SKKN góp phần nâng cao năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào bài toán cực trị hình không gian

Phần Đặt vấn đề 1.1 Lý chọn đề tài Hình học khơng gian chủ đề giáo viên học sinh giành nhiều quan tâm trọng trình dạy học Đặc biệt chủ đề thường xuyên xuất kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Qua thực trạng dạy học thân nhận thấy toán cực trị hình khơng gian cổ điển hình khơng gian Oxyz thách thức thực dành cho người dạy người học Để giải dạng tập hình học địi hỏi người học phải có tư linh hoạt, sáng tạo giải tốn Yêu cầu đổi phương pháp dạy học đòi hỏi cấp thiết hàng đầu ngành giáo dục giáo viên, đặc biệt chủ đề cực trị hình khơng gian chủ đề hay khó mơn tốn nên người dạy phải có trình độ chun mơn vững vàng, có kiến thức sâu rộng linh hoạt, sáng tạo việc lựa chọn phương pháp dạy học Việc vận dụng tính chất hình học để giải tốn cực trị hình khơng gian khơng mang lại hiệu cao mà qua cịn có tác dụng lớn đến việc hoàn thiện phát triển phẩm chất lực Tốn học cho học sinh Đồng thời góp phần quan trọng vào công đổi phương pháp dạy học cho giáo viên Chính lý nêu nên thân định lựa chọn đề tài “Góp phần nâng cao lực tốn học cho học sinh thơng qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào tốn cực trị hình khơng gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận dạy học - Nghiên cứu số tính chất hình học phẳng hình học khơng gian vào giải tốn cực trị hình khơng gian - Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác tính chất hình học phẳng hình học khơng gian để giải tốn cực trị hình học khơng gian Từ biết vận dụng vào tốn cực trị Oxyz - Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tịi, phát tính chất hình học Đồng thời nâng cao tinh thần lực tự học, tự nghiên cứu vấn đề nảy sinh toán học 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh giỏi THPT, sinh viên trường sư phạm,… - Giáo viên giảng dạy mơn tốn THPT Phần Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở khoa học - Cơ sở lý luận: số tính chất hình học phẳng hình học khơng gian hay sử dụng - Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ việc học tập mơn tốn nói chung, chủ đề hình học khơng gian cổ điển nói riêng học sinh cịn gặp nhiều khó khăn 2.2 Thực trạng vấn đề - Việc học tập mơn hình học khơng gian nhà trường phổ thơng cịn nhiều khó khăn học sinh - Việc dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian đa số giáo viên cịn gặp nhiều khó khăn việc lựa chọn cách thức tổ chức dạy học xây dựng nguồn tập phong phú, đa dạng để kích thích tư người học - Nội dung đề tài mang tính thời cao đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập nhiều giáo viên học sinh 2.3 Tính ưu việt đề tài Việc sử dụng tính chất hình học vịa tốn cực trị hình khơng gian làm cho chất toán bộc lộ rõ Đồng thời, cách giải thường ngắn gọn khắc sâu kiến thức hình học đề cập đến Việc vận dụng tính chất hình học vào tốn cực trị hình học khơng gian khơng đơn dừng lại phương pháp giải tốn mà thơng qua giúp học sinh phát triển tư linh hoạt, khả sáng tạo giải toán Hướng triển khai đề tài giúp giáo viên học sinh có nguồn tài liệu bổ ích phục vụ cho công tác giảng dạy học tập môn hình học khơng gian hiệu 2.4 Hướng triển khai đề tài 2.4.1 Định hướng chung phương pháp giải toán Việc đề xuất hướng giải cho tốn cực trị hình khơng gian vơ quan trọng đứng trước toán cực trị hình khơng gian người giải tốn có nhìn nhận vấn đề cách tốt việc phải mị mẫm Qua học sinh vạch hướng giải cho toán có lựa chọn phù hợp dựa vào đặc thù tốn Cụ thể ta có hướng giải sau: - Gắn biến để đưa đưa toán – max hàm biến nhiều biến - Sử dụng công cụ véc tơ; - Xây dựng đẳng thức trung gian; - Đánh giá trực tiếp, … 2.4.2 Đề xuất số tính chất hình học thường sử dụng để giải tốn 2.4.2.1 Tính chất hình học liên quan đến độ dài, khoảng cách Tính chất Trong khơng gian, cho điểm phân biệt ln có: Dấu “=” xảy • Với điểm thẳng hàng tùy ý, ta thuộc đoạn Dấu “=” xảy • đoạn ( trùng với Tính chất Cho mặt phẳng ta ln có: , với xảy điểm nằm ) Với điểm hình chiếu vng góc tùy ý thuộc Dấu “=” Tính chất Cho đường thẳng ln có thẳng hàng , với điểm Với điểm hình chiếu vng góc tùy ý , ta Dấu “=” xảy Tính chất Cho đường trịn Gọi có tâm , bán kính điểm di động điểm nằm ngồi , ta ln có tính chất sau: Tính chất Cho đường trịn Gọi có tâm , bán kính điểm di động điểm nằm , ta ln có tính chất sau: Tính chất Trong không gian cho hai mặt phẳng thẳng Khi đó, giao tuyến cắt đường , dấu “=” xảy vng góc với 2.4.2.2 Tính chất hình học liên quan đến tỉ số diện tích 2.4.2.2.1 Một số trường hợp tỉ số diện tích tam giác +) Tỉ số diện tích hai tam giác có chung đường cao tỉ số độ dài cạnh đáy Cho tam giác , điểm thuộc cạnh không trùng với đỉnh hình vẽ bên) Ta có tỉ số sau: (như +) Tỉ số diện tích hai tam giác có chung cạnh đáy tỉ số độ dài đường cao A M B N 4C Cho tam giác Gọi sau , giao điểm điểm tùy ý thuộc miền tam giác với (như hình bên) Khi đó, ta có tỉ số diện tích +) Tỉ số diện tích hai tam giác chung đỉnh (như hình bên) A N M B C 2.4.2.2.2 Xây dựng công thức tỉ số tam giác thường sử dụng Bằng kinh nghiệm dạy học 16 năm, với việc thường xuyên ôn thi cho đội tuyển dự thi HSG cấp tỉnh tác giả đúc rút toán sau tỉ số tam giác dựa tảng tỉ số diện tích tam giác mà tác giả đề cập đến đề tài SKKN năm 2019 – 2020 tác giả “Cho tam giác Gọi hai điểm thuộc cạnh trùng với A) Trên cạnh thỏa mãn sau: Gọi (không lấy điểm giao điểm Khi ta có đẳng thức ” 2.4.2.3 Tính chất hình học liên quan đến tỉ số thể tích • Tỉ số thể tích khối chóp tam giác: Cho hình chóp tam giác Trên cạnh (không trùng với đỉnh lấy điểm ), ta có cơng thức tỉ số thể tích sau: Từ công thức ta xây dựng cơng thức tỉ số thể tích cho khối chóp có đáy hình bình hành sau đây: Cho hình chóp có đáy hình bình hành Một mặt phẳng khơng qua đỉnh hình chóp cắt cạnh điểm Đặt , ta có cơng thức: Chứng minh Ta có: hình bình hành nên: Khi đó: Chứng minh tương tự ta có: Từ suy ra: Vậy: • Tỉ số thể tích khối lăng trụ: Cho lăng trụ tam giác điểm Trên cạnh Khi ta có công thức: lấy Chứng minh Ta có: Hồn tồn tương tự ta có: Khi đó: Hay (điều phải chứng minh) Hồn tồn tương tự ta có cơng thức tỉ số cho khối hộp sau: Cho hình hộp Một mặt phẳng cắt cạnh bên điểm Khi ta có cơng thức tỉ số sau: Việc chứng minh công thức ta thực cách chia khối hộp thành hai khối lăng trụ tam giác áp dụng công thức tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác 2.4.2.4 Tính chất liên quan đến véc tơ • • • • Cho điểm phân biệt số thỏa mãn Khi tồn điểm • Trong không gian, bốn điểm cho đồng phẳng với điểm tùy ý ta ln có Trên số tính chất hình học thường sử dụng giải tốn cực trị hình học khơng gian mà tác giả đề cập đến Ngồi ta cịn bặt gặp thêm số tính chất khác q trình giải tốn 2.4.3 Phân tích, định hướng giúp học sinh phát sử dụng tính chất hình học cho tốn cực trị hình khơng gian Trong nội dung này, tác giả chọn lọc đưa số tốn cực trị hình khơng gian có sử dụng đến tính chất hình học hệ thống mục 2.4.2 Đồng thời đưa phân tích, bình luận phù hợp để hỗ trợ học sinh việc tìm lời giải cho tốn Trước hết đến với tốn sử dụng tính chất khoảng cách, độ dài hình học Bài tốn Cho hình chóp có đáy ; góc trọng tâm tam giác đường thẳng , hình thoi và mặt phẳng trung điểm Tìm giá trị nhỏ , Gọi là điểm thay đổi Phân tích: • Biểu thức gợi ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất • Tuy nhiên • Ta nghĩ đến việc thay điểm không đồng phẳng nên dấu “=” không xảy điểm thỏa mãn điều kiện: cắt điểm thuộc đoạn thuộc mặt phẳng Để thỏa mãn điều kiện ta cần phát thêm tính chất hình học khác hình chóp • Ta phát tam giác hình chiếu đỉnh đều, kết hợp với giả thiết mặt phẳng suy Do đó, để phải thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác Từ phân tích ta có định hướng cho toán sau: Bước 1: Chứng minh Bước 2: Trong mặt phẳng đáy, gọi điểm đối xứng với Bước 3: Đánh giá Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng cosin cho tam giác qua , dấu “=” xảy kết luận Để tính ta sử dụng định lí 10 Lại có: Vậy, Trong toán 2.2 toán 2.3 ta thay mặt cầu mặt phẳng ta toán tương tự sau: Bài toán 3.1 Trong không gian với hệ tọa độ , điểm , cho ba điểm , thuộc mặt phẳng giá trị nhỏ biểu thức Tính Phân tích • Về mặt ý tưởng giải toán giống với tốn 2.2 ta tìm điểm • thỏa mãn Khi đó: nhỏ Khi nhỏ Bài tốn 3.2 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình chiếu , cho ba điểm mặt phẳng Tìm , thuộc đạt giá trị nhỏ Nhận xét: Việc giải toán tương tự tốn 2.3, ta kết có giá trị nhỏ Tiếp theo tóa tương tự đường thẳng 39 Bài tốn 3.3 Trong không gian với hệ tọa độ đường thẳng , cho hai điểm Xét điểm tìm giá trị nhỏ biểu thức , thay đổi , Nhận xét Bài tốn giải phương pháp đại số, tức tham số hóa tọa độ điểm Tuy nhiên với cách giải cơng cụ véc tơ tốn ta dễ dàng đến kết cách nhanh chóng: Các tốn tình giúp học sinh nhận tính chất hình học khoảng cách chúng Bản chất phương pháp hình học cho tốn việc sử dụng tính chất khoảng cách Khi người học vững vàng mặt định hướng , ý tưởng ta nâng lên mức khó tốn sau Bài tốn 4.1 Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng mặt cầu và cho Giả sử phương với véc tơ lớn Tính độ dài đoạn thảng khoảng cách Phân tích • • Trước hết ta cần kiểm tra vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu : tâm , bán kính , ta thấy nên khơng có điểm chung Giáo viên cần mơ hình vẽ (hoặc yêu cầu học sinh vẽ hình minh họa) sau: 40 • Từ hình vẽ u cầu học sinh xác định đâu yếu tố bất biến, ta hy vọng học sinh nhận góc khơng thay đổi • Từ giáo viên đặt câu hỏi: Em có quy việc đánh giá giá đối tượng khác dễ khơng? • Ta hy vọng học sinh nhận việc đánh giá từ đến đánh quy đánh giá khoảng cách Đến coi toán giải Lời giải Mặt cầu có tâm , bán kính , ta thấy nên khơng có điểm chung Gọi hình chiếu lớn Mà Từ giả thiết suy ra: lớn 41 Bài tốn 4.2 Trong khơng gian với hệ tọa độ đường thẳng qua vng góc với đường thẳng , cho hai điểm , Viết phương trình đường thẳng đồng thời cách điểm khoảng bé Phân tích • Từ giả thiết qua vng góc với đường thẳng em rút nhận xét quạn trọng gì? Câu hỏi có lẽ chìa khóa để giải vấn đề đặt • Với câu hỏi trên, ta hy vọng học sinh nhận đường thẳng • phẳng qua vng góc với Từ ta mơ hình ảnh sau: • Đến ta cần so sánh khoảng cách từ đến đến nằm mặt so với khoảng cách từ coi toán giải Định hướng giải Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng qua vng góc với nhận xét 42 Bước 2: Xác định hình chiếu Bước 3: Đường thẳng trình đường thẳng cần tìm đường thẳng qua Viết phương kết luận Bài toán 4.3 Trong không gian với hệ tọa độ mặt cầu qua hai điểm khẳng định cắt mặt cầu , cho hai điểm Viết phương trình mặt phẳng , theo đường trịn có bán kính nhỏ Phân tích • Trước hết ta cần biết vị trí tương đối hai điểm với mặt cầu Ta • nhận thấy hai điểm nằm mặt cầu Do mặt phẳng ln cắt mặt cầu theo đường tròn Để người học dễ dàng việc lập luận ta cần có hình vẽ minh họa sau • Từ hình ảnh giáo viên đặt cho học sinh câu hỏi: Có thể quy việc đanh giá bán kính đường trịn đánh giá đối tượng khác đơn giản không? Câu 43 hỏi gợi học sinh tái mối liên hệ bán kính đường trịn giao tuyến với khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng • Bài tốn trở thành: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm cho khoảng cách từ đến lớn Kết tương tự kết ta rút toán 4.2 Nhận xét Nếu tốn u cầu mặt phẳng cắt theo đường trịn có bán kính lớn Bài tốn 4.4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Tìm thuộc mặt phẳng có diện tích nhỏ , cho hai điểm cho , tam giác Phân tích • Bài tốn địi hỏi người học cần có phát tính chất hình học tồn • Nhận , khoảng cách từ điểm thuộc đến Đây phát quan trọng cho hướng tốn • Bìa tốn u cầu diện tích tam giác khoảng cách từ đến nhỏ • Nhận xét: đường thẳng nhỏ yêu cầu Dấu “=” xảy thuộc hình chiếu 44 • Để xác định xác vị trí điểm ta cần khai thác yếu tố góc cho, kết hợp với việc phát trung điểm Ta suy hình chiếu Từ ta có định hướng giải toán sau: Bước 1: Chứng minh Bước 2: Đánh giá , nhỏ nhỏ Bước 3: Xác định vị trí trung điểm Từ Bài toán 4.5 Trong không gian với hệ tọa độ đường thẳng , cho đường thẳng Hai mặt phẳng , 45 vng góc với nhau, ln chứa ngắn cắt hai điểm Tìm độ dài Phân tích • • • Cũng giống với số toán trên, ý tưởng đánh giá độ dài quy đánh giá dại lượng khác dễ hơn, nghĩa ta bắt gặp tính chất hình học cách rõ ràng Để thực ý tưởng trên, người học cần có phát đặc biệt toán vấn đề không phần quan trọng cần xác định yếu tố bất biến toán gì? Từ giả thiết ta nhận hai đường thẳng vng góc với nhau, điều dẫn đến nhận xét vơ quan trọng • thay đổi (với hình chiếu ln vng ) Lúc ta sử dụng tính chất tam giác vuông để thay việc đánh giá thành đánh giá độ dài đường trung tuyến khoảng cách rõ Đến tính chất Định hướng giải 46 Bước 1: Hạ Bước 2: Gọi Chứng minh vuông trung điểm Bước 3: Sử dụng tính chất khoảng cách: Bước 4: Tính 2.4.4.2 Tổ chức hoạt động dạy học vận dụng tính chất góc vào tốn cực trị Trước hết cần trang bị cho học sinh cơng thức tính góc phương pháp tọa độ khơng gian sau đây: • • 47 • Đầu tiên mở đầu toán min, mawxx góc hai mặt phẳng Bài tốn 5.1 Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng mặt phẳng phẳng chứa tạo với Lập phương trình mặt góc nhỏ Cách giải đại số thường gặp: Giả sử Vì véc tơ pháp tuyến chứa nên ta có: +) Nếu +) Nếu : ta chọn thì: (với Xét hàm số , ta ) 48 Hay nhỏ phương trình là: Khi Định hướng cách giải hình học: Để giải tốn phương pháp hình học giáo viên phải làm cho học sinh nhận tính chất quan trọng góc (hay nhận mối liên hệ góc đối tượng hình học) câu hỏi gợi mở phân tích, hướng dẫn sau đây: • Hãy nêu lại cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng? Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình minh họa xác định góc hình • Trong tốn yếu tố bất biến? Câu hỏi hướng đến khẳng định góc • Khi xác định nên không thay đổi thay đổi, em có so sánh góc khơng? Ta hy vọng học sinh nhận tính chất: với góc 49 • Với tính chất trên, vị trí hợp giao tuyến để góc vng góc với nhỏ ứng với trường Khi Nhận xét Việc sử dụng tính chất hình học làm cho lời giải gọn gàng so với lời giải cách đại số cồng kềnh Trong toán 5.1 ta thay mặt phẳng toán sau đường thẳng Bài toán 5.2 Trong không gian với hệ tọa độ chứa tạo với ta có , cho hai đường thẳng Lập phương trình mặt phẳng góc lớn Phân tích hình học • Yếu tố cố định góc tốn gì? Câu hỏi hướng học sinh nghĩ đến góc hai đường thẳng • Em có đưa so sánh góc với góc hay không? Câu hỏi hướng học sinh vẽ hình xác định góc hình Tức ta cần tạo mặt phẳng hình vẽ chứa song song với 50 • Từ điểm ta vẽ đường thẳng song song với Dựng ta thấy góc • Vì và góc cắt , cịn khơng đổi nên việc so sánh góc quy so sánh hai đoạn thẳng Dễ dàng có Khi đó, mặt phẳng chứa xem giải Do Dấu “=” xảy vng góc với Đến tốn Nhận xét • • Cách giải bàng hình học đòi hỏi tư cao đổi lại lời giải ngắn gọn làm rõ chất hình học toán Ở này, người học giải cách đại số tốn 5.1 Ngồi với việc giải phương pháp hình học giúp người học linh hoạt tình khó Đồng thời vận dụng cách tương tự cho toán cực trị hình học khơng gian cổ điển 51 Phần Kết luận 3.1 Quá trình nghiên cứu thân Đề tài kết việc tích lũy q trình giảng dạy mơn tốn thân trường THPT mang lại số hiệu định thành tích HSG cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 năm học 2018 – 2019 có học sinh đạt giải ba bảng A (đối tượng học sinh trường miền núi) 3.2 Ý nghĩa đề tài - Đề tài hệ thống số tính chất hình học thường sử dụng để giải tốn cực trị hình học khơng gian cực trị làm rõ chất hình học cho tốn cực trị Trong đề tài tác giả đưa số toán minh họa, nhiên việc giải toán giúp học sinh giáo viên có cách nhìn nhận vấn đề tương tự gặp tốn cực trị hình học khác - Đề tài làm rõ số dạng tập cực trị hình học có sử dụng đến tính chất hình học để giải quyết, đề tài đưa định hướng dạy học áp dụng vào dạng toán cực trị - Đề tài nguồn tài liệu học tập quý giúp học sinh giỏi tự học tốt dạng tốn cực trị hình học khơng gian hình học tọa độ Đồng thời đề tài giúp giáo viên có hướng dạy học hiệu chủ đề cực trị không gian 2.3 Kiến nghị, đề xuất - Đề tài mang tính chất minh họa cho cách triển khai dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian hình học tọa độ nên trình giảng dạy, học tập độc giả cần bổ sung thêm nguồn tập phong phú - Việc sử dụng tính chất hình học khơng đơn áp dụng cho tốn cực trị hình học mà cịn áp dụng cho dạng tập khác hình học khơng gian hình học tọa độ Do vậy, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để làm phong phú tài liệu học tập giảng dạy - Đối với mơn hình học khơng gian cịn nhiều nội dung cần tiếp tục nghiên cứu làm sáng tỏ Thông qua đề tài này, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để 52 mơn hình học khơng gian hình học giải tích người dạy khơng cịn nỗi lo người học - Vì thời gian để hồn thành đề tài có hạn nên khơng tránh khỏi khiếm khuyết, thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến từ đồng nghiệp, học sinh để đề tài hoàn thiện Nghệ An, ngày 10/03/2021 53 ... chất hình học khơng gian vào tốn cực trị 2.4.4.1 Tổ chức hoạt động dạy học vận dụng tính chất khoảng cách vào tốn cực trị Trước hết cho học sinh khởi động toán sau: 31 Bài toán 1.1 Cho mặt phẳng... khơng gian làm cho chất toán bộc lộ rõ Đồng thời, cách giải thường ngắn gọn khắc sâu kiến thức hình học đề cập đến Việc vận dụng tính chất hình học vào tốn cực trị hình học khơng gian khơng đơn... người học - Nội dung đề tài mang tính thời cao đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập nhiều giáo viên học sinh 2.3 Tính ưu việt đề tài Việc sử dụng tính chất hình học vịa tốn cực trị hình khơng gian