Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 22 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ u 0 ¹ r r đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng D nếu giá của nó song song hoặc trùng với D. Nhận xét: – Nếu u r là một VTCP của D thì ku r (k ¹ 0) cũng là một VTCP của D . – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP. 2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Vectơ n 0 ¹ r r đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng D nếu giá của nó vuông góc với D. Nhận xét: – Nếu n r là một VTPT của D thì kn r (k ¹ 0) cũng là một VTPT của D . – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. – Nếu u r là một VTCP và n r là một VTPT của D thì un ^ rr . 3. Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng D đi qua Mxy 000 (;) và có VTCP uuu 12 (;) = r . Phương trình tham số của D: xxtu yytu 01 02 ì =+ í =+ î (1) ( t là tham số). Nhận xét: – M(x; y) Î D Û $ t Î R: xxtu yytu 01 02 ì =+ í =+ î . – Gọi k là hệ số góc của D thì: + k = tan a , với a = · xAv , a ¹ 0 90 . + k = u u 2 1 , với u 1 0 ¹ . 4. Phương trình chính tắc của đường thẳng Cho đường thẳng D đi qua Mxy 000 (;) và có VTCP uuu 12 (;) = r . Phương trình chính tắc của D: xxyy uu 00 12 = (2) (u 1 ¹ 0, u 2 ¹ 0). Chú ý: Trong trường hợp u 1 = 0 hoặc u 2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. 5. Phương trình tham số của đường thẳng PT axbyc 0 ++= với ab 22 0 +¹ đgl phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: – Nếu D có phương trình axbyc 0 ++= thì D có: VTPT là nab (;) = r và VTCP uba (;) =- r hoặc uba (;) =- r . – Nếu D đi qua Mxy 000 (;) và có VTPT nab (;) = r thì phương trình của D là: axxbyy 00 ()()0 -+-= CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trang 23 Các trường hợp đặc biệt: · D đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ¹ 0): Phương trình của D : xy ab 1 += . (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) . · D đi qua điểm Mxy 000 (;) và có hệ số góc k: Phương trình của D : yykxx 00 () -=- (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng D 1 : axbyc 111 0 ++= và D 2 : axbyc 222 0 ++= . Toạ độ giao điểm của D 1 và D 2 là nghiệm của hệ phương trình: axbyc axbyc 111 222 0 0 ì ++= í ++= î (1) · D 1 cắt D 2 Û hệ (1) có một nghiệm Û ab ab 11 22 ¹ (nếu abc 222 ,,0 ¹ ) · D 1 // D 2 Û hệ (1) vô nghiệm Û abc abc 111 222 =¹ (nếu abc 222 ,,0 ¹ ) · D 1 º D 2 Û hệ (1) có vô số nghiệm Û abc abc 111 222 == (nếu abc 222 ,,0 ¹ ) 7. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng D 1 : axbyc 111 0 ++= (có VTPT nab 111 (;) = r ) và D 2 : axbyc 222 0 ++= (có VTPT nab 222 (;) = r ). · nnkhinn nnkhinn 0 1212 12 00 1212 (,)(,)90 (,) 180(,)(,)90 DD ì £ ï = í -> ï î rrrr rrrr · · nnabab nn nn abab 121122 1212 2222 12 1122 . cos(,)cos(,) . . DD + === ++ rr rr rr Chú ý: · D 1 ^ D 2 Û aabb 1212 0 += . · Cho D 1 : ykxm 11 =+ , D 2 : ykxm 22 =+ thì: + D 1 // D 2 Û k 1 = k 2 + D 1 ^ D 2 Û k 1 . k 2 = –1. 8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng · Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng D: axbyc 0 ++= và điểm Mxy 000 (;) . axbyc dM ab 00 0 22 (,) D ++ = + · Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng D: axbyc 0 ++= và hai điểm MMNN MxyNxy (;),(;) Ï D. – M, N nằm cùng phía đối với D Û MMNN axbycaxbyc ()()0 ++++> . – M, N nằm khác phía đối với D Û MMNN axbycaxbyc ()()0 ++++< . Các hệ số Phương trình đường thẳng D Tính chất đường thẳng D c = 0 0 axby += D đi qua gốc toạ độ O a = 0 0 byc += D // Ox hoặc D º Ox b = 0 0 axc += D // Oy hoặc D º Oy Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 24 · Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng D 1 : axbyc 111 0 ++= và D 2 : axbyc 222 0 ++= cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng D 1 và D 2 là: axbycaxbyc abab 111222 2222 1122 ++++ =± ++ VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng · Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng D ta cần xác định một điểm Mxy 000 (;) Î D và một VTCP uuu 12 (;) = r của D . PTTS của D : xxtu yytu 01 02 ì =+ í =+ î ; PTCT của D : xxyy uu 00 12 = (u 1 ¹ 0, u 2 ¹ 0). · Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định một điểm Mxy 000 (;) Î D và một VTPT nab (;) = r của D . PTTQ của D : axxbyy 00 ()()0 -+-= · Một số bài toán thường gặp: + D đi qua hai điểm AABB AxyBxy (;),(;) (với ABAB xxyy , ¹¹ ): PT của D : AA BABA xxyy xxyy = + D đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ¹ 0): PT của D : xy ab 1 += . + D đi qua điểm Mxy 000 (;) và có hệ số góc k: PT của D : yykxx 00 () -=- Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một đường thẳng. · Để tìm điểm M ¢ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng D qua M và vuông góc với d. – Xác định I = d Ç D (I là hình chiếu của M trên d). – Xác định M ¢ sao cho I là trung điểm của MM ¢ . Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM ¢ . Khi đó: M ¢ đối xứng của M qua d Û d MMu Id ì ï ¢ ^ í Î ï î uuuuur r (sử dụng toạ độ) · Để viết phương trình đường thẳng d ¢ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng D , ta có thể thực hiện như sau: – Nếu d // D : + Lấy A Î d. Xác định A ¢ đối xứng với A qua D . + Viết phương trình đường thẳng d ¢ qua A ¢ và song song với d. – Nếu d Ç D = I: + Lấy A Î d (A ¹ I). Xác định A ¢ đối xứng với A qua D . + Viết phương trình đường thẳng d ¢ qua A ¢ và I. · Để viết phương trình đường thẳng d ¢ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, D , ta có thể thực hiện như sau: – Lấy A Î d. Xác định A ¢ đối xứng với A qua I. – Viết phương trình đường thẳng d ¢ qua A ¢ và song song với d. Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trang 25 Baøi 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u r : a) M(–2; 3) , u (5;1) =- r b) M(–1; 2), u (2;3) =- r c) M(3; –1), u (2;5) = r d) M(1; 2), u (5;0) = r e) M(7; –3), u (0;3) = r f) M º O(0; 0), u (2;5) = r Baøi 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n r : a) M(–2; 3) , n (5;1) =- r b) M(–1; 2), n (2;3) =- r c) M(3; –1), n (2;5) = r d) M(1; 2), n (5;0) = r e) M(7; –3), n (0;3) = r f) M º O(0; 0), n (2;5) = r Baøi 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1 d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M º O(0; 0), k = 4 Baøi 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6) Baøi 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: xy 41010 -+= b) M(–1; 2), d º Ox c) M(4; 3), d º Oy d) M(2; –3), d: xt yt 12 34 ì =- í =+ î e) M(0; 3), d: xy 14 32 -+ = - Baøi 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: xy 41010 -+= b) M(–1; 2), d º Ox c) M(4; 3), d º Oy d) M(2; –3), d: xt yt 12 34 ì =- í =+ î e) M(0; 3), d: xy 14 32 -+ = - Baøi 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Baøi 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao của tam giác, với: a) ABxyBCxyCAxy :2310,:370,:5210 =++=-+= b) ABxyBCxyCAxy :220,:4580,:480 ++=+-= = Baøi 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với: a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) MNP 3557 ;,;,(2;4) 2222 æöæö ç÷ç÷ èøèø c) MNP 31 2;,1;,(1;2) 22 æöæö ç÷ç÷ èøèø d) MNP 37 ;2,;3,(1;4) 22 æöæö ç÷ç÷ èøèø Baøi 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau, với: a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) Baøi 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S, với: a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4 Baøi 12. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M¢ đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), dxy :230 +-= b) M(3; – 1), dxy :25300 +-= c) M(4; 1), dxy :240 -+= d) M(– 5; 13), dxy :2330 = Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 26 Baøi 13. Lập phương trình đường thẳng d ¢ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng D, với: a) dxyxy :210,:3420 D -+=-+= b) dxyxy :240,:220 D -+=+-= c) dxyxy :10,:330 D +-=-+= d) dxyxy :2310,:2310 D -+= = Baøi 14. Lập phương trình đường thẳng d ¢ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) dxyI :210,(2;1) -+= b) dxyI :240,(3;0) -+=- c) dxyI :10,(0;3) +-= d) dxyIO :2310,(0;0) -+=º VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác. Sau đây là một số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB ¢ , CC ¢ . Cách dựng: – Xác định B = BC Ç BB ¢ , C = BC Ç CC ¢ . – Dựng AB qua B và vuông góc với CC ¢ . – Dựng AC qua C và vuông góc với BB ¢ . – Xác định A = AB Ç AC. Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB ¢ , CC ¢ . Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC ¢ . – Dựng AC qua A và vuông góc với BB ¢ . – Xác định B = AB Ç BB ¢ , C = AC Ç CC ¢ . Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN. Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM Ç CN. – Xác định A ¢ đối xứng với A qua G (suy ra BA ¢ // CN, CA ¢ // BM). – Dựng d B qua A ¢ và song song với CN. – Dựng d C qua A ¢ và song song với BM. – Xác định B = BM Ç d B , C = CN Ç d C . Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M của cạnh BC. Cách dựng: – Xác định A = AB Ç AC. – Dựng d 1 qua M và song song với AB. – Dựng d 2 qua M và song song với AC. – Xác định trung điểm I của AC: I = AC Ç d 1 . – Xác định trung điểm J của AB: J = AB Ç d 2 . – Xác định B, C sao cho JBAJICAI ,== uuruuruuruur . Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho MBMC =- uuuruuur . Baøi 1. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại, với: (dạng 1) a) ABxyBBxyCCxy :4120,:54150,:2290 ¢¢ +-= =+-= b) BCxyBBxyCCxy :5320,:4310,:72220 ¢¢ -+=-+=+-= c) BCxyBBxyCCxy :20,:2760,:7210 ¢¢ -+= = = Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trang 27 d) BCxyBBxyCCxy :5320,:210,:310 ¢¢ -+= =+-= Baøi 2. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: (dạng 2) a) ABBxyCCxy (3;0),:2290,:31210 ¢¢ +-= = b) ABBxyCCxy (1;0),:210,:310 ¢¢ -+=+-= Baøi 3. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: (dạng 3) a) ABMxyCNy (1;3),:210,:10 -+=-= b) ABMxyCNy (3;9),:3490,:60 -+=-= Baøi 4. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác đó, với: a) ABxyAMxyBNxy :270,:50,:2110 -+=+-=+-= HD: a) ACxyBCxy :1613680,:17111060 +-=+-= Baøi 5. Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. Viết phương trình của cạnh thứ ba, với: (dạng 4) a) ABxyACxyM :220,:330,(1;1) +-=+-=- b) ABxyACxyM :220,:30,(3;0) =++= c) ABxyACxyM :10,:210,(2;1) -+=+-= d) ABxyACxyM :20,:2630,(1;1) +-=++=- Baøi 6. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: a) ABHxyBMxy (4;1),:23120,:230 +=+= b) ABHxyCNxy (2;7),:3110,:270 -++=++= c) ABHxyCNxy (0;2),:210,:220 +=-+= d) ABHxyCNxy (1;2),:5240,:57200 =+-= Baøi 7. a) VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng D 1 : axbyc 111 0 ++= và D 2 : axbyc 222 0 ++= . Toạ độ giao điểm của D 1 và D 2 là nghiệm của hệ phương trình: axbyc axbyc 111 222 0 0 ì ++= í ++= î (1) · D 1 cắt D 2 Û hệ (1) có một nghiệm Û ab ab 11 22 ¹ (nếu abc 222 ,,0 ¹ ) · D 1 // D 2 Û hệ (1) vô nghiệm Û abc abc 111 222 =¹ (nếu abc 222 ,,0 ¹ ) · D 1 º D 2 Û hệ (1) có vô số nghiệm Û abc abc 111 222 == (nếu abc 222 ,,0 ¹ ) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau: – Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng. – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 28 Baøi 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ giao điểm của chúng: a) xyxy 2310,4560 ++=+-= b) xyxy 420,8210 -+=-++= c) xtxt ytyt 542 , 3273 ìì =+=+ íí =-+=-+ îî d) xtxt ytyt 123 , 2246 ìì =-=+ íí =-+= îî e) xt xy y 5 ,50 1 ì =+ +-= í =- î f) xxy 2,240 =+-= Baøi 2. Cho hai đường thẳng d và D. Tìm m để hai đường thẳng: i) cắt nhau ii) song song iii) trùng nhau a) dmxyxy :510,:230 D -+=+-= b) dmxmymxmym :2(1)20,:(2)(21)(2)0 D + =+++-+= c) dmxmymmxmym :(2)(6)10,:(4)(23)50 D -+-+-=-+-+-= d) dmxymxym :(3)260,:20 D +++=++-= Baøi 3. Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui: a) yxxymxmym 21,358,(8)23 =-+=+-= b) yxmyxmmxmym 2,2,(1)21 =-=-+ =- c) xyxymxmym 5118,10774,4(21)2 +=-=+-++ d) xyxymxmym 34150,5210,(21)9130 -+=+-= +-= Baøi 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d 1 và d 2 và: a) dxydxydquaA 12 :32100,:4370,(2;1) -+=+-= b) dxydxydsongsongdxy 123 :3520,:5240,:240 -+=-+=-+= c) dxydxydvuoânggoùcdxy 123 :3250,:2470,:4350 -+=+-=-+= Baøi 5. Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn đi qua với mọi m: a) mxy (2)30 += b) mxym (21)0 -++= c) mxym 210 = d) mxy (2)10 +-+= Baøi 6. Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0). a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực của tam giác. b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung trực đồng qui. Baøi 7. Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình xyxy 30,2560 -=++= , đỉnh C(4; –1). Viết phương trình hai cạnh còn lại. Baøi 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 5), P(–2; 9), Q(3; –2) Baøi 9. a) VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng D : axbyc 0 ++= và điểm Mxy 000 (;) . axbyc dM ab 00 0 22 (,) D ++ = + 2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng D : axbyc 0 ++= và hai điểm MMNN MxyNxy (;),(;) Ï D . Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trang 29 – M, N nằm cùng phía đối với D Û MMNN axbycaxbyc ()()0 ++++> . – M, N nằm khác phía đối với D Û MMNN axbycaxbyc ()()0 ++++< . 3. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng D 1 : axbyc 111 0 ++= và D 2 : axbyc 222 0 ++= cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng D 1 và D 2 là: axbycaxbyc abab 111222 2222 1122 ++++ =± ++ Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân giác của góc trong tam giác). Cho D ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E Î BC) ta có: AB DBDC AC . =- uuuruuur , AB EBEC AC . = uuuruuur . – Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Cách 2: – Viết phương trình các đường phân giác d 1 , d 2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. – Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d 1 (hoặc d 2 ). + Nếu B, C nằm khác phía đối với d 1 thì d 1 là đường phân giác trong. + Nếu B, C nằm cùng phía đối với d 1 thì d 1 là đường phân giác ngoài. Baøi 1. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) Mdxy (4;5),:3480 += b) Mdxy (3;5),:10 ++= c) xt Md yt 2 (4;5),: 23 ì = - í =+ î d) xy Md 21 (3;5),: 23 -+ = Baøi 2. a) Cho đường thẳng D: xy 230 -+= . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với D. b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: xyxy 2350,3270 -+=+-= và đỉnh A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó. c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: dxy 1 :3460 -+= và dxy 2 :68130 = . Baøi 3. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Baøi 4. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng D một khoảng k, với: a) xyk :230,5 D -+== b) xt k yt 3 :,3 24 D ì = = í =+ î c) yk :30,5 D -== d) xk :20,4 D -== Baøi 5. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng D và cách điểm A một khoảng bằng k, với: a) xyAk :34120,(2;3),2 D -+== b) xyAk :420,(2;3),3 D +-=-= c) yAk :30,(3;5),5 D -=-= d) xAk :20,(3;1),4 D -== Baøi 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3 b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5 Phng phỏp to trong mt phng Trn S Tựng Trang 30 c) A(5; 1), B(2; 3), d = 5 d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4. Baứi 7. Vit phng trỡnh ng thng i qua im M v cỏch u hai im P, Q, vi: a) M(2; 5), P(1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; 5) c) M(10; 2), P(3; 0), Q(5; 4) d) M(2; 3), P(3; 1), Q(3; 5) Baứi 8. Vit phng trỡnh ng thng d cỏch im A mt khong bng h v cỏch im B mt khong bng k, vi: a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = 4 b) A(2; 5), B(1; 2), h = 1, k = 3 Baứi 9. Cho ng thng D: xy 20 -+= v cỏc im O(0; 0), A(2; 0), B(2; 2). a) Chng minh ng thng D ct on thng AB. b) Chng minh rng hai im O, A nm cựng v mt phớa i vi ng thng D. c) Tỡm im O i xng vi O qua D. d) Trờn D, tỡm im M sao cho di ng gp khỳc OMA ngn nht. Baứi 10. Cho hai im A(2; 2), B(5; 1). Tỡm im C trờn ng thng D: xy 280 -+= sao cho din tớch tam giỏc ABC bng 17 (vdt). HD: CC 7618 (12;10),; 55 ổử ỗữ ốứ . Baứi 11. Tỡm tp hp im. a) Tỡm tp hp cỏc im cỏch ng thng D: xy 2510 -+-= mt khong bng 3. b) Tỡm tp hp cỏc im cỏch u hai ng thng dxyxy :5330,:5370 D +-=++= . c) Tỡm tp hp cỏc im cỏch u hai ng thng dxyy :4320,:30 D -+=-= . d) Tỡm tp hp cỏc im cú t s cỏc khong cỏch n hai ng thng sau bng 5 13 : dxy :51240 -+= v xy :43100 D = . Baứi 12. Vit phng trỡnh cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc to bi hai ng thng: a) xyxy 34120,125200 -+=+-= b) xyxy 3490,8610 =-+= c) xyxy 360,320 +-=++= d) xyxy 2110,3650 +-= = Baứi 13. Cho tam giỏc ABC. Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC, vi: a) A(3; 5), B(4; 6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; 3) c) ABxyBCxyCAxy :23210,:2390,:3260 -+=++= = d) ABxyBCxyCAxy :43120,:34240,:3460 ++= =+-= Baứi 14. a) VN 4: Gúc gia hai ng thng Cho hai ng thng D 1 : axbyc 111 0 ++= (cú VTPT nab 111 (;) = r ) v D 2 : axbyc 222 0 ++= (cú VTPT nab 222 (;) = r ). ã nnkhinn nnkhinn 0 1212 12 00 1212 (,)(,)90 (,) 180(,)(,)90 DD ỡ Ê ù = ớ -> ù ợ rrrr rrrr ã ã nnabab nn nn abab 121122 1212 2222 12 1122 . cos(,)cos(,) . . DD + === ++ rr rr rr Chỳ ý: ã ã ( ) 00 12 0,90 DD ÊÊ. Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trang 31 · D 1 ^ D 2 Û aabb 1212 0 += . · Cho D 1 : ykxm 11 =+ , D 2 : ykxm 22 =+ thì: + D 1 // D 2 Û k 1 = k 2 + D 1 ^ D 2 Û k 1 . k 2 = –1. · Cho D ABC. Để tính góc A trong D ABC, ta có thể sử dụng công thức: ( ) ABAC AABAC ABAC . coscos, . == uuuruuur uuuruuur uuuruuur Baøi 1. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) xyxy 210,3110 =+-= b) xyxy 250,360 -+=+-= c) xyxy 37260,25130 -+=+-= d) xyxy 3450,43110 +-=-+= Baøi 2. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) ABxyBCxyCAxy :23210,:2390,:3260 -+=++= = d) ABxyBCxyCAxy :43120,:34240,:3460 ++= =+-= Baøi 3. Cho hai đường thẳng d và D. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng a, với: a) dmxmymmxmym 0 :2(3)410,:(1)(2)20,45 Da +-+-=-+++-==. b) dmxmymmxmym 0 :(3)(1)30,:(2)(1)10,90 Da + +-=-++ ==. Baøi 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng D một góc a, với: a) Axy 0 (6;2),:3260,45 Da +-== b) Axy 0 (2;0),:330,45 Da -+-== c) Axy 0 (2;5),:360,60 Da ++== d) Axy 0 (1;3),:0,30 Da -== Baøi 5. Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là xy 350 -+= . a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông. b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông. Baøi 6. a) [...]... – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ các tiêu điểm F1 (-c; 0), F2 (c; 0) Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc: + – Toạ độ các đỉnh A1 (- a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; - b), B2 (0; b) – Tâm sai e = c a – Phương trình các đường chuẩn x ± Trang 39 a =0 e Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Bài 1 Cho elip (E) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ. .. b, c a2 b 2 – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ các tiêu điểm F1 (-c; 0), F2 (c; 0) Đưa phương trình của (H) về dạng chính tắc: - – Toạ độ các đỉnh A1 (-a; 0), A2 (a; 0) – Tâm sai e = c a b – Phương trình các đường tiệm cận: y = ± x a a – Phương trình các đường chuẩn x ± = 0 e Trang 43 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Bài 1 Cho hypebol (H) Xác định độ dài các trục,... Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x 2 + y 2 + 2 ax + 2 by + c = 0 (*) – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c Þ phương trình của (C) Trang 33 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ìIA = IB Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: í ỵIA = IC – Bán kính R = IA = IB = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình.. .Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 1 Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2 Nhận xét: Phương trình x 2 + y 2 + 2 ax + 2 by + c = 0 , với a2 + b2 - c > 0 , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a 2 + b2 - c 2 Phương trình tiếp tuyến của đường... y0 ) và có VTPT IM0 · Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình của D có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) Trang 37 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng – Dựa vào điều kiện: d (I , D) = R , ta tìm được t Từ đó suy ra phương trình của D · Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A( x A ; y A ) ở ngồi đường tròn (C) – Viết phương trình của D đi qua A (chứa 2 tham số)... 2 - 36 = 0 a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E) b) Tính diện tích hình vng có các đỉnh là giao điểm của (E) với 2 đường phân giác các góc toạ độ 144 HD: b) S = 13 Bài 17 Cho elip (E): 16 x 2 + 25 y 2 - 400 = 0 a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E) ỉ 16 ư b) Viết phương trình các đường phân... b2 2 a +b 2 - b) 1 ab 2 a) Trang 46 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng V PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL 1 Định nghĩa Cho điểm F và đường thẳng D khơng đi qua F M Ỵ ( P ) Û MF = d ( M , D) F: tiêu điểm, D: đường chuẩn, p = d ( F , D) : tham số tiêu 2 Phương trình chính tắc của parabol y 2 = 2 px · Toạ độ tiêu điểm: (p > 0) ỉp ư F ç ;0÷ è2 ø · Phương trình đường chuẩn: D: x + p = 0 2 · Với M(x;... tròn trong họ (Ct) có bán kính lớn nhất Viết phương trình của (C) d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục Ox một góc 450 p HD: b) x 2 + y 2 = 1 c) t = , (C ) : x 2 + y 2 - 2 y - 1 = 0 2 Trang 50 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng d) x - y - 1 = 0, x + y + 1 = 0, x - y + 3 = 0, x + y - 3 = 0 Bài 13 Cho hai đường thẳng d1 : x - 3y + 4 = 0, d2 : 3 x + y + 2 = 0 a) Viết phương. .. 2;3) Bài 2 Lập phương trình chính tắc của (E), biết: 3 a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng 5 b) Một tiêu điểm là F1 (-8; 0) và tâm sai bằng 4 5 c) Độ dài trục nhỏ bằng 6, phương trình các đường chuẩn là x 7 ± 16 = 0 3 d) Một đỉnh là A1 (-8; 0) , tâm sai bằng 4 ỉ 5ư 2 e) Đi qua điểm M ç 2; - ÷ và có tâm sai bằng è 3ø 3 Bài 3 a) Trang 40 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng VẤN ĐỀ... (C1) và (C2) qua A, B và tiếp xúc với d b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) của hai đường tròn đó Bài 4 Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 6 x - 2 my + m2 + 4 = 0 a) Tìm m để từ A(2; 3) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) b) Viết phương trình các tiếp tuyến đó khi m = 6 Bài 5 a) Trang 38 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 1 Định nghĩa Cho F1, F2 cố . a) xyxymm 22 62ln3ln70 +-+ ++= b) xyxym 22 24 ln (2) 40 +-+ +-+ = c) mmm xyexeye 22 22 226 40 +-+ +-= d) xyxmymm 22 2 2cos4cos2sin50 +-+ +-+ = e) xyxmym 22 4cos2sin40 +-+ -= II. PHƯƠNG TRÌNH. phương trình đường tròn: a) xymxmym 22 422 30 + +-+ += b) xymxmym 22 2 2( 1 )23 20 +-+ + +-= c) xymxmymm 22 2 2( 3)4540 + +-+ += d) xymxmymmmm 22 24 42 22( 1 )22 410 + + += Baøi 3. * Tìm m để các. ABxyBBxyCCxy :4 120 ,:54150, :22 90 ¢¢ +-= = +-= b) BCxyBBxyCCxy :5 320 ,:4310,: 722 20 ¢¢ -+ =-+ = +-= c) BCxyBBxyCCxy :20 , :27 60,: 721 0 ¢¢ -+ = = = Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Trang 27