Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa

*** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời mở đầu Nghị Đảng nêu “lấy giáo dục đào tạo quốc sách hàng đầu” Vì phải có chiến lược giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài lĩnh vực khoa học Sự phát triển khoa học tự nhiên lại đặt tảng khoa học toán phát triển vững Do dạy toán trường phổ thông mục đích cung cấp kiến thức cho học sinh, phải dạy cho học sinh phương pháp nghiên cứu, tìm tòi để phát triển tri thức toán Chính lẽ mà nhà giáo dục đã, mãi nghiên cứu, đổi phương pháp dạy học toán nhằm nâng cao hiệu dạy học Toán học có vai trò quan trọng đời sống ngành khoa học Ngay từ kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn nói rằng: “Ai không hiểu biết toán học hiểu biết khoa học khác phát dốt nát thân ” Đến kỉ XX nhà vật lí học tiếng (P.Dirac) khẳng định xây dựng lí thuyết vật lí “không tin vào quan niệm vật lí ”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, sơ đồ đầu không liên hệ với vật lí ” Sự phát triển nhà khoa học chứng minh lời tiên đoán Các Mác: “Một khoa học thực phát triển sử dụng phương pháp toán học” Môn toán khoa học sáng tạo hấp dẫn đòi hỏi học sinh phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức hướng dẫn giáo viên Chương trình môn Toán bậc THCS giữ vị trí quan trọng Nó sở, tiền đề, tảng cho chương trình môn Toán bậc học Số học ngành học lâu đời đầy hấp dẫn toán học, nhà toán học tiếng gọi là: “Bà chúa toán học” Các toán số học làm say mê nhiều người, giới số, quen thuộc với sống hàng ngày, giới kỳ lạ, đầy bí ẩn Loài người phát tính chất hay, nhiều quy luật đẹp *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -có bất ngờ Điều lý thú mệnh đề khó số học phát biểu đơn giản, hiểu được, nhiều toán khó giải sáng tạo với kiến thức số học phổ thông Môn số học học năm đầu trường phổ thông, toán số học có mặt đề thi học sinh giỏi toán hầu giới Trong trình dạy học cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng phương pháp giải tập trước dạng Dạng toán tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán mảng kiến thức khó học sinh năm gần lại sử dụng nhiều kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi “Giải toán máy tính cầm tay” cấp huyện, cấp tỉnh II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà cần biết hay nhiều chữ số tận Trong toán học, xét số có chia hết cho 2; 4; chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta cần xét 1; chữ số tận số Vì việc giải toán tìm chữ số tận lũy thừa việc làm cần thiết học sinh giỏi lớp Tuy nhiên việc tìm chữ số tận số viết dạng luỹ thừa hay biểu thức có chứa luỹ thừa làm nào? Đó câu hỏi mà trả lời được, em học sinh học mức giỏi tìm “lỏi” số không hình thành cách giải Khi hỏi em trả lời theo kiểu “ Phán đoán- mò mẫm” Qua nhiều năm giảng dạy năm đạo chuyên môn Phòng Giáo dục Đào tạo trao đổi đồng nghiệp đúc kết số kinh nghiệm phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán để củng cố cho học sinh nhằm nâng cao kết học tập học sinh học sinh giỏi lớp Trên sở thực đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học sinh học tập, không ngừng nâng cao chất *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -lượng dạy học Đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi phải bồi dưỡng định hướng cho học sinh phương pháp tư thuật toán từ lớp Bản thân mạnh dạn hệ thống kiến thức đưa số kinh nghiệm phương pháp giải: "Bài toán tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6" để giúp học sinh nhà trường nơi công tác đạt kết cao trình học tập B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Yêu cầu chung Yêu cầu với giáo viên: - Xây dựng sở lý thuyết để giải tìm chữ số tận cho dạng toán - Phân loại tập hệ thống từ dễ đến khó - Rèn luyện khả tư sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức nghiên cứu - Trong trình giảng dạy, phải ý tìm vướng mắc, sai sót mà học sinh hay mắc phải giải tập Yêu cầu với học sinh: - Hiểu chất loại toán - Nhận dạng loại tập, vận dụmg phương pháp hợp lý dạng vào giải toán - Phát huy khả tư sáng tạo giải, biết suy luận từ dễ đến khó với cách giải hay II Nội dung * Phân dạng tập ví dụ minh hoạ Dạng toán: Tìm chữ số tận Để tìm chữ số tận luỹ thừa, ta biết rằng: - Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận - Các số có tận nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận - Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận - Các số có tận 2; 4; nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận - Các số có tận 3; 7; nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận - Đối với số tự nhiên có chữ số tận nâng lên luỹ thừa lẻ có chữ số tận nó; - Đối với số tự nhiên có chữ số tận nâng lên luỹ thừa chẵn số có chữ số tận - Đối với số tự nhiên có chữ số tận nâng lên luỹ thừa chẵn số có chữ số tận Ví dụ 1: Tìm chữ số tận 2492008 Giải: Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận Do ta có: 2492008 = (2494)502 =( )502 =( ) Vậy chữ số tận 2492008 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận của: a) 81997 b) 71995 Giải: a) Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận Do ta có: 81997 = 84.499 + = (84)499 = ( )499 ( ) = ( ) (8) = ( ) Vậy chữ số tận 81997 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -b) Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận Do ta có: 71995 = 74.498 + = (74)498 73 = ( )498 ( ) = ( ) ( ) = ( ) Vậy chữ số tận 71995 Ví dụ 3: Tìm chữ số tận hiệu, tổng : a 772001 - 212001 b 12591 + 12692 Giải : a +) Vì ( 77)2001= (77) 4.500+1= (774)500.77= ( ).77 = ( ) => Chữ số tận 772001 +) Vì 212001 = ( ) => Chữ số tận 212001 Vậy chữ số tận hiệu 772001 - 212001 b Vì 12591 = ( ) ; 12692 = ( ) Vậy chữ số tận tổng 12591 + 12692 Ví dụ 4: Chứng tỏ 175+244-1321 chia hết cho 10 8102 - 2102 chia hết cho 10 Giải: *) Ta thấy: 175 = 174 17 = ( ) 17 = ( ) => chữ số tận 175 244 = ( ) => chữ số tận 244 1321 = (13)20.13 = (134)5 13 =( ).13 = ( ) => chữ số tận 1321 Vậy chữ số tận 175+244-1321 Mà số có chữ số tận chia hết cho 10 175+244-1321 chia hết cho 10 *) Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận Do ta có: 8102 = (84)25 82 = ( )25 64 =( ) 64 = => Chữ số tận 8102 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -2102 =( 24)25.22 =1625.4 =( ).4 = => Chữ số tận 2102 Vậy 8102 - 2102 tận nên 8102 - 2102 chia hết cho 10 * Sau học sinh thành thạo cách tìm chữ số tận luỹ thừa ta nâng cao khả tư học sinh dạng tập chứng minh tìm số dư phép chia Ví dụ 5: Chứng minh với n ∈ N * với n>1 2 +1 có chữ số tận n Giải: Ta xét số mũ 2n 2n = 22 2n-2 2 = 2 = (2 ) n n−2 n−2 = (16) n −2 có chữ số tận => Vậy 2 +1 có chữ số tận Ví dụ 6: Tìm số dư phép chia 7129 cho 50 n Giải: Vì 7129 = 74.32+1 = (74)32.7 = ( )32.7 = ( ).7 => 7129 có chữ số tận mà số 50 có tận nên chia 129 cho 50 chữ số tận - = Vậy số dư phép chia 7129 cho 50 Dạng toán: Tìm hai chữ số tận Để tìm hai chữ số tận luỹ thừa, ta cần ý đến số đặc biệt sau: - Các số có tận 01 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 01 - Các số có tận 25 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 25 - Các số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 76 - Các số 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 có chữ số tận 01 - Các số 220, 65, 184, 242, 684, 742 có số chữ tận 76 - Số 26n (n>1) có chữ số tận 76 Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận 2100 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -Giải: Chú ý rằng: 210=1024, bình phương số có tận 24 số có chữ số tận 76, số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 76 Do đó: ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =( 76 )5 = 76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận 62011 Giải: Ta thấy: 65 = 7776, số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 76 Do ta có: 62011 = 62010 = (65)402 =( 76 )402 =( 76 ) = 56 Vậy hai chữ số tận 62011 56 Ví dụ 3: Tìm hai chữ số tận 511999 Giải: Ta có: 512 = 2601, số có tận 01 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận 01 Do ta có: ( 51)1999=(512)999 51 =(2601)999 51 =( 01 ) 51 = 51 Vậy hai chữ số tận 511999 51 Ví dụ 4: (Phát triển tư cho học sinh) * Tìm chữ số hàng chục tổng S = 72008+ 72009+ 72010 (Đề thi học sinh giỏi cấp huyện “Giải toán máy tính cầm tay” năm học 2010- 2011) Giải: Ta có 72008 = (74)502 = ( 01 )502 nên hai chữ số tận 72008 01 72009 = (74)502.7= ( 01 )502.7= ( 07 ) nên hai chữ số tận 72009 07 72010 = (74)502.72= ( 01 )502.49= ( 49 ) nên hai chữ số tận 72010 49 => hai chữ số tận S 57 Vậy chữ số hàng chục S = 72008+ 72009+ 72010 Dạng toán: Tìm ba chữ số tận trở lên *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -Để tìm ba chữ số tận trở lên luỹ thừa, ta cần ý đến số đặc biệt sau: - Các số có ba chữ số tận 001 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 001 - Các số có ba chữ số tận 376 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 376 - Các số có ba chữ số tận 625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 625 - Các số có bốn chữ số tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có bốn chữ số tận 0625 Ví dụ 1: Tìm ba chữ số tận 10012230 5016780 Giải: +) Ta thấy số có tận 001 nâng lên lũy thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 001 Ta có 10012230 = ( 001 ) Vậy ba chữ số tận 10012230 001 +) Ta thấy số có tận 001 nâng lên lũy thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 001 Do ta có: 5012230 = (5012)3390 = 2510013390= ( 001 ) Vậy ba chữ số tận 5016780 001 Ví dụ 2: Tìm bốn chữ số tận 53404 Giải: 53404 =(54)851 =625851 =0625851 =( 0625 ) Vậy bốn chữ số tận 53404 0625 * Giáo viên hỏi nhanh: bốn chữ số tận 3405 chữ số HS: Lấy ( 0625 ) = ( 3125 ) Vậy bốn chữ số tận 53405 3125 * Từ tập phát triển toán toán tìm chữ số tận 54n 54n+1 Ví dụ 3: Chứng minh 262375 chia hết cho 8 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -Giải: Ta thấy: 265= 11881376, số có tận 376 nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có ba chữ số tận 376 Do ta có: 262375=(265)475=( 376 )475=( 376 ) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 262375 chia hết cho * Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm chữ số tận số sau: 7430; 4931; 8732; 5833; 2335 Bài 2: Tìm chữ số tận số sau: a (2345)42 b (5796)35 Bài 3: Cho A =51n+47102 (n€ N) Chứng tỏ A chia hết cho 10 Bài 4: Tìm chữ số tận tổng, hiệu sau: a) 132001-82001 b) 7552-218 c) 12591+12692 d) 116+126+136+146+156+166 e) 72008+72009+72010( đề thi học sinh giỏi cấp huyện “Giải toán máy tính cầm tay” năm 2009 -2010) f) 22004+ 22005+ 22006 g) 22007+ 22008+ 22009( đề thi học sinh giỏi cấp huyện “Giải toán máy tính cầm tay” năm 2008 -2009) Bài 5: Chứng tỏ với n€N*(n>1) (22)2n+1+1 có chữ số tận Bài 6: *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -Chứng tỏ vói số tự nhiên n: a) 74n-1 chia hết cho b/34n+1 +2 chia hết cho c/24n+1+3 chia hết cho d/24n+2+1 chia hết cho e/92n+1+1 chia hết cho 10 Bài 7: Tìm hai chữ số tận 5n (n>1) Bài 8: Tìm hai chữ số tận a) 5151 b) (9999)99 c) 6666 d) 14101 16101 Bài 9: Tìm hai chữ số tận 3204 C KẾT LUẬN Với kinh nghiệm vừa trình bày sau áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp đội tuyển học sinh giỏi môn giải toán máy tính cầm tay huyện trình đạo chuyên môn Phòng Giáo dục Đào tạo mà thân phụ trách thấy trình độ học sinh nâng lên rõ rệt giải toán tìm chữ số tận lũy thừa vận dụng vào giải toán chia hết Học sinh giải thành thạo toán tìm chữ số tận lũy thừa đồng thời em biết lựa chọn phương pháp thích hợp để trình bày lời giải ngắn gọn đầy đủ Học sinh không lúng túng gặp phải tập dạng mà em thấy hứng thú, vui vẻ gặp loại toán trình học thi Đặc biệt em chủ động tìm tòi phát huy khả sáng tạo lời giải Do kết thi học sinh giỏi cấp nâng lên rõ rệt, tạo tâm lý thích học môn toán Trên suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán nhà trường Để thực nắm vững có kĩ thành 10 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa chương trình toán 6” * -thạo việc vận dụng vào giải toán từ đầu học, giáo viên chọn lọc phương pháp phù hợp với khối lớp nhằm khai thác phát triển từ toán cụ thể SGK sách tập, tạo điều kiện bồi dưỡng tư toán học cho đối tượng học sinh khá, giỏi từ gây hiệu ứng tích cực lòng say mê sáng tạo học tập nói chung học toán nói riêng Qua trình nghiên cứu mảng kiến thức có điều kiện để học tập, nghiên cứu tự phát triển kiến thức nâng cao lực chuyên môn góp phần thực tốt nhiệm vụ giao, tạo hứng thú cho em học toán, nâng cao chất lượng giáo dục góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục Đảng, Nhà nước Một vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút trình giảng dạy đạo chuyên môn chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý bổ sung đồng chí, đồng nghiệp giúp hoàn thiện trình đạo chuyên môn để đáp ứng với yêu cầu nghiệp giáo dục thời thời kì Ngày 20/ 03/ 2011 Người viết Phạm Thị Thu Hương 11 ... (khác 0) số có chữ số tận - Các số có tận 2; 4; nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận - Các số có tận 3; 7; nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận - Đối với số tự nhiên có chữ số tận nâng lên luỹ thừa lẻ... có chữ số tận nó; - Đối với số tự nhiên có chữ số tận nâng lên luỹ thừa chẵn số có chữ số tận - Đối với số tự nhiên có chữ số tận nâng lên luỹ thừa chẵn số có chữ số tận Ví dụ 1: Tìm chữ số tận. .. chữ số tận luỹ thừa, ta biết rằng: - Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) số có chữ số tận - Các số có tận nâng lên luỹ thừa số có chữ số tận *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * Phương pháp tìm