Phương pháp toạ độ trong không gian

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 TẬP 3 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng Trang 26 1. Đònh nghóa và các phép toán · Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. · Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: ABBCAC += uuuruuuruuur + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: ABADAC += uuuruuuruuur + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: ABADAAAC '' ++= uuuruuuruuuruuuur + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. Ta có: 0 IAIB += uuruur r ; 2 OAOBOI += uuuruuuruur + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: 03 GAGBGCOAOBOCOG ;++=++= uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur r + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: 04 GAGBGCGDOAOBOCODOG ;+++=+++= uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur r + Điều kiện hai vectơ cùng phương: 0 avàbcùngphươngakRbka ()!: ¹Û$Ỵ= r rr rrr + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. Ta có: 1 OAkOB MAkMBOM k ; - == - uuuruuur uuuruuuruuur 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ · Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. · Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ abc ,, r rr , trong đó avàb r r không cùng phương. Khi đó: abc ,, r rr đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R: cmanb =+ r rr · Cho ba vectơ abc ,, r rr không đồng phẳng, x r tuỳ ý. Khi đó: $! m, n, p Ỵ R: xmanbpc =++ r rrr 3. Tích vô hướng của hai vectơ · Góc giữa hai vectơ trong không gian: · · 00 0180 ABuACvuvBACBAC ,(,)() ==Þ=££ uuuruuur rrrr · Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho 0 uv, ¹ r rr . Khi đó: uvuvuv cos(,) = rrrrrr + Với 00 uhoặcv == rr rr . Qui ước: 0 uv . = rr + 0 uvuv . ^Û= rrrr + 2 uu = rr C HƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 27 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi ijk ,, rrr là các vectơ đơn vò, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. Chú ý: 222 1 ijk === rrr và 0 ijikkj === rrrrrr . 2. Tọa độ của vectơ: a) Đònh nghóa: ( ) uxyzuxiyjzk ;;=Û=++ rrrrr b) Tính chất: Cho 123123 aaaabbbbkR (;;),(;;), ==Ỵ rr · 112233 abababab (;;) ±=±±± r r · 123 kakakaka (;;) = r · 11 22 33 ab abab ab ì = ï =Û= í ï = ỵ rr · 0000100010001 ijk (;;),(;;),(;;),(;;) ==== r r rr · a r cùng phương 0 bb () ¹ r r r Û akbkR () =Ỵ rr 11 312 22123 123 33 0 akb aaa akbbbb bbb akb ,(,,) ì = ï Û=Û==¹ í ï = ỵ · 112233 abababab =++ r r · 112233 0 abababab ^Û++= rr · 2222 123 aaaa =++ r · 222 122 aaaa =++ r · 112233 222222 123123 ababab ab ab ab aaabbb . cos(,) . . ++ == ++++ r r r r r r (với 0 ab, ¹ r r r ) 3. Tọa độ của điểm: a) Đònh nghóa: MxyzOMxyz (;;)(;;) Û= uuur (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: · M Ỵ (Oxy) Û z = 0; M Ỵ (Oyz) Û x = 0; M Ỵ (Oxz) Û y = 0 · M Ỵ Ox Û y = z = 0; M Ỵ Oy Û x = z = 0; M Ỵ Oz Û x = y = 0 b) Tính chất: Cho AAABBB AxyzBxyz (;;),(;;) · BABABA ABxxyyzz (;;) = uuur · 222 BABABA ABxxyyzz ()()() =-+-+- · Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): 111 ABABAB xkxykyzkz M kkk ;; ỉư ç÷ èø · Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 222 ABABAB xxyyzz M ;; ỉư +++ ç÷ èø · Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 333 ABCABCABC xxxyyyzzz G ;; ỉư ++++++ ç÷ èø II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng Trang 28 · Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: 444 ABCDABCDABCC xxxxyyyyzzzz G ;; ỉư +++++++++ ç÷ èø 4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) Đònh nghóa: Cho 123 aaaa (,,) = r , 123 bbbb (,,) = r . [ ] ( ) 233112 233231131221 233112 aaaaaa abababababababab bbbbbb ,;;;; ỉư =Ù=ç÷= ç÷ èø rr rr Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: · [ ] ijkjkikij ,;,;, éù éù === ëûëû rrr rrrrrr · abaabb [,];[,] ^^ rrrrrr · ( ) ababab [,] sin, = rr rr rr · ab , rr cùng phương 0 ab[,] Û= rrr c) Ứng dụng của tích có hướng: · Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ab , rr và c r đồng phẳng Û 0 abc[,]. = rrr · Diện tích hình bình hành ABCD: ABCD SABAD , éù = ëû Y uuuruuur · Diện tích tam giác ABC: 1 2 ABC SABAC , D éù = ëû uuuruuur · Thể tích khối hộp ABCD.A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ : ABCDABCD VABADAA .'''' [,].' = uuuruuuruuur · Thể tích tứ diện ABCD: 1 6 ABCD VABACAD [,].= uuuruuuruuur Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. [] [] 0 0 0 abab avàbcùngphươngab abcđồngphẳngabc . , ,,,. ^Û= Û= Û= rr rr r rr rr rr rrrr 5. Phương trình mặt cầu: · Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: 2222 xaybzcR ()()()-+-+-= · Phương trình 222 2220 xyzaxbyczd ++++++= với 222 0 abcd ++-> là phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 222 abcd ++- . Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 29 VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây: 2 aij =-+ rr r ; 78 bik =- rr r ; 9 ck =- r r ; 345 dijk =-+ rr rr Bài 2. Viết dưới dạng xiyjzk ++ r rr mỗi vectơ sau đây: 1 02 2 a ;; ỉư = ç÷ èø r ; 450 b (;;) =- r ; 41 0 3 3 c ;; ỉư = ç÷ èø r ; 11 3 5 d ;; p ỉư = ç÷ èø r Bài 3. Cho: ( ) ( ) ( ) 253021172 abc ;;;;;; ,, === r rr . Tìm toạ độ của các vectơ u r với: a) 1 43 2 uabc =-+ r rrr b) 42 uabc = r rrr c) 2 4 3 ubc =-+ r rr d) 35 uabc =-+ r rrr e) 14 2 23 uabc = r rrr f) 32 43 uabc = r rrr Bài 4. Tìm tọa độ của vectơ x r , biết rằng: a) 0 ax += r rr với ( ) 121 a ;; =- r b) 4 axa += rrr với ( ) 021 a ;; =- r c) 2 axb += r rr với ( ) 541 a ;; =- r , ( ) 253 b ;; =- r Bài 5. Cho 134 a (;;) =- r . a) Tìm y và z để 2 byz (;;) = r cùng phương với a r . b) Tìm toạ độ của vectơ c r , biết rằng avàc rr ngược hướng và 2 ca = rr . Bài 6. Cho ba vectơ ( ) ( ) ( ) 111401321 abc ;;,;;,;; =-=-=- r rr . Tìm: a) ( ) abc . r rr b) ( ) 2 abc . r rr c) 222 abbcca ++ rr rrrr d) ( ) 2 32 aabbcb + rrr rrr e) 22 45 acbc . +- r rrr Bài 7. Tính góc giữa hai vectơ a r và b r : a) ( ) ( ) 431123 ab ;;,;; ==- r r b) ( ) ( ) 254603 ab ;;,;; ==- r r c) 212022 ab (;;),(;;) =-=- r r d) 32233231 ab (;;),(;;) ==- r r e) 42422220 ab (;;),(;;) =-=- r r f) 321211 ab (;;),(;;) =-=- r r Bài 8. Tìm vectơ u r , biết rằng: a) 213132324 51120 abc auubuc (;;),(;;),(;;) .,.,. ì =-=-=- í =-=-= ỵ r rr r rrrrr b) 231123211 6 abc uaubuc (;;),(;;),(;;) ,,. ì =-=-=- í ^^=- ỵ r rr r rrrrr c) 231121243 342 abc aubucu (;;),(;;),(;;) .,.,. ì == =- í === ỵ r rr r rrrrr d) 532143324 1694 abc aubucu (;;),(;;),(;;) .,.,. ì =-=-=- í ===- ỵ r rr r rrrrr e) 723435111 57 abc aubucu (;;),(;;),(;;) .,., ì ==-=- í =-=-^ ỵ r rr r rrrrr Bài 9. Cho hai vectơ ab , r r . Tìm m để: a) 212022 23 ab uambvàvmabvuônggóc (;;),(;;) ì =-=- í =+=- ỵ r r rr rrrr b) 321211 332 ab umabvàvambvuônggóc (;;),(;;) ì =-=- í =-=+ ỵ r r rr rrrr c) 321211 332 ab umabvàvambcùngphương (;;),(;;) ì =-=- í =-=+ ỵ r r rr rrrr PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng Trang 30 Bài 10. Cho hai vectơ ab , r r . Tính X, Y khi biết: a) 46 ab Xab , ì == í =- ỵ r r r r b) 21264 abab Yab (;;),, ì = =-= í =+ ỵ rr rr r r c) ( ) 0 46120 abab XabYab ,,, , ì === í =-=+ ỵ rr rr rr rr d) ( ) 0 212660 abab XabYab (;;),,, , ì = == í =-=+ ỵ rr rr rr rr Bài 11. Cho ba vectơ abc ,, r rr . Tìm m, n để [ ] cab , = r rr : a) ( ) ( ) ( ) 31212517 abmc ;;,;;,;; = == r rr b) ( ) ( ) ( ) 625363310 ambnc ;;,;;,;; =-=-= r rr c) ( ) ( ) ( ) 2315641 abcmn ;;,;;,;; === r rr Bài 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ abc ,, r rr trong mỗi trường hợp sau đây: a) ( ) ( ) ( ) 111012423 abc ;;,;;,;; =-== r rr b) ( ) ( ) ( ) 434212121 abc ;;,;;,;; ==-= r rr c) ( ) ( ) ( ) 312111221 abc ;;,;;,;; = ==- r rr d) ( ) ( ) ( ) 425313201 abc ;;,;;,;; === r rr e) 231120324 abc (;;),(;;),(;;) ==-=- r rr f) 548230177 abc (;;),(;;),(;;) =-=-=- r rr g) 243122321 abc (;;),(;;),(;;) =-=-=- r rr h) 243132321 abc (;;),(;;),(;;) =-= =- r rr Bài 13. Tìm m để 3 vectơ abc ,, r rr đồng phẳng: a) ( ) ( ) ( ) 12121022 ambmcm ;;,;;,;; ==+=- r rr b) 21121122212 ammbmmcmm (;;);(;;),(;;) =+-=++=+ r rr c) ( ) ( ) ( ) 1212122 ammmbmmmc ;;,;;,;; =+-=-+= r rr d) ( ) ( ) ( ) 132121022 abmmmcm ;;,;;,;; =-=+ =- r rr Bài 14. Cho các vectơ abcu ,,, r rrr . Chứng minh ba vectơ abc ,, r rr không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ u r theo các vectơ abc ,, r rr : a) ( ) ( ) ( ) 210112221 377 abc u ;;,;;,;; (;;) ì ==-=- í =- ỵ r rr r b) ( ) ( ) ( ) 17936117 4136 abc2 u ;;,;;,;; (;;) ì =-=-=- í = ỵ r rr r c) ( ) ( ) ( ) 101011110 891 abc u ;;,;;,;; (;;) ì ==-= í =- ỵ r rr r d) ( ) ( ) ( ) 102230034 1622 abc u ;;,;;,;; (;;) ì ==-=- í = ỵ r rr r e) ( ) ( ) ( ) 231125226 312 abc u ;;,;;,;; (;;) ì =-=-=- í = ỵ r rr r f) ( ) ( ) ( ) 211132322 435 abc u ;;,;;,;; (;;) ì =-=-= í =- ỵ r rr r Bài 15. Chứng tỏ bốn vectơ abcd ,,, rr rr đồng phẳng: a) ( ) ( ) ( ) 2614324222111 abcd ;;,;;,;;,(;;) = = = = rr rr b) ( ) ( ) ( ) 2612114322111 abcd ;;,;;,;;,(;;) =-=-=-=- rr rr Bài 16. Cho ba vectơ abc ,, r rr không đồng phẳng và vectơ d r . Chứng minh bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: a) bcdmanb ,, =+ rrr rr (với m, n ≠ 0) b) acdmanb ,, =+ rr rrr (với m, n ≠ 0) c) abdmanbpc ,, =++ rrr rrr , (với m, n, p ≠ 0) d) bcdmanbpc ,, =++ rrr rrr , (với m, n, p ≠ 0) e) acdmanbpc ,, =++ rr rrrr , (với m, n, p ≠ 0) Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 31 VẤN ĐỀ 2: Xác đònh điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích. – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. – Công thức xác đònh toạ độ của các điểm đặc biệt. – Tính chất hình học của các điểm đặc biệt: · A, B, C thẳng hàng Û ABAC , uuuruuur cùng phương Û ABkAC = uuuruuur Û 0 ABAC, éù = ëû uuuruuur r · ABCD là hình bình hành Û ABDC = uuuruuur · Cho D ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của D ABC trên BC. Ta có: AB EBEC AC . =- uuuruuur , AB FBFC AC . = uuuruuur · A, B, C, D không đồng phẳng Û ABACAD ,, uuuruuuruuur không đồng phẳng Û 0 ABACAD,. éù ¹ ëû uuuruuuruuur Bài 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: · Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz · Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) 123 M (;;) b) 312 M (;;) - c) 113 M (;;) d) 121 M (;;) - e) 257 M (;;) - f) 22157 M (;;) - g) 11910 M (;;) - h) 367 M (;;) Bài 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M¢ đối xứng với điểm M: · Qua gốc toạ độ · Qua mp(Oxy) · Qua trục Oy a) 123 M (;;) b) 312 M (;;) - c) 113 M (;;) d) 121 M (;;) - e) 257 M (;;) - f) 22157 M (;;) - g) 11910 M (;;) - h) 367 M (;;) Bài 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: a) 131012001 ABC (;;),(;;),(;;) b) 111431951 ABC (;;),(;;),(;;) c) 1091220345034 ABC (;;),(;;),(;;) d) 1510578227 ABC (;;),(;;),(;;) Bài 4. Cho ba điểm A, B, C. · Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. · Tìm toạ độ trọng tâm G của DABC. · Xác đònh điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. · Xác đònh toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của DABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó. · Tính số đo các góc trong DABC. · Tính diện tích DABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của DABC. a) 1230371250 ABC (;;),(;;),(;;) - b) 013211123171019 ABC (;;),(;;),(;;) - c) 347532123 ABC (;;),(;;),(;;) d) 423211387 ABC (;;),(;;),(;;) e) 312121113 ABC (;;),(;;),(;;) f) 414074312 ABC (;;),(;;),(;;) g) ( ) ( ) ( ) 100001211 A B C ;;,;;,;; h) 126251184 ABC (;;),(;;),(;;) Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm: a) 310 A (;;) , 241 B (;;) - b) 1211107 AB (;;),(;;) - c) 414074 AB (;;),(;;) - d) 312121 AB (;;),(;;) e) 347532 AB (;;),(;;) f) 423211 AB (;;),(;;) Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm: a) 111110311 ABC (;;),(;;),(;;) b) 324007533 ABC (;;),(;;),(;;) c) 312121113 ABC (;;),(;;),(;;) d) 013211123171019 ABC (;;),(;;),(;;) - e) 102211132 ABC (;;),(;;),(;;) f) 126251184 ABC (;;),(;;),(;;) PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng Trang 32 Bài 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. · Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? · Tìm tọa độ điểm M. a) ( ) ( ) 217452 A B;;,;; b) 432211 AB (;;),(;;) c) 109122034 AB (;;),(;;) - d) 312121 AB (;;),(;;) e) 347532 AB (;;),(;;) f) 423211 AB (;;),(;;) Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D. · Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. · Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. · Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. · Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. · Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A. a) 253100302312 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 100010001211 A B C D ;;,;;,;;,;; c) ( ) ( ) ( ) ( ) 110021102111 A B C D ;;,;;,;;,;; d) ( ) ( ) ( ) ( ) 200040006246 A B C D ;;,;;,;;,;; e) 231412637548 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) f) 572311944150 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) g) 241101142121 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) h) 324252122423 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) i) 348121526743 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) k) 326244991001 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. · Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. · Tính thể tích khối hộp. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 101212111455 ABDC ;;,;;,;;,';; b) 253100302312 ABCA (;;),(;;),(;;),'(;;) c) 021111000110 ABDA (;;),(;;),(;;;),'(;;) d) 022012111121 ABCC (;;),(;;),(;;),'(;;) Bài 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB). b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều. c) Xác đònh toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH. Bài 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB). b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều. c) Vẽ SH ^ (ABC). Gọi S¢ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S¢ABC là tứ diện đều. Bài 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. a) Phân tích các vectơ OIAG , uuruuur theo các vectơ OAOCOD ,, uuuruuuruuur . b) Phân tích vectơ BI uur theo các vectơ FEFGFI ,, uuuruuuruur . Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. a) Phân tích vectơ AE uuur theo các vectơ ACAFAH ,, uuuruuuruuur . b) Phân tích vectơ AG uuur theo các vectơ ACAFAH ,, uuuruuuruuur . Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢. Chứng minh rằng MN ^ A¢C. Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC¢ vuông góc với mặt phẳng (MNP). Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian Trang 33 VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): 2222 xaybzcR ()()()-+-+-= Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: 222 ABABAB III xxyyzz xyz;; +++ ===. – Bán kính R = IA = 2 AB . Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: 222 2220 xyzaxbyczd ++++++= (*). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S). Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự như dạng 4. Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác đònh tâm J và bán kính R ¢ của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 222 2220 xyzaxbyczd ++++++= với 222 0 abcd ++-> thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 222 abcd ++- . Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) 222 8210 xyzxy ++-++= b) 222 48240 xyzxyz ++++ = c) 222 2440 xyzxyz ++ += d) 222 642860 xyzxyz ++-+ = e) 222 1246240 xyzxyz ++-+-+= f) 222 61212720 xyzxyz ++ ++= g) 222 84240 xyzxyz ++-++-= h) 222 340 xyzxy ++-+= i) 222 333631520 xyzxyz +++-+-= k) 222 622100 xyzxyz ++-+-+= Bài 2. Xác đònh m, t, a , … để phương trình sau xác đònh một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó: a) 2222 2242590 xyzmxmymzm() ++-++-++= b) 2222 23212270 xyzmxmymzm()() ++ +-++= c) 222 2142270 xyzxyz(cos)cos.cos aaa ++++ ++= d) 22222 232412480 xyzxyz(cos)(sin)cos aaa +++-+-+++= e) 222 226380 xyztxyztln.ln ++-+-++= f) 2222 22421580 xyztxtytzt(ln)ln.(ln)ln +++-+++++= PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng Trang 34 Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R: a) 1353 IR(;;),-= b) 5372 IR (;;), -= c) 1325 IR (;;), -= d) 2433 IR (;;), -= Bài 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: a) 241523 IA (;;),(;;) - b) 032000 IA (;;),(;;) - c) 321213 IA (;;),(;;) d) 442000 IA (;;),(;;) e) 412124 IA (;;),(;;) Bài 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) 241523 AB (;;),(;;) - b) 032241 AB (;;),(;;) c) 321213 AB (;;),(;;) d) 433215 AB (;;),(;;) e) 235413 AB (;;),(;;) f) 625407 AB (;;),(;;) Bài 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 110021102111 A B C D ;;,;;,;;,;; b) ( ) ( ) ( ) ( ) 200040006246 A B C D ;;,;;,;;,;; c) 231412637548 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) d) 572311944150 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) e) 623016201410 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) f) 010231222112 ABCD (;;),(;;),(;;),(;;) Bài 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với: a) 120113201 ABC POxz (;;),(;;),(;;) ()() ì í º ỵ b) 201132320 ABC POxy (;;),(;;),(;;) ()() ì í º ỵ Bài 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với: a) 222 511 24650 I Txyzxyz (;;) (): ì - í ++-+-+= ỵ b) 222 322 24850 I Txyzxyz (;;) (): ì - í ++-+-+= ỵ VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu Cho hai mặt cầu S 1 (I 1 , R 1 ) và S 2 (I 2 , R 2 ). · 1212 IIRR <- Û (S 1 ), (S 2 ) trong nhau · 1212 IIRR >+ Û (S 1 ), (S 2 ) ngoài nhau · 1212 IIRR =- Û (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc trong · 1212 IIRR =+ Û (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc ngoài · 121212 RRIIRR -<<+ Û (S 1 ), (S 2 ) cắt nhau theo một đường tròn. Bài 1. Xét vò trí tương đối của hai mặt cầu: a) 222 222 84240 42450 xyzxyz xyzxyz ì ï ++-+ = í +++ += ï ỵ b) 222 222 1239 6106210 xyz xyzxyz ()()() ì ï ++-+-= í ++ = ï ỵ c) 222 222 241050 46220 xyzxyz xyzxyz ì ï ++-+-+= í ++ +-= ï ỵ d) 222 222 842150 4122250 xyzxyz xyzxyz ì ï ++-+ = í +++ += ï ỵ e) 222 222 26450 62420 xyzxyz xyzxyz ì ï ++ ++= í ++-+ = ï ỵ f) 222 222 42230 64220 xyzxyz xyzxyz ì ï +++-+-= í ++-+ = ï ỵ Bài 2. Biện luận theo m vò trí tương đối của hai mặt cầu: a) 222 2222 21364 4232 xyz xyzm ()()() ()()()() ì ï -+-++= í -+++-=+ ï ỵ b) 222 2222 32181 1233 xyz xyzm ()()() ()()()() ì ï -++++= í -+-+-=- ï ỵ c) 222 2222 22125 1231 xyz xyzm ()()() ()()()() ì ï ++-+-= í +++++=- ï ỵ d) 222 2222 32116 1233 xyz xyzm ()()() ()()()() ì ï +++++= í -+-+-=+ ï ỵ [...]... (P) – Xác đònh điểm M¢ sao cho H là trung điểm của đoạn MM¢ · Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM¢ Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M¢ ìH Ỵ ( P) r – Khi đó toạ độ của điểm M¢ được xác đònh bởi: íuuuu r MH , nP cùng phương ỵ Trang 57 PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng Bài 1 Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d: ì x = 4 + 2t ìx = 2 - t ï ï a) A(2; -3;1), d... điểm có tung độ bằng 3 ìx - 2y - 3 = 0 b) d : í cắt ( P ) : 2 x + y + 2 z - 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng –1 ỵ y + 2z + 5 = 0 ì x + 2y - 3 = 0 c) d : í cắt ( P ) : x + y + z + m = 0 ỵ3 x - 2z - 7 = 0 Trang 52 Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau: · Phương pháp hình học:... mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 Trang 41 PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2 · (a) và (S) không có điểm chung Û... đònh toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD 4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, BC 5) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với trục Oz 6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và B và vuông góc với mặt phẳng 2 x + 3y – z = 0 7) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + 3y – z = 0, x + 2y – 3z = 0 Trang 59 PP Toạ độ trong không gian. .. Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC Bài 18 Cho bốn điểm S(1; -2; 3), A(2; -2; 3), B(1; -1; 3), C (1; -2; 5) a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC) Trang 50 Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp. .. x 2 + y 2 + z2 + 2(3 - 4 cos m) x - 2(4 sin m + 1)y - 4 z - 5 - 2 sin 2 m = 0 Trang 35 PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1 Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng r r r · Vectơ n ¹ 0 là VTPT của (a) nếu giá của n vuông góc với (a) r r · Hai vectơ a , b không cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (a) r r Chú ý: ·... PP Toạ độ trong không gian VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu Tập hợp điểm là mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó – Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M Chẳng hạn có dạng: ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2 2 hoặc: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 – Tìm giới hạn q tích (nếu có) Tìm tập hợp tâm mặt cầu ì x = f (t ) ï – Tìm toạ độ. .. đều b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD) Trang 43 PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1 Phương trình tham số của đường thẳng · Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và... ĐỀ 3: Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: · Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng Bài 1 Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) Tìm giao điểm (nếu... mặt phẳng (a) (a) đi qua gốc toạ độ O (a) // Ox hoặc (a) É Ox (a) // Oy hoặc (a) É Oy (a) // Oz hoặc (a) É Oz (a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy) (a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz) (a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz) · Nếu trong phương trình của (a) không chứa ẩn nào thì (a) song song hoặc chứa trục tương ứng x y z · Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: + + =1 a b c (a) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0;