PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

VẤN ĐỀ 2:PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A.LÝ THUYẾT: 1.Phương trình tổng quát của đường thẳng: aVectơ pháp tuyến:Vectơ nr ≠0r được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu nr nằm trên đư

y ky y

Bài 1.Cho 3 điểm A(2,3) ;B(-1,4) ;C(1,1) Tìm tọa độ đỉnh D sao cho:

c) Tìm vectơ cr sao cho ar cr=17 và br cr= -5 ĐS: cr=(1,2)

Bài 3 Cho A(2,4) ; B(4,3).

Tìm tọa độ điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC cân tại C

VẤN ĐỀ 2:PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A.LÝ THUYẾT:

1.Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a)Vectơ pháp tuyến:Vectơ nr ≠0r được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng (∆) nếu nr nằm trên đường thẳng vuông góc với (∆) (nói

tắt nr vuông góc với (∆) )

b) Phưong trình tổng quát của đường thẳng:

Đường thẳng (∆) qua M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến nr=(A;B)

có phương trình dạng:

2.Phương trình tham số của đường thẳng:

a) Vectơ chỉ phương: Vectơ ur ≠0r được gọi là vectơ chỉ phương củađường thẳng (∆) nếu giá của nó song song hoặc trùng với (∆) (nói tắt

ur

song song hoặc nằm trên (∆))

b) Phương trình tham số của đường thẳng:

Đường thẳng (∆) qua M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương ur=(a;b)

có phương trình dạng :

(a2 +b2 ≠0)

c)Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Đường thẳng (∆) qua M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương ur=(a;b) cóphương trình dạng :

d) Phương trình chính tắc của đường thẳng (AB): A(xA;yA) ,B(xB;yB)

A(x – x0) + B(y – y0) =0

0 0

*Chú ý:Nếu đường thẳng có dạng:Ax +By +C =0 thì có vectơ pháp

tuyến nr=(A;B) và vectơ chỉ phương ur=(-B;A)

B.BÀI TẬP:

Bài 1.Cho tam giác ABC với A(4,5), B(-6,-1) , C(1,1).

a) Viết phương trình các đường cao của tam giác

b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác

Bài 2 Viết phương trình tham số ,phương trình chính tắc của đường

thẳng có phương trình tổng quát: 3x -2y +11 =0

Bài 3Cho trung điểm ba cạnh của một tam giác là M(3,-2), N(-1,1),

P(5,2).Hãy lập phương trình ba cạnh của một tam giác

Bài 4.Viết phương trình đường trung trực của các cạnh 1 tam giác, biết

trung điểm của các cạnh là M(-2,1) ,N(3,-4), P(5,2)

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

*Kiến thức cần nhớ:

Cho đường thẳng (d): Ax +By +C =0

- Đường thẳng (d ’ ) song song với (d) nên (d ’ ): Ax +By +C ’ =0

- Đường thẳng (d ’’ ) vuông góc với (d) nên (d ’’ ):Bx –Ay+C ’’ =0

1

Bài 5.Viết phương trình đường thẳng đi qua I(0,3) và vuông góc với

đường thẳng có phương trình: 2x -5y +4 =0

Bài 6.Viết phương trình đường thẳng qua A(1,-2) và song song với

đường thẳng :4x -3y +5=0

Bài 7.Cho tam giác ABC, đỉnh A(2;2) và phương trình 2 đường cao kẻ

từ B,C lần lượt có phương trình :9x -3y -4 =0 ; x+y-2=0

a) Viết phương trình các cạnh của tam giác

b) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với AC

Bài 8 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh B(2;5) và

hai đường cao có phương trình:

2x +3y +7=0 và x -11y +3 =0

Bài 9.Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là: 5x -3y +2=0, các

đường cao qua đỉnh A và B lần lượt có phương trình:4x-3y+1=0 và

7x +2y -22=0 Viết phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ 3

Bài 10.Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết B(-4;-5) và

hai đường cao có pt:5x+3y-4=0 và 3x+8y+13=0

Bài 11.Cho tam giác ABC có cạnh BC:x-y+2=0 và hai đường cao

BH: 2x-7y-6=0 và CH: 7x-2y-1=0 Viết phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ 3

Bài 12.Cho tam giác ABC có 1 đỉnh (3;0) và phương trình của hai đường

cao là: 2x+2y-9=0 ; 3x -12y -1=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác đó

Bài 13 Cho P(3;0) và hai đường thẳng có phương trình:

(d1):2x-y-2=0 ; (d2): x+y+3=0

Gọi (d) là đường thẳng qua P và cắt (d1),(d2) tại A,B sao cho

PA=PB.Viết phương trình đường thẳng (d)

Bài 14 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh C(4;-1),

đường cao và đường trung tuyến kẻ từ 1 đỉnh có phương trình:

2x -3y +12=0 và 2x+3y=0.

Bài 15 Cho tam giác ABC có A(2;-7) ,đườn BH:3x+y+11=0,

đường trung tuyến CK: x+2y+7=0 Viết phương trình 3 cạnh của tam giác

Bài 16.Cho tam giác ABC có A(1;3) ,hai trung tuyến có phương trình:

x -2y +1=0 ; y -1 =0 Viết phương trình 3 cạnh của tam giác

Bài 17.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác với một cạnh có trung

điểm là M(-1;1) còn hai cạnh kia có phương trình:

x + y – 2 =0 và 2x +6y +3=0

Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C Viết phương trình cạnh còn lại và đường

trung tuyến qua M

VẤN ĐỀ 3:HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM

TRÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG A.LÝ THUYẾT:

1.Cách xác định hình chiếu H của M trên đường thẳng (d):

-Viết phương trình đường thẳng (d’) qua M và vuông góc (d)

- H =(d) ∩(d’)

2.Cách xác định điểm M ’ đối xứng của M qua đường thẳng (d):

- Gọi H là hình chiếu của M lên (d)

- Sử dụng H là trung điểm của MM’, suy ra điểm M’

B.BÀI TẬP:

Bài 1.Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M(-6;4) trên (d):4x -5y +3 =0

Suy ra tọa độ điểm M’ đối xứng của M qua (d)

Bài 2.Cho 2 điểm A(1;6) , B(-3;-4) Hãy tìm điểm M trên (d):2x-y-1=0

sao cho MA +MB nhỏ nhất

ĐS: M(0;-1)

Bài 3.Cho 2 điểm A(4;1), B(0;4) Tìm trên (d):3x –y -1 =0 một điểm M

sao cho : MA MB− lớn nhất

ĐS: M(2;5)

Bài 4.Cho 2 điểm A(-7;1), B(-5;5) Hãy tìm trên (d):2x –y +5=0 một

điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất

Bài 5.Cho 2 điểm A(-3;2), B(2;5) Tìm trên trục tung một điểm M sao

Bài 6.Cho (d):x –y +2 =0 và O(0;0) , A(2;0).

a)Chứng minh 2 điểm O và A cùng nằm 1 phía đối với (d)

b)Trên (d) tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA nhỏ nhất

VẤN ĐỀ 4:KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG-GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG-ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

A.LÝ THUYẾT

1.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Khoảng cách từ M0(x0;y0) đến đường thẳng (∆):Ax +By +C =0 là:

2 Góc giữa hai đường thẳng:

( )∆1 :A x B y C1 + 1 + 1=0 ; ( )∆2 :A x B y C2 + 2 + 2 =0

Góc ϕ giữa 2 đường thẳng đó luôn luôn bằng hoặc bù với góc giữa

hai vectơ pháp tuyến của nó Do đó:

Bài 1.Cho P(2;5), Q(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua Q sao cho

khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng đó bằng 3

HD:+Xét x=5 có thỏa hay không?

+(d) qua Q và có hệ số góc k Sử dụng giả thiết suy ra hệ số góc k.ĐS: x=5 và 7x +24y -134=0

Bài 2 Tính diện tích tam giác ABC có A(1;2), B(-2;6), C(4;2)

ĐS: S=6(đvdt)

Bài 3 Cho tam giác ABC có diện tích S=3

2, hai đỉnh A(3;-2), B(2;-3).Trọng tâm G của tam giác thuộc (d): 3x –y -8=0.Tìm tọa độ C

Bài 4.Cho hai đỉnh đối diện A(-1;3), C(6;2) của một hình vuông Hãy

viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông đó

− − + =

Bài 5 Cho hai đường thẳng : (d1):2x –y -2 =0 ; (d2): 2x +4y -7 =0

a) Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2) b) Viết phương trình đường thẳng qua P(3;1) cùng với (d1), (d2) tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao của (d1) và (d2)

HD:b) Có hai đường thẳng qua P lần lượt // với hai đường phân giác đã tìm được ở câu a)

Bài 6 Cho một hình chữ nhật có phương trình hai cạnh: 2x -3y +5 =0;

3x +2y -7=0 và 1 đỉnh A(2;-3) Tính diện tích hình chữ nhật

Bài 7 Tìm các điểm M trên trục Ox sao cho M cách đều hai đường

thẳng: (d1): x – 2y +3 =0 ; (d2) :2x +y -1 =0

Bài 8 Cho A(2;2) , B(5;1) Tìm điểm C trên đường thẳng (d):x-2y+8=0

sao cho diện tích tam giác ABC bằng 1

HD:Viết pt cạnh AB Tính AB

Bài 9 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, với B(2;1), đường

cao và phân giác trong lần lượt có phương trình:

3x -4y +27 =0 và x + 2y -5 =0

Bài 10.Cho cho tam giác ABC cân tại A có (BC): 3x –y +5=0,

(AB):x+2y-1=0 Viết phương trình cạnh AC đi qua M (1;-5)

Bài 11.Cho N(2;-1).Viết phương trình các cạnh tam giác MNP biết

đường cao hạ từ M có pt: 3x -4y +27=0, đường phân giác trong hạ từ P

có pt: x+ 2y -5=0

Bài 12 Cho tam giác ABC cân tại A, (BC):2x -3y+5=0;

(AB):x+y+1=0.Viết phương trình cạnh AC qua D(-1;1)

Bài 13.Cho tam giác ABC có B(-4;0), đường cao (AH):-4x +3y +2=0 ;

trung tuyến (CM): 4x +y +3 =0 Tính diện tích tam giác ABC

Bài 15 Cho tam giác vuông cân có phương trình cạnh huyền là:

3x –y+5=0 và đỉnh góc vuông A(4;-1)

Bài 18 Cho A(0;-1), B(4;1), C(1;2) Viết phương trình đường thẳng ( )∆

qua A sao cho khoảng cách từ B đến ( )∆ bằng hai lần khoảng từ C đến

( )∆

Bài 19(ĐH Khối A-2006).

Trong mp(Oxy) cho các đường thẳng:

(d1): x+y+3=0; (d2): x-y-4=0 ; (d3): x -2y =0

Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d3) sao cho khoảng cách từ M đến (d1)

bằng 2 lần khoảng cách từ M đến (d2)

ĐS:M1(-22;-11) , M2(2;1)

Bài 20.Cho (d): 2x -2y +1 =0 và 2 điểm A(0;4), B(3;0).Viết phương

HD:A, B ở về hai phía của (d)

Gọi A’, B’ lần lượt là 2 điểm đối xứng của A, B qua (d)

Phương trình AB’ và A’B là 2 đường thẳng cần tìm

Bài 21.Cho 2 đường thẳng :(d1):3x +y - 4=0 ; (d2):2x +6y+3=0

Viết phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi (d1),(d2)

Bài 22.Cho (d1): x +3y -6=0 ; (d2): 3x +y +2=0

Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi (d1),(d2)

Bài 23.Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là:

AB: x –y +4 =0; AC:7x +y -12=0; BC: 3x +5y +4 =0

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A

b) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 24.Cho A(-1;2), B(3;4) Tìm điểm C nằm trên (d):x -2y +1=0 sao

cho tam giác ABC vuông tại C

- Viết pt (d)và (l) ở dạng : (d):y=kx+m ; (l):y =kx +n.

- (d’)//(d) nên (d’):y=kx +p với p được tính bởi :

2

m p

n= +

2 Cách viết phương trình đt (d ’ ) đối xứng với (d) qua I (a;b):

- Lấy M(x;y) thuộc đt (d) Gọi M’ là điểm đối xứng M qua I

- Đường thẳng (d’) qua M’ và song song với (d)

b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua (d)

c) Viết phương trình (d’) đối xứng với (d) qua A

Bài 4 Cho (d1):2x -3y +1=0 ; (d2): x -2y +3 =0

Viết phương trình (d3) đối xứng của (d1) qua (d2)

VẤN ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG –CHÙM ĐƯỜNG THẲNG.

A LÝ THUYẾT:

1.Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Trong hệ Oxy cho 2 đường thẳng: (d1):A1x + B1y +C1=0

(d1):A1x + B1y +C1=0 ; (d2): A2x +B2y +C2=0 cắt nhau tại S

Đường thẳng (d) qua S thuộc chùm đường thẳng giữa (d1) và (d2) có phương trình dạng:

a) Viết pt đường cao AL, biết 2 đường cao BH:5x +3y -25 =0 ;

CK:3x +8y -12=0

b) Viết phương trình đường thẳng BC nếu biết đường trung trực của cạnh BC có pt: 3x +2y -4=0 và tọa độ trọng tâm G(4;-2) của tam giác

VẤN ĐỀ 6: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG LUÔN TIẾP XÚC MỘT ĐƯỜNG TRÒN CỐ

ĐỊNH.

A.LÝ THUYẾT

Bài toán:Cho đường thẳng ( )∆ có chứa tham số m Chứng minh rằng

( )∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Giải: Gọi đường tròn (C) có tâm I(a;b) , bán kính R.

Điều kiện để (d) tiếp xúc với (C) là: d I( ,∆ =) R , ∀m

B.BÀI TẬP

Bài 1.Cho ( )∆ : (m2-1)x -2my +4m +2=0

Chứng minh rằng ( )∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Bài 2 Cho ( )∆ :xcost –ysint -3cost +5sint -2=0

Chứng minh rằng ( )∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Bài 3.(Đề 19Va) Cho ( )∆ :xcost +ysint +2cost +1=0

Chứng minh rằng ( )∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Bài 4 Cho ( )∆ :xcos2t +ysin2t +4cos2t -5=0

Chứng minh rằng ( )∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Bài 5 Cho (dm): (m-2)x +(m-1)y +2m-1=0

CMR:khi m thay đổi, (dm) luôn đi qua 1 điểm cố định

Bài 6 Cho 2 đường thẳng:(d1):kx +y-3=0 ; (d2):2x+(k+1)y-k-5=0

a) Biện luận theo k vị trí tương đối của hai đường thẳng trên

b)Khi 2 đường thẳng cắt nhau, giao điểm của 2 đường thẳng (d1),(d2) nằm trên đường thẳng nào

VẤN ĐỀ 7:PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒNA.LÝ THUYẾT.

Đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R có phương trình dạng:

(x-a)2 +(y-b)2 = R2

Định lí: Phương trình: x2+y2-2ax-2ay+c=0 (với đk:a2+b2-c>0) là

phương trình của đường tròn có tâm I(a;b),bán kính R a2+ −b2 c

Bài 4.Cho (Cm):x2+y2+2mx-2(m-1)y+1=0

a) Xác định m để (Cm) là đường tròn Tìm quỹ tích tâm I của (Cm) b)Viết phương trình đường tròn ,bán kính 2 3

c) Tính bán kính của đường tròn, biết nó tiếp xúc với( )∆ :3x-4y=0

Bài 5.Viết phương trình đường tròn tâm I(3;0) và tiếp xúc với ( )∆ :

3x-4y+16=0

Bài 8.Viết phương trình đường tròn qua A(5;3) và tiếp xúc với đường

thẳng (d):x +3y +2 =0 tại một điểm B(1;-1)

Bài 9.Viết phương trình đường tròn qua A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc với

đường thẳng (d):3x +y-3=0

ĐS: x2+y2-8x-2y+7=0 ; x2+y2-3x-7y+12=0

Bài 10.Viết phương trình đường tròn tiếp xúc 2 đường thẳng (d1):

3x-y+3=0 và (d2): x-3y +9=0 và có tâm ở trên đt (d3):2x-y=0

ĐS:(x-1)2+(y-2)2=8

5 ; (x-3)

2+(y-6)2=18

5

Bài 11 Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ và

có tâm nằm trên đường thẳng (d): 2x –y -3 =0

VẤN ĐỀ 8 : TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A.LÝ THUYẾT:

Cho đường tròn (C): (x-a)2 +(y-b)2 = R2

1.Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm M 0 (x 0 ;y 0 )∈(C):

Tiếp tuyến ( )∆ của (C) qua M0 và nhận uuuurIM0

làm vectơ pháp tuyến

2.Tiếp tuyến của (C) kẻ từ một điểm M(x 0 ;y 0 ):

Phương pháp:+)Kiểm tra x =x0 có phải là tiếp tuyến của (C) không?

+)Đường thẳng ( )∆ qua M và có hệ số góc k có dạng:

y = k(x-x0) +y0.

( )∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔d I( ,∆ =) R, suy ra k

Bài 7 Trong hệ Oxy cho (Cm):x2+y2-(m-2)x+2my-1=0.

a)Tìm quỹ tích tâm của họ (Cm)

b)CMR:Khi m thay đổi họ (Cm) luôn qua điểm cố định

CÁC BÀI TOÁN TRONG BỘ ĐỀ THI TUYỂN SINH

Bài 1(Đề 3/Va).

Cho tam giác ABC đỉnh A(2;2)

a) Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng các đường cao kẻ

b) x -2y +2 =0 ; 2x +y -6 =0

Bài 2(Đề 14/Va).

Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC, biết trungđiểm của các cạnh là M(-1;-1), N(1;9), P(9;1).

Bài 3(Đề 32/Va).

Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác với một cạnh có trung điểm là M(-1;1), còn hai cạnh kia có phương trình là x +y -2 =0 và 2x +6y +3 =0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác

Gọi (d) là đường thẳng qua P và cắt (d1),(d2) tại A,B sao cho

PA=PB.Viết phương trình đường thẳng (d)

Cho tam giác ABC có A(1;3) ,hai trung tuyến có phương trình:

x -2y +1=0 ; y -1 =0 Viết phương trình 3 cạnh của tam giác

ĐS: BC: x -4y -1=0; AB: x –y +2=0; AC: x +2y -7=0

Bài 7(Đề 89/Va)

Tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 5x -3y +2 =0, các

đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x -3y+1=0, 7x+2y-22=0.Lập

phương trình hai cạnh AC,BC và đường cao thứ ba

ĐS: BC:3x +4y -22=0; AC: 2x -7y -5=0

Bài 8(Đề 98/Va).

Cho hình vuông có một đỉnh A(-4;5) và một đường chéo đặt trên

đường thẳng 7x –y +8 =0.Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông đó

a) Xác định giao điểm của (d1) và (d2)

b) Tính cosin góc nhọn tạo bởi (d1), (d2)

ĐS:a) I(-2;3) b) cosϕ= 8

65

Bài 10(Đề 56/Va)

Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2;-1) sao cho đường

thẳng đó cùng với hai đường thẳng

(d1) : 2x –y +5 =0 , (d2): 3x +6y -1 =0

tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao của hai đường thẳng (d1),(d2)

ĐS: 9x +3y -15 =0 hay 3x -9y -15 =0

b) Với mỗi giá trị k , hãy xác định giao điểm của (d1) và (d2)

c) Khử k để tìm hệ thức giữa tọa độ x, y của giao điểm

a) Tìm tập hợp quỹ tích tâm I các đường tròn (Cm)

b) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các đường tròn (Cm) đều đi qua điểm

cố định

c) Cho m = -2 và A(0;-1) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C-2) kẻ từ A.

ĐS: a) Qũy tích tâm I là đường thẳng : 2x + y + 2 =0

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác

ABC và tính diện tích tam giác đó

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

HD:a) -Vẽ hình

- Viết 2 pt đường phân giác của góc A Từ hình vẽ suy ra đường phân giác trong của góc A phải có hệ số góc k<0

b) A nằm phía trên trục x’x, B,C thuộc trục x’x Do đó tâm I của

đường tròn nội tiếp tam giác ABC phải nằm phía trên x’x (tức là yI>0) và

I cách đều (d1),(d2),(d3)

Suy ra :

0( )

I

y I

Cho đường tròn (C): x2 + y2 =1 Đường tròn (C) cắt trục tung tại

A(0;1) và B(0;-1) Đường thẳng y = m (-1<m<1 ; m≠0) cắt (C) tại T và

S Đường thẳng qua A,T cắt đường thẳng qua B,S tại P Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi

HD:Gọi S(x0;y0) là giao điểm của (C) và y =m Suy ra tạo độ của T và S theo m Tìm tọa độ giao điểm P của 2 đường thẳng AT và BS theo m, khử

m để có phương trình quĩ tích của P

ĐS:Qũi tích P là : x2 – y2 = - 1