SKKN Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất GTNN, giá trị lớn nhất GTLN của một biểu thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó ở chương trình phổ thông.. -

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó

ở chương trình phổ thông Trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm, nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số) Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là không giải quyết được cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí không đọc đến

Qua quá trình giảng dạy lớp chuyên Toán và luyện thi Đại học tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung này Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm là chuyên đề được ứng dụng trong giảng dạy lớp 11T2 chuyên Toán của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu và các lớp luyện thi Đại học Sáng kiến kinh nghiệm này là sự tổng kết có chọn lọn các chuyên đề của bản thân đã viết ra trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của quý Thầy, Cô trong Tổ Toán – Tin trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu

Đề tài này xuất phát từ những lí do sau:

• Giúp học sinh có thêm kiến thức và tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán khó này

• Giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình Và qua chuyên đề này tôi hy vọng quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp sẽ yêu thích hơn trong việc giảng dạy chuyên đề này Thực tế một số Thầy, Cô không thích dạy, và kể cả những Thầy,

Phần mở đầu

1 Bối cảnh của đề tài

2 Lý do chọn đề tài

- Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học, Cao đằng.

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:

+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t =x + y, t = x2 + y2 hoặc t = xy

Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:

- Chia sẻ với quý Thầy, Cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm để giải quyết bài toán tìm GTNN, GTLN trong đề thi tuyển sinh Đại học

- Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm

- Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu

Sáng kiến được chia thành ba phần :

Phần mở đầu

Phần nội dung: gồm 3 chương

Chương 1 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm sốChương 2 Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức

Chương 3 Một số bài toán trong các đề thi tuyển sinh Đại họcPhần kết luận

3 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

4 Mục đích nghiên cứu

5 Cấu trúc SKKN

Chương I

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về đạo hàm và một số công thức về đạo hàm

1.1 Định lí Giả sử D là một khoảng hay hợp các khoảng

Nếu hai hàm số u =u x( ) và v =v x( ) có đạo hàm trên D thì

1.3 Nhận xét Đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp

cx d

+

=+ với a c ¹ 0,ad - cb ¹ 0 Ta có ( )2

2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D Ì ¡

a) Nếu tồn tại một điểm x0 Î D sao cho f x( ) £ f x( )0 với mọi x Î D thì số

a) f x( ) £ M (hoặc f x( ) ³ m ) với mọi x Î D ;

b) Tồn tại ít nhất một điểm x0 Î D sao cho f x( )0 = M (hoặc f x( )0 =m )

2.2 Nhận xét Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt

được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó

I.2 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn é ùë ûa b; như sau :

1 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n thuộc khoảng (a b; ) mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

Thí dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003)

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) = x + 4- x2

CHƯƠNG II

KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Từ kết quả của Chương I chúng ta thấy rằng việc tìm GTNN, GTLN của hàm

số khá đơn giản Việc chuyển bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức không ít hơn hai biến sang bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa một biến sẽ giúp chúng

ta giả được bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức

Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại Từ đó xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Thí dụ 2 Cho x y, Î ¡ thỏa mãn y £ 0,x2 + x = y + 12

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P =xy + x + 2y + 17

Lời giải Từ giả thiết y £ 0,x2 + x =y + 12 ta có y = x2 + x - 12 và

= = ç ÷çè ø÷÷= đạt được khi 1

2

x =y =

Nhận xét Qua ba thí dụ này cho ta một kỹ thuật giảm biến khi tìm GTNN, GTLN của

biểu thức hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại và sử dụng các giả thiết để đánh giá biến còn lại Từ đó tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa một biến bị chặn

1/ Cho x y, Î ëé- 3;2ùû thỏa mãn x3 + y3 =2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2.

2/ Cho x y, ³ 0 thỏa mãn x + y =1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

8/ Cho x y >, 0 thỏa mãn x + y = 2 Chứng minh rằng xy £ x y x y

Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đối xứng Từ đó bằng phép đặt ẩn phụ ta chuyển về bài toán tìm G của hàm số.

t £ t suy ra 0 £ £t 2 Khi đó biểu thức P =(x + y)3 - 2xy x( + y) =t2 Do đó ta

có maxP = 4 đạt được khi t =2 hay x + y = 2 và xy =1 suy ra x =1 và y =1, ta

có minP = 0 đạt được khi t = 0 hay x = y = 0

Nhận xét Bài toán này giả thiết và biểu thức P được cho dưới dạng đối xứng với hai biến Vì vậy, chúng ta nghĩ đến cách đổi biến t = x + y Nhưng để giải bài toán trọn vẹn thì phải tìm điều kiện của biến t Sau đây là một số bài toán với định hướng tương tự

Thí dụ 2 Cho x y >, 0 thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

xy P

II.2 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có tính chất đối xứng

21

Thí dụ 5 Cho x y, Î ¡ thỏa mãn x y, ¹ 0 và xy x( + y) =x2 + y2 - x - y + 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 1

2

22

luôn đúng với mọi t ³ 2, dấu bằng xảy ra khi t = 2 hay x =y =1

Thí dụ 7 Cho x y >, 0 thỏa mãn x2 + y2 =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

- , f t¢( ) = 0 Û t = ±1 2 (loại) Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có min min(1; 2 ( ) ( 2) 4 3 2

Nhận xét Qua các thí dụ trên, cho ta một kỹ thuật giảm biến của bài toán tìm GTNN,

GTLN của biểu thức hai biến có tính đối xứng: Do tính đối xứng nên ta luôn có thể biến đổi đưa về một trong các dạng đặt t = x + y, t =x2 + y2 hoặc t =xy, từ đó đưa

Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị

lớn nhất của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đẳng

cấp Từ đó xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Thí dụ 1 Cho x y >, 0 thỏa mãn x2 + y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( )

2

2 2

II.3 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có tính đẳng cấp

Từ bảng biến thiên ta có ( ) 5, 0

3

2 0

= Từ giả thiết x y >, 0 suy ra t > 0 Khi đó bất đẳng thức cần

chứng minh tương đương với

84

t

£+ + hay t( t2 + 4- t)3 £ 2 Xét hàm

t f t f

> = = hay t( t2 + 4- t)3 £ 2 dấu bằng xảy ra khi 2

2

t = hay y = 2x

1/ Cho x y >, 0 thỏa mãn xy £ y - 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Thí dụ 1 Cho x y z >, , 0 thỏa mãn x + y + z =1 Chứng minh rằng 1 1 16

Từ bảng biến thiên ta có ( ) ( ) ( )1

2 0;1

( ) ( ) ( )

2 3

f t

=-

với 0 < t < 1, ( )

2 2

Chương III

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bài 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học A – 2011)

Cho x y z, , là ba số thực thuộc đoạn é ùë û1; 4 và x ³ y x, ³ z Tìm giá trị nhỏ nhất của

a b dương và ab ³ 1 Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi : a =b hoặc ab =1

Áp dụng (*), với x và y thuộc đoạn é ùë û1; 4 và x ³ y, ta có:

x P

Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi : x = 4,y =1 và z = 2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 34

33, khi x = 4,y =1,z = 2

Bài 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học B – 2011)

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab =(a + b ab) ( + 2)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

æ ö÷ç

Bài 3 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010)

Cho các số thực không âm a b c, , thoản mãn a + b+ c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3(a b2 2 + b c2 2 + c a2 2) + 3(ab+ bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x y2 2) - 2(x2 + y2) + 1 với x y, là các số thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ³ 2

Lời giải Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên : (x + y)2 ³ 4xy nên

Ta biến đổi A như sau:

Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2009)

Cho x y, ³ 0 và x + y =1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

Suy ra 1 ( ) ( )

4

1 16 0;

191min

25max

Giá trị lớn nhất của S đạt được

ïïî

Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau :

+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t = x + y, t = x2 + y2 hoặc t = xy

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến

Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng vấn đề nào dù khó mà giáo viên quan tâm

và truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn hút các

em vào con đường nghiên cứu Bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức không phải là một vấn đề mới, nhưng thực tế cho thấy còn nhiều Thầy, Cô chưa quan tâm đúng mức vần đề này

Phần kết luận

2 Bài học kinh nghiệm

3 Ý nghĩa của SKKN

1 Kết quả đạt được

Với sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng góp thêm một tài liệu cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp ; giúp các em học sinh có thêm những kinh nghiệm cho loại toán này, từ đó tự tin hơn khi thi Đại học.

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai như một chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi ; cũng như dùng để giảng dạy cho các em học sinh ôn tập thi đại học, nhằm giúp các em học sinh có thể vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới nay cho loại bài toán này

1 Sách Giáo khoa Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

2 Tuyển tập Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2008, 2009, 2010 ; và Tạp chí Toán học

và tuổi trẻ hàng tháng

3 Nguồn Internet : http://www.VnMath.com.vn, …

4 Khả năng ứng dụng và triển khai

Tài liệu tham khảo