Bài toán cực trị trong không gian hai từ khía cạnh hình học

Trong sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật thế kỷ XVII, một trong những điều quan tâm của các nhà Toán học thời đó là giải quyết những vấn đề tối ưu hóa trên nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong bài viết này, bằng việc sử dụng phương pháp Lagrange, chúng tôi trình bày một số cách phát triển bài toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học trong không gian hai chiều.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 16 NỘI B I TỐN CỰ CỰC TRỊ TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HAI CHIỀ CHIỀU TỪ KHÍA CẠ CẠNH HÌNH HỌ HỌC Nguyễn Văn Hào1 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắ tắt: Trong báo này, việc sử dụng phương pháp Lagrange, chúng tơi trình bày số cách phát triển tốn cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học khơng gian hai chiều Từ khóa: Cực trị có điều kiện, phương pháp Lagrange, khơng gian hai chiều, cực đại cực tiểu MỞ ĐẦU Trong phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật kỷ XVII, điều quan tâm nhà Tốn học thời giải vấn đề tối ưu hóa nhiều lĩnh vực khác Để giải nhiều vấn đề đó, yêu cầu đặt cho nhà Toán học phải nghĩ đến toán cực trị Đối với hàm biến, bản, giải gần tồn vẹn vào thời Trong báo này, mở rộng phương pháp nhân tử Lagrange không gian hai chiều MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Khái niệm hàm số nhiều biến số n Cho S tập » Ánh xạ f : S → » gọi hàm số xác định tập S hay f hàm số n biến số xác định S Biến số phần tử » n nên có n tọa độ tọa độ xem biến độc lập Do đó, người ta thường gọi hàm số xác định tập » nhiều biến Nhận ngày 4.3.2017; chỉnh sửa, gửi phản biện duyệt đăng ngày 20.3.2017 Liên hệ tác giả: Nguyễn Văn Hào; Email: nguyenvanhaodhsphn2@gmail.com n hàm TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 17 2.2 Đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số Cho f » hàm số nhiều biến xác định tập mở U n x = (x 1, x 2, , x n ) điểm U Khi đó, với số ∆x i đủ nhỏ cho điểm (x1, , x i + ∆x i , , x n ) ∈ U , ta thiết lập đại lượng : f (x 1, , x i + ∆x i , , x n ) − f (x 1, , x i , , x n ) ∆x i Nếu đại lượng có giới hạn hữu hạn ∆x i dần đến người ta gọi giới hạn đạo hàm riêng f theo biến thứ i x ký hiệu ∂f (x ) hay Di f (x ) ∂x i n Ta gọi gradient hàm f x vector không gian » ký hiệu xác định :  ∂f ∂f ∂f    gradf =  , , ,  ∂ x ∂ x ∂ x  n Khi tính đạo hàm riêng hàm f theo biến ta xem biến khác số áp dụng quy tắc tính đạo hàm biến số 2.3 Cực trị hàm số nhiều biến số 2.3.1 Khái niệm cực trị hàm số nhiều biến số Cho tập U mở » n hàm số f : U → » Điểm x ∈ U gọi điểm cực đại (cực tiểu) địa phương hàm f tồn hình cầu mở B(x 0, r ) tâm x bán kính r nằm U cho f (x ) ≤ f (x ) (tương ứng f (x ) ≥ f (x ) ) với x ∈ B(x 0, r ) Ta gọi f (x ) giá trị cực đại (cực tiểu) địa phương hàm f 2.3.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý (Fecmat) Giả sử hàm f xác định tập mở U ⊂ » n khả vi điểm x ∈ U Nếu f đạt cực trị địa phương x grad f (x ) = hay ∂f (x ) = 0; với i = 1, n ∂x i TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 18 NỘI 2.4 Cực trị có điều kiện 2.4.1 Bài tốn cực trị có điều kiện Bài tốn mà ta xét phần trước tốn tìm cực trị hàm f tập điểm khơng có điều kiện ràng buộc Người ta gọi tốn cực trị tự hay tốn cực trị khơng điều kiện Tuy nhiên thực tế người ta thường gặp phải tốn tìm cực trị hàm f tập điểm thỏa mãn số điều kiện Những tốn gọi tốn cực trị có điều kiện Một trường hợp đặc biệt, tập điểm mặt cong, ta có tốn tìm cực trị hàm f tập tất điểm x = (x 1, x 2, , x n ) thỏa mãn phương trình biểu diễn mặt cong Bài tốn tìm cực tiểu (P ) hàm f mặt cong với phương trình biểu diễn g(x1, x 2, , x n ) = thường mô tả sau : min f = (x , x , , x ) n  (P )  g(x 1, x 2, , x n ) =  Trong đó, người ta gọi f (x1, x 2, , x n ) hàm mục tiêu điều kiện g(x1, x 2, , x n ) = gọi điều kiện ràng buộc toán (P ) Nếu x = (x1, x 2, , x n ) lời giải toán giả sử grad g(x ) ≠ (CQ ) Khi đó, với đường cong khả vi p(t ) nằm trọn mặt cong g (nghĩa thỏa mãn g (p(t )) = với t ) qua điểm x (tức có số t0 cho p(t0 ) = x ), hàm f (p(t )) đạt cực tiểu điểm t = t0 Điều có nghĩa có đạo hàm điểm t = t0, theo quy tắc dây xích ta có: grad f (p(t0 )).p ′(t0 ) = grad f (x ).p ′(t0 ) = Như grad f (x ) vng góc với vector tiếp tuyến đường cong p(t ) điểm x Điều xảy với đường cong khả vi nằm mặt cong qua điểm x nên grad f (x ) vng góc với mặt phẳng tiếp xúc mặt cong g điểm x Ta thấy grad f (x ) phải song song với vector grad f (x ) Điều có nghĩa tồn số thực λ cho: TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 grad f (x ) = λ.grad g(x ) 19 (1) Ký hiệu L(x, λ) = f (x ) − λ.g(x ) gọi hàm Lagrange toán (P ) Từ đẳng thức (1) ta suy kết sau 2.4.2 Phương pháp nhân tử Lagrange Định lý (Nguyên lý Lagrange) Nếu x lời giải toán (P ) thỏa mãn điều kiện (CQ ) tồn số thực λ cho  ∂L  ∂L ∂L gradL(x , λ) =  (x , λ), (x , λ), , (x , λ) =   x1 x2 xn (2) Số λ gọi nhân tử Lagrange điểm cực trị x Nhận xét Định lý cho thấy tồn nhân tử Lagrange điều kiện cần cho tính cực trị điểm x Như vậy, muốn tìm cực trị tốn (P ) trước hết ta tìm điểm mặt cong g thỏa mãn điều kiện (2) với nhân tử λ Từ nguyên lý Lagrange, ta thiết lập phương pháp chung để giải tốn tìm cực trị có điều kiện hàm nhiều biến z = f (x1, x 2, , x n ) với điều kiện buộc g(x1, x 2, , x n ) = sau Bước Lập hàm Lagrange L(x 1, x 2, , x n , λ) = f (x1, x 2, , x n ) − λg(x 1, x 2, , x n ) hàm (n + 1) biến Bước Giải hệ phương trình  ∂L  (x , x , , x n , λ) =  ∂x     ∂L (x , x , , x , λ) = n  ∂x n   ∂L (x , x , , x , λ) = n  ∂λ TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 20 NỘI Nghiệm (x1, x 2, , x n , λ ) hệ phương trình điểm nghi ngờ có cực trị (x1, x 2, , x n , λ ) ứng với nhân tử λ tìm Bước Tùy theo đặc tính hàm f (x1, x 2, , x n ) ta kiểm tra xem điểm (x 1, x 2, , x n ) có điểm cực trị hàm hay khơng Dưới ta minh họa phương pháp Lagrange cách kiểm tra điểm nghi ngờ có điểm cực trị hay khơng? 2 Ví dụ Tìm cực tiểu địa phương hàm số f (x , y, z ) = x + y + z 2 mặt cong xác định phương trình x + 2y − z − = Theo quy trình nêu, trước hết ta lập hàm Lagrange: L(x , y, z, λ) = (x + y + z ) − λ(x + 2y − z − 1) Khi đó, điểm cực trị cần tìm hàm f phải thỏa mãn điều kiện sau: L ′ (x , y, z, λ) = 2x − λ.2x  x L ′ (x , y, z, λ) = 2y − λ.4y  y 2z − λ(−2z ) Lz′ (x , y, z, λ) =  L ′ (x , y, z, λ) = x + 2y − z −  λ =0 =0 (1) (2) =0 (3) =0 (4) Giả sử (x 0, y 0, z ) nghiệm Nếu z ≠ từ phương trình (3) ta suy λ = −1 Thay giá trị λ vào phương trình (1) (2) ta nhận x = y = Điều mâu thuẫn với phương trình (4) Do z = ta tìm bốn điểm nghi ngờ có cực trị : (1; 0; 0) (−1; 0; 0) ứng với λ = 1;     0;  0; −  ứng với λ = ; ;   2    2 Để tìm cực tiểu hàm f (x , y, z ) = x + y + z Ta ý hai điểm sau   giá trị hai hàm mục tiêu nhỏ Tại điểm 0,  , 0, ta có số gia hàm số là:  TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 21     ∆f = f 0 + h, + k, + l  − f 0, , 0    2  2     1  + l −   = h + k +      = h + k + l + k   Mặt khác, tọa độ h, k + , l  phải thỏa mãn điều kiện buộc toán     x + 2y − z − = Tức ta phải có:  2  − l − = hay h + 2k + 2k − l = h + k +   Từ đó, ta suy ra: k = (l − h − 2k ) Thay vào biểu thức ∆f ta được: ∆f = h + k + l + k = h + k + l + (l − h − 2k ) = 2 l + h ≥ 2  Điều chứng tỏ điểm 0;   f (x , y, z ) =  ; 0 điểm cực tiểu hàm số tính  1 PHÁT TRIỂN BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN TỪ KHÍA CẠNH HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN HAI CHIỀU Xuất phát từ tốn tìm cực trị hàm số: u(x , y ) = x + y 2; (P ) với điều kiện điểm (x , y ) nằm đườngthẳng (∆) có phương trình: TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 22 NỘI x + y = (CQ ) 2 Lập toán tử Lagrange L(x , y, λ) = x + y + λ(x + y − 1) Các điểm nghi ngờ cực trị nghiệm hệ phương trình: L ′ (x , y, λ) = 2x + λ =  x L ′ (x, y, λ) = 2y + λ =  y Lλ′ (x , y, λ) = x + y − =  1 1   Giải hệ ta (x , y ) =  ;  Để xác định điểm có điểm cực trị 2 2 không ta xét số gia hàm số điểm đó: 1   1   2  2 1    ∆u = u  + h, + k  − u  ,  =  + h  +  + k  −   2      2  = h + k + h2 + k     1 Mặt khác điểm  + h, + k  thỏa mãn điều kiện ràng buộc x + y − = nên  2 ta phải có: 1 + h + + k − = ⇔ h + k = 2 2 Do ∆u = h + k ≥ Vậy điểm điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu hàm số cho là:  2  2 uCT (x , y ) =   +   =     Phân tích tốn Về mặt hình học hàm u(x, y ) = x + y bình phương khoảng cách từ điểm M (x , y ) không gian » đến gốc tọa độ O (0; 0) Điều kiện buộc cho thấy điểm M (x , y ) phải nằm đường thẳng x + y = Như thế, toán hiểu tìm khoảng cách ngắn dài từ điểm O (0; 0) TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 23 đến đường thẳng x + y = Dĩ nhiên trực giác hình học ta thấy tồn khoảng cách ngắn từ điểm đến đường thẳng Ta có d (O, ∆) = ax + by + c a +b = 1.0 + 1.0 − 2 = +1 , Nên: uCT (x , y ) = d (O, ∆) = Giữ nguyên hàm toán (P ) thay điều kiện (CQ ) đường thẳng tổng qt ta nhận Bài tốn Tìm cực trị hàm số: u(x , y ) = x + y 2; (P ) với điều kiện điểm (x , y ) nằm đườngthẳng (∆) có phương trình: ax + by = c; a + b ≠ (CQ ) Lập toán tử Lagrange: L(x , y, λ) = x + y + λ(ax + by − c) Các điểm nghi ngờ cực trị nghiệm hệ: L ′ (x , y, λ) = 2x + λa =  x L ′ (x , y, λ) = 2y + λb =  y Lλ′ (x , y, λ) = ax + by − c =   ca cb   Để xác định , a + b a + b  Giải hệ ta điểm nghi ngờ cực trị (x , y ) =  điểm có điểm cực trị không ta xét số gia hàm số điểm đó:  ca    cb  ca , cb   ∆u = u  + h , + k − u  a + b a + b a + b   a + b2 = h2 + k + 2hca a +b + 2kcb a +b = h2 + k + 2c a + b2 (ha + kb) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 24 NỘI  ca  cb  thỏa mãn điều kiện ràng buộc + h , + k a + b  a + b2 Mặt khác điểm  ax + by − c = nên ta có:  ca   cb   + b  a  + h + k  − c = a + b a + b   ⇔ ca a + b2 + ah + cb a + b2 + bk − c = ⇔ ah + bk = 2 Do đó: ∆u = h + k ≥ Vậy điểm điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu hàm số cho là:  ca 2  cb 2 c2    uCT (x , y ) =  + = 2 a + b  a + b  a +b Thay toán (P ) khoảng cách từ điểm gốc O (0, 0) đến đường thẳng x + y = khoảng cách từ điểm H (m, n ) đến đường thẳng ta nhận được: Bài tốn Tìm cực trị hàm số: u(x , y ) = (x − m ) + (y − n )2; (P ) với điều kiện buộc điểm (x , y ) nằm đườngthẳng (∆) có phương trình: x + y = (CQ ) Lập toán tử Lagrange: L(x , y, λ) = (x − m )2 + (y − n )2 + λ(x + y − 1) Các điểm nghi ngờ cực trị nghiệm hệ phương trình:  Lx′ (x , y, λ) = 2(x − m ) + λ = L ′ (x , y, λ) = 2(y − n ) + λ =  y Lλ′ (x , y, λ) = x + y − =  TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 25  m − n + n − m + 1  Để xác định điểm ,  2  Giải hệ ta nghiệm (x , y ) =  có điểm cực trị không ta xét số gia hàm số điểm đó: m − n +   m − n + n − m + 1 n −m +1  ∆u = u  + h, + k  − u  ,  2 2    = h + k + m + n −1 (h + k ) m − n +  n −m +1 Mặt khác điểm  + h, + k  thỏa mãn điều kiện ràng buộc  2  x + y = nên ta có: m −n +1 n −m +1 + h, +k = 2 ⇔ h +k = 2 Do đó: ∆u = h + k ≥ Vậy điểm điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu hàm số cho là: m − n + 2  n − m + 2 (m + n − 1)2 uCT (x , y ) =  − m  +  − n  = 2     Tổng hợp hai toán ta nhận tốn tổng qt khơng gian hai chiều Bài tốn Tìm cực trị hàm số u(x, y ) = (x − m )2 + (y − n )2 (P ) với điều kiện buộc điểm (x , y ) nằm đườngthẳng (∆) có phương trình: ax + by = c; a + b ≠ (CQ ) Lập toán tử Lagrange: L(x , y, λ) = (x − m )2 + (y − n )2 + λ(ax + by − c) Các điểm nghi ngờ cực trị nghiệm hệ phương trình: TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 26 NỘI L ′ (x , y, λ) = 2(x − m ) + λa =  x L ′ (x , y, λ) = 2(y − n ) + λb =  y Lλ′ (x , y, λ) = ax + by − c =  Giải hệ phương trình ta nhận được:  mb − nab + ca na − mab + cb   (x , y ) =  , 2 2   a +b a +b Để xác định điểm có điểm cực trị khơng, ta xét số gia hàm số điểm đó:  mb − nab + ca na − mab + cb  ∆u = u  + h , + k    a + b2 a + b2  mb − nab + ca na − mab + cb    −u ,  2 2   a +b a +b  = h2 + k2 + a + b2 (c − nb − ma )(ha + kb)  mb − nab + ca  na − mab + cb   thỏa mãn điều + h , + k 2 2  a + b a + b   Mặt khác điểm   kiện ràng buộc ax + by − c = nên ta có:  mb − nab + ca     + b  na − mab + cb + k  − c = a  + h     a + b2 a + b2     mab − na 2b + ca na 2b − mab + cb  ⇔  + ah + + bk − c = 0 2 2   a +b a +b   ⇔ c(a + b ) a + b2 + ah + bk − c = ⇔ ah + bk = TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 27 Do đó: ∆u = h + k ≥ Vậy điểm điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu hàm số cho là:  mb − nab + ca 2  na − mab + cb 2     uCT (x , y ) =  − m  +  − n  2 2      a +b a +b   = m 2a + n 2b + c + 2mnab − 2mac − 2nbc a + b2 (ma + nb − c ) = a2 + b2 2 Như vậy, mặt hình học hàm u(x , y ) = (x − m ) + (y − n ) bình phương khoảng cách từ điểm M (x , y ) không gian » đến điểm H (m, n ) Điều kiện ràng buộc cho thấy điểm M (x , y ) phải nằm đường thẳng ax + by = c Như thế, tốn hiểu tìm khoảng cách ngắn dài từ điểm H (m, n ) đến đường thẳng ax + by = c Dĩ nhiên trực giác hình học ta thấy tồn khoảng cách ngắn từ điểm đến đường thẳng Ta có: d (H , ∆) = ax + by + c a + b2 = a.m + b.n − c a + b2 Nên: uCT (x , y ) = d (ma + nb − c) (H , ∆) = a + b2 KẾT LUẬN Bài báo khai thác số tốn cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học khơng gian hai chiều theo phương pháp nhân tử Lagrange TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 28 NỘI TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2008), Giáo trình giải tích tập 2, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điểm, Tạ Duy Phượng (2008), Giải tích hàm nhiều biến, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh W J Kaczkor, M.T.NoWak (2000), Problems in Mathematical Analysis I, Read numbers, Sequencesand Series, AMS W Rudin (1964), Principle of Mathematical Analysis, McGraw – Hill Book company, NewYork PRESENTED ABOUT THE EXPLORATION OF EXTREME VALUE PROBLEMS IN GEOMETRIC ASPECTS Abstract: Abstract In this paper, by using Lagrange method, we presented about the exploration of geometric extreme value problems in two-dimensional space Keywords: Keywords Condition extreme, Lagrange method, two-dimensional spaces, maximum, minimum ... , y, z ) =  ; 0 điểm cực tiểu hàm số tính  1 PHÁT TRIỂN BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN TỪ KHÍA CẠNH HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN HAI CHIỀU Xuất phát từ tốn tìm cực trị hàm số: u(x , y ) = x... (H , ∆) = a + b2 KẾT LUẬN Bài báo khai thác số toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học khơng gian hai chiều theo phương pháp nhân tử Lagrange TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 28 NỘI TÀI LIỆU... TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H 18 NỘI 2.4 Cực trị có điều kiện 2.4.1 Bài tốn cực trị có điều kiện Bài tốn mà ta xét phần trước tốn tìm cực trị hàm f tập điểm điều kiện ràng buộc Người ta gọi tốn cực trị tự