Ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học

Phần I: MỞ ĐẦU 1.Mục đích của sáng kiến Lượng Giác lĩnh vực toán học, tồn tiếp tục phát triển hàng ngàn năm qua Lượng giác không nhánh đại số mà ngành tốn học độc lập, có nhiều ứng dụng khoa học thực tiễn Trong khn khổ tốn phổ thông, lượng giác giảng dạy vào cuối năm lớp 10 đầu năm lớp 11 với chủ đề như: Cơng thức lượng giác, Phương trình lượng giác Hệ thức lượng tam giác Tuy nhiên lượng giác xuất nhiều lĩnh vực khác tốn học như: Hình học, Tích phân Nhằm giúp em học sinh có nhìn khác chun ngành lượng giác Đó việc sử dụng cơng thức, tính chất lượng giác để giải tốn đại số hình học Bản thân tốn khơng liên quan tới lượng giác Qua số năm giảng dạy nhận thấy học sinh khối 10 học lượng giác khó tiếp thu vận dụng cao Vì để giúp học sinh học tốt nội dung lượng giác lớp 10 chọn đề tài “ Ứng dụng lượng giác đại số hình học” 2.Đóng góp của sáng kiến Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phép biến đổi lượng giác ứng dụng việc giải tốn Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học chuẩn bị tốt kiến thức làm tập có tính phân loại cao đề thi học sinh giỏi đề thi THPT quốc gia Phần II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận sở thực tiễn Cơ sở lí luận: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình phản ánh cách lơgíc biện chứng quan niệm nội thân em Từ kích thích em phát triển tốt Cơ sở thực tiễn: Căn vào quy luật phát triển nhận thức hình thành đặc điểm tâm lí từ lớp cuối cấp THCS, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Tốn học, mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngồi cịn có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Những vấn đề lượng giác công thức lượng giác, phương trình lượng giác… đề cập tới chương trình Trung học phổ thơng Tuy nhiên khn khổ sách giáo khoa ứng dụng lượng giác không nhắc đến Chuyên đề viết nhằm giúp độc giả thấy ứng dụng lượng giác việc giải tốn khác Qua rèn luyên kĩ tư duy, phát triển toán nhiều góc độ khác Tài liệu khơng nhắc lại công thức lượng giác Đọc giả muốn tìm hiểu tất nhiên phải nắm tính chất chương trình phổ thơng Chương II: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến Những khó khăn sai lầm mà học sinh thường mắc phải Tôi nhận thấy đa số học sinh biến đổi lượng giác lúng túng dẫn đến sai lầm Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh đòi hỏi nhiều công sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Các em lúng túng việc vận dụng công thức lượng giác - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lơgíc hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học Hơn năm trở lại đề thi vào Đại học kỳ thi THPT quốc gia thường phân loại học sinh câu khó có tính vận dụng cao Chính SKKN giúp phần trang bị thêm ứng dụng để em có thêm hướng giải làm câu phân loại Hướng khắc phục Ngồi cơng thức biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác mà em học Sau số lưu ý số phép đặc trưng: 2.1 Một số phép thế lượng giác chung a) Nếu x ≤ a ( a > ) đặt:   π π x = a sin α ; α ∈   − ;    x = a cos α ;α ∈ [ 0; π ] Biểu thức áp dụng: a2 − x2 2 b) Nếu x + y = a đặt:  x = a sin α ;α ∈ [ 0;2π ]  y = a cos α  c) Nếu x ≥ a đặt: a a ,x = cos α sin α x= Biểu thức áp dụng: x2 − a2 d) Với x đặt:  π π x = tan α ;α ∈  − ; ÷  2 Biểu thức áp dụng: x2 + a2 , x+ y − xy 2.2 Một số phép thế lượng giác tam giác a) Nếu xy + yz + zx = tồn góc α , β , γ cho: α β γ   x = tan , y = tan , z = tan 2  α + β + γ = π b) Nếu x + y + z = xyz tồn góc α , β , γ cho:  x = tan α , y = tan β , z = tan γ  α + β + γ = π Đặc biệt: Nếu ba số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = tồn tam giác ABC cho: A B C , y = tan , z = tan 2 Nếu ba số dương x, y, z thỏa x + y + z = xyz tồn tam giác nhọn ABC x = tan thỏa: x = tan A, y = tan B, z = tan C Chương III: Giải quyết vấn đề Vấn đề 1: Một số ứng dụng của lượng giác đại số Các dạng toán Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức nhắc tới Vấn đề 2: Ứng dụng của lượng giác hình học Bản thân lượng giác xuất phát từ hình học Tiêu biểu Hệ thức lượng tam giác Tài liệu đưa số tốn hình học phẳng mà giải công cụ lượng giác Do chuyên đề không nhắc lại kiến thức lượng giác nên tác giả chủ yếu đưa tập để bạn đọc tham khảo Các em học sinh cần có kiến thức sở lượng giác để theo dõi tập Vấn đề 1: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ I Chứng minh Đẳng thức, Bất đẳng thức Bài 1: 2 2 Cho x ≥ y Chứng minh rằng: x + y + x − y = x + x − y + x − x − y Giải Nếu x=0 y=0: đẳng thức hiển nhiên Nếu x ≠ : chia hai vế cho |x| 2 y y  y  y 1+ + 1− = 1+ 1−  ÷ + 1− 1−  ÷ x x x x Vì (1) y y ≤ nên đặt = cos α ( ≤ α ≤ π ) x x ( 1) ⇔ + cos α + − cos α = + sin α + − sin α ⇔ + cos α + − cos α = + sin α + − sin α Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh Bài 2: Cho a, b, c số thuộc khoảng (0;1) Chứng minh: abc + ( − a) ( − b) ( − c) < Giải  π Vì < a, b, c < nên tồn góc x, y, z ∈  0; ÷ thỏa:  2 a = cos x, b = cos y, c = cos z Bất đẳng thức trở thành: cos x cos y cos z + sin x sin y sin z < Thật vậy: cos x cos y cos z + sin x sin y sin z < cos x cos y + sin x sin y = cos ( x − y ) ≤ Bất đẳng thức ban đầu chứng minh Bài 3: 2 Cho hai số thực x, y thỏa x + y = Chứng minh rằng: 16 ( x + y ) − 20 ( x + y ) + ( x + y ) ≤ Giải Đặt x = cos a, y = sin a; a ∈ ( 0;2π ) Áp dụng công thức lượng giác: cos5a = 16cos5 a − 20cos3 a + 5cos a = 16 x − 20 x + x sin 5a = 16sin a − 20sin a + 5sin a = 16 y − 20 y + y Do đó: π  16 ( x + y ) − 20 ( x + y ) + ( x + y ) = sin 5a + cos5a = sin  5a + ÷≤ 4  Bài 4: ( x − y ) (1− x y ) P = Cho biểu thức Chứng minh (1+ x ) (1+ y ) 2 2 2 2 P≤ Giải Ta có: P = x2 ( + x2 ) − y2 (1+ y ) 2 Đặt x = tan α , y = tan β sin 2α = 2x 2y ,sin β = 1+ x + y2 Do đó: 1 sin 2α − sin 2 β ) = ( sin 2α − sin β ) ( sin 2α + sin β ) ( 4 = cos ( α + β ) sin ( α − β ) sin ( α + β ) cos ( α − β ) P= = sin ( 2α + 2β ) sin ( 2α − β ) Vậy P ≤ Bài 5: Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1 Chứng minh: 2x 2y 2z 1 + + ≤ + + + x2 + y + z + x2 + y2 + z2 Giải Tồn tam giác ABC thỏa: x = tan A B C , y = tan , z = tan 2 Bất đẳng thức viết lại: sin A + sin B + sin C ≤ cos A B C + cos + cos 2 Ta có: sin A + sin B = 2sin A+ B A− B C cos ≤ 2cos 2 Tương tự A B sin C + sin A ≤ 2cos sin B + sin C ≤ 2cos Cộng ba bất đẳng thức lại ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy khi: A= B =C = π ⇔x=y=z= 3 Bài 6: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b Chứng minh: 2 10 − + ≤ a +1 b +1 c +1 Giải Từ điều kiện a, b, c suy b = a+c − ac Đặt a = tan A, c = tan C b = tan ( A + C ) Bất đẳng thức viết lại: 2 10 − + ≤ tan A + tan ( A + C ) + tan C + Ta có: 2 − + tan A + tan ( A + C ) + tan C + = 2cos A − 2cos ( A + C ) + 3cos C = cos A − cos ( A + C ) + 3cos C = 2sin ( A + C ) sin C + 3cos C ≤ sin C + ( − sin C ) 10   10 = −  sin C − ÷ ≤ 3  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi:  sin ( A + C ) sin C ≥   sin ( A + C ) =   sin C =  Bài 7: Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện: 1 =1 + + + ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) Chứng minh: abc ≥ Giải Từ giả thiết, tồn góc nhọn A, B, C thỏa: cos A = 1 ,cos B = ,cos C = a +1 b +1 c +1 10 Ta có: cos A + cos B + cos C + 2cos A cos B cos C = ⇔ ( cos A + cos B cos C ) = ( − cos B ) ( − cos C ) ⇔ cos A + cos B cos C = sin B sin C ⇔ cos A = − cos ( B + C ) ⇔ A+ B +C =π Vậy A, B, C ba góc tam giác Theo cách đặt thì: a = − cos A − cos B − cos C ,b = ,c = cos A cos B cos C Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: ( − cos A ) ( − cos B ) ( − cos C ) ≥ cos A cos B cos C − cos A − cos B − cos C ≥ cot A cot B cot C sin A sin B sin C A B C ⇔ tan tan tan ≥ cot A cot B cot C 2 A B C ⇔ tan A tan B tan C ≥ cot cot cot 2 A B C ⇔ tan A + tan B + tan C ≥ cot + cot + cot 2 ⇔ Để ý rằng: tan A + tan B = sin ( A + B ) 2sin C 2sin C C = ≥ = 2cot cos A cos B cos ( A − B ) + cos ( A + B ) − cos C Tương tự: A B tan C + tan A ≥ 2cot tan B + tan C ≥ 2cot Cộng ba bất đẳng thức chiều, ta điều phải chứng minh Dấu “=” xảy tam giác ABC đều, tức a=b=c=1 11 288 cos5 t − 360 cos3 t + 90 cos t − 27 = ⇔ ( 16cos5 t − 20cos3 t + 5cos t ) − = ⇔ cos5t = cos π π k 2π ⇔t=± + ( k ∈¢) 30 Vậy ta tìm nghiệm đoạn  −2 3;2  là:  π k 2π cos  +  30  ÷; k = 0,1,2,3,4  Phương trình bậc năm có tối đa nghiệm nên tất nghiệm Bài 16: Cho a (vô lý) Giả sử x số nhỏ x