SKKN tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức

Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI a) Lý khách quan Như biết, môn Toán học môn khoa học tự nhiên thiếu đời sống mặt người Với xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày phát triển môn toán lại đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu khoa học nói riêng Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung môn Toán lớp nói riêng, thấy môn Toán - phân môn Số học tạo những điều thú vị đầy bí ẩn riêng biệt kiến thức số học có tảng từ lớp tiểu học, mở rộng, nâng cao kiến thức với dạng toán kiến thức phép chia hết, đặc biệt phần kiến thức lũy thừa Đây phần kiến thức lạ từ cách viết lũy thữa đến tư kiến thức, kĩ làm Toán Để đam hiểu cặn kẽ điều này, đòi hỏi người học phải có đam mê khám phá, tìm hiểu ghi nhớ công thức xác Những kiến thức mức độ môn thường yêu cầu tất người học phải nắm Những kiến thức mở rộng, nâng cao, tạo nhiều hội cho tất có lòng say mê môn, có tính kiên trì, nghị lực, có lĩnh vượt khó tìm hiểu chinh phục Môn Toán trường THCS gồm ba phân môn Số học, Đại số, Hình học Số học ngành học lâu đời đầy hấp dẫn toán học, nhà toán học tiếng gọi phân môn Số học “Bà chúa toán học” Các toán số học làm say mê nhiều người, giới số, quen thuộc với sống hàng ngày, giới kỳ lạ, đầy bí ẩn Loài người phát tính chất hay, nhiều quy luật đẹp có bất ngờ Điều lý thú mệnh đề khó số học phát biểu đơn giản, hiểu được, nhiều toán khó giải sáng tạo với kiến thức số học phổ thông Phân môn Số học giúp có nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lôgíc hơn, đặc biệt vai trò Số học thật mạnh mẽ sợi vô hình xuyên suốt trình học toán cấp học cho dù nghiên cứu thức đầu lớp Điều khẳng định ly kì môn Toán với giới số thật gần gũi vô bí ẩn Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” b) Lý chủ quan Trong trình giảng dạy Toán ôn thi Học sinh giỏi môn Giải toán may tính cầm tay Casio lớp 9, môn giải toán mạng Internet Violympic khối lớp THCS ôn Học sinh giỏi tạo nguồn khối 6, 7, 8; thấy mảng kiến thức tìm chữ số tận biểu thức (biểu thức dãy phép tính, biểu thức lũy thừa tổng hiệu lũy thừa …) không giới thiệu cụ thể mà đưa vào yêu cầu tập số tập Từ mở rộng, nâng cao yêu cầu đề thi Toán Violympic khối lớp đề thi Học sinh giỏi Phần lớn kiến thức để giải tập tích hợp, tích lũy Giáo viên học sinh để vận dụng giải toán cho phù hợp sở dấu hiệu chia hết, nhận xét tổng - tích đặc biệt, kiến thức mở rộng lũy thừa Chẳng hạn như, với yêu cầu là: “Tìm chữ số tận biểu thức 2.3.4.5.6.7 + 9100 ” nhiều học sinh thấy khó, cảm thấy “sợ” suy nghĩ để làm bài…Hơn nữa, học sinh THCS, phân môn Số học nói chung mảng khó chương trình toán Phần lớn học sinh chưa nắm phương pháp giải trình bày toán tìm chữ số tận cùng, tìm số dư phép chia số lớn, hay chứng minh toán chia hết lũy thừa Nguyên nhân khó khăn mà học sinh gặp phải giải tập số học lập luận (suy luận) từ kiến thức lí thuyết trừu tượng đến điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải toán Trong điều việc dạy cách giải tập toán dạy cho học sinh tự giải tập quen thuộc, để từ học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào tập liên quan dạng Chính điều này, viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Tìm chữ số tận biểu thức” chương trình Toán lớp nói riêng vận dụng Toán học THCS nói chung với mong muốn tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm cho thân trình giảng dạy, đồng thời nhận thật nhiều ý kiến góp ý thầy cô đồng nghiệp nhà trường để SKKN trọn vẹn Có lẽ nhiều ý kiến nêu chưa thật trọn vẹn, song hy vọng tích lũy góp điều nhỏ bé cho trình giảng dạy mảng Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” kiến thức khó Đây mong muốn lí giúp chọn nghiên cứu SKKN I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Yêu cầu với giáo viên: - Xây dựng sở lý thuyết để giải tìm chữ số tận cho số dạng toán điển hình - Phân loại tập hệ thống từ dễ đến khó - Rèn luyện khả tư sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức nghiên cứu - Hướng mở rộng SKKN điều kiện thực thi nội dung mở rộng Yêu cầu với học sinh: - Củng cố kiến thức tảng liên quan phục vụ cho SKKN nhận dạng loại tập, vận dụmg phương pháp hợp lý dạng vào giải toán Từ hiểu chất dạng tập - Phát huy khả tư sáng tạo giải, biết suy luận từ dễ đến khó với cách giải hay Với sáng kiến kinh nghiệm muốn đưa số toán điển hình cách tìm chữ số tận biểu thức chứa dãy phép tính biểu thức lũy thừa chương trình Toán số vấn đề mở rộng liên quan Cụ thể: - Hệ thống hoá số toán điển hình cách tìm chữ số tận biểu thức chứa dãy phép tính biểu thức lũy thừa chương trình toán 6, từ dó mở rộng với số toán - Tìm hiểu kết mức độ đạt triển khai sáng kiến Từ phân tích rút học kinh nghiệm - Một điều thân dần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học giáo dục, ngày nâng cao nhận thức, lí luận cần thiết chuyên môn phục vụ cho công việc giảng dạy thân I.3 Đối tượng nghiên cứu - Kiến thức cách tìm chữ số tận tổng – hiệu – tích, lũy thừa, tổng – hiệu lũy thừa, lũy thừa lũy thừa chương trình toán số tài liệu liên quan Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” - Học sinh lớp bậc trung học sở Trường THCS Lương Thế Vinh Huyện Krông Ana năm học 2007 – 2008; 2009 – 2010; 2010 – 2011 I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Do tuổi đời tuổi nghề chưa nhiều, với tích lũy có hạn thân, mạn phép nghiên cứu cách tìm chữ số tận biểu thức chứa dãy phép tính biểu thức lũy thừa chương trình toán 6, từ mở rộng với số toán phân môn Số học mở rộng mức độ chương trình toán số học THCS nói chung I.5 Phương pháp nghiên cứu 1/ Phương pháp thu thập xử lý số liệu 2/ Phương pháp thực nghiệm 3/ Phương pháp nghiên cứu tài liệu 4/ Phương pháp tác động giáo dục 5/ Phương pháp đàm thoại II PHẦN NỘI DUNG II.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ II.1.1 Cơ sở lý luận thực tiễn Toán học có vai trò quan trọng đời sống ngành khoa học Ngay từ kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn nói rằng: “Ai không hiểu biết toán học hiểu biết khoa học khác phát dốt nát thân mình” Đến kỉ XX nhà vật lí học tiếng (P.Dirac) khẳng định xây dựng lí thuyết vật lí “không tin vào quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, sơ đồ đầu không liên hệ với vật lí cả” Sự phát triển nhà khoa học chứng minh lời tiên đoán Các Mác: “Một khoa học thực phát triển sử dụng phương pháp toán học” Môn số học học năm đầu trường phổ thông, toán số học có mặt đề thi học sinh giỏi toán hầu giới Trong thực tế, nhiều ta không cần biết giá trị số hay biểu thức mà cần biết hay nhiều chữ số tận chúng Trong toán học, xét số có chia hết cho 2; 4; chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta cần xét một, hai, ba chữ số tận số Vấn đề tìm chữ số tận biểu thức đơn giản hay luỹ thừa bậc thấp học sinh dễ dàng biết Vấn đề đặt đứng trước biểu Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” thức phức tạp hay luỹ thừa bậc cao làm học sinh định hướng cách giải ? Qua tham khảo số tài liệu cố gắng hệ thống lại số dạng tập liên quan đến cách tìm chữ số tận biểu thức Ngoài ra, mở rộng số toán tìm hai, ba chữ số tận biểu thức lũy thừa phần tập tự luyện Mỗi dạng tập có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức áp dụng Mặc dù cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải sai sót trình bày, diễn đạt … điều tránh khỏi Tôi mong nhận góp ý, bổ sung quý thầy cô giáo, đồng nghiệp bạn đọc để SKKN hoàn thiện Một điều tập tìm chữ số tận biểu thức tập vận dụng dạng toán đa dạng phong phú, nhiều mức độ, có hay, khó Trong phạm vi nghiên cứu SKKN này, xin phép giới thiệu số tính chất, nhận xét phương pháp giải toán “tìm chữ số tận cùng” qua việc vận dụng kiến thức THCS làm sở khoa học giải vấn đề SKKN liên hệ mở rộng số lớp sau II.1.2 Cơ sở khoa học Kiến thức Lí thuyết 1/ Chữ số tận biểu thức dạng tổng, tích - Chữ số tận tổng chữ số tận tổng chữ số hàng đơn vị số hạng tổng - Chữ số tận tích chữ số tận tích chữ số hàng đơn vị thừa số tích - Tích số tự nhiên liên tiếp có tận 0, 2, - Một số phương có tận 0,1,4,5,6,9 2/ Chữ số tận lũy thừa 2.1) Định nghĩa: a n = a a .a ; (n thừa số a); (với a,n ∈ N; n ≥ ) 2.2) Nhân (chia) hai luỹ thừa số a) a m a n = a m+n b) a m : a n = a m-n (a ≠ ; m ≥ n ) Quy ước: a = (a ≠ 0) ; Người viết: Đoàn Công Nam a1 = a Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” 2.3) Lũy thừa tích: ( a b) n = a n bn n an a Lũy thừa thương:  ÷ = n ;b ≠ b b 2.4) Luỹ thừa luỹ thừa: (a m ) n = a m.n 2.5) Một số tính chất nhận xét chữ số tận lũy thừa * Tính chất : a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận không thay đổi b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận * Tính chất : Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận không thay đổi * Tính chất : a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận 7; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận 8; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận 3/ Một số dạng tổng quát cần nhớ chữ số tận lũy thừa: Với n số tự nhiên, ta có: ( ) n ( 1) n ( ) n .0 = , với số tự nhiên n = , với số tự nhiên n .5 = , với số tự nhiên n Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” ( 6) ( 4) n ( 9) n ( 2) 4n ( 3) 4n ( ) 4n ( 8) 4n = 6; n = , với số tự nhiên n ( ) n ( ) n = , n lẻ; = , n lẻ; = 6; ( ) n +1 = 1; ( 3) n +1 = 1; ( ) ( 8) n +1 n +1 = 8; = , n chẵn = , n chẵn = 2; ( ) n+2 = 3; ( 3) n+2 = 7; ( ) n+ ( 8) n+ = 4; = 4; ( ) n +3 = 9; ( 3) n +3 = 9; ( ) n +3 ( ) n +3 = = = = II.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ a Thuận lợi – khó khăn Thuận lợi: SKKN chuẩn bị, thử nghiệm hoàn thành khoảng thời gian tương đối dài, trao đổi kiến thức kinh nghiệm với đồng nghiệp, nên thân phần tự tích lũy cho vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN hoàn thành Với lượng kiến thức nêu SKKN, chưa đầy đủ song đáp ứng mục tiêu SKKN đề Đồng thời thu hút thêm đóng góp ý kiến, nhận xét người để SKKN hoàn thiện Khó khăn: Trong trình nghiên cứu hoàn thành SKKN, bên cạnh mặt thuận lợi có nhiều khó khăn phải kể đến Trước hết, năm đầu dạy, tuổi đời tuổi nghề thân non trẻ, kinh nghiệm giảng dạy, chủ yếu trọng rèn luyện nhiều phương pháp dạy học, lại năm đầu bước vào nghề nên thân nhiều lúng túng Do việc thử nghiệm, so sánh kết SKKN có phần không thuận lợi mong muốn Mặt khác, em học sinh khối nhỏ, tính tự giác học tập học sinh lớp chưa cao, muốn em áp dụng kiến thức học vào tập cụ thể GV phải trình bày tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có em hiểu nắm kiến thức học cách có hệ thống, giúp em tự làm tập tương tự tốt b Thành công – hạn chế Thành công: SKKN áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh nhiều tiết luyện tập tập mảng kiến thức (những dạng tập bản) việc dạy học hai buổi trường đạt kết tốt Đồng thời áp Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” dụng ôn thi học sinh giỏi giải toán máy tính cầm tay Casio (năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014), ôn thi học sinh giỏi môn Toán (năm học 2013 – 2014), ôn thi Violympic khối (năm học 2011 – 2012; 2012 – 2013), thi Violympic khối (2013 – 2014) Học sinh nắm kiến thức chắn hơn, xác kĩ trình bày làm cải thiện rõ rệt, kết học sinh giỏi cấp đáng ghi nhận Đây tiền đề vững chắc, thuận lợi đáng kể góp phần thúc đẩy kết đại trà công tác bồi dưỡng HSG nội dung kiến thức thân thời gian vừa qua Hạn chế: Học sinh khối bắt đầu làm quen cách học cấp THCS Các em quen với tính toán số tự nhiên dấu phép toán cụ thể, trực quan, tốc độ nghe – ghi – nghĩ – nói chậm Vì thế, lực tư logic em chưa phát triển cao, em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán học thuật ngữ lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều Do vậy, việc áp lý thuyết để làm tập toán phép chia hết nói riêng em điều khó Hầu hết có học sinh khá, giỏi tự làm hướng trọn vẹn yêu cầu toán Còn hầu hết học sinh khác lúng túng cách làm, cách thức thực trình bày lời giải giáo viên hướng dẫn trình bày tập mẫu c Mặt mạnh – Mặt yếu Mặt mạnh Đây vấn đề hay toán học, vận dụng rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu Nội dung phần kiến thức ngắn gọn song bao hàm áp dụng trực tiếp vào giảng dạy lớp dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG nhiều khối lớp cấp THCS Mặt yếu: Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ kiến thức logic, đề “cồng kềnh” “đơn giản”, dẫn đến học sinh dễ mắc sai lầm suy nghĩ, lời giải, trình bày, …Vì vậy, vấn đề để trăn trở, suy nghĩ chuẩn bị kiến thức thật cẩn thận giảng dạy Từ đó, tự rút kinh nghiệm cho thân với mục đích cuối đạt kết cao nội dung SKKN đề d Các nguyên nhân, yếu tố tác động Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên khó khăn, hạn chế nêu Trước hết phải kể đến ý thức tự giác học tập người học chưa cao, khả tự học, tự rèn học sinh giảm sút nhiều, học sinh có xu hướng thụ động “bão hòa” kiến thức học thêm, học ôn nhiều môn học Nhiều học sinh chăm ngoan, học giỏi, có ý Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” thức rèn luyện tự học cao Các em có suy nghĩ sáng tạo làm tập khó làm tập sai động lực để em tâm tự làm lại cho chưa nhiều, chờ đợi giáo viên sửa Một điều việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái (trình bày lời viết) học sinh chưa tốt, em lười học làm tập nhà, chí nhiều em làm tập đối phó, chiếu lệ cho xong Trong mảng kiến thức lũy thừa, tìm chữ số tận lũy thừa, em tỏ lúng túng lập luận, trình bày Vì mà em nhanh quên kiến thức áp dụng để giải tập dẫn đến ngại làm tập tương tự Trong đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức đường vô hiệu luyện giải tập e Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng Từ thực trạng nguyên nhân trên, để giúp em có vốn kiến thức, lấy lại tự tin học tập, thầy cô cần giúp em ôn tập, cách hệ thống lại kiến thức học, hướng dẫn em cách trình bày lời giải tập, sau yêu cầu em vận dụng làm tập từ dễ đến khó Giáo viên cần kiểm tra thường xuyên việc học làm tập học sinh II.3 GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP II.3.1 MỤC TIÊU CỦA GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP Do yêu cầu phương pháp dạy học có thay đổi so với phương pháp dạy học truyền thống, phải đảm bảo tính chủ đạo thầy chủ động trò; thầy hướng dẫn, điều khiển, đồng thời kích thích hứng thú học tập em để em tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức cho thân Để áp dụng tốt số kiến thức phép chia hết vào làm tập cần sử dụng hợp lý tất phương pháp dạy học: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích em … để em tiếp thu kiến thức cách tốt II.3.2 NỘI DUNG VÀ CÁCH THỨC THỰC HIỆN GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP NỘI DUNG Một số dạng tập điển hình Dạng 1: Tìm chữ số tận biểu thức dạng tổng, tích Ví dụ 1: a) Nếu tổng hai số tự nhiên số lẻ, tích chúng số lẻ không? b) Nếu tích hai số tự nhiên số lẻ, tổng chúng số lẻ không? Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” c) “Tổng” “hiệu” hai số tự nhiên số chẵn, số lẻ không? Gợi ý: a) Tổng hai số tự nhiên số lẻ, tổng gồm số chẵn số lẻ, tích chúng phải số chẵn (không thể số lẻ được) b) Tích hai số tự nhiên số lẻ, tích gồm hai thừa số số lẻ, tổng chúng phải số chẵn (không thể số lẻ được) c) Lấy “tổng” cộng với “hiệu” ta hai lần số lớn, tức số chẵn Vậy “tổng” “hiệu” phải hai số chẵn lẻ (không thể số chẵn, số lẻ được) Ví dụ : Không cần làm tính, kiểm tra kết phép tính sau hay sai? a) 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744 b) 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115 c) 5674 163 = 610783 Gợi ý: a) Sai Vì tổng số lẻ nên kết số lẻ b) Sai Vì tổng số chẵn nên kết số chẵn c) Sai Vì tích số chẵn với số số chẵn Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên liên tiếp có tích 24 024 Gợi ý: Ta thấy số tự nhiên liên tiếp thừa số có chữ số tận 0; tích tận chữ số (trái với toán) Do số phải tìm có chữ số tận liên tiếp 1, 2, 3, 6, 7, 8, Ta có: 24 024 > 10 000 = 10 10 10 10 24 024 < 160 000 = 20 20 20 20 Nên tích số : 11 12 13 14 16 17 18 19 Vì : 11 12 13 14 = 24 024 16 17 18 19 = 93 024 Vậy số phải tìm : 11, 12, 13, 14 Ví dụ 4: Tính 48 49 tận chữ số 0? Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 10 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” + Tìm chữ số tận 77 2001 212001 + Tính hiệu hai chữ số tận vừa tìm 77 2001 − 212001 = = − = Vậy chữ số tận hiệu 772001 – 212001 b) Nhận xét cách làm: + Tìm chữ số tận 12591 12692 + Tính hiệu hai chữ số tận vừa tìm uur 12591 + 12692 = = + = Vậy chữ số tận tổng 12591 + 12692 Ví dụ 7: Tìm chữ số tận tổng: S = 21 + 35 +49 + +20048009 Nhận xét: Theo tính chất ta có: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận không thay đổi - Chữ số tận tổng lũy thừa tổng chữ số tận lũy thừa tổng Ta thấy luỹ thừa tổng S có số mũ chia cho dư (các luỹ thừa có dạng n 4(n - 2) + , với n ∈ { 2;3; 2004} ) Do đó, luỹ thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận lũy thừa Nên: S = 21 + 35 + 49 + + 20048009 = = ( 21 + 35 + 49 + 929 ) + 200 ( 1033 + 2073 + + 20007993 ) + ( 1137 + + 19997989 ) + ( 20017997 + + 20048009 ) = ( + + + ) + 221( + + + ) + + + + = 222 ( + + + ) + = 9999 Vậy tổng: S = 21 + 35 +49 + +20048009 có chữ số tận Ví dụ 8: Tìm chữ số tận tổng: A = 23 +37 +411 + + 20048011 Nhận xét: Mọi luỹ thừa A có số mũ số chia cho dư (các luỹ thừa có dạng n 4(n-2)+3 ; n ∈ {2;3; ;2004} Theo tính chất 23 có chữ số tận 37 có chữ số tận 411 có chữ số tận 4… Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 13 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” Như vậy, tổng A có chữ số tận chữ số tận tổng sau: S = 23 + 37 + 411 + + 20048009 = = ( 23 + 37 + 411 + 93 ) + 200 ( 1035 + 2075 + 30115 + 20007995 ) + ( 1139 + 12 43 + 1999 7989 ) + ( 20017997 + + 20048011 = ( + + + + + + + ) + 221( + + + + ) + + + + = 222 ( + + + + ) + 19 = 10009 Vậy chữ số tận A Sau học sinh thành thạo cách tìm chữ số tận biểu thức, ta nâng cao khả tư học sinh dạng tập chứng minh tìm số dư phép chia thông qua số tập sau: Dạng 4: Vận dụng tìm chữ số tận để chứng minh toán phép chia hết Ví dụ 9: Chứng tỏ biểu thức sau chia hết cho 10 a)175 + 24 − 1321 b)8102 − 2102 Nhận xét: - Một số chia hết cho 10 chữ số tận ( ) - Ta biết: ( ) 4n ( 3) 4n n ( ) = , n lẻ; = 1; ( ) = 1; ( 3) n +1 n +1 n = , n chẵn = 7; ( ) n+2 = 3; ( 3) n+2 = 9; ( ) n +3 = 9; ( 3) n +3 = = a) Ta thấy: 175 = 17 17 = 17 = => chữ số tận 175 244 = => chữ số tận 244 1321 = ( 1320 ) 13 = ( 134 ) 13 = 1.13 = => chữ số tận 13 21 Vậy chữ số tận 175 + 244 − 1321 = + − = Mà số có chữ số tận chia hết cho 10 175 + 244 − 1321 chia hết cho 10 b) Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có chữ số tận Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận Do ta có: ( ) 8102 = ( 84 ) 82 = 25 Người viết: Đoàn Công Nam 25 64 = 64 = => Chữ số tận 8102 Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 14 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” 2102 = ( 24 ) 22 =1625 = 6.4 = => Chữ số tận 2102 25 Vậy 8102 − 2102 tận nên 8102 − 2102 chia hết cho 10 Ví dụ 10: Chứng minh với n ∈ N* ; n >1 22 +1 có chữ số tận n n −2 n Ta xét số mũ 2n , ta có: 2n = 22 2n-2 =4 2n-2 , 22 = 24.2 (24 ) n−2 = ( 16 ) 2n − có chữ số tận n Vậy 22 +1 có chữ số tận Dạng 5: Vận dụng tìm chữ số tận để tìm số dư phép chia Ví dụ 11: Tìm số dư phép chia 7129 cho ( ) Vì 7129 = 4.32+1 = ( ) = 32 32 = ⇒ 7129 có chữ số tận nên chia 7129 cho dư Vậy số dư phép chia 7129 cho C BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ MỞ RỘNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Không làm phép tính, cho biết kết phép tính sau có tận chữ số nào? a) (1999 + 2378 + 4545 + 7956) - (315 + 598 + 736 + 89) b) 99 c) 16 116 1216 11996 d) 31 41 51 61 71 81 91 e) 56 66 76 86 - 51 61 71 81 Bài 2: Tích sau tận chữ số a) 99 100; b) 85 86 87 94; c) 11 12 13 62 Bài 3: Không làm tính, xét xem kết sau hay sai? Giải thích sao? 136 136 − 41 = 1960 Bài 4: Cho số a = 1234567891011121314 viết số tự nhiên liên tiếp Số a có tận chữ số nào? biết số a có 100 chữ số Bài 5: Tìm chữ số tận số sau: 7430 ; 4931; 8732 ; 58337 ; 2335 Bài 6: Tìm chữ số tận số sau: (2345) 42 ; (5796)35 Bài 7: Cho A =51n + 47102 (n ∈ N) Chứng tỏ A chia hết cho 10 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 15 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” Bài 8: Tìm chữ số tận tổng, hiệu sau Từ tìm số dư chia tổng, hiệu cho 2, cho 5? a) 132001 − 82001 b) 7552 − 218 c) 12591 +12692 d) 116 +126 +136+146 +156 +166 e) 2008 +7 2009 +7 2010 f) 22004 + 22005 + 2006 g) 22007 + 22008 + 22009 Bài 9: Chứng tỏ với n ∈ N * (n > 1) (22 ) 2n +1 + có chữ số tận Bài 10: Chứng tỏ với số tự nhiên n: a) ( 4n − 1) M5 c) ( 24n+1 +3) M b) ( 34n+1 +2 ) M5 d) ( 92n+1 +1) M10 BÀI TẬP MỞ RỘNG * Dạng toán: Tìm hai chữ số tận Để tìm hai chữ số tận luỹ thừa, ta cần ý đến số đặc biệt sau: - Các số có tận 01 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 01 - Các số có tận 25 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 25 - Các số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 76 - Các số 320 , 815 , , 512 , 992 có chữ số tận 01 - Các số 220 , 65 , 184 , 242 , 684 , 742 có số chữ tận 76 - Số 26n (n > 1) có chữ số tận 76 Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận 2100 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 16 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” Hướng dẫn: Chú ý rằng: 210 =1024 , bình phương số có tận 24 số có chữ số tận 76, số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 76 Do đó: ( 2100 =(210 )10 =102410 = ( 10242 ) = 76 ) = 76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận 62011 Hướng dẫn: Ta thấy: 65 = 7776 , số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 76 Do ta có: ( 62011 = 62010 = (65 ) 402 = 76 ) 402 = 76 = 56 Vậy hai chữ số tận 62011 56 * Dạng toán tìm ba chữ số tận trở lên Để tìm ba chữ số tận trở lên luỹ thừa, ta cần ý đến số đặc biệt sau: - Các số có ba chữ số tận 001 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 001 - Các số có ba chữ số tận 376 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 376 - Các số có ba chữ số tận 625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 625 - Các số có bốn chữ số tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có bốn chữ số tận 0625 Ví dụ 3: Tìm ba chữ số tận 10012230 5016780 Hướng dẫn: +) Ta thấy số có tận 001 nâng lên lũy thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 001 Ta có 10012230 = 001 Vậy ba chữ số tận 10012230 001 +) Ta thấy số có tận 001 nâng lên lũy thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 001 Do ta có: Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 17 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” 5016780 = (5012 )3390 = 2510013390 = 001 Vậy ba chữ số tận 5016780 001 Ví dụ 4: Tìm bốn chữ số tận 53404 ; 53405 Hướng dẫn: Ta có: 53404 =(54 )851 =625851 =0625851 = 0625 Vậy bốn chữ số tận 53404 0625 Suy 53405 = 53404 = 0625.5 = 3125 Vậy bốn chữ số tận 53405 3125 Ví dụ 5: Chứng minh 262375 chia hết cho Hướng dẫn: Ta thấy: 265 = 11881376 , số có tận 376 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 376 Do ta có: ( 262375 =(265 )475 = 376 ) 475 = 376 Mà 376 chia hết 376M8 (vì số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho 8) Vậy 262375 chia hết cho Bài tập tương tự: Tìm hai chữ số tận 511999 (Đáp án: hai chữ số tận 511999 51) Tìm chữ số hàng chục tổng S = 2008 + 2009 + 2010 (Đáp án: chữ số hàng chục S = 2008 + 2009 + 2010 5) Trên số tập điển hình lựa chọn phân dạng cụ thể Qua việc áp dụng kiến thức lũy thừa nhận xét chữ số tận tích, tổng, để giải tập, học sinh nắm kiến thức cách chắn, rèn luyện cho học sinh khả tư toán học cách logic, có cứ, đồng thời gây hứng thú học tập, thúc đẩy khả tìm tòi sáng tạo học sinh môn toán nói riêng môn học khác nói chung Đồng thời giúp em biết cách xử lý cách linh hoạt, nhanh nhạy, tối ưu tình đời sống hàng ngày vận dụng kiến thức học vào thực tế CÁCH THỨC THỰC HIỆN: Để đạt kết mong muốn dạy kiến thức phép chia hết, theo ý kiến chủ quan thân, suy nghĩ thực sau: Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 18 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” Thứ nhất, truyền đạt xác, đầy đủ kiến thức cách tìm chữ số tận biểu thức số dạng nêu Sau đó, cho học sinh so sánh với kiến thức liên quan học bậc tiểu học để em thấy kiến thức thật quen thuộc, lớp có mở rộng cao Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho em làm tập áp dụng tiết dạy lý thuyết tập dạng tập cụ thể, đa dạng từ dễ đến khó Cần rèn luyện thêm cách lập luận trình bày làm cho học sinh học sinh đầu cấp, bỡ ngỡ nhiều với phương pháp học tập cấp THCS Đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học làm nhà học sinh để đảm bảo chất lượng dạy Thứ ba, tập chữ số tận biểu thức nhiều, muôn hình, muôn vẻ nên với dạng giáo viên nên chốt lại phương pháp làm kiến thức áp dụng quy tắc, nhận xét, song sau giải hướng dẫn giáo viên nên đặc điểm mấu chốt toán để gặp tương tự, học sinh tự liên hệ áp dụng với kiến thức cũ Thứ tư, giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ em, tạo tâm yên tâm, tin tưởng cho em phấn đấu thực tế chắn có nhiều em học tốt, có nhiều em học yếu, đôi lúc làm buồn bực, thất vọng Đây yếu tố tác động tích cực nhằm đem lại kết khả quan trình dạy học giáo viên học sinh Cuối cùng, tăng cường phối hợp phương pháp, kết hợp dạy kiến thức mới, củng cố kiến thức cũ đan xen kiểm tra dạng tập, mảng kiến thức học, có đánh giá, nhận xét giáo viên học sinh phần biết mức độ năm bắt kiến thức thân để điều chỉnh tốt II.3.3 ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP Các giải pháp nêu thực trực tiếp trình dạy – học giáo viên – học sinh, trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán khối lớp THCS với kiến thức liên quan Trên sở tích lũy giáo viên chuẩn bị chu đáo cho nội dung dạy hiệu đề khả quan Bên cạnh đó, mở rộng kiến thức vào tập nâng cao học sinh giỏi tiết học hai buổi… II.3.4 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 19 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” Giữa giải pháp biện pháp có mối quan hệ tương tác, mang tính biện chứng Các giải pháp có tương tác bổ trợ lẫn nhau, có quan hệ tác động lẫn Giải pháp (1) tiền đề cho trình dạy - học (là tảng) Giải pháp (2) tạo bền vững cho kết sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp (3) nhân tố tác động có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu cho người học người học có ý thức tự giác cố gắng Giải pháp (4) hỗ trợ, tạo động lực cho người học, tạo phấn khích để tăng thêm ý chí cố gắng lòng tâm, vững tin chủ thể trình tiếp cận tri thức nhân loại Cuối cùng, giải pháp (5) đòn bẩy, tạo sức bật cho người học, tạo hấp dẫn, bí ẩn cho kiến thức toán học khó, khô khan, bí ẩn Nhìn chung giải pháp đan xen, tương tác với nhau, tạo nên nghệ thuật dạy học riêng, đem lại hiệu riêng cho giáo viên hiệu đạt trình dạy học phụ thược vào nghệ thuật riêng nhà giáo II.3.5 KẾT QUẢ KHẢO NGHIỆM, GIÁ TRỊ KHOA HỌC CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU • Bản thân trực tiếp vận dụng giải pháp vào lớp dạy thấy sáng kiến kinh nghiệm mang lại hiệu cách thiết thực • Học sinh học tập cách tích cực, chủ động • Mỗi tiết học có chuyển biến tích cực việc lĩnh hội kiến thức, kĩ thực thực học sinh • Sáng kiến kinh nghiệm có ý nghĩa đóng góp mặt lý luận II.4 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC QUA KHẢO NGHIỆM, GIÁ TRỊ KHOA HỌC CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Qua trình tích lũy thực sáng kiến kinh nghiệm này, thân thấy trước hết tích lũy cho vốn kiến thức nho nhỏ cách tìm chữ số tận biểu thức để phục vụ công việc giảng dạy công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thân Đối với học sinh, sau năm học lớp 6, kì thi học sinh giỏi, nhận thấy đa số em biết tích lũy kiến thức bản, nhiều em số đạt kết cao học tập, đạt giải cao thi học sinh giỏi môn Toán học Cụ thể năm qua, kết chủ đề tìm chữ số tận lũy thừa mà bổ trợ cho học sinh đạt kết sau: Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 20 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” Năm học Năm học Năm học Kết thi học 2011 – 2012 2012 – 2013 2013 – 2014 sinh giỏi cấp - Đa số học sinh - Nhiều học sinh - Đa phần em - Năm học tính kết học trung bình lớp tạo 2011 – 2012: em máy tính kết nên năm nguồn rèn đạt HSG luận chữ số tận tập đơn giản, cách trình bày Violympic cấp giải biểu hiểu nội dung toán, bình tĩnh suy tỉnh : thức Khi gặp lũy kiến thức nghĩ thừa có số mũ lớn mau quên 01 tìm hướng nhất,02 giải nhì,03 giải cẩn thận Có giải khuyến khích lúng túng nản - Khi ôn thi HSG 06 em đội - Năm học chí với chuyên đề tuyển thi Toán 2012 – 2013: em - Vận dụng ôn này, học sinh Violympic Tỉnh đạt HSG tập HSG khối thích thú, vận Violympic môn Toán : dụng giải toán quốc gia : 01 công cấp Học sinh vững máy tính tốt, nhận vàng, chủ động tự tin tìm một, - Năm học tự tin làm hai, ba chữ số tận 2013 – 2014: đạt dạng toán 03 thi HSG Toán Violympic Toán Huyện, 01 HSG Toán Tỉnh (giải KK), 02 HSG Casio Tỉnh (01 giải Ba:01 KK) Theo nghĩ nội dung nghiên cứu SKKN đáp ứng lượng kiến thức cần thiết cho em học sinh tự học, tự rèn luyện thêm, đồng thời giáo viên, tạo cho nhiều suy nghĩ để người tự tích lũy thêm cho thân vốn kiến thức ngày trọn vẹn để ngày dạy tốt hơn, có nhiều kinh nghiệm, sáng kiến sau hay giá trị ý tưởng có trước III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: III.1 KẾT LUẬN Việc giải toán tìm chữ số tận biểu thức việc làm cần thiết học sinh giỏi lớp lớp cao Tuy nhiên Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 21 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” việc tìm chữ số tận số viết dạng luỹ thừa hay biểu thức có chứa luỹ thừa câu hỏi mà không em học sinh học mức giỏi lúng túng dẫn đến làm cách máy móc, phán đoán, mò mẫm Với kinh nghiệm vừa trình bày sau áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp năm học 2007 – 2008; 2009 – 2010; 2010 – 2011 bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, môn giải toán máy tính cầm tay Casio, môn giải toán Mạng Internet Violympic mà thân đảm nhận thấy trình độ học sinh nâng lên rõ rệt giải toán tìm chữ số tận biểu thức vận dụng vào giải toán chia hết, tìm số dư, Học sinh giải thành thạo toán tìm chữ số tận biểu thức, đồng thời em biết lựa chọn phương pháp thích hợp để trình bày lời giải cách ngắn gọn đầy đủ Học sinh không lúng túng gặp phải tập dạng mà em thấy hứng thú, vui vẻ gặp loại toán trình học thi Đặc biệt em chủ động tìm tòi phát huy khả sáng tạo lời giải Do kết thi học sinh giỏi cấp nâng lên rõ rệt, tạo tâm lý thích học môn toán Trên suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo để giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán thân trình thực nhiệm vụ giao Để thực nắm vững có kĩ thành thạo việc vận dụng vào giải toán từ đầu học, giáo viên chọn lọc phương pháp phù hợp với khối lớp nhằm khai thác phát triển từ toán cụ thể SGK sách tập, tạo điều kiện bồi dưỡng tư toán học cho đối tượng học sinh khá, giỏi từ gây hiệu ứng tích cực lòng say mê sáng tạo học tập nói chung học toán nói riêng Qua trình nghiên cứu mảng kiến thức có điều kiện để học tập, nghiên cứu tự phát triển kiến thức nâng cao lực chuyên môn góp phần thực tốt nhiệm vụ giao, tạo hứng thú cho em học toán, nâng cao chất lượng giáo dục góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục Đảng, Nhà nước Một vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút trình giảng dạy thực nhiệm vụ chuyên môn chắn không tránh khỏi thiếu Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 22 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” sót, mong góp ý bổ sung đồng chí, đồng nghiệp giúp hoàn thiện trình đạo chuyên môn để đáp ứng với yêu cầu nghiệp giáo dục thời thời kì - Sáng kiến kinh nghiệm mang lại ý nghĩa định:  Ý nghĩa thực tiễn: - Vận dụng, số giải pháp dạy mang đến học trực quan cho học sinh, giúp em tiếp thu tốt nhớ lâu mà em học Đồng thời, cách làm giúp đỡ vất vả việc quản lý hướng dẫn học sinh học tập, tạo gần gũi giáo viên học sinh, giúp em mạnh dạn phát huy hết khả Phạm vi áp dụng: - Có thể nói đề tài nhiều đồng nghiệp quan tâm, thúc đẩy thực ngày bổ sung cho để mang lại hiệu tốt dạy - Đề tài áp dụng cho học sinh khối trường THCS Lương Thế Vinh – Krông Ana – ĐắkLắk  Bài học kinh nghiệm - Giáo viên linh hoạt giảng dạy đồng thời kích thích khả tư học sinh có biểu tốt để khuyến khích động viên tinh thần học sinh khác, học sinh yếu học hỏi nhiều từ bạn - Giáo viên phải thực tâm huyết với nghề, nhiệt tình với học sinh, làm việc với tinh thần đầy trách nhiệm - Giáo viên cần đầu tư kĩ cho dạy để học sinh quan sát vận dụng kiến thức vừa tiếp thu em khắc sâu - Xây dựng nhóm học sinh nòng cốt lớp để giúp đỡ học sinh yếu III.2 KIẾN NGHỊ III.2 Kiến nghị Qua trình giảng dạy trường trung học sở, qua thực tế tìm hiểu trình dạy học học sinh Tôi xin mạnh dạn đề xuất ý kiến sau: - Ở trường nên tăng thêm vài hoạt động ngoại khóa toàn trường tìm hiểu kiến thức phổ thông theo môn để học sinh có hội giao lưu, học Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 23 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” hỏi khẳng định thân, giúp em hăng say học tập đam mê nghiên cứu để thể ngoại khóa vui học toán học, khám phá ẩn số, số bí ẩn… - Chúng ta cần có buổi chuyên đề bàn sâu nội dung, trọng điểm hay vấn đề cụ thể Toán học để thu hút đông đảo tham gia toàn giáo viên trường, cụm huyện (tùy vào phạm vị tổ chức) Trên nội dung sáng kiến kinh nghiệm Một lần xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, đồng nghiệp giúp đỡ hoàn thành SKKN Do lực kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô, đồng nghiệp quý bạn đọc để SKKN hoàn thiện Trong thời gian tới sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu thêm đề tài này nên ý kiến đóng góp quý thầy cô giúp hoàn thành đề tài cách trọn vẹn Mọi ý kiến đóng góp, quý thầy cô xin gửi địa chi e-mail: dcnam.ltv@gmail.com Xin chân thành cảm ơn! Krông Ana, Ngày 03 tháng 01 năm 2015 Người viết Đoàn Công Nam KÝ HIỆU VIẾT TẮT TT Chữ viết tắt Người viết: Đoàn Công Nam Viết đầy đủ Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 24 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” SKKN SGK THCS GV ƯCLN THCS HSG Sáng kiến kinh nghiệm Sách giáo khoa Trung học sở Giáo viên Ước chung lớn Trung học sơ sở Học sinh giỏi TƯ LIỆU THAM KHẢO Các chuyên đề số học bồi dưỡng Học sinh giỏi – Tác giả Phạm Minh Phương - Sách giáo khoa toán 6; Sách giáo viên toán 6; Sách tập toán (tập 1) - Sách Nâng cao phát triển toán – Tác giả Vũ Hữu Bình - Một số chuyên đề tìm một, hai, ba chữ số tận lũy thừa Tạp chí Toán tuổi thơ - Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS phần số học (nhóm tác giả Nguyễn Đức Tấn – Nguyễn Anh Hoàng – Đỗ Quang Thanh… ) nhà xuất Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh - Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi tác giả phạm Minh Phương – nhà xuất Giáo dục NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 25 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN PHẦN MỤC LỤC NỘI DUNG I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài I.3 Đối tượng nghiên cứu Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh TRANG 1-4 1-3 3-4 Trang: 26 Một số kinh nghiệm giải toán “Tìm chữ số tận biểu thức” I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu I.5 Phương pháp nghiên cứu II PHẦN NỘI DUNG II.1 Cơ sở lý luận II.2 Thực trạng vấn đề 4 5-7 a Thuận lợi – Khó khăn b Thành công – Hạn chế 7-8 c Mặt mạnh – Mặt yếu d Các nguyên nhân, yếu tố tác động 8-9 e Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng II.3 Giải pháp, biện pháp a Mục tiêu giải pháp, biện pháp b Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp c Điều kiện thực giải pháp, biện pháp 9-19 d Mối quan hệ giải pháp, biện pháp 19-20 e Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề 20 nguyên cứu II.4 Kết thu qua khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận III.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Nhận xét hội đồng sáng kiến Mục lục Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh 20-21 21 21-23 23-24 25 27 27 Trang: 27 [...]... số có ba chữ số tận cùng bằng 001 - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 376 - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 625 - Các số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625 Ví dụ 3: Tìm ba chữ số. .. 16 Một số kinh nghiệm giải bài toán Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức Hướng dẫn: Chú ý rằng: 210 =1024 , bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì được số có chữ số tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76 Do đó: ( 2100 =(210 )10 =102410 = ( 10242 ) = 76 5 ) 5 = 76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của. .. cho tích tận cùng bằng 2 chữ số 0 Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0 Ví dụ 7: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0: 13 14 15 22 Gợi ý: Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0 Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 nữa ở tích Vậy tích trên có 2 chữ số 0 Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 2492008... thừa Ví dụ 6: Tìm chữ số tận cùng của các hiệu, tổng : a) 77 2001 − 212001 b) 12591 + 12692 a) Nhận xét cách làm: Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 12 Một số kinh nghiệm giải bài toán Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức + Tìm chữ số tận cùng của 77 2001 và 212001 + Tính hiệu hai chữ số tận cùng vừa tìm được 77 2001 − 212001 = = 7 − 1 = 6 Vậy chữ số tận cùng của hiệu 772001... + Tìm chữ số tận cùng của 12591 và 12692 + Tính hiệu hai chữ số tận cùng vừa tìm được uur 12591 + 12692 = = 5 + 6 = 1 Vậy chữ số tận cùng của tổng 12591 + 12692 là 1 Ví dụ 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 21 + 35 +49 + +20048009 Nhận xét: Theo tính chất 2 ta có: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi - Chữ số tận cùng của một. .. 13 = 1.13 = 3 => chữ số tận cùng của 13 là 3 5 21 Vậy chữ số tận cùng của 175 + 244 − 1321 = 7 + 6 − 3 = 0 Mà một số có chữ số tận cùng là 0 sẽ chia hết cho 10 do đó 175 + 244 − 1321 chia hết cho 10 b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6 Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 6 Do đó... luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 25 - Các số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 76 - Các số 320 , 815 , 7 4 , 512 , 992 có chữ số tận cùng bằng 01 - Các số 220 , 65 , 184 , 242 , 684 , 742 có số chữ tận cùng bằng 76 - Số 26n (n > 1) có chữ số tận cùng bằng 76 Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 Người viết: Đoàn Công Nam... Vinh Trang: 17 Một số kinh nghiệm giải bài toán Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức 5016780 = (5012 )3390 = 2510013390 = 001 Vậy ba chữ số tận cùng của 5016780 là 001 Ví dụ 4: Tìm bốn chữ số tận cùng của 53404 ; 53405 Hướng dẫn: Ta có: 53404 =(54 )851 =625851 =0625851 = 0625 Vậy bốn chữ số tận cùng của 53404 là 0625 Suy ra 53405 = 53404 5 = 0625.5 = 3125 Vậy bốn chữ số tận cùng của 53405 là 3125... thấy: 65 = 7776 , số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng được số có chữ số tận cùng bằng 76 Do đó ta có: ( 62011 = 62010 6 = (65 ) 402 6 = 76 ) 402 6 = 76 6 = 56 Vậy hai chữ số tận cùng của 62011 là 56 * Dạng toán tìm ba chữ số tận cùng trở lên Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến các số đặc biệt sau: - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 001 nâng... = 6 499 ( ) 8 = 6 8 = 8 Vậy chữ số tận cùng của 81997 là 8 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 11 Một số kinh nghiệm giải bài toán Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1 Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số tận cùng bằng 1 Do đó ta có: 71995 = ... tích - Chữ số tận tổng chữ số tận tổng chữ số hàng đơn vị số hạng tổng - Chữ số tận tích chữ số tận tích chữ số hàng đơn vị thừa số tích - Tích số tự nhiên liên tiếp có tận 0, 2, - Một số phương... lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận 8; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6,... 0) số có chữ số tận 76 - Các số 320 , 815 , , 512 , 992 có chữ số tận 01 - Các số 220 , 65 , 184 , 242 , 684 , 742 có số chữ tận 76 - Số 26n (n > 1) có chữ số tận 76 Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận