skkn ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất THPT thường xuân 2

A- ĐẶT VẤN ĐỀ Đổi mới phương pháp dạy học nói chung và phương pháp dạy toán nói riêng trong nhà trường phổ thông là vấn đề rất cần thiết và phải được thực hiện thường xuyên. Lựa chọn phương pháp thích hợp cho mỗi tiết dạy, mỗi bài dạy Toán theo từng đối tượng học sinh là cả một quá trình nghệ thuật của người thầy. Qua trao đổi với nhiều thầy cô và học sinh chúng tôi tự đặt câu hỏi cho mình là làm thế nào để truyền tải kiến thức không nhỏ theo tinh thần sách giáo khoa cho học sinh? Làm thế nào để học sinh có cái nhìn tổng thể, nắm được những phương pháp tổng quát để giải lớp các bài toán? Theo tôi để đạt được những điều này đòi hỏi giáo viên phải có nhiều kỹ năng giải toán và càng có nhiều thuật toán thì càng có nhiều kinh nghiệm giúp học sinh định hướng giải nhanh một bài toán. Bài toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” là một trong những bài toán khó được quan tâm nhiều ở các kì thi trung học cơ sở đến Đại học. Để giải loại bài toán này, đòi hỏi giáo viên, học sinh có kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình học. Để giải bài toán này có rất nhiều phương pháp. Trong bài viết này chúng tôi chỉ nêu một phương pháp cơ bản mà chúng tôi thường dùng khi dạy học sinh các lớp ban Khoa học tự nhiên, đặc biệt các lớp Bồi dưỡng học sinh giỏi đó là “Ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”. 1 B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận Sự phát triển đi lên của toán học cũng như sự hoàn chỉnh các dạng toán học là một quá trình khái quát hóa, tổng quát hóa. Những hiểu biết rời rạc trong việc giải Toán sẽ dần dẫn được thống nhất, chắp nối thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh. Đó là cơ sở giúp cho học sinh hoạt động học tập có hiệu quả cao và hoàn thiện các chức năng cơ bản như: - Chức năng hình thành, cũng cố kiến thức và kỹ năng. - Chức năng hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, tạo hứng thú học tập, rèn luyện phẩm chất đạo đức, vận dụng kiến thức vào đời sống. - Chức năng phát triển năng lực tư duy, hình thành phẩm chất tư duy khoa học. - Chức năng kiểm tra kiến thức và đánh giá trình độ học sinh. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một bài toán cơ bản trong chương trình toán học phổ thông. Để giải quyết lớp bài toán này ta thường dùng các phương pháp như: đạo hàm, đồ thị, sử dụng các bất đẳng thức cổ điển…., tuy nhiên đối với các bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có điều kiện ban đầu dưới cách nhìn và sau một số phép biến đổi ta có thể lượng giác hóa được thì bài toán sẽ được giải quyết một cách dễ dàng và thuận lợi hơn. 2. Thực trạng vấn đề Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông thường học sinh phải sử dụng kiến thức liên quan đến bất đẳng thức. Do đó đứng trước bài toán này, đa số học sinh lúng túng. Sử dụng lượng giác là chuyển bài toán đại số, hình học, … sang bài toán mới mang hình thức lượng giác thuần túy. Việc lượng giác hóa được nghĩ đến khi dữ liệu bài toán có mang dấu hiệu đặc biệt của các yếu tố trong bài. Nếu phát hiện được, định hướng được, chuyển được sang lượng giác thì rất nhiều bài toán được giải nhanh hơn và đơn giản hơn nhờ công thức lượng giác và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc. Trong nhiều năm phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và dạy các lớp thuộc ban Khoa học tự nhiên, chủ đề này cho học sinh bồi 2 dưỡng học sinh giỏi (khoảng 12 tiết) vào cuối năm học 11. Đa số học sinh tiếp cận được và đều có cách giải, cách nhìn bài toán dưới con mắt lượng giác hóa khi phát hiện được dấu hiệu một cách hiệu quả. 3 3. Giải pháp và tổ chức thực hiện 3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT a. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: (SGK 12 NC trang 18) Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập D ( ) D ⊂ ¡ a) Nếu tồn tại một điểm 0 x D∈ sao cho 0 ( ) ( ),f x f x x D≤ ∀ ∈ thì số ( ) 0 M f x= được gọi là gía trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D. Kí hiệu: ( ) x D M max f x ∈ = . b) Nếu tồn tại một điểm 0 x D∈ sao cho 0 ( ) ( ),f x f x x D≥ ∀ ∈ thì số ( ) 0 m f x= được gọi là gía trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D. Kí hiệu: min ( ) x D m f x ∈ = . Từ định nghĩa trên thông thường để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần tiến hành các bước sau: Bước 1: Xác lập bất đẳng thức dạng ( )f x M≤ (hay ( )f x m≥ ), với M, m là các hằng số. Bước 2: Kiểm tra dấu đẳng thức “có” xảy ra. Bước 3: Kết luận max (hay min) theo yêu cầu. b. Các dấu hiệu cơ bản để lượng giác hóa bài toán nhờ phương pháp đặt ẩn phụ:  Trường hợp cho trước điều kiện của biến: Điều kiện của biến x, y Đặt ẩn phụ với t Cơ sở lượng giác 1x ≤ sin , ; 2 2 x t t π π   = ∈ −     hoặc [ ] cos , 0;x t t π = ∈ sin 1x t= ≤ hoặc cos 1x t= ≤ , 0x k k≤ > sin , ; 2 2 x k t t π π   = ∈ −     hoặc [ ] cos , 0;x k t t π = ∈ sinx k t k= ≤ hoặc cosx k t k= ≤ ( ) 2 2 2 2 2 , , 0 a x b y c a b c + = > [ ] sin , 0;2 c x t a t c y cost b π  =   ∈   =   ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos a x b y c t c t c t t c + = + = + = 4 x k≥ 3 , 0; ; cos 2 2 k x t t π π π     = ∈ ∪ ÷ ÷       cos k x k t = ≥  Trường hợp điều kiện của biến x, y không cho trước mà ẩn trong hàm số chứng ta cần lưu ý cho học sinh mối liên hệ giữa biểu thức đại số và biểu thức lượng giác và công thức lượng giác tương ứng. Biểu thức đại số Đặt ẩn mới Công thức lượng giác 2 1 x− sin , ; 2 2 x t t π π   = ∈ −     hoặc [ ] cos , 0;x t t π = ∈ 2 1 sin cos cost t t− = = 2 1 cos sin sint t t− = = 2 1x − 3 , 0; ; cos 2 2 k x t t π π π     = ∈ ∪ ÷ ÷       hoặc 3 , 0; ; sin 2 2 k x t t π π π     = ∈ ∪         2 2 2 1 1 1 cos tan tan tan x t t t t − = − = = = 2 2 2 1 1 1 sin cot cot cot x t t t t − = − = = = 2 1x + tan , ; 2 2 x t t π π   = ∈ −  ÷   2 2 2 1 1 tan 1 cos x t t + = + = 2 2 x k+ tan , ; 2 2 x k t t π π   = ∈ −  ÷   2 2 2 2 2 2 2 tan cos k x k k t k t + = + = 3 4 3x x− [ ] cos , 0;x t t π = ∈ 3 4cos 3cos cos3t t t− = 2 2 1x − [ ] cos , 0;x t t π = ∈ 2 2cos 1 cos2t t− = 2 2 1 x x+ tan , ; 2 2 x t t π π   = ∈ −  ÷   2 2tan tan2 1 tan t t t = + 1 x y xy + − tan , , ; tan 2 2 x u u v y v π π =    ∈ −   ÷ =    tan tan tan( ) 1 tan .tan u v u v u v + = + − x y z xyz + + = tan ; tan ; tan x y z α β γ = = = với , , ; 2 2 π π α β γ   ∈ −  ÷   ( ) ( ) tan tan tan tan .tan .tan tan tan tan 1 tan .tan tan tan k α β γ α β γ α β γ α β α β γ α β γ π + + = + ⇔ = − − ⇔ + = − ⇔ + + = * Nếu cho x, y, z > 0 thì 5 α β γ π + + = 1 xy yz zx + + = tan ; tan ; tanx y z α β γ = = = với , , ; 2 2 π π α β γ   ∈ −  ÷   ( ) tan .tan tan .tan tan .tan 1 tan tan 1 1 tan .tan tan tan tan 2 2 2 2 2k α β β γ γ α α β α β γ π α β γ α β γ π π + + = + ⇔ = −   ⇔ + = −  ÷   ⇔ + + = + * Nếu cho x, y, z > 0 thì 2 2 2 α β γ π + + = c. Những điều cần lưu ý về miền giá trị của biểu thức lượng giác: * Nếu tập giá trị của t là ; 2 2 π π   −     thì tập giá trị của sint là [ ] 1;1− ; sin 1t ≤ . * Nếu tập giá trị của t là [ ] 0; π thì tập giá trị của cost là [ ] 1;1− ; cos 1t ≤ . * Nếu tập giá trị của t là [ ] 0;2 π thì tập giá trị của cos sina t b t+ là 2 2 2 2 ;a b a b   − + +   . * Nếu tập giá trị của t là 3 0; ; 2 2 π π π     ∪  ÷  ÷     thì tập giá trị của tan cott t+ là [ ) 2;+∞ . * Điều kiện để phương trình .cos .sina x b x c+ = có nghiệm là 2 2 2 0a b c+ − ≥ . d. Các bước sử dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: - Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa. Biến đổi điều kiện của biến cho xuất hiện dấu hiệu áp dụng. - Bước 2: Đặt ẩn phụ và phạm vi góc lượng giác tương ứng thích hợp. Đưa biểu thức đã cho sang biểu thức lượng giác. - Bước 3: Thu gọn biểu thức lượng giác. Sử dụng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản. - Bước 4: Chứng tỏ tồn tại một giá trị của biến x để đẳng thức xảy ra. - Bước 5: Kết luận. 3.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: Sử dụng điều kiện biến x với , 0x k k≤ > 6 Ví dụ 1: Cho 1x ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) ( ) 2009 2009 1 1P x x= − + + Giải: Từ điều kiện 1x ≤ ta nghĩ đến dùng phương pháp lượng giác để tìm. Đặt [ ] cos2 ,2 0;x t t π = ∈ . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 2009 2009 2009 2 2 1 cos2 1 cos2 2sin 2cosP t t t t= − + + = + . 2009 4018 4018 2 .(sin cos )t t= + Suy ra: 2009 2 2 2 .(sin cos )P t t≤ + hay 2009 2P ≤ . Ta có: Tồn tại 2009 2P = khi sin .cos 0t t⇔ = hay 0 2 t t π =    =  . Lúc đó: 1x = hoặc 1x = − . Vậy [ ] 2009 1;1 max 2 x P ∈ − = khi 1x = ± . Ví dụ 2: Cho 1x ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) 2 . 4 3P x x= − Giải: Tương tự ví dụ 1, đặt cos , 0; 1. 2 x t t x π   = ∈ ⇒ ≤     Lúc đó: ( ) 2 3 cos . 4cos 3 4cos 3cos cos3 1P t t t t t = − = − = ≤ . Ta có: 1 cos3 1 0P t t= ⇔ = ⇔ = . Suy ra: 1x = hoặc 1x = − . Vậy [ ] 1;1 max 1 x P ∈ − = khi 1x = ± . Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3. 9 4P x x= − + Giải: Điều kiện: 2 9 0 3x x− ≥ ⇔ ≤ . Thông qua điều kiện bài toán ta đặt [ ] 3cos , 0;x t t π = ∈ . Lúc đó: 2 3. 9 9cos 4.3.cos 9.sin 12.cosP t t t t= − + = + . 3 4 15 sin cos 15cos( ) 5 5 t t t α   = + = −  ÷   với 3 sin 5 , 0; 4 2 cos 5 α π α α  =     ∈   ÷    =   7 Suy ra: 15.P ≤ Tồn tại 12 5 x = để 15P = . Vậy [ ] 3;3 max 15 x P ∈ − = khi 12 5 x = . Ví dụ 4: Cho x thỏa điều kiện 1 3x≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 4 24 45 26P x x x= − + − Giải: Từ điều kiện 1 3x≤ ≤ ta suy ra: 2 1 2 2 1x x− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ . Đặt [ ] 2 cos 2 cos , 0;x t x t t π − = ⇔ = + ∈ . Khi đó: 3 2 4(2 cos ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26P t t t= + − + + + − 3 4cos 3cos cos3 1t t t= − = ≥ − . Ta có: 1 cos3 1 3 t P t t π π  =  = − ⇔ = − ⇔  =  . Suy ra: 5 2 x = hoặc 1.x = Vậy [ ] 1;3 min 1 x P ∈ = − khi 5 2 x = hoặc 1x = . * Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp đạo hàm (chương trình học 12), tuy nhiên giải bằng cách trên học sinh lớp 11 vẫn làm được. Ví dụ 5: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa: 2 2 2 4x y z xyz+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z= + + . Giải: Từ điều kiện ban đầu ta suy ra: ( ) , , 0;2x y z∈ . Từ đây gợi chúng ta đi đến phép thế lượng giác. Đặt 2cos , 2cos , 2cosx y z α β γ = = = với , , 0; 2 π α β γ   ∈  ÷   . Ta xem điều kiện 2 2 2 4x y z xyz+ + + = như là một phương trình bậc hai theo ẩn x. Từ đó ta có: ( ) ( ) 2 2 4 . 4 2 yz y z x − + − − = . Suy ra: ( ) ( ) 2 2 4cos .cos 4 4cos . 4 4cos 2.cos 2 β γ β γ α − + − − = 8 ( ) ( ) 4.cos 4cos .cos 4sin .sin cos cos cos cos α β γ α β α β γ α π β γ α β γ π ⇔ = − + ⇔ = − + ⇔ = − − ⇔ + + = Khi đó ta có: ( ) 2 2 cos cos cos 2 2cos .cos 1 2sin 2 2 2 P α β α β γ α β γ + −   = + + = + −  ÷   2 2 3 1 3 2 2sin .1 1 2sin 2 2. sin 2. 3. 2 2 2 2 2 2 γ γ γ       ≤ + − = − − ≤ =    ÷  ÷         Ta có: 1 3 khi sin 2 2 P γ = = . Suy ra: 3 π α β γ = = = hay ( ) ( ) ; ; 1;1;1x y z = . Vậy [ ] 3;3 max 3 x P ∈ − = khi ( ) ; ;x y z bằng ( ) 1;1;1 . DẠNG 2: Sử dụng điều kiện: 2 2 1x y+ = hoặc 2 2 2 2 2 a x b y c+ = Ví dụ 1 : Cho 2 2 1x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6 P x y= + Giải: Từ điều kiện 2 2 1x y+ = ta đặt [ ] sin , 0;2 cos x t t y t π =  ∈  =  . Khi đó: 6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 P t t t= + = − . Do 2 0 sin 1,t t≤ ≤ ∀ nên 1 1 4 P≤ ≤ . Ta có: 1 sin 2 0 2 P t t k π = ⇔ = ⇔ = . Suy ra: 0 1 x y =   = ±  hoặc 1 0 x y = ±   =  . 2 2 1 sin 2 1 cos 2 0 4 4 2 P t t t k π π = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + . Suy ra: 2 2 2 2 x y  = ±     = ±   . Vậy 2 2 1 1 min 4 x y P + = = khi 2 2 2 2 x y  = ±     = ±   ; 9 2 2 1 max 1 x y P + = = khi 1 0 x y = ±   =  hoặc 0 1 x y =   = ±  . Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 2 2 1x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 2 6 1 2 2 x xy P xy y + = + + . (Đề thi Đại học – Khối B 2008) Giải: Từ điều kiện 2 2 1x y+ = ta đặt [ ] cos , 0;2 sin x t t y t π =  ∈  =  . Khi đó: ( ) 2 2 2 cos 6cos .sin 1 cos2 6sin2 1 2cos .sin 2sin 2 sin 2 cos2 t t t t t P t t t t t + + + = = + + + − . Suy ra: ( ) 2 sin 2 cos2 1 cos2 6sin 2t t P t t+ − = + + ( ) ( ) 1 cos2 6 sin 2 1P t P t P⇔ + + − = − (*) Phương trình (*) có nghiệm theo t ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 6 2 1 2 6 36 0 6 3P P P P P P⇔ + + − ≥ − ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . * Với 3P = , từ (1) suy ra: 4 3 4cos2 3sin 5 cos2 sin 1 5 5 t t t t+ = ⇔ + = (1) Đặt 4 cos 5 , 0; 3 2 sin 5 α π α α  =     ∈   ÷    =   . Từ (1) ta có: ( ) cos 2 1 2 t t k α α π − = ⇔ = + . Khi đó: ( ) ( ) cos 1 .cos 2 2 sin 1 .sin 2 2 k k x k y k α α π α α π   = + = −  ÷     = + = −  ÷   . Suy ra: ( ) 3 1 ; ; 10 10 x y   =  ÷   khi k chẵn hoặc ( ) 3 1 ; ; 10 10 x y   = − −  ÷   khi k lẻ. 10 [...]... + y 2 = 2 Tìm 3 3 giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 ( x + y ) − 3xy 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P = 2 x − x − 3x + 3 5) Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn: x 2 + y 2 = 4 19 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2+ y + y 2+ x 5 x + 12 6) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + x2 7) Cho hai số thực x,... 10) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 3 x + 3 + 4 1− x +1 4 x + 3 + 3 1− x +1 11) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc P = xy + yz + zx − xyz 12) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 2 x ( 1 − y 2 ) + 2 y ( 1 − x2 ) (1+ x ) (1+ y ) 2 2 4 Kiểm nghiệm Trong các... ( 2 + 2 β ) 2sin 2 = sin 2 sin 2 β sin ( 2 − 2 β ) − sin ( 2 + 2 β ) 2sin 2 2sin 2 4sin γ cos γ ≥ = = = 2 tan γ 1 − sin ( 2 + 2 β ) 1 + cos 2 2cos 2 γ ⇒ cot 2 + cot 2 − 2 tan γ ≥ 0 1 Từ đó suy ra: P ≥ 0 Với x = y = z = thì P = 0 Vậy min P = 0 3 Nhận xét: cot 2 + cot 2 = DẠNG 5: Sử dụng lượng giác khi bài toán có xuất hiện biểu thức 2 2 x 2 + y 2 hay ( x + a ) + ( y + b ) 2 2 Lưu ý: Bài. .. 2 + y 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 16 ( x5 + y 5 ) − 20 ( x3 + y 3 ) + 5 ( x + y ) 8) Cho x, y , z thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1 1 + + 1 + a 2 1 + b2 1 + c 2 9) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z 10) Tìm. .. min P = 1 khi x = 2 DẠNG 4: Sử dụng lượng giác khi bài toán có xuất hiện biểu thức 1 + x 2 hay x 2 + m 2 Lưu ý: π π   Bài toán có chứa x 2 + m 2 thì đặt x = m.tan t , t ∈  − ; ÷ 2 2   Khi đó: x 2 + m 2 = m 2 ( tan 2 t + 1) = m2 cos 2 t Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = Giải: 1 + x6 (1+ x ) 2 3 π π   Với mọi x ∈ ¡ , đặt x = tan t , t ∈  − ; ÷ 2 2   sin 2 t sin 4 t 1−... + 12 x 4 ( 1 + 2x ) 2 2 π π   Với mọi x ∈ ¡ , đặt 2 x = tan t , t ∈  − ; ÷ 2 2 Khi đó: P = 3 + 4 tan 2 t + 3tan 4 t ( 1 + tan t ) 2 2 =   3cos 4 t + 4sin 2 t.cos 2 t + 3sin 4 t ( cos = 3 ( sin 2 t + cos 2 t ) − 2sin 2 t.cos 2 t 2 t + sin 2 t ) 2 2 1 = 3 − sin 2 2t 2 Do 0 ≤ sin 2 2t ≤ 1 P= 5 ≤ P ≤ 3 2 nên 5 2 ⇔ sin 2 2t = 1 ⇒ x = 2 2 5 P = 3 ⇔ sin 2 2t = 0 ⇒ x = 0 Vậy min P = ,m ax P = 3 2 Ví...  y=Acost  ⇒ x2 + y2 =A2 Khi đó giả thiết đã cho trở thành : A2.(14.sintcost + 23 cos2t - 25 sin2t) -24 =0 ⇔ A2.(7sin2t + 24 cos2t - 1) -24 =0 A2 25 ( sin(2t+α ) −1 = 24 với   7  cosα = 25   sinα = 24  25  Từ kết quả trên, kết hợp với tạp giá trị của hàm sinx ta suy ra: 0 < 25 .sin ( 2t + α ) − 1 ≤ 24 Do đó A2 ≥ 1 (Đẳng thức xảy ra khi sin(2t+ α )=1.Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm bằng 1 Ví dụ... ÷  cos t.sin t   2   sin 2t  25  1 Khi đó: P ≥ 1 − ÷( 1 + 16 ) + 4 = 2  2 11 25 π π ⇔ sin 2 2t = 1 ⇔ cos 2t = 0 ⇔ t = + k 2 4 2  2 x = ±  2 Khi đó:  y = ± 2   2  2 x = ±  25 2 Vậy xmin=1 P = khi  2 + y2 2 y = ± 2   2 Ta có: P =  x2 + y2 = 9  2 2 Ví dụ 4: Cho các số thực x, y, z, t thỏa điều kiện:  z + t = 16  xt + yz ≥ 12  Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P... A2 - 1 Ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của P là 0 3.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa hệ thức: x 2 + y 2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x3 + y 3  x 2 + y 2 = 25  2 2 2) Cho x, y, z, t là các số thực thỏa hệ:  z + t = 16 Tìm giá trị nhỏ  xz + yt ≥ 20  nhất của biểu thức P = x + t 3) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa hệ thức: x 2 + y 2 = 2 Tìm 3 3 giá. .. tan 2 t + tan 4 t cos 2 t cos 4 t = = Khi đó: P = 3 2 1 1 + tan 2 t ) 1 + tan 2 t ) ( ( cos 4 t = cos 4 t − sin 2 t.cos 2 t + sin 4 t = ( sin 2 t + cos 2 t ) − 3sin 2 t.cos 2 t 2 3 = 1 − sin 2 2t 4 1 1 ≤ P ≤ 1 Ta có: P = ⇔ sin 2 2t = 1 ⇒ x = ±1 4 4 1 P = 1 ⇔ sin 2 2t = 0 ⇒ x = 0 Vậy min P = ,m ax P = 1 4 Do 0 ≤ sin 2 2t ≤ 1 nên 14 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = Giải: 3 + 8 x 2 . xyz+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc P xy yz zx xyz= + + − . 12) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 x y y x P x. 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ( ) 2 4 2 2 3 8 12 1 2 x x P x + + = + . Giải: Với mọi x∈¡ , đặt 2 tan , ; . 2 2 x t t π π   = ∈ −  ÷   Khi đó: ( ) ( ) 2 4 4 2 2 4 2 2 2. thỏa mãn: 2 2 4x y+ = . 19 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2P x y y x= + + + . 6) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 5 12 1 x P x + = + . 7) Cho hai