghiÖm cßn l¹i?

1 3

+

−

=

) 1 3 ).(

1 3 (

) 1 3 ( 2

3 − + =

2

3 2

=> x3 = a + b + 33 ab (3 a+ 3 b)

<=> x3 = a + b + 3 3 ab. x

<=> x3 - 33 ab x - a - b = 0

VËy x = 3 a + 3 b lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3 - 33 ab x - a - b = 0

VÝ dô3: Cho x= 3 5 + 1 <=> 3 5 = x - 1 LËp ph¬ng hai vÕ

= > 5 = x3 - 3x2 + 3x - 1

<=> x3 - 3x2 + 3x- 6 = 0NX: Từ x= 3 5 + 1 <=> 3 5 = x - 1 Ta có thể luỹ thừa 4,5,6 hai vế t-

ơng ứng ta sẽ nhận đợc một phơng trình bậc 4,5,6 Để hạn chế tính rộng lớn của

đề tài nên tôi chỉ xét đến luỹ thừa bậc ba

Vậy ta có thể ra các bài toán sau:

1-Tính giá trị của biểu thức D =x3 - 3x2 + 3x - 6

2- Tính giá trị của biểu thức D =x3 - 3x2 + 3x +2006Hoặc

BT3: Tìm các hệ số a, b, c nguyên sao cho x=3 5+ 1 là một nghiệm của phơng trình x3 +ax2 + bx +c =0

Hoặc

BT4 : Hãy lập phơng trình f(x) =x3 +ax2 + bx +c =0 với các hệ số nguyên có một nghiệm là x = 3 5+ 1

* Cách giải:

BT1: 1- Đặt x =3 5+ 1 <=> 3 5 = x - 1 Lập phơng trình hai vế

= > 5 = x3 - 3x2 + 3x – 1 <=> x3 - 3x2 + 3x -6 =0

Vậy x= 3 5+ 1 là một nghiệm của phơng trình x3 - 3x2 + 3x -6 =0

2- Ta có x3 - 3x2 + 3x + 2006 =0 <= > x3 - 3x2 + 3x -6 + 2012=0 x= 3 5+ 1 là một nghiệm của phơng trình x3 - 3x2 + 3x -6 =0 tức là khi ta thay x= 3 5+ 1 vào đa thức x3 - 3x2 + 3x -6 thì đa thức có giá trị bằng 0,

cßn khi ta thay x= 3 5+ 1 vµo ®a thøc x3 - 3x2 + 3x -6 +2012 th× ®a thøc cã gi¸ trÞ lµ 2012 ≠0 nªn x= 3 5+ 1 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3 - 3x2 + 3x +

* VÝ dô 4: Cho x= 3 2( 3 1) + − 3 2( 3 1) − LËp ph¬ng hai vÕ

HoÆc

BT2 : Cho x= 3 2( 3 1) + − 3 2( 3 1) −

1- TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E = x3 + 6 x - 4

2- TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E = x3 + 6 x + 2006

HoÆc

BT3 : T×m c¸c hÖ sè nguyªn a, b sao cho x= 3 2( 3 1) + − 3 2( 3 1) −

Lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3 + ax +b = 0BT4: H·y lËp ph¬ng tr×nh f (x) =x3 + ax +b = 0 víi c¸c hÖ sè nguyªn cã mét nghiÖm lµ x= 3 2( 3 1) + − 3 2( 3 1) −

BT 3: T¬ng tù nh BT1 x= 3 2( 3 1) + − 3 2( 3 1) − Lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3 + 6 x - 4 = 0 (9)

* VÝ dô 5: Cho X = 3 18 + 325 + 3 18 − 325 LËp ph¬ng hai vÕ

<=> x = 3

VËy ta cã c¸c bµi to¸n sau:

1-TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc F =x3 + 3 x - 36

2- TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc F’ =x3 + 3 x + 2007

BT 3: T×m c¸c hÖ sè a, b nguyªn sao cho x = 3 18 + 325 + 3 18 − 325 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3 + ax + b = 0

Hay 3 18 + 325 + 3 18 − 325 = 3 (đpcm).

c kết luận

i kết quả thực hiện :

- Khi cha thực nghiệm chuyên đề này các em học sinh thờng tỏ ra chán

lảvà lúng túng khi gặp dạng toán xoay quanh nghiệm của đa thức

- Khi áp dụng chuyên đề này vào thực tiễn các em tỏ ra phấn khởi, tự tin, yêu thích bộ môn toán hơn cụ thể nh sau:

1 Khi cha thực nghiệm:

ii bài học kinh nghiệm:

Qua công tác bồi dỡng học sinh khá giỏi và thực nghiệm đề tài nghiên

cứu phân tích các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức Tôi nhận thấy

đối với dạng toán liên quan đến nghiệm của đa thức rất đa dạng phong phú và rất dễ nhầm giải đi theo một hớng khác và vô cùng phức tạp nếu cho nghiệm của

đa thức là biểu thức có chứa nhiều căn cho nên để giúp giáo viên và học sinh, khá giỏi giải tốt loại toán này cần làm đợc những việc sau:

* Đối với giáo viên:

- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phơng pháp dạy môn toán, nghiên cứu chơng trình của bộ môn toán mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói riêng Xác định rõ mục tiêu từng bài, và từng dạng cho từng đối tợng học sinh

- Cần đi sâu nghiên cứu cho học sinh nắm chắc định nghĩa nghiệm của đa thức, nguyên tắc sử dụng hằng đẳng thức.

- Thờng xuyên kiểm tra học sinh để bổ sung kiến thức hợp lý và kịp thời

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa để học hỏi phơng pháp giải mới, phơng pháp hay

- Nhiệt tình hớng dẫn học sinh phơng pháp học, linh hoạt, sáng tạo tìm cách giải hay, chính xác

* Đối với học sinh:

- Tự giác, tích cực học tập, ôn luyện lý thuyết có liên quan đến dạng toán nghiệm của đa thức

- Hiểu đợc nguyên tắc khi sử dụng các hằng đẳng thức

- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập

- Suy nghĩ cấc bài tập tơng tự, mạnh dạn đề xuất bài toán mới

iii những điểm còn bỏ ngỏ:

Dạng toán xoay quanh nghiệm của một đa thức đợc đề cập rất nhiều trong phân môn đại số ở Trờng THCS, mới chỉ tản mạn trong một số cuốn sách, cha có một chuyên đề nào đề cập đến vấn đề này Một mặt kinh nghiệm lại còn hạn chế, nên tôi chỉ đa ra hai phơng pháp cơ bản để giải quyết các bài toán thuộc loại này

iv kết luận chung:

Đợc sự ủng hộ của tổ KHTN, của BGH nhà trờng nơi công tác, qua thực tế giảng dạy tôi đã cố gắng tìm tòi và đa ra bài tập tơng đối phù hợp để minh hoạ cho đề tài đồng thời đa ra đợc những phơng pháp giải cho từng loại góp phần giúp cho học sinh có thêm phơng pháp giải toán

Dựa vào hệ thống các bài tập tôi đã phân dạng bài toán giúp học sinh nắm vững phơng pháp mỗi dạng Qua đó củng cố khắc sâu lý thuyết, rèn kỹ năng giải toán góp phần nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện nói chung và chất lợng môn toán nói riêng

Trong quá trình viết và thực nghiệm đề tài do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm của bản thân nên có thể không tránh khỏi những thiếu xót Vì vậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để cho đề tài đợc hoàn thiện hơn Tôi cũng mong sẽ có nhiều sáng kiến kinh nghiệm hay sẽ góp phần làm cho học sinh ngày càng yêu thích, tìm hiểu và học tập môn toán hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Phòng giáo dục&đào tạo cẩm giàng

- Khi cha thực nghiệm chuyên đề này các em học sinh thờng tỏ ra chán

lản hay lúng túng khi gặp dạng toán này

- Khi áp dụng chuyên đề này vào thực tiễn các em tỏ ra phấn khởi, tự tin, yêu thích bộ môn hơn cụ thể nh sau:

1 Khi cha thực nghiệm:

ii bài học kinh nghiệm:

Qua công tác bồi dỡng học sinh khá giỏi và thực nghiệm chuyên đề

nghiên cứu phân tích các bài toán xoay quanh nghiệm của một đa thức Tôi nhận thấy đối với dạng toán liên quan đến nghiệm của một đa thức rất đa dạng toán liên quan đến nghiệm của một đa thức rất đa dạng và rất dễ nhầm giải đi theo một hớng khác vô cùng phức tạp nếu cho nghiệm của đa thức là biểu thức có chứa nhiều căn, cho nên để giúp giáo viên và học sinh, khá giỏi giải tốt loại toán này cần làm đợc những việc sau:

* Đối với giáo viên:

- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phơng pháp dạy môn toán, nghiên cứu chơng trình của bộ môn toán mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói riêng Xác định rõ mục tiêu từng bài, và từng dạng cho từng đối tợng học sinh

- Cần đi sâu nghiên cứu cho học sinh nắm chắc định nghĩa nghiệm của đa thức, nguyên tắc sử dụng hằng đẳng thức

- Thờng xuyên kiểm tra học sinh để bổ xung kiến thức hợp lý và kịp thời

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa để học hỏi phơng pháp giải dmới, phơng pháp hay.

- Nhiệt tình hớng dẫn học sinh phơng pháp học, linh hoạt, sáng tạo tìm cách giải hay, chính xác

* Đối với học sinh:

- Tự giác, tích cực học tập, ôn tập, ôn luyện lý thuyết có liên quan đến dạng toán nghiệm của đa thức

- Hiểu đợc nguyên tắc khi sử dụng các hằng đẳng thức

- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập

- Suy nghĩ bài tập tơng tự, mạnh đề xuất bài toán

iii những điểm còn bỏ ngỏ:

Dạng toán xoay quanh nghiệm của một đa thức đợc đề cập rất nhiều trong phân môn đại số ở Trờng THCS, mới chỉ tản mạn trong một số cuốn sách, cha có một chuyên đề nào đề cập đến vấn đề này Một mặt kinh nghiệm lại còn hạn chế, nên tôi chỉ xin đa ra hai phơng pháp cơ bản để giải quyết các bài toán thuộc loại này

iv kết luận chung:

Đợc sự ủng hộ của tổ KHTN, của BGH nhà trờng nơi công tác qua thực tế giảng dạy tôi đã cố gắng tìm tòi và đa ra bài tập tơng đối phù hợp để minh hoạ cho đề tài, đồng thời đa ra đợc những phơng pháp giải cho từng loại góp phần giúp cho học sinh giải bài toán của bản thân

Dựa vào hệ thống các bài tập tôi đã phân dạng bài toán giúp học sinh nắm vững phơng pháp mỗi dạng, qua đó củng cố khắc sâu lý thuyết, rèn kỹ năng giải toán góp phần nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện nói chung và chất lợng môn toán nói riêng

Trong quá trình viết và thực nghiệm chuyên đề do điều kiện về thời gian,

do kinh nghiệm của bản thân nên có thể không tránh khỏi những thiếu xót Vì

vậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để cho đề tài

Phòng giáo dục&đào tạo cẩm giàng

Trờng tiểu học cẩm đoài

-

-Kinh nghiệm ra đề

Và giải các bài toán xoay quanh

nghiệm của một đa thức

Môn: đại số

ý kiến đánh giá của trờng

………

………

………

………

………

ý kiến đánh giá của phòng giáo dục ………

………