Bài toán cực trị trong không gian

BÀI TỐN 12Cho hình nĩn cĩ bán kính đáy R ,chiều cao h.. Tìm hình trụ nội tiếp hình nĩn cĩ thể tích lớn nhất HD: Gọi r là bán kính hình trụ nội tiếp hình nĩn,... LTDH GV VÕ SĨ KHUÂNBÀI T

BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1)

BÀI TOÁN 1

Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho

OA = a;OB = b;OC = c

a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)

b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC Hãy xác định

vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương)

HD:

a) mp(ABC) : x y z 1

a b+ + =c ; d o ABC( ;( )) 2 2 abc2 2 2 2

b c c a a b

=

b)

2 3

.( )

OABC

V = abc= a bc ≤ a +  =

  ( đẳng thức khi b = c = a/2 )

BÀI TOÁN 2

Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C Giả sử N nằm trong tam giác ABC và khoảng cách từ N đến các mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c

a) Chứng minh răng : a b C 1

OA OB OC+ + = b) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

c) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất (ĐHHH95)

HD:

Chọn hệ trục Oxyz sao cho N(a,b,c) Phương trình mặt phẳng (P) qua N là:

(x - a) + (y - b) + (z - c) = 0 α β γ

Suy ra : A(aα bβ cγ ;0;0) ; (0;B aα bβ cγ ;0) ; (0;0;C aα bβ cγ )

b)

3

3 3 (3 )

OABC

a b c

min 9 khi a =b =c

2

OABC

V = abc α β γ suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c

c

C

O A

B N

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN

c) Ta có : OA + OB + OC aα bβ cγ aα bβ cγ aα bβ cγ

a b c bβ aα cγ aα cγ bβ

= + + + + ÷ + + ÷ + + ÷

≥ + + +a b c 2 ba +2 ac +2 cb =( a + b+ c)2

min (OA + OB + OC) ⇔aα2 =bβ2 =cγ2 ⇒OA a= + ab + ac …

BÀI TOÁN 3

Cho tứ diện SABC có SC CA AB a= = = 2 ; SC ⊥ (ABC),tam giác ABC vuông tại A ,các điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)

a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất

b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC

(ĐH Đà Nẳng 2001)

HD: Chọn hệ trục C ≡ O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0); S(0;0; a 2)

Viết phương trình SA và M∈SA suy ra M : ( ; ; )

M a− a− ; N(t;0;0)

min 6 khi t=2a

a

BÀI TOÁN 4

Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM2 + BM2 + CM2 + DM2 nhỏ nhất

HD: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ,ta có:

MA MG GA= + ⇒MA =MG +GA + MG GA

Tương tự:

MB =MG +GB + MG GBuuuuruuur ; 2 2 2

MC =MG +GC + MG GCuuuuruuur ; 2 2 2

2

MD =MG +GD + MG GDuuuuruuur

Suy ra: MA2 +MB2 +MC2 +MD2 = 4MG2 +GA2 +GB2 +GC2 +GD2

Vậy S nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ M≡ G

A

S

M

N

BÀI TOÁN 5

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm

M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ Tìm giá trị nhỏ nhất của MN

HD:

Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0)

Vì MD’//NC’ nên: a a m m an

−

− − Suy ra : MN = m + n – a =

n an a

n a

− +

−

Xét hàm số : f n( ) n2 an a2 (n>a)

n a

− +

=

− MinMN = 3a khi n =2a

BÀI TOÁN 6

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định thiết diện đi qua một đường chéo

và tìm diện tích nhỏ nhất của nó theo a

I

A

D

D'

B

C

A'

K

B'

C'

M

N

A

D

D'

B

C'

M

N

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN

HD:

Đặt AM = y ⇒ B’N = a – y

Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(a;0;0) D(0;a;0) A’(0;0;a) Khi đó M(0;y;0) N(a;a-y; a)

2

td

S = uuuuur uuuurA M A N = a a y− + +a a y ≥ ⇔ =y

BÀI TOÁN 7

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có : AB a AD= ; =2 ; AA'=a 2a Trên AD lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M

để thể tích khối tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001)

HD: Đặt AM = m

Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(2a;0;0) '(0;0;D a 2)

Khi đó M(m;0;0) ; ; ; 2

m a a

2 '

' , ' ' (2 )

A KID

a

V = uuuur uuur uuuurA K A I A D = a m−

2 '

2

ax khi m=0 M A

12

A KID

a

BÀI TOÁN 8

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm M,N sao cho BM = B’N = t ,gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A

a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất

b) Chứng minh rằng : 2 2 1

cos cos

2

c) Tính α , β khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001)

y

x

z

A

B

D

C

C' B'

M

HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(a;0;0) A’(0;0;a)

Viết phương trình BD và B’A suy ra M(a-u ; u;0) N(0;v ; v)

Theo giả thiết BM =B’N = t ⇒ u =v

MN2 = (a-u)2 + (u-v)2 + v2 = 2u2 – 2au + a2 =

2 2 2 2

u

 −  + ≥

a

2

c) α = β =600

BÀI TOÁN 9

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x Tìm x để góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất

y

x

z

A

B

D

C

C' B'

M N

y

z

x A

D

C

C' D'

B

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN

HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) A’(0;0;x) ⇒B Duuuur' = − ( 1;1; )x

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B’D’C) là : nr =CB CDuuur uuuur', ' = − − −( ;x x; 1)

Gọi α là góc tạo bởi B’D và mp(B’D’C) : sin | ' | 4 2

+ +

uuuur r uuuur r

Xét hàm số : 4 2 (x > 0)

x y

=

1 ax(sin )= khi x=1

3

M α Khi đó ABCD.A’B’C’D’ là một hình lập phương

BÀI TOÁN 10

Cho khối cầu có bán kính R Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể tích khối trụ đó

HD: Gọi chiều cao của khối trụ là 2x (0 < x < R)

suy ra bán kính của khối trụ là :

k tru

r = R − x ⇒ V = π R x x −

Xét hàm số : y R x x= 2 − 3 x (0;R)∈

BÀI TOÁN 11

Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước Tìm hình chóp đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất

HD:

Giả sử hình chóp đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h và thể tích V Ta có:

TP TP

Vậy STP nhỏ nhất ⇔ V nhỏ nhất

12

TP

r

Gọi M là trung điểm của BC và ϕ là góc giữa mặt bên và đáy hình chóp suy ra :

3

.tan

6

a

Khi đó : 6 (cos +1) ; (cos +1)

cos

3 sin

ϕ ϕ

3 = 3r (0<t=cos <1 cos (1 cos ) t(1-t)

=

− Xét hàm số :

2

r(1+t) ( ) (0<t<1) t(1-t)

f t = ĐS: h= 4 ;tan =2 2 ; a=2r 6r ϕ

BÀI TỐN 12

Cho hình nĩn cĩ bán kính đáy R ,chiều cao h Tìm

hình trụ nội tiếp hình nĩn cĩ thể tích lớn nhất

HD:

Gọi r là bán kính hình trụ nội tiếp hình nĩn,

.

( )

k tru

π

Xét hàm số f r( )= r R r2( −) (0<r<R)

; r=

k tru

BÀI TỐN 13

SBT-B34 :Cho khối chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng cân ở C và

SA ⊥ mp(ABC) ,SC = a.Hãy tìm gĩc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chĩp lớn nhất

Giải

Ta cĩ: SA⊥(ABC) và BC⊥CA ⇒ BC⊥SC (theo định lý 3 đường vuơng gĩc)

suy ra gĩc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) là ·SCA

Đặt : ·

2 0<x< π 

SCA x suy ra: SA = a.sinx ; AC = a.cosx

3

2

1 . 1 1 . . .sin cos

S ABC ABC

a

Xét hàm số: f(x) = sinx.cos2x

Ta cĩ: f’(x)= cos3x – 2cosx.sin2x = cosx(cos2x – 2 + 2cos2x) = cosx(3cos2x – 2)

= 3cos cos 2 cos 2

0 < x < π  

⇒  + ÷÷>

2

2 Gọi là góc sao cho cos = ,0 < <

3

π

Bảng biến thiên :

Vậy thể tích khối chĩp S.ABC đạt giá trị lớn nhất

⇔ f(x) đạt giá trị lớn nhất ⇔

2

2 x= với 0 < < và cos =

3

π

G

S

-0

+ f’(x)

f(x)

C S

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN

BÀI TỐN 14

SBT-B35 : Cho khối chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC)

bằng 2a.Với giá trị nào của gĩc giữa mặt bên và mặt đáy khối chĩp thì thể tích khối chĩp nhỏ nhất

Giải

Gọi O là tâm của hình vuơng ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD); gọi E,H lần lượt là trung điểm của

AD và BC suy ra SE,SH là các trung đoạn của hình chĩp

Vì AD // BC nên AD // (SBC) ⇒ d(A,(SBC)) = d(E,(SBC))

Dựng EK ⊥ SH thì EK ⊥ (SBC) (vì (SEK) ⊥ (SBC))

Vậy EK = d(A,(SBC)) = 2a

Ta cĩ: BC ⊥ SH và BC⊥OH suy ra gĩc giữa

hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) là ·SHO

Đặt : ·

2 0<x< π 

Ta cĩ: 2

sin

; OH= ; SO=

sinx cosx

EH

x

Vậy:

3

S ABCD ABCD

a

Thể tích khối chĩp S.ABCD nhỏ nhất

⇔ f(x) = cosx.sin2x đạt giá trị lớn nhất

Ta cĩ: f’(x)= -sin3x + 2sinx.cos2x = sinx(2cos2x – sin2x) = sinx(2 – 3sin2x)

= 3sin 2 sin 2 sin

0 < x < π  

⇒  + ÷÷>

2

2 Gọi là góc sao cho sin = ,0 < <

3

π

Bảng biến thiên :

Vậy thể tích khối chĩp S.ABC đạt giá trị nhỏ nhất

khi và chỉ khi f(x) đạt giá trị lớn nhất

⇔

2

2 x= với 0 < < và sin =

3

π

-0

+ f’(x)

f(x)

O D

C S

H E

K

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC Mặt phẳng (P) đi qua AM nhưng luôn luôn cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’

a) Chứng minh : 3

SB SD

SB +SD = B) Gọi V = VS.ABCD và V1 = VS.AB’MD’ Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số

V1/V

HD:

Gọi O là tâm của hình bình hành và G = AM∩SO thì G là trọng tâm của tam giác SBD,suy ra: 2

3

=

SG

SO

Xét tứ diện SAB’D’ và SABD :

Ta có: ' ' ' '

SAB D

SABD

Xét tứ diện SAB’G và SABO :

Ta có: ' '. 2. '

3

SAB G

SABO

Xét tứ diện SAD’G và SADO :

Ta có: SAD G' '. 23. '

SADO

Mà :V SAB G' +V SAD G' =V SAB D' ' và 1

2

SABO SADO SABD

3

SAB G SAD G

SABO SADO

SAB G SAD G

SABD SABD

3

SAB G SAD G

SABD

' ' 1 ' ' 3

SAB D SABD

.

3

3

SB SD

SB SD

Ta cũng có:

S AB M S AD M

S ABC S ADC

2

S AB M S AD M

S ABC S ADC

G

M

O D

C

S

B' D'

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN ' ' ' '

.

S AB M S AD M S AB MD

S ABCD S ADCD S ABCD

SB SD

.

4

S AB MD

S ABCD

V

Đặt :

x

= ; y= (1 x;y 2) ≤ ≤

.

4

V

 

⇒ =  + ÷

  với x + y = 3

4 4 (3 )

V

−

2

BÀI TOÁN 16

Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi Biết rằng SA = a ;

SB +SC = k (không đỏi) Xác định SB,SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất

ax(k-x)

V = SA SB SC =

BÀI TOÁN 17

Cho tam giác OAB đều cạnh a.Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) ta lấy điểm M với OM = x.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A lên MB ,OB Đường thẳng

EF cắt d tại N Chứng minh AN⊥ BM và định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất

HD:

Ta có: AF⊥ OB , AF⊥ OM ⇒ AF⊥ MB

AE⊥ MB

⇒ MB⊥ (AEF) ⇒ MB⊥ AN

3

ABMN OAB

VABMN nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất ⇔ OM + ON nhỏ nhất

∆OMB đồng dạng ∆OFN ⇒ OM.ON = OF.OB = a2/2

BÀI TOÁN 18

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x để diện tích toàn phần lớn nhất

HD: STP = 4SACD = 4x 1 −x2

A

M

F

E

N

BÀI TOÁN 19

Cho tứ diện ABCD có AB = 2x ; CD = 2y ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x ,y để diện tích toàn phần lớn nhất

HD: S TP =2 1x −x2 +2y 1−y2

Mà : ( )2

2x 1 −x ≤x + 1 −x = 1 ; ( )2

2y 1 −y ≤y + 1 −y = 1

S TP =2 1x −x2 +2y 1−y2 ≤2

Max STP = 2 Khi x = y =

BÀI TOÁN 20

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt phẳng qua C’ và không cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD kéo dài tại E,F,G a) Chứng minh : 1

AF

AE+ + AG = b) Xác định mp(P) sao cho thể tích tứ diện AEFG nhỏ nhất

HD: Chọn hệ trục tọa độ: A(0;0;0) B(b;0;0) D(0;c;0) A’(0;0;a) C’(a;b;c)

Mặt phẳng (P) đi qua C’ lần lượt cắt AB,AD,AA’ tại F;G;E

Phương trình mp(P) 1

AG

AF + + AE =

Mà (P) qua C’ nên: 1

AF

AE+ + AG =

AE

.AF.AG

AEFG

V = AE ≥ = abc

c b

a

B

C

C' B'

D' A'