SKKN ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học ở THPT

Phần I: MỞ ĐẦU 1.Mục đích của sáng kiến Lượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại và tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân. Nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác. Qua một số năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học về lượng giác rất khó tiếp thu và vận dụng cao. Vì vậy để giúp học sinh học tốt nội dung lượng giác lớp 10 tôi đã chọn đề tài “ Ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học”. 2.Đóng góp của sáng kiến Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh của trường, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến đổi lượng giác và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học và chuẩn bị tốt kiến thức trong khi làm những bài tập có tính phân loại cao trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT quốc gia. 2 Phần II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn 1. Cơ sở lí luận: Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Những vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trình lượng giác… đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông. Tuy nhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu như không được nhắc đến. Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác. Qua đó rèn luyên kĩ năng tư duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau. Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản. Đọc giả muốn tìm hiểu tất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông. 3 Chương II: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến 1. Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải Tôi nhận thấy đa số học sinh khi biến đổi lượng giác còn lúng túng và dẫn đến sai lầm. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ: - Các em còn lúng túng trong việc vận dụng các công thức lượng giác. - Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc. - Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt. - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học. Hơn nữa trong những năm trở lại đây đề thi vào Đại học nay là kỳ thi THPT quốc gia thường phân loại học sinh ở những câu khó và có tính vận dụng cao. Chính vì vậy SKKN giúp một phần nào đó trang bị thêm ứng dụng để các em có thêm hướng giải quyết bài làm trong những câu phân loại. 2. Hướng khắc phục Ngoài những công thức biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác mà các em đã học. Sau đây là một số lưu ý về một số phép thế đặc trưng: 2.1. Một số phép thế lượng giác chung a) Nếu x ≤ a ( a > 0 ) thì có thể đặt:   π π  x = a sin α ;α ∈  − 2 ; 2      x = a cos α ;α ∈ [ 0; π ] Biểu thức áp dụng: a2 − x2 . 2 2 2 b) Nếu x + y = a thì có thể đặt:  x = a sin α ;α ∈ [ 0;2π ]  y = a cos α  c) Nếu x ≥ a thì có thể đặt: 4 a a ,x = cos α sin α x= Biểu thức áp dụng: x2 − a2 . d) Với mọi x đều có thể đặt:  π π x = tan α ;α ∈  − ; ÷  2 2 Biểu thức áp dụng: x2 + a2 , x+ y . 1 − xy 2.2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác a) Nếu xy + yz + zx = 1 thì tồn tại các góc α , β , γ sao cho: α β γ   x = tan , y = tan , z = tan 2 2 2  α + β + γ = π b) Nếu x + y + z = xyz thì tồn tại các góc α , β , γ sao cho:  x = tan α , y = tan β , z = tan γ  α + β + γ = π Đặc biệt: Nếu ba số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1 thì tồn tại tam giác ABC sao cho: A B C , y = tan , z = tan 2 2 2 Nếu ba số dương x, y, z thỏa x + y + z = xyz thì tồn tại tam giác nhọn ABC x = tan thỏa: x = tan A, y = tan B, z = tan C 5 Chương III: Giải quyết vấn đề Vấn đề 1: Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bản như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới. Vấn đề 2: Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giác xuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ra một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác. Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có những kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây 6 Vấn đề 1: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ I. Chứng minh Đẳng thức, Bất đẳng thức Bài 1: 2 2 2 2 Cho x ≥ y . Chứng minh rằng: x + y + x − y = x + x − y + x − x − y . Giải Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu x ≠ 0 : chia hai vế cho |x| 2 2 y y  y  y 1+ + 1− = 1+ 1−  ÷ + 1− 1−  ÷ x x x x Vì (1) y y ≤ 1 nên có thể đặt = cos α ( 0 ≤ α ≤ π ) . x x ( 1) ⇔ 1 + cos α + 1 − cos α = 1 + sin α + 1 − sin α ⇔ 1 + cos α + 1 − cos α = 1 + sin α + 1 − sin α Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh. Bài 2: Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1). Chứng minh: abc + ( 1 − a) ( 1 − b) ( 1 − c) < 1. Giải  π Vì 0 < a, b, c < 1 nên tồn tại các góc x, y, z ∈  0; ÷ thỏa:  2 a = cos 2 x, b = cos 2 y, c = cos 2 z . Bất đẳng thức trở thành: cos x cos y cos z + sin x sin y sin z < 1 . Thật vậy: cos x cos y cos z + sin x sin y sin z < cos x cos y + sin x sin y = cos ( x − y ) ≤ 1 . Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. 7 Bài 3: 2 2 Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1 . Chứng minh rằng: 16 ( x 5 + y 5 ) − 20 ( x 3 + y 3 ) + 5 ( x + y ) ≤ 2 . Giải Đặt x = cos a, y = sin a; a ∈ ( 0;2π ) . Áp dụng các công thức lượng giác: cos5a = 16cos5 a − 20cos3 a + 5cos a = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x sin 5a = 16sin 5 a − 20sin 3 a + 5sin a = 16 y 5 − 20 y 3 + 5 y Do đó: π  16 ( x 5 + y 5 ) − 20 ( x 3 + y 3 ) + 5 ( x + y ) = sin 5a + cos5a = 2 sin  5a + ÷≤ 2 . 4  Bài 4: ( x − y ) (1− x y ) P = Cho biểu thức . Chứng minh (1+ x ) (1+ y ) 2 2 2 2 2 2 2 2 P≤ 1 . 4 Giải Ta có: P = x2 ( 1 + x2 ) 2 − y2 (1+ y ) 2 2 . Đặt x = tan α , y = tan β thì sin 2α = 2x 2y ,sin 2 β = . 2 1+ x 1 + y2 Do đó: 1 1 sin 2 2α − sin 2 2 β ) = ( sin 2α − sin 2 β ) ( sin 2α + sin 2 β ) ( 4 4 = cos ( α + β ) sin ( α − β ) sin ( α + β ) cos ( α − β ) P= 1 = sin ( 2α + 2β ) sin ( 2α − 2 β ) 4 Vậy P ≤ 1 . 4 8 Bài 5: Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh: 2x 2y 2z 1 1 1 + + ≤ + + . 1 + x2 1 + y 2 1 + z 2 1 + x2 1 + y2 1 + z2 Giải Tồn tại tam giác ABC thỏa: x = tan A B C , y = tan , z = tan . 2 2 2 Bất đẳng thức được viết lại: sin A + sin B + sin C ≤ cos A B C + cos + cos . 2 2 2 Ta có: sin A + sin B = 2sin A+ B A− B C cos ≤ 2cos . 2 2 2 Tương tự A 2 B sin C + sin A ≤ 2cos 2 sin B + sin C ≤ 2cos Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi: A= B =C = π 1 ⇔x=y=z= . 3 3 Bài 6: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b. Chứng minh: 2 2 3 10 − 2 + 2 ≤ . a +1 b +1 c +1 3 2 Giải Từ điều kiện của a, b, c suy ra b = a+c . 1 − ac 9 Đặt a = tan A, c = tan C thì b = tan ( A + C ) . Bất đẳng thức được viết lại: 2 2 3 10 − + ≤ tan 2 A + 1 tan 2 ( A + C ) + 1 tan 2 C + 1 3 Ta có: 2 2 3 − + tan 2 A + 1 tan 2 ( A + C ) + 1 tan 2 C + 1 = 2cos 2 A − 2cos 2 ( A + C ) + 3cos 2 C = cos 2 A − cos 2 ( A + C ) + 3cos 2 C = 2sin ( 2 A + C ) sin C + 3cos 2 C ≤ 2 sin C + 3 ( 1 − sin 2 C ) 2 10  1  10 = − 3  sin C − ÷ ≤ 3 3 3  Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi:  sin ( 2 A + C ) sin C ≥ 0   sin ( 2 A + C ) = 1   sin C = 1  3 Bài 7: Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện: 1 1 1 2 =1 2 + 2 + 2 + ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) Chứng minh: abc ≥ 1 . Giải Từ giả thiết, tồn tại các góc nhọn A, B, C thỏa: cos A = 1 1 1 ,cos B = ,cos C = . a +1 b +1 c +1 10 Ta có: cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 2cos A cos B cos C = 1 ⇔ ( cos A + cos B cos C ) = ( 1 − cos 2 B ) ( 1 − cos 2 C ) 2 ⇔ cos A + cos B cos C = sin B sin C ⇔ cos A = − cos ( B + C ) ⇔ A+ B +C =π Vậy A, B, C là ba góc của một tam giác. Theo cách đặt thì: a = 1 − cos A 1 − cos B 1 − cos C ,b = ,c = . cos A cos B cos C Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: ( 1 − cos A ) ( 1 − cos B ) ( 1 − cos C ) ≥ cos A cos B cos C 1 − cos A 1 − cos B 1 − cos C . . ≥ cot A cot B cot C sin A sin B sin C A B C ⇔ tan tan tan ≥ cot A cot B cot C 2 2 2 A B C ⇔ tan A tan B tan C ≥ cot cot cot 2 2 2 A B C ⇔ tan A + tan B + tan C ≥ cot + cot + cot 2 2 2 ⇔ Để ý rằng: tan A + tan B = sin ( A + B ) 2sin C 2sin C C = ≥ = 2cot cos A cos B cos ( A − B ) + cos ( A + B ) 1 − cos C 2 Tương tự: A 2 B tan C + tan A ≥ 2cot 2 tan B + tan C ≥ 2cot Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, ta được điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1. 11 LUYỆN TẬP Bài 8: ab + cd ≤ Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh: ( a + d ) ( b + c) . Bài 9: 2 2 Cho x, y là hai số thỏa 4 x + 9 y = 25 . Chứng minh: 6 x + 12 y ≤ 25 . Bài 10: Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz. Chứng minh rằng: 1 1+ x 2 + 1 1+ y 2 + 1 1+ z 2 ≤ 3 . 2 Bài 11: Cho ba số dương thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng: 2x 1 + x2 + y 1 + y2 + z 1 + z2 ≤ 9 . 4 II. Giải phương trình Bài 12: Giải phương trình: 1 − x 2 = 4 x 3 − 3 x . Giải Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1 . Đặt x = cos α ( 0 ≤ α ≤ π ) , ta được phương trình: π  3 α = − α + k 2π  π  2 sin α = cos3α ⇔ cos3α = cos  − α ÷ ⇔  ( k ∈¢ 2  3α = − π + α + k 2π  2 )  π 5π 3π  Đối chiếu điều kiện 0 ≤ α ≤ π , ta tính được: α ∈  ; ;  . 8 8 4  Nghiệm của phương trình ban đầu là: 12 x = cos π = 8 π 4 = 2+ 2 2 2 1 + cos 5π 4 =− 2− 2 2 2 1 + cos x = cos 5π =− 8 x = cos 3π 2 =− 4 2 Bài 13: Giải phương trình: x = 2 + 2 − 2 + x . Giải  x < −2  x + 2 < 0 ⇒ Nếu  thì Vế phải không xác định. x > 2 2 − 2 + x < 0 Do đó x ∈ [ −2;2] . Đặt x = 2cos t ( 0 ≤ t ≤ π ) . Khi đó: 2 + x = 2cos t 2 t π t  = 2cos  − ÷ 4  2 4 π t  2 + 2 − 2 + x = 2cos  − ÷  4 8 2 − 2 + x = 2sin Phương trình được rút gọn thành: 2π π t  cos t = cos  − ÷ ⇔ t = 9  4 8 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2cos 2π . 9 Bài 14: Giải phương trình: x + x x2 − 1 = 35 . 12 Giải 13 Điều kiện x>1. Đặt x = 1  π  0 < α < ÷. Phương trình trở thành: sin α  2 1 1 35 + = sin α cos α 12 ( ) Đặt t = sin α + cos α 0 < t ≤ 2 thì:  7 t = 5 2t 35 = ⇔ t 2 − 1 12 t = − 5  7 7  sin α + cos α =  7  5 Loại nghiệm âm, với t = , ta được  . 5 sin α cos α = 12  25 3  sin α =  5 Do đó  . Nghiệm của phương trình là 4 sin α =  5 3  x =  5  . 4 x =  5 Bài 15: Giải phương trình: x 5 − 15 x 3 + 45 x − 27 = 0 . Giải Trước hết ta chứng minh công thức: cos5a = 16cos5 a − 20cos3 a + 5cos a . Thật vậy: cos5a = cos ( 3a + 2a ) = cos3a cos 2a − sin 3a sin 2a = ( 4cos3 a − 3cos a ) ( 2cos 2 a − 1) − ( 3sin a − 4sin 3 a ) 2sin a cos a Khai triển và thu gọn, đưa tất cả về cosa ta được điều phải chứng minh. Ta tìm nghiệm của phương trình ban đầu thỏa: x ≤ 2 3 . Đặt x = 2 3 cos t ( 0 ≤ t ≤ π ) . Phương trình trở thành: 14 288 3 cos5 t − 360 3 cos 3 t + 90 3 cos t − 27 = 0 ⇔ 2 ( 16cos5 t − 20cos3 t + 5cos t ) − 3 = 0 ⇔ cos5t = cos π π k 2π ⇔t=± + ( k ∈¢ 6 30 5 ) Vậy ta tìm được 5 nghiệm trên đoạn  −2 3;2 3  là:  π k 2π 2 3 cos  + 5  30  ÷; k = 0,1,2,3,4 .  Phương trình bậc năm có tối đa 5 nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm. Bài 16: Cho a 1 (vô lý). Giả sử x là số nhỏ nhất và x[...]... Yếu 2 áp dụng SKKN TB Khá 13 19 Giỏi 8 Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 27 Qua đây tôi mong muốn được đóng góp một phần công sức của mình trong việc hướng dẫn học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán và ôn thi đại học Với SKKN nhỏ này cũng giúp tôi và đồng nghiệp nâng cao năng lực chuyên môn và làm tư liệu dạy ôn thi đại học nay là kỳ thi THPT quốc gia Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ của... 1) ( y − 1) = 0  x − 3z − 3z 2 x + z 3 = 0  2 3 c)  y − 3x − 3 x y + x = 0  z − 3 y − 3 y2 z + y3 = 0  Vấn đề 2: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC I Hệ thức lượng trong tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh: C A B + ( b − c ) cot + ( c − a ) cot = 0 2 2 2 Giải : Áp dụng định lý sin, ta có: ( a − b ) cot C C cos cos C A + B A − B 2 sin ( a − b ) cot = 2 R ( sin A − sin B ) C2 = 4 R... này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, Đặc biệt các em hiểu thêm về cách xây dựng công thức, những bài toán đặc trưng ở những câu khó Chính vì các em nhận thấy với mỗi bài toán nếu ta chịu tìm tòi sang tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổ ích nên rất hứng thú với môn học do dó mỗi năm học tôi nhận thấy chất lượng. .. tam giác ABC cân tại B LUYỆN TẬP Bài 10: Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC không đều Chứng minh rằng góc AIO ≤ 900 khi và chỉ khi 2BC ≤ AB + AC Bài 11: Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB Chứng minh: MB '+ MC ' A ≤ 2sin MA 2 26 Chương 4: Kiểm chứng các giải pháp đã được triển khai Khi áp dụng. .. riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm khá cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường Cụ thể chất lượng khi áp dụng sang kiên kinh nghiệm: Kết quả khảo sát: Năm học Không áp dụng SKKN Yếu TB Khá Giỏi 2013-2014 8 20 10 4 Yếu 2 áp dụng SKKN TB... PHỤ LỤC 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010 2 Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM - 2005 3 Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho - NXB Giáo Dục – 2005 4 Đại số lớp 10 – NXB Giáo dục 29 ... 3 Bài 3: Cho tam giác ABC thỏa: cos B a+c = 2 2c Chứng minh ABC là tam giác vuông Giải Sử dụng định lý sin: B sin A + sin C = ⇔ ( 1 + cos B ) sin C = sin A + sin C 2 2sin C ⇔ cos B sin C = sin A ⇔ sin ( B + C ) + sin ( C − B ) = 2sin A cos 2 ⇔ sin ( C − B ) = sin A ⇔ C − B = A ⇔ C = π 2 Vậy tam giác vuông tại C Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn Gọi ma là trung tuyến ứng với đỉnh A a) Chứng minh: ma ≤ R...LUYỆN TẬP Bài 8: ab + cd ≤ Cho các số dương a, b, c, d Chứng minh: ( a + d ) ( b + c) Bài 9: 2 2 Cho x, y là hai số thỏa 4 x + 9 y = 25 Chứng minh: 6 x + 12 y ≤ 25 Bài 10: Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz Chứng minh rằng: 1 1+ x 2 + 1 1+ y 2 + 1 1+ z 2 ≤ 3 2 Bài 11: Cho ba số dương thỏa xy+yz+zx=1 Chứng minh rằng: 2x 1 + x2 + y 1 + y2 + z 1 + z2 ≤ 9 4 II Giải phương... sin C  Bài 6: Nhận dạng tam giác ABC thỏa điều kiện: a) sin A + sin B + sin C = cos b) sin A B C + cos + cos 2 2 2 A B ab sin = 2 2 4c II Một số bài toán hình học Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh BC lấy K sao cho BK=4KC, trên cạnh CD lấy M sao cho CM=4MD Với tỉ số AB/BC bằng bao nhiêu thì góc KAM lớn nhất? Giải A B K D Giả sử M C AB 1 = Gọi α , β lần lượt là số đo góc BAK, MAD BC x Ta cần... 2 + z 2 Suy ra S ≥ 0 nên trong ba số x, y , z phải có ít nhất một số không âm 2 Giả sử x ≥ 0 ⇒ 4 y − y ≤ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤ 4 Tương tự ta cũng chứng minh được: 0 ≤ x, z ≤ 4 Đặt x = 4sin 2 a;0 ≤ a ≤ π 2 2 2 2 2 2 Thay vào phương trình thứ ba: z = 4sin a ( 4 − 4sin a ) = 16sin a cos a = 4sin 2a 2 2 2 Thay vào phương trình thứ hai: y = 4sin 2a ( 4 − 4sin 2a ) = 4sin 4a 2 2 2 Thay vào phương trình thứ nhất: ... Một số ứng dụng lượng giác đại số Các dạng toán Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức nhắc tới Vấn đề 2: Ứng dụng lượng giác hình học Bản thân lượng giác xuất phát từ hình. .. tham khảo Các em học sinh cần có kiến thức sở lượng giác để theo dõi tập Vấn đề 1: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ I Chứng minh Đẳng thức, Bất đẳng thức Bài 1: 2 2 Cho x ≥ y Chứng minh rằng:... + y3 =  Vấn đề 2: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC I Hệ thức lượng tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh: C A B + ( b − c ) cot + ( c − a ) cot = 2 Giải : Áp dụng định lý sin, ta