0

SKKN Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức

24 2,052 2
  • SKKN Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/03/2015, 19:15

Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó ở chương trình phổ thông. Trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm, nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất. Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số). Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản. Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là không giải quyết được cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí không đọc đến. Qua quá trình giảng dạy lớp chuyên Toán và luyện thi Đại học tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung này. Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm là chuyên đề được ứng dụng trong giảng dạy lớp 11T2 chuyên Toán của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu và các lớp luyện thi Đại học. Sáng kiến kinh nghiệm này là sự tổng kết có chọn lọn các chuyên đề của bản thân đã viết ra trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của quý Thầy, Cô trong Tổ Toán – Tin trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu. Đề tài này xuất phát từ những lí do sau: • Giúp học sinh có thêm kiến thức và tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán khó này. • Giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Và qua chuyên đề này tôi hy vọng quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp sẽ yêu thích hơn trong việc giảng dạy chuyên đề này. Thực tế một số Thầy, Cô không thích dạy, và kể cả những Thầy, Cô nhiều năm luyện thi Đại học cũng không đi sâu lắm về chuyên đề này. Giáo viên: Trần Phi Thoàn 1 Phần mở đầu 1. Bối cảnh của đề tài 2. Lý do chọn đề tài Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức - Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học, Cao đằng. - Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm: + Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ. + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại. + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t x y= + , 2 2 t x y= + hoặc t xy= . + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp x t y = + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa ba biến bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến còn lại. Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích: - Chia sẻ với quý Thầy, Cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm để giải quyết bài toán tìm GTNN, GTLN trong đề thi tuyển sinh Đại học. - Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. - Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu. Sáng kiến được chia thành ba phần : Phần mở đầu Phần nội dung: gồm 3 chương Chương 1. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Chương 2. Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức Chương 3. Một số bài toán trong các đề thi tuyển sinh Đại học Phần kết luận Giáo viên: Trần Phi Thoàn 2 3. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 4. Mục đích nghiên cứu 5. Cấu trúc SKKN Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức Chương I GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về đạo hàm và một số công thức về đạo hàm. 1.1 Định lí. Giả sử D là một khoảng hay hợp các khoảng. Nếu hai hàm số ( ) u u x= và ( ) v v x= có đạo hàm trên D thì ( ) ;u v u v ¢ ¢ ¢ + = + ( ) ;u v u v ¢ ¢ ¢ - = - ( ) ;uv u v uv ¢ ¢ ¢ = + ( ) ;ku ku ¢ ¢ = ( ) 2 u u v uv v v ¢ ¢ - ¢ = , với ( ) 0v x ¹ 1.2.Định lý. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp ( ) 0c ¢ = ( c là hàng số) ( ) 1x ¢ = ( ) ( ) 1n n x nx x - ¢ = Î ¡ ( ) 1n n u nu u - ¢ ¢ = ( ) 2 1 1 x x ¢ = - ( ) 2 1 u u u ¢ ¢ = - ( ) ( ) 1 2 0 x x x ¢ = > ( ) 2 u u u ¢ ¢ = ( ) x x e e ¢ = ( ) u u e e u ¢ ¢ = ( ) ( ) 1 ln 0 x x x ¢ = > ( ) ln u u u ¢ ¢ = ( ) sin cosx x ¢ = ( ) sin cosu u u ¢ ¢ = ( ) cos sinx x ¢ = - ( ) cos sinu u u ¢ ¢ = - ( ) ( ) 2 2 t an 1 tanx x x k p p ¢ = + +¹ ( ) ( ) 2 t an 1 tanu u u ¢ ¢ = + ( ) ( ) ( ) 2 t 1 cotco x x x k p ¢ = - + ¹ ( ) ( ) 2 t 1 tco u u co u ¢ ¢ = - + Giáo viên: Trần Phi Thoàn 3 Phần nội dung I.1. Một số kiến thức cơ sơ về đạo hàm Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức 1.3 Nhận xét. Đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp 1. Cho hàm số ax b y cx d + = + với . 0, 0a c a d cb-¹ ¹ . Ta có ( ) 2 ad cb cx d y - + ¢ = . 2. Cho hàm số 2 ax bx c y mx n + + = + với . 0a m ¹ . Ta có ( ) 2 2 2 b c amx anx m n mx n y + + + ¢ = . 3. Cho hàm số 2 2 ax bx c y mx nx p + + = + + với . 0a m ¹ . Ta có ( ) 2 2 2 2 a b a c b c x x m n m p n p mx nx p y + + + + ¢ = . Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. 2.1 Định nghĩa. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D Ì ¡ . a) Nếu tồn tại một điểm 0 x DÎ sao cho ( ) ( ) 0 f x f x£ với mọi x DÎ thì số ( ) 0 M f x= được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là ( ) max x D M f x Î = . b) Nếu tồn tại một điểm 0 x DÎ sao cho ( ) ( ) 0 f x f x³ với mọi x DÎ thì số ( ) 0 m f x= được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là ( ) min x D m f x Î = . 2.1 Nhận xét. Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m ) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ : a) ( ) f x M£ (hoặc ( ) f x m³ ) với mọi x DÎ ; b) Tồn tại ít nhất một điểm 0 x DÎ sao cho ( ) 0 f x M= (hoặc ( ) 0 f x m= ). 2.2 Nhận xét. Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó. Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó. Giáo viên: Trần Phi Thoàn 4 I.2. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn ;a b é ù ë û như sau : 1. Tìm các điểm 1 2 , , , n x x x thuộc khoảng ( ) ;a b mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 2. Tính ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , , n f x f x f x f a và ( ) f b . 3. So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn ;a b é ù ë û , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn ;a b é ù ë û . Trong mục này chúng tôi trình bày một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Thí dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 2 4f x x x= + - Lời giải. Tập xác định 2;2D é ù = - ë û , ( ) 2 1 4 x f x x ¢ = - - , ( ) 0 2f x x ¢ = =Û Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có ( ) ( ) 2;2 min 2 2 x f x f é ù -Î ë û = - = - và ( ) ( ) 2;2 max 2 2 2 x f x f é ù -Î ë û = = . Thí dụ 2. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 ln x y x = trên đoạn 3 1;e é ù ë û Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 1 2 ln . . ln ln 2 ln x x x x x x y x x - - ¢ = = Từ đó có bảng biến thiên : Giáo viên: Trần Phi Thoàn 5 I.3. Một số thí dụ tìm GTNN, GTLN của hàm số Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức Vậy ( ) 2 3 2 2 4 1; max e e y y e x e é ù ê ú ë û = = =Û và ( ) 3 1; min 1 0 1 e y y x é ù ê ú ë û = = =Û Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 1) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 1f x x x= - + - 2) ( ) 5 cos cos 5f x x x= - với 4 4 x p p - ££ 3) ( ) 4 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 x x x f x x x - + + + - + = + + - + Hướng dẫn. Đặt 2 2 1 1t x x= + + - , với 2 2t£ £ . Giáo viên: Trần Phi Thoàn 6 Bài tập tương tự K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc CHNG II K THUT GIM BIN TRONG BI TON TèM GI TR NH NHT, GI TR LN NHT CA BIU THC T kt qu ca Chng I chỳng ta thy rng vic tỡm GTNN, GTLN ca hm s khỏ n gin. Vic chuyn bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc khụng ớt hn hai bin sang bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca hm s cha mt bin s giỳp chỳng ta gi c bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc. Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca biu thc cha hai bin bng cỏch th mt bin qua bin cũn li. T ú xột hm s v tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s. Thớ d 1. Cho , 0x y > tha món 5 4 x y+ = . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 4 1 4 P x y = + Li gii. T gi thit 5 4 x y+ = ta cú 5 4 y x= - . Khi ú 4 1 5 4 P x x = + - . Xột hm s ( ) 4 1 5 4 f x x x = + - vi 5 0; 4 x ổ ử ữ ỗ ẻ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ . Ta cú ( ) ( ) 2 2 4 4 5 4 f x x x  = - + - . Bng bin thiờn T bng bin thiờn ta cú ( ) ( ) 5 0; 4 min 1 5 x f x f ổ ử ữ ỗ ữ ẻ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ = = . Do ú min 5P = t c khi 1 1, 4 x y= = . Giỏo viờn: Trn Phi Thon 7 II.1. Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc bng phng phỏp th K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc Thớ d 2. Cho ,x y ẻ Ă tha món 2 0, 12y x x y+ = +Ê . Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc 2 17P xy x y= + + + . Li gii. T gi thit 2 0, 12y x x y+ = +Ê ta cú 2 12y x x= + - v 2 12 0x x+ - Ê hay 4 3x- ÊÊ . Khi ú 3 2 3 9 7P x x x= + - - . Xột hm s ( ) 3 2 3 9 7, 4;3f x x x x x ộ ự = + - - -ẻ ở ỷ . Ta cú ( ) ( ) 2 ' 3 2 3f x x x= + - . Ta cú bng bin thiờn T bng bin thiờn ta cú ( ) ( ) 4;3 min 1 12 x f x f ộ ự -ẻ ở ỷ = = - , ( ) ( ) ( ) 4;3 max 3 3 20 x f x f f ộ ự -ẻ ở ỷ = - = = . Do ú min 12P = - t c khi 1, 10x y= = - v max 20P = t c khi 3, 6x y= - = - hoc 3, 0x u= = . Thớ d 3. Cho , 0x y > tha món 1x y+ = . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 1 1 x y P x y = + - - Li gii. T gi thit , 0x y > , 1x y+ = ta cú 1 , 0 1y x x= - < < . Khi ú ta cú 1 1 x x P x x - = + - . Xột hm s ( ) 1 1 x x f x x x - = + - , ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 x x f x x x x x - +  = - - - . Bng bin thiờn T bng bin thiờn suy ra ( ) ( ) 0;1 1 min min 2 2 x P f x f ẻ ổ ử ữ ỗ = = = ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ t c khi 1 2 x y= = . Nhn xột. Qua ba thớ d ny cho ta mt k thut gim bin khi tỡm GTNN, GTLN ca biu thc hai bin bng cỏch th mt bin qua bin cũn li v s dng cỏc gi thit ỏnh giỏ bin cũn li. T ú tỡm GTNN, GTLN ca hm s cha mt bin b chn. Giỏo viờn: Trn Phi Thon 8 Bi tp tng t K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc 1/ Cho , 3;2x y ộ ự -ẻ ở ỷ tha món 3 3 2x y+ = . Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc 2 2 P x y= + . 2/ Cho , 0x y tha món 1x y+ = . Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc 1 1 x y P y x = + + + 3/ Cho , 0x y > tha món 1x y+ = . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2 2 2 2 1 1 P x y x y = + + + 4/ Cho 1x y+ = . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3P x y x y x y= + + - + + 5/ Cho , , ,a b x y ẻ Ă tha món 0 , 4a b< Ê , 7a b+ Ê v 2 3x yÊ Ê Ê . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc ( ) 2 2 2 2 2 2x y x y P xy a b + + + = + Hng dn. Tỡm giỏ tr ln nht ca 2 2 Q a b= + l M , xột hm s ( ) ( ) 2 2 2 2 , . x y x y g y f x y xy M + + + = = vi n y v x l tham s, tỡm giỏ tr nh nht ca ( ) g y l ( ) h x . Sau ú tỡm giỏ tr nh nht ca hm s ( ) h x vi 2; 3x ộ ự ẻ ở ỷ . 6/ Cho ,x y ẻ Ă tha món 3 x yÊ . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2 2 8 16P x y x= + - + . Hng dn. Nu 0x > thỡ 6 2 x yÊ t ú xột hm s ( ) 6 2 8 16f x x x x= + - + . Nu 0x Ê thỡ 2 2 8 16 16x y x+ - + vi mi 3 0,x x yÊ Ê . 7/ Cho ( ) , 0;1x y ẻ tha món 1x y+ = . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x y P x y= + . Hng dn. Xột hm s ( ) ( ) , 0;1 x f x x x= ẻ . Chng minh ( ) ( ) 2 2 f x f y x y f ổ ử + + ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ . Ta cú ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 x x P x x f x f x f - ổ ử ữ ỗ = + - = + - = ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ . 8/ Cho , 0x y > tha món 2x y+ = . Chng minh rng x y xy x yÊ . Giỏo viờn: Trn Phi Thon 9 Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đối xứng. Từ đó bằng phép đặt ẩn phụ ta chuyển về bài toán tìm G của hàm số. Thí dụ 1. Cho 2 2 x y x y+ = + . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 2 2 P x y x y xy= + + + Lời giải. Đặt t x y= + , từ giả thiết 2 2 x y x y+ = + ta có ( ) ( ) 2 2 2xy x y x y t t= + - + = - hay 2 2 t t xy - = . Áp dụng bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2x y x y x y+ + = +£ hay 2 2t t£ suy ra 0 2t£ £ . Khi đó biểu thức ( ) ( ) 3 2 2P x y xy x y t= + - + = . Do đó ta có max 4P = đạt được khi 2t = hay 2x y+ = và 1xy = suy ra 1x = và 1y = , ta có min 0P = đạt được khi 0t = hay 0x y= = . Nhận xét. Bài toán này giả thiết và biểu thức P được cho dưới dạng đối xứng với hai biến. Vì vậy, chúng ta nghĩ đến cách đổi biến t x y= + . Nhưng để giải bài toán trọn vẹn thì phải tìm điều kiện của biến t . Sau đây là một số bài toán với định hướng tương tự. Thí dụ 2. Cho , 0x y > thỏa mãn 2 2 1x xy y+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 xy P x y = + + Lời giải. Đặt t x y= + . Từ giả thiết , 0x y > và 2 2 1x xy y+ + = suy ra 2 1xy t= - . Áp dụng bất đẳng thức ( ) 2 4x y xy+ ³ suy ra 1 0 3 t< £ . Khi đó 3 3 1 3 P t - = - £ . Vì vậy 3 3 max 3 P - = đạt được khi ( ) 2 1 ; ; 3 3 x y æ ö ÷ ç = - ÷ ç ÷ ÷ ç è ø hoặc ( ) 1 2 ; ; 3 3 x y æ ö ÷ ç = - ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Thí dụ 3. Cho ,x y Î ¡ thỏa mãn 1x y+ -¹ và 2 2 1x y xy x y+ + = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 1 xy P x y = + + . Lời giải. Đặt t x y= + . Từ giả thiết 2 2 1x y xy x y+ + = + + ta có ( ) ( ) 2 1x y xy x y+ - = + + hay 2 1xy t t= - - . Giáo viên: Trần Phi Thoàn 10 II.2. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có tính chất đối xứng [...]... Phi Thon 22 K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc ỡx + y =1 ù ù 1 1 t = ù x =y = ớ 1 ù xy = 4 2 ù ù ợ 4 Phn kt lun 1 Kt qu t c Sỏng kin ny ó t c mt s kt qu sau : + Nhc li cỏch tỡm GTNN, GTLN ca hm s thụng qua mt vi vớ d + H thng mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc cha hai bin bng cỏch th mt bin qua bin cũn li + H thng mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc cha hai... 3 3 x y 6/ Cho x , y ẻ Ă tha món x 2 + xy + y 2 Ê 2 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc biu thc P = P = x 2 - xy + y 2 Giỏo viờn: Trn Phi Thon 13 K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc II.3 Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc cú tớnh ng cp Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc cha hai bin m gi thit hoc biu thc ú th hin tớnh ng cp T ú xột hm... GTNN, GTLN ca mt biu thc cha hai bin bng cỏch t n ph theo tớnh ng cp t = x y + H thng mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc cha ba bin bng cỏch t n ph hoc th hai bin qua mt bin cũn li 2 Bi hc kinh nghim Qua thc t ging dy chỳng tụi thy rng vn no dự khú m giỏo viờn quan tõm v truyn th cho hc sinh bng lũng say mờ v nhit tỡnh ca mỡnh thỡ s cun hỳt cỏc em vo con ng nghiờn cu Bi toỏn tỡm GTNN, GTLN. .. ) = f ( 2 ) = 4 + 3 2 t c khi ( 1; ỳ ỷ x =y = 1 2 Nhn xột Qua cỏc thớ d trờn, cho ta mt k thut gim bin ca bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca biu thc hai bin cú tớnh i xng: Do tớnh i xng nờn ta luụn cú th bin i a v mt trong cỏc dng t t = x + y , t = x 2 + y 2 hoc t = xy , t ú a v tỡm GTNN, GTLN ca hm s Bi tp tng t 1/ Cho x , y > 0 tha món x + y + 1 = 3xy Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc 3x 3y 1 1 + - 2- 2 y (... thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc Bi tp tng t 1/ Cho x , y > 0 tha món xy Ê y - 1 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x2 y3 + 9 3 y2 x 2/ Cho x , y 0 Chng minh rng 3x 3 + 7y 3 9xy 2 3/ Cho x , y 0 Chng minh rng x 4 + y 4 x 3y + xy 3 ổ2 x y2 ử ổ x yử ữ ữ ỗ 4/ Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 3 ỗ 2 + 2 ữ 8 ỗ + ữvi x , y ạ 0 ữ ỗy x ứ ữ ỗy ữ ỗ ố x ứ ố II.4 Tỡm GTNN, GTLN ca biu... 1- t ) ( 0;1 ) 3 3 2 3 3 3 3 ( x + y 2 + z 2 ) 2 ( xy + yz + zx ) = 2 2 3 3 Do ú min P = t c khi x = y = z = 13 2 Vỡ vy P Giỏo viờn: Trn Phi Thon 18 K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc Chng III MT S BI TON TRONG CC THI I HC Bi 1 ( thi tuyn sinh i hc A 2011) 1; Cho x , y , z l ba s thc thuc on ộ 4 ự v x y , x z Tỡm giỏ tr nh nht ca ở ỷ biu thc P = x y z + + 2x + 3y y +... hỳt cỏc em vo con ng nghiờn cu Bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc khụng phi l mt vn mi, nhng thc t cho thy cũn nhiu Thy, Cụ cha quan tõm ỳng mc vn ny 3 í ngha ca SKKN Giỏo viờn: Trn Phi Thon 23 K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc Vi sỏng kin kinh nghim ny hy vng gúp thờm mt ti liu cho quý Thy, Cụ v cỏc bn ng nghip ; giỳp cỏc em hc sinh cú thờm nhng kinh nghim cho loi toỏn ny,... + = 2 xz yz xy ( 1 - t ) -t +t Xột hm s f ( t ) = 4 ( 2t - 1 ) 4 1 f Â( t ) = , 2 , f Â( t ) = 0 t = 2 2 -t +t 2 (- t + t) Ta cú bng bin thiờn Giỏo viờn: Trn Phi Thon 16 K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc T bng bin thiờn ta cú tmin ) f ( t ) = f ( ẻ ( 0;1 Vỡ vy 1 2 ) = 16 t c khi x = y = 1 , z = 1 4 2 1 1 + 16 xz yz Thớ d 2 Cho x 2 + y 2 + z 2 = 1 Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ... ) + xyz 4 4 ộ x ự ổ x ử 3 3 15 27 = x 3 + ( y + z ) + yz ờ - 3 ( y + z ) ỳ= x 3 + ( 1 - x ) + yz ỗ - 3ữ ữ ỗ ữ ỗ 4 ờ4 ỳ ố ứ ở ỷ P = x3 + y3 + z3 + Giỏo viờn: Trn Phi Thon 17 K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc 3 x3 + ( 1- x ) + Xột hm s f ( x ) = f Â( x ) = 0 x = (y + z) 4 2 ổ x ử ỗ27 - 3 ữ= 1 ( 27x 3 - 18x 2 + 3x + 4 ) ữ ỗ ữ ỗ 4 ố ứ 16 1 1 ( 27x 3 - 18x 2 + 3x + 4 ) , f Â( x...K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc 2 ÊÊ t 3 t 2 + 2t 2 p dng bt ng thc ( x + y ) 4xy suy ra 3t 2 - 4t - 4 Ê 0 hay ú P = 2 Khi t2 - t - 1 t 2 - t - 1 f Â( t ) =  Xột hm s f ( t ) = , 2 , f (t) = 0 t+1 t+1 . Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) , giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức. Thon 9 Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu. t Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa hai biến
- Xem thêm -

Xem thêm: SKKN Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức, SKKN Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức, SKKN Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức

Từ khóa liên quan