SKKN Phương pháp tìm đạo hàm trong bài toán tìm điều kiện có nghiệm của phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông, bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài toán quan trọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

- -

SÁNG KIẾN KINH NGIỆM

"Phương pháp đạo hàm trong bài toán tìm điều kiện có

nghiệm của phương trình, bất phương trình,

MỤC LỤC

Trang

1 Lý do chọn đề tài 01

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 01

3 Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu 01

4 Giả thuyết khoa học của đề tài 02

5 Phương pháp nghiên cứu 02

6 Dự báo những đóng góp mới của đề tài 02

B Phần giải quyết vấn đề 03 I Kiến thức cơ sở 03

II Các bài tập minh họa 03

1 Phương trình 03 Dạng 1 Các bài toán tìm điều kiện của tham số để PT có nghiệm 03

Dạng 2 Các bài toán tìm điều kiện của tham số để PT có k nghiệm 10

2 Bất phương trình 15

3 Hệ phương trình 20

III Thực nghiệm 26

1 Mục đích thực nghiệm 26

2 Nội dung thực nghiệm 26

3 Kết quả thực nghiệm 26

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông, bài toán tìm điều kiện

của tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài toán

quan trọng và thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi, tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Những bài toán dạng này được đề cập trong các tài liệu tham khảo với nhiều cách giải khác nhau Tuy nhiên ta nhận thấy có một phương pháp rất hiệu quả giải

quyết được phần lớn các bài tập dạng này đó là Phương pháp đạo hàm Với việc sử

dụng phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản

Trong quá trình giảng dạy tác giả nhận thấy tâm lý chung của học sinh là rất

ngại và lúng túng khi gặp các bài toán có chứa tham số vì các bài toán chứa tham số

mà các em đã gặp trong chương trình lớp 9 và lớp 10 thường phải xét nhiều trường hợp Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12 thay đổi tâm lý khi gặp các bài toán tham số và có cách tiếp cận, giải quyết các bài toán này một cách nhẹ nhàng, tôi tập trung khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) đại số có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm (PPĐH)

Từ những lý do trên tôi trình bày sáng kiến kinh nghiệm:

“ Phương pháp đạo hàm trong bài toán tìm điều kiện có nghiệm của Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình đại số”

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Để hoàn thành đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT và HPT đại số trong chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ

thông

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình sẽ hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 về cách tiếp cận bài toán tham số bằng phương pháp đạo hàm

III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp các em học sinh

lớp 12 tiếp cận với bài toán tìm điều kiện của tham số để PT, BPT, HPT có nghiệm bằng một công cụ hữu hiệu đó là đạo hàm Đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ năng

giải và trình bày dạng toán này Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường trung học Phổ thông

- Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu các tài liệu, xây dựng và trình bày một

cách có hệ thống các bài tập điển hình sử dụng phương pháp đạo hàm tìm điều kiện của tham số để PT, BPT, HPT đại số có nghiệm

IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:

Trong quá trình dạy học phần bài tập có chứa tham số nếu người giáo viên chú trọng đúng mực và xây dựng được hợp lý hệ thống các bài tập về sử dụng phương pháp đạo hàm để giải quyết các bài toán tìm điều kiện tham số để PT, BPT, HPT có nghiệm thì sẽ giúp học sinh tiếp cận và giải quyết tốt các bài tập dạng này và từ đó

giúp học sinh chủ động và tự tin khi gặp các bài toán có chứa tham số nói chung

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+) Nghiên cứu luận: Nghiên cứu các tài liệu về PT, BPT và HPT ở chương trình toán Trung học phổ thông

+) Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực học sinh trong vấn đề tiếp cận và giải quyết bài toán có chứa tham số

+) Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở lớp 12 để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài

VI DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

- Trong thực tiễn dạy học của bản thân tôi đã áp dụng đề tài của mình vào giảng

dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đã rất chủ động và hứng thú khi tiếp cận với những bài toán có chứa tham số nói chung Từ đó phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo của mình trong học tập

- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi Đại học, Cao Đẳng

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I KIẾN THỨC CƠ SỞ

- Nếu hàm số y f x  đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên D thì:

+) Phương trình f x k có không quá một nghiệm trên D +) Với x y, D, f x  f y x y.

- Nếu hàm số y f x  đồng biến và hàm số yg x  nghịch biến trên D thì phương

trình f x g x  có không quá một nghiệm trên D

- Nếu hàm số liên tục trên D và max ( )

D f x M, min ( )

D f x m thì phương trình

( )

f x k có nghiệm trên D khi mk M.

- Nếu hàm số y f x  liên tục trên D và max ( )

D f x M thì bất phương trình

( )

f x k có nghiệm trên D khi và chỉ khi kM.

- Nếu hàm số y f x  liên tục trên D và min ( )

D f x m thì bất phương trình f x( )k

có nghiệm trên D khi và chỉ khi km.

- Nếu hàm số y f x  liên tục trên D và max ( )

D f x M thì bất phương trình

( )

f x k thoả mãn với mọi xD khi và chỉ khi kM.

- Nếu hàm số y f x  liên tục trên D và min ( )

D f x m thì bất phương trình f x( ) k

thoả mãn với mọi xD khi và chỉ khi km.

- Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a;b] thì trên đó hàm số luôn đạt giá tri lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất

Trong trường hợp hàm số y f x  không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D

ta phải lập bảng biến thiên của hàm số đó trên D Từ đó đưa ra kết luận cho bài toán

II CÁC BÀI TẬP MINH HỌA

1 PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1 Các bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

Trong dạng này, tác giả sẽ đưa ra một số ví dụ và phân tích các cách tiếp cận

khác nhau để thấy được lợi thế của phương pháp đạo hàm đối với dạng toán này Dấu

hiệu quan trọng nhất để sử dụng được PPĐH đối với dạng toán tìm điều kiện của tham

số để phương trình có nghiệm là PT có thể biến đổi được về dạng: f(x) = g(m)

Trong hệ thống bài tập dưới đây gồm 2 loại như sau:

+) Bài 1, bài 2, bài 3, bài 4, biến đổi được về dạng: f x( )m

+) Bài 5, bài 6, bài 7, biến đổi đưa về dạng f x( )g m( ); trong đó g m là ( )

Phân tích bài toán: Đây là một bài toán có thể sử dụng kiến thức lớp 10 là giải

quyết được Thật vậy, sau khi chuyển vế, bình phương và rút gọn ta có PT:

2m x  4x 5  8xm (*) PT(*) phải xử lý thế nào đây? Đối với nhiều học sinh sẽ

gặp khó khăn! Phải xét các trường hợp của m, đặt điều kiện và bình phương để đưa về

dạng cơ bản Quá trình này rất mất thời gian và cũng đòi hỏi phải có kỹ thuật để xử lý

linh hoạt ở một vài điểm mấu chốt

Liệu có có cách giải nào đơn giản hơn không?

Đạo hàm sẽ là một công cụ giúp ta có cách tiếp cận khác

Lời giải: Điều kiện: x  

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có nghiệm    4 m 4.

Đáp số:   4 m 4.

Nhận xét:

+)Ta thấy cách giải trên rút gọn được quá trình biến đổi phức tạp như ở cách không sử dụng đạo hàm, hơn nữa kết luận của bài toán được nhìn thấy rõ ràng thông qua bảng biến thiên (BBT) Vì vậy ở những bài đã xuất hiện dạng f(x) = g(m) thì

PPĐH nên được ưu tiên sử dụng

+) Ở bài toán trên ta có thể không giải PT y'=0, mà đi chứng minh luôn

Bài toán trên có thể tổng quát thành:

Bài 1’ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 13xm  x 1 0 (1)

Phân tích bài toán: Ở bài toán này chưa có dạng f(x) = g(m), tuy nhiên nếu

quan sát kỹ ta thấy có thể ‘‘cô lập’’ m bằng cách chuyển về, bình phương để chuyển

về PT: f(x)=m với f(x) là một hàm số bậc 3 Từ đó ta chuyển bài toán về việc tìm m để

PT có nghiệm x 1 Rõ ràng đối với dạng toán này thì việc sử dụng các kiến thức không liên quan đến đạo hàm là rất khó thực hiện (vì f(x) là hàm số bậc 3) Thông thường trong trường hợp này chúng ta sẽ sử dụng đồ thị hoặc dùng BBT (cả hai đều sử dụng các kiến thức cơ sở là đạo hàm)

2

2

x   Bảng biến thiên:

Nhận xét: Với PPĐH cho chúng ta cách tiếp cận đơn giản để giải quyết bài toán

trên, trong khi các PP khác rất khó để làm được điều tương tự Qua 2 bài toán trên chúng ta nhận thấy được điểm “mạnh” của PPĐH để giải bài toán chứa tham số so với các PP khác

Bài 3 (ĐH Khối A-2007)

Với mỗi t 0;1 ta luôn có x 1 để 4

4

Phương trình (2) trở thành : 2

3 2

m  t  t (3)

Xét hàm số: 2 ( ) 3 2 f t   t  t với t 0;1 ' 1

'( ) 6 2 ; ( ) 0 3 f t   t f t   t Ta có bảng biến thiên: t 0 1

3 1

f’(t) + 0 

f(t) 1

3

0 -1 Phương trình (1) có nghiệm x 1;   phương trình (3) có nghiệm t 0;1

1 1

3

m

   

Đáp số: 1 1

3

m

  

Nhận xét: Ở bài toán này, sau khi ‘‘cô lập’’ m thì giáo viên cần phân tích để

học sinh thấy được sự cần thiết phải đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình đơn giản

hơn Và điều rất quan trọng là sau khi đặt ẩn phụ học sinh cần phải tìm được đúng

chỉ ra được t < 1

Qua các bài toán trên chúng ta thấy việc sử dụng PPĐH để giải quyết dạng toán

tìm điều kiện của tham số m để PT có nghiệm được thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi đưa phương trình về dạng f x( )g m( ).(Đối với những bài

toán chưa sẵn có dạng f x( )g m( ))

Bước 2: Tìm miền giá trị của f x( )

Bước 3: Kết luận cho bài toán

Chú ý: Trường hợp phương trình chứa các biểu thức phức tạp cần đặt ẩn phụ, ta thực

hiện như sau:

Bước 1: Biến đổi đưa phương trình về dạng f x( )g m( )

Bước 2: Đặt ẩn phụ t ( )x , tìm điều kiện chính xác cho ẩn phụ

Bước 3: Đưa phương trình ẩn x về phương trình ẩn t: h t( )g m( )

Bước 4: Tìm miền giá trị của h t( )

Bước 5: Kết luận cho bài toán

Trong bước hai điều mà học sinh hay thiếu là việc tìm điều kiện chính xác cho

ẩn phụ Tìm điều kiện chính xác có nghĩa là tìm tập giá trị của ẩn phụ, thông thường ta

sử dụng đạo hàm là giải quyết được triệt để vấn đề này

Bài 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4'

x t

+) Điều quan trọng của bài toán này là cần sử dụng đạo hàm để tìm được điều

kiện chính xác của ẩn phụ Đây là điều học sinh dễ gặp sai lầm vì chỉ đánh giá được

lim ( )

Ta có bảng biến thiên:

x 1 2 

f’(x)  +

f(x) -2 

-4

Ta có: (2)  f x( ) f m( ) Qua bảng biến thiên ta thấy: PT (2) có nghiệm x thỏa mãn x 1 f m( ) f(2)  f m( ) f (2)0  (m1)(m2)2 0  m  1 Đáp số: m   1

Nhận xét: Trong bài toán này ta biến đổi được PT đã cho về dạng ( ) ( ) f x  f m Sau đó đưa bài toán về giải BPT: f m( ) f (2) (*), trong đó vế trái 0 của (*) là một hàm bậc 3 của m và dễ nhận thấy ngay nó có 1 nghiệm đặc biệt m=2 Do đó BPT (*) được giải quyết một cách đơn giản Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 5 3 ( 4 9 10) 3 0 x  x m  m  m   (1)

Lời giải: Đặt: x  ; t t  0 Ta có: (1) 5 3 4 ( 4 9 10) 3 t m m m t      

4 5 3 3 4 9 10 t m m m t       (do t 0 không phải là nghiệm của PT)

5 3 3 3 4 9 10 m m m t t       (2)

Xét hàm: f t ( ) t3 3 t  với t (0; )

f t '( ) 4 2 2 2 3 3 3 3t t ; f t'( ) 0 t 1 t t        (loại); t  1

0 lim ( ) ; lim ( ) x f x x  f x       Bảng biến thiên:

t 0 1 

f’(t)  0 +

f(t) + 

4

Ta có, (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t thỏa mãn: t  0 5 3 5 3 4 9 10 4 4 9 6 0 m m m m m m           (3)

Xét hàm: g m( )m 4m 9m trên  có 6

Suy ra hàm g(m) đồng biến trên 

Mà ta lại có: (3) g m( ) g( 1) m  1 Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi m   1 Đáp số: m   1 Nhận xét: Ở bài toán này sau khi đặt ẩn phụ, đưa PT đã cho về dạng h(t)=g(m), trong đó g(m) là hàm bậc 5 của m Ta cần xét sự biến thiên của hàm h(t) và g(m) đồng thời có những phát hiện quan trọng để rút ra kết luận cho bài toán Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 3 2 3 4 2 6 15 12 1 2 0 x x  x  m  m  m m   (1)

Lời giải: Điều kiện:x  Ta có: (1)  x 3x2 4x2  6m315m2 12m m  1 2 Xét hàm: f x( )x 3x24x trên  2 Ta có: 2 2 3 4 2 3 2 '( ) ; '( ) 0 1 3 4 2 x x x f x f x x x x          

2 2 4 2 lim ( ) lim 1 3 ; 4 2 lim ( ) lim 1 3 x x x x f x x x x f x x x x                           Bảng biến thiên: x - 1 

f’(x) + 0 

f(x) 0

- - 

Qua bảng biến thiên ta thấy (1) có nghiệm  3 2 6m 15m 12m m 1 2       0 Xét hàm: g m( ) 6m3 15m2 12m m  , với 1 2 m  1

2 1 1 '( ) 18 30 12 6( 1)(3 2) 0 , 1 2 1 1 g m m m m m m m m                Suy ra g m là hàm nghịch biến trên ( ) 1;  Do đó g m( )g(1)  1 0, m Vây PT có nghiệm với 1 m 1 Đáp số: m 1

Nhận xét: Ở bài toán này để đi đến kết luận chúng ta phải giải BPT g m ( ) 0

Việc giải BPT này tương đối phức tạp vì g(m) không có nghiệm đặc biệt Ở đây chúng

một ưu thế của PPĐH trong việc giải các PT, BPT không có nghiệm đặc biệt

Chú ý: Khi học sinh đã giải thành thạo bài toán "Tìm điều kiện của tham số m để PT có

nghiệm" (1), để tạo sự linh hoạt cho các em ta có thể thay đổi yêu cầu bài toán (1) trở thành bài toán "Tìm điều kiện của tham số m để PT vô nghiệm" (2) Đối với bài toán (2) ta vẫn thực hiện các bước giải như ở bài toán (1), sau đó kết luận tập các giá trị m cần tìm là: S  \S1, trong đó S là kết quả của bài toán (1) 1

Dạng 2 Các bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có k nghiệm

Về mặt phương pháp giải dạng toán này, cơ bản là giống phương pháp giải dạng 1 Tuy nhiên cần phải lập BBT hoặc sử dụng đồ thị để xác định được chính xác số nghiệm của PT

Đặc biệt với những bài toán dạng này là nếu trong bài cần đặt ẩn phụ t thì điều

quan trọng sau khi đặt ẩn phụ, học sinh cần phải biết được sự tương ứng giữa số

Phân tích bài toán: Ở đây vế trái của PT là một hàm số rất phức tạp do đó

PPĐH có lẽ là phương án tối ưu nhất để giải quyết bài toán, nhưng trước hết gặp một khó khăn là tìm điều kiện có nghĩa cho PT, việc tìm điều kiện dẫn tới việc giải bất phương trình x3 2x2  1 0 (2) trên đoạn 1;1

2



  Vì đa thức ở vế trái của (2) không

có nghiệm đặc biệt nên thông thường BPT (2) sẽ vô nghiệm hoặc luôn đúng trên đoạn đang xét Để kiểm tra điều này ta thường sử dụng đạo hàm

Ta có bảng biến thiên:

x 1

2  0 1

f’(x) + 0 

f(x) 1

3 3 22 2  -4

Qua bảng biến thiên ta thấy: (1) có nghiệm duy nhất trên 1;1 2         4 3 3 22 2 m     hoặc m 1 Đáp số: 4 3 3 22 2 m     hoặc m 1 Bài 2: Cho phương trình: 2 2 2 1     x mx x (1)

Tìm m để: a) Phương trình có nghiệm duy nhất; b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Lời giải: Ta có:    2 2 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 2 1 x x mx x x x mx x                      2 1 2 3 4 1            x x x m x (vì x 0không phải là nghiệm của PT) Xét hàm số f x  3x 4 1 x    trên tập 1; 0 0;  2 D     có: f ' x 3 12 0, x D x     

0 0 lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) x f x x  f x x  f x          Ta có bảng biến thiên: x 1

2  0 +∞

f’(x) + +

f(x) +∞ +∞

9

2

-∞

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a) (1) có nghiệm duy nhất 9

2

m

b) (1) có 2 nghiệm thực phân biệt 9

2

m

 

Nhận xét:

+) Đối với bài toán này có thể sử dụng kiến thức lớp 10 để giải quyết, tuy nhiên

sẽ phức tạp vì nếu theo hướng đó sẽ dẫn đến việc giải một số bất phương trình vô tỷ

thay đổi yêu cầu bài toán thành "Chứng minh phương trình có nghiệm  m R "

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

2 1 xmm x  (1) Lời giải: Điều kiện:x  Ta có:    2 

1  xm x  1 1 (2) Dễ thấy, (1) luôn có nghiệm x = 0 Với   2 2 1 1 0, 2 1 1 x x x m m x x          (3)

Xét hàm số   2 1 x x f x x    trên  ; 0  0;  có:  

2 2 (1 1) ' x 0 , 0 f x x x       

0 0 lim ( ) 1; lim ( ) 1 lim ( ) ; lim ( ) x f x x f x x  f x x  f x           

Ta có bảng biến thiên: x -∞ 0 +∞

f’(x)  

f(x) -1 +∞

-∞ 1

(1) có 2 nghiệm phân biệt  (3) có đúng 1 nghiệm x 0

Dựa vào bảng biến thiên, (3) có đúng 1 nghiệm x 0 1

1 m m        Đáp số: 1 1 m m       Nhận xét: Trong bài này, điều quan trọng là phải nhận xét được x 0 là một nghiệm của PT Bài 4: Cho phương trình:  4 2  4 2 5 2 4 4 5 2 4 4 m x  x   x  x  (1)

Tìm m để phương trình: a) Có nghiệm duy nhất;

b) Có 2 nghiệm phân biệt

Phân tích bài toán:Ta nhận thấy rằng nếu “cô lập” m bằng cách chia hai vế

5 x  2 4 x  4 thì sẽ được một PT tương đối phức tạp và chưa thấy xuất hiện

ẩn phụ Ở đây giáo viên cần phân tích để học sinh tìm mối liên hệ giữa các căn thức

xuất hiện trong bài toán Nếu xem 4 x 2 là a; 4 x 2 là b thì ta có x 2 là a2;

2

x  là b2 Lúc đó (1) trở thành 1 PT đẳng cấp bậc hai đối với 2 ẩn a, b Đối với

dạng PT này ta thường chia cho a2 hoặc b2 để đưa về ẩn phụ thích hợp Ở đây chúng ta

lựa chọn chia cho b2 vì với điều kiện của PT thì a  0, còn b > 0

Lời giải:Điều kiện: x 2

Chia 2 vế của (1) cho x 2 ta có:

m

(2)

§Æt 4 2 2 x t x    Do 2 1 4 2 2 x x x      suy ra 0  t 1 với  x 2; . Với mỗi t 0;1 ta luôn có duy nhất một giá trị x 2 để:

4 4 4 2 2 ( 2) 2 1 x t t x x t        Ta có, (2) trở thành:  2  2 4 5 5 4 5 4 5 4 t m t t t m t t        (3)

(do 0; 4 5 t t không phải là nghiệm của PT)

Xét hàm số ( ) 42 5 5 4 t f t t t    trên 4 4 0; ;1 5 5              có: + )     2 2 2 20 50 20 ' ; '( ) 0 2 5 4 t t f t f t t t t         (loại); 1 2 t  + ) 0 1 lim ( ) ; lim ( ) 1 t  f t t  f t       ; 4 4 5 5 lim ( ) ; lim ( ) t t f t f t         Bảng biến thiên t 0 1

2 4

5 1

f’(t)  0 + +

f(t)  

-1

4 

Ta có:

a) (1) có nghiệm duy nhất  (3) có đúng một nghiệm 0;4 4;1

t  

   