skkn một số giải pháp giúp học sinh năng khiếu toán làm tốt các bài toán tìm chữ số tận cùng của tích

Ở Tiểu học giáo dục toàn diện là dạy đủ các môn học trong chương trình và dạy cho mọi học sinh, sao cho tất cả học sinh đều được học, được tiếp thu, được vận dụng theo khả năng, trình độ

THÔNG TIN CÁ NHÂN

Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết

Đơn vị: Tiểu học Hiệp Cường

Ngày tháng năm sinh: 03/11/1968

Nhiệm vụ được giao: Giáo viên chủ nhiệm lớp 5D Năm học 2015-2016

Đề tài nghiên cứu: Giúp học sinh năng khiếu toán làm tốt các bài toán

Tìm chữ số tận cùng của một tích

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bậc Tiểu học là bậc học nền tảng, là nơi cung cấp những tri thức cơ sở ban đầu và bền vững cho mỗi cuộc đời Bồi dưỡng học sinh giỏi ở Tiểu học là nền móng cho chiến lược đào tạo người tài của đất nước, là việc làm cần thiết và

có ý nghĩa quan trọng, được các nhà quản lí, các cấp lãnh đạo, các bậc phụ huynh quan tâm Để có được thành quả giáo dục nói chung hay những thành tích cao của học sinh giỏi nói riêng, ngay từ cấp Tiểu học, các nhà trường phải có sự quan tâm, đầu tư Thời điểm bồi dưỡng học sinh giỏi không phải đợi đến lớp 4,5 mới tiến hành mà là cả một quá trình tạo nguồn, nuôi nguồn Bởi cái tháp cao nào cũng bắt đầu xây từ mặt đất

Ở Tiểu học giáo dục toàn diện là dạy đủ các môn học trong chương trình

và dạy cho mọi học sinh, sao cho tất cả học sinh đều được học, được tiếp thu, được vận dụng theo khả năng, trình độ của mình Tuy nhiên đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài là hai nhiệm vụ song song mà mỗi giáo viên Tiểu học có trách nhiệm phát hiện và bồi dưỡng ngay từ đầu bậc học Mặt khác, chất lượng học sinh giỏi là một tiêu chí không thể thiếu để đánh giá sự phát triển của một nhà trường Thành tích học sinh giỏi góp phần tạo nên chất lượng và thương hiệu của một trường Ước mơ trở thành học sinh giỏi là ước mơ chính đáng của mỗi học sinh, phụ huynh học sinh Một học sinh giỏi không những là niềm tự hào của cha mẹ, thày cô mà là niềm tự hào của cả cộng đồng Giáo viên và nhà trường có trách nhiệm cho phụ huynh biết năng lực của con em họ để cùng phối hợp bồi dưỡng Để có kết quả của học sinh giỏi thì công tác tạo nguồn, bồi dưỡng nguồn là chiến lược hết sức quan trọng, có tính chất bền vững trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở Tiểu học

Thực hiện Thông tư số 30/2014/TT-BGD ĐT ngày 28 tháng 8 năm 2014; Chỉ thị số 5105/CT- BGD ĐT ngày 03/11/2014 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các trường Tiểu học không tổ chức các lớp bồi dưỡng, nâng cao dành cho học sinh giỏi, không tổ chức các hội thi hay giao lưu học sinh giỏi Tôi rất tán thành với chủ trương của Bộ Giáo dục là xóa bỏ trường chuyên, lớp chọn đối với Tiểu

học Học sinh Tiểu học phải được học đều các môn, được giáo dục phát triển toàn diện Tuy nhiên cuộc thi giải toán trên Internet (Giải toán Violympic) vẫn thu hút sự quan tâm của không ít phụ huynh và học sinh Nhiều học sinh rất có hứng thú với các vòng thi toán trên mạng và cũng có rất nhiều phụ huynh mong muốn con em mình thử sức và rèn luyện tư duy toán học

Cuộc thi giải toán Violympic là một sân chơi dành cho học sinh Tiểu học và THCS Các bài thi nhằm giúp các em củng cố, nâng cao kiến thức, phát triển khả năng tư duy, sáng tạo Khi các em làm bài, đồi hỏi phải nhanh, chính xác, thao tác trên máy tính thành thạo Nó tích hợp rất nhiều kĩ năng của học sinh: kĩ năng tính và giải toán, kĩ năng xử lí tình huống, thu thập thông tin,

… Học sinh cần rèn kĩ năng phát hiện nhanh nhạy những tình huống có vấn đề trong các bài toán trên mạng, phát hiện dạng toán, tìm phương pháp giải toán cho phù hợp Qua mỗi bài toán, học sinh cần rút ra bản chất của một dạng bài, những điều cần lưu ý, những sai lầm có thể mắc phải Trong khi đó các đề thi violimpic, nội dung kiến thức rất phong phú, bài tập đa dạng Nếu học sinh chỉ

có kiến thức tích lũy được trong các bài học trên lớp theo chương trình sách giáo khoa thì khó có thể tham gia cuộc thi giải toán trên Internet Vì vậy có những dạng toán, bài toán giáo viên phải dạy, phải hướng dẫn học sinh rút ra quy tắc, quy luật, công thức để làm bài Thế nhưng không phải giáo viên nào cũng có thể giúp học sinh trong lĩnh vực này, đặc biệt là đối với học sinh lớp 4,5 Qua hai năm được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh có năng khiếu giải toán Violimpic, tôi đã hướng dẫn học sinh nẵm vững cách giải một số dạng toán, trong đó có

dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích Tôi luôn mong muốn giúp học

sinh vượt qua các vòng thi tự luyện violimpic toán một cách nhanh nhất

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu những bài toán Tìm chữ số tận cùng của một tích, những lúng

túng, sai sót của học sinh khi thực hiện, từ đó đề xuất một số biện pháp giúp học

sinh tìm đáp số bài toán một cách nhanh nhất

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu cơ sở toán học, nguyên tắc dạy học sinh năng khiếu toán

- Khảo sát thực trạng dạy và học dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích

- Đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở Tiểu học

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

1 Mục đích nghiên cứu:

+ Các bài toán liên quan tìm chữ số tận cùng của một tích

+ Cách giải các bài toán trên

+ Biện pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán đó

2 Khách thể nghiên cứu:

Học sinh năng khiếu Toán lớp 5 trường Tiểu học Hiệp Cường- huyện Kim Động- tỉnh Hưng Yên

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

5.1 Phương pháp điều tra

5.3 Phương pháp thống kê

5.4 Phương pháp phân tích và tổng hợp

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Mục đích của quá trình dạy học ở bậc Tiểu học là nhằm cung cấp tới học sinh những kiến thức cơ bản, toàn thể về tự nhiên và xã hội Nhằm giúp học sinh từng bước hình thành nhân cách, từ đó trang bị cho học sinh các phương pháp ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn Mục tiêu đó được thực hiện thông qua việc dạy học các môn và thực hiện theo định hướng yêu cầu giáo dục, nhằm trang bị cho trẻ những kiến thức, kĩ năng cần thiết để trẻ tiếp tục học

ở bậc Trung học hay cho công việc lao động của trẻ sau này Trong 9 môn học, môn Toán đóng vai trò quan trọng, nó cung cấp những kiến thức cơ bản về số

học, các yếu tố hình học, đo đại lượng, giải toán, …môn Toán Tiểu học thống nhất không chia thành môn khác Bên cạnh đó khả năng giáo dục của môn Toán rất phong phú còn giúp học sinh phát triển tư duy, khả năng suy luận, trau dồi trí nhớ, giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, chính xác Nó còn giúp học sinh phát triển trí thông minh, tư duy độc lập sáng tạo, kích thích óc tò mò, tự khám phá

và rèn luyện một phong cách làm việc khoa học Yêu cầu đó rất cần thiết cho mọi người, góp phần giáo dục những đức tính quý báu: chịu khó, nhẫn nại, cần

1.1 Đảm bảo sự thống nhất giữa tính khoa học và tính giáo dục

Tính khoa học trong quá trình dạy học ở Tiểu học trước hết bằng chính nội dung dạy học ở Tiểu học Tính khoa học được thể hiện trong phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học

Đảm bảo tính khoa học trong dạy Toán ở Tiểu học là dạy đúng, dạy đủ những tri thức khoa học được quy định trong chương trình cấp học

Tính giáo dục là thuộc tính bản chất của quá trình dạy học ở Tiểu học nhằm đạt tới sự phát triển nhân cách toàn diện cho học sinh Hình thành ở học sinh thế giới quan khoa học và những phẩm chất đạo đức của con người mới

Đảm bảo tính thống nhất giữa khoa học và giáo dục là trong quá trình dạy học đồng thời giúp học sinh nắm tri thức khoa học và hình thành phẩm chất đạo đức cho học sinh

Vì vậy, yêu cầu mỗi giáo viên phải có trình độ chuyên môn vững vàng, kĩ năng ngôn ngữ, tổ chức hợp lí các hoạt động dạy học, xử lí linh hoạt, sáng tạo các tình huống có vấn đề Bằng bản thân những kiến thức Toán học ta bồi dưỡng cho học sinh một cách có hệ thống giúp học sinh có tình cảm đúng đắn đối với môn học Ngược lại, tình cảm yêu mến Toán học giúp các em tiếp tục làm chủ kiến thức Toán học mới

1.2 Đảm bảo sự thống nhất giữa tính khoa học và tính thực tiễn

Trong quá trình dạy học, đồng thời giúp học sinh nắm kiến thức Toán học (Kiến thức phù hợp với thực tiễn), hình thành kĩ năng vận dụng thành thạo nhằm góp phần cải tạo hiện thực, cải tạo bản thân Qua thực tiễn, nó khẳng định tính đúng đắn của khoa học Hệ thống các quy tắc, công thức Toán học chính là sản phẩm nghiên cứu tìm ra chân lí của các nhà khoa học

1.3 Đảm bảo tính cụ thể và tính trừu tượng

Học sinh Tiểu học nhận thức từ cái riêng đến cái chung, từ cái cụ thể đến cái khái quát Vì vậy, giáo viên phải giúp học sinh tìm hiểu, phân tích qua những

ví dụ cụ thể rồi mới khái quát thành quy tắc, công thức Toán học

1.4 Đảm bảo sự thống nhất giữa dạy và học

Trong quá trình dạy học, hoạt động học đóng vai trò chủ đạo Học sinh tự giác, tự lực tiếp thu kiến thức dưới tác động của giáo viên Thông qua vai trò của người giáo viên, học sinh phát huy được tính tự giác, tích cực, ham mê tìm kiến thức mới

1.5 Đảm bảo tính vững chắc của kiến thức với tính mềm dẻo của tư duy

Tính vững chắc của kiến thức có nghĩa là hệ thống kiến thức mà học sinh lĩnh hội được sẽ vận dụng vào các tình huống tương tự Học sinh lĩnh hội vững chắc kiến thức làm nền tảng lĩnh hội kiến thức mới

Tính mềm dẻo của tư duy là khả năng linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi vận dụng kiến thức vào từng bài học cụ thể

Để đảm bảo nguyên tắc này trong quá trình dạy học, đòi hỏi người giáo viên phải làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức Toán học và khi cần có thể nhớ và vận dụng linh hoạt trong từng tình huống Người giáo viên biết hòa kinh nghiệm của nhân loại với kinh nghiệm bản thân để giúp học sinh nắm được bản chất vấn đề; Giúp học sinh biết nhớ nhiều, nhớ nhanh, nhớ lâu, nhớ chính xác điều đã học

1.6 Đảm bảo tính khoa học với tính vừa sức

Đây là một nguyên tắc vô cùng quan trọng khi bồi dưỡng học sinh năng khiếu Bởi yêu cầu, nhiệm vụ học tập phải phù hợp với trí tuệ học sinh Dạy học

phù hợp khả năng, năng lực, trình độ phát triển của đối tượng học sinh, đảm bảo học sinh đều được phát triển ở mức cao nhất Những kiến thức toán học chúng ta truyền tải đến học sinh phải được học sinh tiếp thu trên cơ sở phát huy hết khả năng của mình Bồi dưỡng học sinh giỏi không phải là dạy trước chương trình

và cũng không nên dạy những bài quá khó Mà phải bắt đầu từ dạy chuẩn kiến thức từng khối lớp Trên cơ sở chuẩn kiến thức, giáo viên có thể mở rộng, khắc sâu kiến thức cho học sinh có tư duy, tiếp thu nhanh hơn so với các bạn trong lớp, trong khối Bồi dưỡng theo nhóm trình độ là mấu chốt của sự thành công bởi trong một lớp có nhiều đối tượng học sinh, không phải đối tượng nào cũng

có thể mở rông, khắc sâu kiến thức được Nếu đưa những kiến thức quá cao đối với các em, các em không những không hiểu mà còn dẫn đến việc chán học, lâu dần các em sẽ bị mặc cảm với các bạn trong lớp Hoặc nếu chỉ dừng lại ở việc cung cấp kiến thức theo chuẩn thì khó có học sinh giỏi và không phát huy được tính sáng tạo, tích cực học tập của học sinh

Như vậy, để đảm bảo nguyên tắc này đòi hỏi người giáo viên phải có trình

độ chuyên môn giỏi, toàn diện, quan tâm đến trình độ phát triển chung của học sinh cả lớp, trình độ phát triển riêng từng đối tượng học sinh Từ đó mới có nội dung dạy học phù hợp

2 Nội dung dạy học Tìm chữ số tận cùng của một tích

Trong các đề thi violympic Toán Tiểu học, có rất nhiều kiến thức, nhiều dạng bài các em chưa được học trên lớp, chưa được giới thiệu trong chương trình học cơ bản

Dạng bài tập Tìm chữ số tận cùng của một tích cũng vậy Chương trình

Toán ở Tiểu học không đề cập tới nội dung này Nếu có thì chỉ dừng lại ở những bài tập đơn giản, cụ thể Nhưng trong các đề thi Violympic Toán Tiểu học thì lại

đề cập đến và có nhiều dạng bài phong phú

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ THỰC TIỄN

1 Thực trạng bồi dưỡng học sinh năng khiếu tham gia giải toán violympic

Tại trường Tiểu học Hiệp Cường- nơi tôi đang công tác, việc dạy bồi dưỡng học sinh năng khiếu nói chung, năng khiếu Toán nói riêng, nhất là học sinh khối lớp 5 trong những năm qua đã có nhiều chuyển biến và đạt được những kết quả tích cực, góp phần vào kết quả chung của địa phương Nhưng 2 năm vừa qua, Cuộc thi Giải toán violympic không bắt buộc mà chỉ là khuyến khích học sinh tham gia, nên thực trạng bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán đang gặp những vấn đề sau:

1.2 Khó khăn:

+ Đối với giáo viên: Nói chung, công tác bồi dưỡng học sinh có năng khiếu ở nhiều trường chưa được quan tâm thỏa đáng, giống như “mì ăn liền” Vì vậy, cứ có kế hoạch thi cấp huyện thì mới tổ chức ôn luyện Bên cạnh đó, thời gian dành cho bồi dưỡng học sinh cũng ít, giáo viên chỉ tranh thủ ở buổi học thứ hai

Đa số giáo viên vừa phải đảm bảo chất lượng đại trà, vừa phải hoàn thành chỉ tiêu mũi nhọn và công tác chủ nhiệm lớp, công tác kiêm nhiệm do đó cường

độ làm việc quá tải Và việc đầu tư cho bồi dưỡng còn hạn chế

Giáo viên đều phải tự soạn chương trình dạy, theo kinh nghiệm của bản thân, theo chủ quan, tự nghiên cứu, tự sưu tầm tài liệu

Ngoài ra, một số giáo viên chưa thực sự gắn bó với công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu với nhiều lí do khác nhau nên cũng ảnh hưởng đến chất lượng

công tác này Một số giáo viên, việc tiếp cận bài tập nâng cao hay tìm ra bước trung gian để đi đến kết quả nhanh nhất, chính xác nhất chẳng mấy khi được nghiên cứu kĩ

+ Đối với học sinh: Học sinh phải học đầy đủ các môn học chính khóa cộng với chương trình bồi dưỡng nên rất hạn chế về thời gian

- Học sinh có năng khiếu thì lại hay tham gia các hội thi khác Cụ thể, năm học 2012-2013 đến nay, học sinh Tiểu học có các hội thi:

- Olympic Toán, Tiếng Anh, Toán- Tiếng Anh trên mạng

- Viết chữ đẹp

- Nghi thức Đội

- Chiếc ô tô mơ ước

- An toàn giao thông

- Giải bóng đá thiếu nhi

- Trạng nguyên Tiếng Anh

- Trạng nguyên Tiếng Việt, …

Các cuộc thi cứ nối tiếp nhau, do vậy cũng gây áp lực cho cả giáo viên và học sinh Thời gian dành cho việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu nhiều khi bị gián đoạn, hoặc tranh thủ một ít thời gian hiếm hoi ở các buổi học thứ hai

Hơn nữa, việc nắm kiến thức cơ bản nhiều khi ở dạng ghi nhớ là chủ yếu, ít khi hiểu bản chất của vấn đề nên rất khó khăn trong việc tiếp cận các bài toán nâng cao đòi hỏi chiều sâu về trí tuệ

2 Thực trạng dạy và học dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích:

- Đây là dạng toán hay nhưng không xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi những năm trước Trong các vòng thi violimpic cũng xuất hiện không nhiều Có năm, cả 19 vòng thi chỉ xuất hiện dạng bài này 2 đến 3 lần (thường là ở vòng 14,

15 trở đi) Mà kiến thức cơ bản học sinh cần phải nhớ để vận dụng giải quyết vấn đề từng bài tập lại nhiều nên học sinh hay quên hoặc nhầm lẫn kiến thức này với kiến thức khác Vì vậy, giáo viên chưa quan tâm, chú trọng đến phương pháp giải dạng toán này

3 Một số lỗi sai sót, nhầm lẫn

Khi hướng dẫn học sinh những khóa học trước làm bài dự thi Olympic Toán

cấp Tiểu học, tôi nhận thấy phần Tìm chữ số của một tích của các em còn rất

hạn chế Hầu như các em không biết cách làm

Nguyên nhân dẫn đến những sai sót:

+ Chưa được trang bị kiến thức cơ bản về cách tìm chữ số tận cùng của một

tích

+ Chưa được làm quen, thực hành thường xuyên với các dạng bài

+ Bỏ sót một số thông tin, dữ liệu trong bài toán

+ Nhầm lẫn dạng toán này với dạng toán khác

+ Tính toán với dãy số có nhiều số hạng còn lúng túng…

Do vậy ngay từ tuần 3 của năm học 2012-2013, tôi đã tiến hành cho học

sinh thực hiện bài khảo sát như sau với 6 học sinh lớp 5B, trường Tiểu Hiệp

Cường, huyện Kim Động, tỉnh Hưng Yên (thời điểm tháng 9 năm 2013) gồm

Trong quá trình dạy học, từ kết quả nghiên cứu, tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau:

1 Giải pháp 1: Giúp học sinh nắm vững một số kiến thức về dãy số tự

nhiên cách đều

Mục đích: Học sinh biết cách xác định số các thừa số trong một tích, xác định

thừa số đầu tiên hoặc thừa số cuối cùng của một tích, …

Cách thực hiện: Bằng các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp hơn, kết hợp phương

pháp thuyết trình, giảng giải, giáo viên cung cấp cho học sinh một số công thức toán học tổng quát:

Số các số hạng của một dãy số cách đều= (số cuối- số đầu): khoảng cách giữa hai số liền nhau + 1

Các công thức được suy ra:

Số cuối của dãy= (Số các số -1) x khoảng cách giữa hai số liền nhau+ số đầu

Ví dụ áp dụng: Tích sau có bao nhiêu thừa số:

2 x 12 x 22 x 32 x …x …x 2012

Học sinh dễ dàng tìm được số các thừa số của tích như sau:

(2012- 2): 10 + 1= 202 (thừa số)

2 Giải pháp 2: Giúp học sinh nắm vững một số kiến thức về chữ số tận

2 Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích đó

Mục đích: Dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tích là dạng toán hay Nhiều

khi nó không đòi hỏi ta phải tìm tích nhưng bằng một số thủ thuật tính toán ta sẽ nhanh chóng tìm được chữ số tận cùng của tích Muốn vậy, học sinh cần nắm được một số thủ thuật đố để tìm kết quả một cách nhanh nhất mà không mất nhiều thời gian tính toán

Cách thực hiện: Giáo viên giúp học sinh ghi nhớ một số thủ thuật sau:

- Trong một dãy tích gồm các thừa số giống nhau,

ta chia thành các nhóm để xét chữ số tận cùng Các thừa số có chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ ta chia nhóm để có chữ số tận cùng của tích nhóm là 1 Các thừa số có chữ số hàng đơn vị là chữ số chẵn ta chia nhóm để có chữ số tận cùng của tích nhóm là 6 Nh- vậy:

Có tận cùng là 6

Vớ dụ 3: Tớch sau cú tận cựng là chữ số nào?

2017x 2007 x 1997 x 1987x …… x 17 x 7

Ta thấy tớch trờn cú: (2017-7) :10 + 1= 202 (thừa số)

Vỡ mỗi thừa số đều cú chữ số tận cựng là 7 nờn ta chia nhúm 4 để có chữ

… cú tận cựng là 9

Vậy 2017x 2007 x 1997 x 1987x …… x 17 x 7 cú tận cựng là 9

4 Giải phỏp 4: Vận dụng một số kiến thức liờn quan dấu hiệu chia hết

Mục đớch: Nhiều bài tập tỡm chữ số tận cựng của tớch lại liờn quan đến dấu hiệu

chia hết Học sinh biết dựa vào cỏc dấu hiệu chia hết để xột chữ số tận cựng

Cỏch thực hiện: Giỏo viờn đưa ra một số vớ dụ cụ thể để học sinh vận dụng

Vớ dụ:

Biết 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26= 165765*** Hóy tỡm giỏ trị của chữ số * Như vậy, học sinh phải xỏc định 3 chữ số tận cựng của tớch một cỏch nhanh nhất dựa trờn dõu hiệu chia hết

Hướng dẫn học sinh phõn tớch:

21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26= 3 x 7 x 22 x 23 x 8 x 3 x 5 x 5 x 26

Khi lấy 5 nhõn với 1 số chẵn thỡ cú chữ số tận cựng bằng 0 Vậy tớch trờn

cú 2 chữ số 0 tận cựng Mà tớch trờn là số chia hết cho 9 (3 x 3) nờn tổng cỏc chữ

số chia hết cho 9

Ta có: 165765*00 có tổng các chữ số là:

1 + 6 + 5 + 7 + 6 +5 + * + 0 + 0 = 30 + *

Vậy * = 6 Kết quả đúng là: 165765600

5 Giải phỏp 5: Phõn loại dạng toỏn

Mục đớch: Mỗi dạng toỏn lại cú phương phỏp, suy luận khỏc nhau Vỡ vậy phõn

loại cỏc dạng toỏn và giỳp học sinh nắm chắc cỏch giải từng dạng cỏc em sẽ nhớ lõu hơn

Cỏch thực hiện: Qua nghiờn cứu, sưu tầm, thu thập cỏc bài toỏn tỡm chữ số tận

cựng của một tớch, tụi phõn loại thành cỏc dạng toỏn cơ bản sau:

Dạng 1: Xỏc định chữ số tận cựng của một tớch:

Bài toỏn 1: Tìm các chữ số tận cùng của tích sau:

1 x 3 x 5 x 7 x 9 x … x 2009 x 2011

(Đề thi Violympic vòng 18, năm học 2011-2012)

Phân tích:

Ta thấy rằng tích trên gồm các thừa số là số lẻ

Mà 5 nhân với 1 số lẻ luôn có chữ số tận cùng là 5 Vậy ta có cách giải nh- sau:

Bài giải:

Trong phép nhân có chứa thừa số 5 nên tích là một

số chia hết cho 5 Do đó chữ số tận cùng của tích là

0 hoặc 5 Vì các thừa số là số lẻ nên tích là số lẻ Vậy chữ số tận cùng của tích là 5

Bài toán 2 Cho T= 2 x 2 x 2 x … x 2 x 2 (tích có

2013 th-à số 2)

T có chữ số tận cùng là mấy?

(Đề thi Violympic vòng 17, năm học 2012-2013)

Phân tích:

Nếu ta chia tích trên thành các nhóm, mỗi nhóm có

4 thừa số thì kết quả của mỗi nhóm đều có tận cùng là

6 (vì 2 x 2 x 2 x 2 = 16) mà tích của tất cả các số

có tận cùng là 6 thì tích đó có tận cùng là 6 Do đó, tích có số thừa số chia hết cho 4 thì có tận cùng là

6, nếu d- 1 thì có tận cùng là 2, d- 2 thì có tận cùng là 4, d- 3 thì có tận cùng là 8 Từ đó ta có cách giải nh- sau:

Bài giải:

Nếu nhóm các thừa số trên và các nhóm gồm 4 thừa

số, thì tích trên có số nhóm là:

2013 : 4 = 504(nhóm), d- 1 thừa số

Vì T gồm 2013 thừa số 2 nên chữ số tận cùng trong mỗi nhóm là 6 Tích này nhân với 2( không thuộc 504 nhóm) đ-ợc số có tận cùng là 2 Vậy chữ số tận cùng của T là 2

Từ cách phân tích đó ta có h-ớng giải nh- sau:

Bài giải:

Các thừa số có chữ số 5 tận cùng trong tích trên là:5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 Mà 25 = 5 x

5, 75= 5 x 5 x 5 nên thay 5 x 5 và 5 x 5 x 5 x 5 x 3 vào tích trên thì tích đó có 12 thừa số có tận cùng

là 5 Cứ lấy một thừa số chẵn nhân với một số có tận cùng là 5 ta đ-ợc tích là số có tận cùng là một chữ

số 0 Mặt khác, tích trên có 9 thừa số tròn chục là:10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 mà 50=5 x 10 nên lấy 50 nhân với một số chẵn ta có 2 chữa số 0 tận cùng Thừa số 100 có 2 chữ số 0 tận cùng nữa

Vậy tích trên có số chữ số 0 tận cùng là: 12 +10+ 2= 24 ( chữ số 0 tận cùng)