Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 1 TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy 1 :7170 -+= , dxy 2 :50 +-= . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với dd 12 , một tam giác cân tại giao điểm của dd 12 , . · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1 , d 2 là: xyxy xy () xy () 1 2222 2 7175 3130 340 1(7)11 D D -++- é +-= =Û ê = ë +-+ Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 D hoặc 2 D . KL: xy 330 +-= và xy 310 -+= Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy 1 :250 -+= . dxy 2 :36–70 += . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d 1 , d 2 . · d 1 VTCP a 1 (2;1) =- r ; d 2 VTCP a 2 (3;6) = r Ta có: aa 12 .2.31.60 =-= uuruur nên dd 12 ^ và d 1 cắt d 2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: dAxByAxByAB :(2)(1)020 -++=Û+-+= d cắt d 1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d 1 ( hoặc d 2 ) một góc 45 0 AB AB AABB BA AB 022 2222 2 3 cos453830 3 2(1) - é = Û=Û =Û ê =- ë ++- * Nếu A = 3B ta có đường thẳng dxy :350 +-= * Nếu B = –3A ta có đường thẳng dxy :350 = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. dxy :350 +-= ; dxy :350 = . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy 1 :350 ++= , dxy 2 :310 ++= và điểm I (1;2) - . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt dd 12 , lần lượt tại A và B sao cho AB 22 = . · Giả sử AaadBbbd 12 (;35);(;31) Î Î ; IAaaIBbb (1;33);(1;31) = = + uuruur I, A, B thẳng hàng bka IBkIA bka 1(1) 31(33) ì -=- Þ=Û í -+= î uuruur · Nếu a 1 = thì b 1 = Þ AB = 4 (không thoả). · Nếu a 1 ¹ thì b baab a 1 31(33)32 1 - -+= Û=- - ABbaabtt 2 222 ()3()422(34)8 éù =-+-+=Û++= ëû (với tab =- ). tttt 2 2 512402; 5 Û++=Û=-=- + Với tabba 220,2 =-Þ-=-Þ==- xy :10 ÞD++= + Với tabba 2242 , 5555 =Þ-=Þ== xy :790 ÞD = Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng dxy dxy 12 :10,:–220 ++=+= lần lượt tại A, B sao cho PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 2 MB = 3MA. ã Ad AaaMAaa BdBbb MBbb 1 2 () (;1)(1;1) ()(22;) (23;) ỡ ỡ ẻ ù ỡ = ị ớớớ ẻ- =- ợ ù ợ ợ uuur uuur ị A dxy B 21 ; ():510 33 (4;1) ỡ ổử ù ỗữ ị = ớ ốứ ù ợ hoc ( ) A dxy B 0;1 ():10 (4;3) ỡ - ị = ớ ợ Cõu 5. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy 1 :10 ++= , dxy 2 :210 = . Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d 1 ) v (d 2 ) tng ng ti A v B sao cho MAMB 20 += uuuruuurr . ã Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1) T iu kin MAMB 20 += uuuruuurr tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0 Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho (OA+3OB) nh nht. ã PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b): xy ab 1 += (a,b>0) M(3; 1) ẻ d Cụsi ab abab 3131 12.12 - =+ị . M OAOBabab 332312 +=+= ab a OAOB b ab min 3 6 (3)12 311 2 2 ỡ = ù ỡ = ị+= ớớ = == ợ ù ợ Phng trỡnh ng thng d l: xy xy 1360 62 +=+-= Cõu 7. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng qua ( ) M 2;1 v to vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng 4 . ã Gi ( ) ( ) AaBb ;0,0; l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra: xy d ab :1 += . Theo gi thit, ta cú: ab ab 21 1 8 ỡ += ù ớ ù = ợ baab ab 2 8 ỡ += ớ = ợ . ã Khi ab 8 = thỡ ba 28 += . Nờn: badxy 1 2;4:240 ==ị+-= . ã Khi ab 8 =- thỡ ba 28 +=- . Ta cú: bbb 2 440222 +-==- . + Vi ( ) ( ) bdxy 2 222:1221240 =-+ị-++-= + Vi ( ) ( ) bdxy 3 222:1221240 = ị++-+= . Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1) v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng OAOB + nh nht. ã xy 260 +-= Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2). ã xyxy 360;20 +-= = Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 3 Cõu 10. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh xy 230 += . Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos 1 10 = . ã PT ng thng ( D ) cú dng: a(x 2) + b(y +1) = 0 ax + by 2a + b = 0 Ta cú: ab ab 22 21 cos 10 5() a - == + 7a 2 8ab + b 2 = 0. Chon a = 1 ị b = 1; b = 7. ị ( D 1 ): x + y 1 = 0 v ( D 2 ): x + 7y + 5 = 0 Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy , cho ng thng dxy :220 = v im I (1;1) . Lp phng trỡnh ng thng D cỏch im I mt khong bng 10 v to vi ng thng d mt gúc bng 0 45 . ã Gi s phng trỡnh ng thng D cú dng: axbyc 0 ++= ab 22 (0) +ạ . Vỡ ã d 0 (,)45 D = nờn ab ab 22 2 1 2 .5 - = + ab ba 3 3 ộ = ờ =- ở ã Vi ab 3 = ị D : xyc 30 ++= . Mt khỏc dI (;)10 D = c4 10 10 + = c c 6 14 ộ = ờ =- ở ã Vi ba 3 =- ị D : xyc 30 -+= . Mt khỏc dI (;)10 D = c2 10 10 -+ = c c 8 12 ộ =- ờ = ở Vy cỏc ng thng cn tỡm: xy 360; ++= xy 3140 +-= ; xy 380; = xy 3120 -+= . Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho im M (0; 2) v hai ng thng d 1 , d 2 cú phng trỡnh ln lt l xy 320 ++= v xy 340 -+= . Gi A l giao im ca d 1 v d 2 . Vit phng trỡnh ng thng i qua M, ct 2 ng thng d 1 v d 2 ln lt ti B , C ( B v C khỏc A ) sao cho ABAC 22 11 + t giỏ tr nh nht. ã AddA 12 (1;1) =ầị- . Ta cú dd 12 ^ . Gi D l ng thng cn tỡm. H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn D . ta cú: ABACAHAM 2222 1111 += (khụng i) ị ABAC 22 11 + t giỏ tr nh nht bng AM 2 1 khi H M, hay D l ng thng i qua M v vuụng gúc vi AM. ị Phng trỡnh D : xy 20 +-= . Cõu hi tng t: a) Vi M (1;2) - , dxy 1 :350 ++= , dxy 2 :350 -+= . S: xy :10 D ++= . Cõu 13. Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho ng thng dxy ():340 = v ng trũn Cxyy 22 ():40 += . Tỡm M thuc (d) v N thuc (C) sao cho chỳng i xng qua im A(3; 1). ã M ẻ (d) ị M(3b+4; b) ị N(2 3b; 2 b) N ẻ (C) ị (2 3b) 2 + (2 b) 2 4(2 b) = 0 ị b b 6 0; 5 == Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N 38684 ;,; 5555 ổửổử - ỗữỗữ ốứốứ PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 4 Cõu 14. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D: xy 2340 ++= . Tỡm im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc 0 45 . ã D cú PTTS: xt yt 13 22 ỡ =- ớ =-+ ợ v VTCP u (3;2) =- r . Gi s Btt (13;22) D +ẻ . AB 0 (,)45 D = ị ABu 1 cos(;) 2 = uuurr ABu ABu .1 . 2 = uuur r r t tt t 2 15 13 169156450 3 13 ộ = ờ = ờ ờ =- ờ ở . Vy cỏc im cn tỡm l: BB 12 3242232 ;,; 13131313 ổửổử ỗữỗữ ốứốứ . Cõu 15. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy :360 = v im N (3;4) . Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch bng 15 2 . ã Ta cú ON (3;4) = uuur , ON = 5, PT ng thng ON: xy 430 -= . Gi s Mmmd (36;) +ẻ . Khi ú ta cú ONM ONM S SdMONONdMON ON 2 1 (,).(,)3 2 D D === mm mmm 4.(36)3 13 3924151; 53 +- - =+==-= + Vi mM 1(3;1) =-ị- + Vi mM 1313 7; 33 ổử =ị- ỗữ ốứ Cõu 16. Trong mt phng to Oxy , cho im A (0;2) v ng thng dxy :220 -+= . Tỡm trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng B v AB = 2BC . ã Gi s BbbCccd (22;),(22;) ẻ . Vỡ D ABC vuụng B nờn AB ^ d d ABu .0 = uuur r B 26 ; 55 ổử ỗữ ốứ ị AB 25 5 = ị BC 5 5 = BCcc 2 1 125300180 5 =-+= 5 5 cC cC 1(0;1) 747 ; 555 ộ =ị ờ ổử ờ =ị ỗữ ốứ ở Cõu 17. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú phng trỡnh: dmxmym 1 :(1)(2)20 ++= ; dmxmym 2 :(2)(1)350 ++= . Chng minh d 1 v d 2 luụn ct nhau. Gi P = d 1 ầ d 2 . Tỡm m sao cho PAPB + ln nht. ã Xột H PT: mxmym mxmym (1)(2)2 (2)(1)35 ỡ -+-=- ớ -+-=-+ ợ . Ta cú mm Dmm mm 2 31 12 20, 21 22 ổử ==-+>" ỗữ ốứ ị dd 12 , luụn ct nhau. Ta cú: AdBddd 1212 (0;1),(2;1),ẻ-ẻ^ ị D APB vuụng ti P ị P nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB 2222 ()2()216 +Ê+== ị PAPB 4 +Ê . Du "=" xy ra PA = PB P l trung im ca cung ằ AB P(2; 1) hoc P(0; 1) m 1 = hoc m 2 = . Vy PAPB + ln nht m 1 = hoc m 2 = . Cõu 18. ã Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 5 TP 02: NG TRềN Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d): xy 250 = v ng trũn (C): xyx 22 20500 +-+= . Hóy vit phng trỡnh ng trũn (C) i qua ba im A, B, C(1; 1). ã A(3; 1), B(5; 5) ị (C): xyxy 22 48100 + += Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 3 2 , A(2; 3), B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng dxy :380 = . Vit phng trỡnh ng trũn i qua 3 im A, B, C. ã Tỡm c C (1;1) 1 - , C 2 (2;10) . + Vi C 1 (1;1) - ị (C): 22 xyxy 111116 0 333 +-++= + Vi C 2 (2;10) ị (C): 22 xyxy 9191416 0 333 +-++= Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy 1 :230 +-= , dxy 2 :3450 ++= , dxy 3 :4320 ++= . Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d 1 v tip xỳc vi d 2 v d 3 . ã Gi tõm ng trũn l Itt (;32) - ẻ d 1 . Khi ú: dId dId 23 )(,) (, = tt tt 34(32)5 5 43(32)2 5 +-+ = +-+ t t 2 4 ộ ờ ở = = Vy cú 2 ng trũn tho món: xy 22 49 25 (2)(1) =-++ v xy 22 9 (4)(5) 25 -++=. Cõu hi tng t: a) Vi dxy 1 :6100 = , dxy 2 :3450 ++= , dxy 3 :4350 = . S: xy 22 (10)49 -+= hoc xy 222 10707 434343 ổửổửổử -++= ỗữỗữỗữ ốứốứốứ . Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng D : xy 380 ++= , xy ':34100 D -+= v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng thng D , i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ. ã Gi s tõm Itt (38;) ẻ D Ta cú: dIIA (,) D Â = tt tt 22 22 3(38)410 (382)(1) 34 + = ++- + t 3 =- ị IR (1;3),5 -= PT ng trũn cn tỡm: x y 22 (1)(3)25 -++= . Cõu 5. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua A (2;1) - v tip xỳc vi cỏc trc to . ã Phng trỡnh ng trũn cú dng: xayaaa xayaab 222 222 ()()() ()()() ộ -++= ờ -+-= ờ ở a) ị a a 1 5 ộ = ờ = ở b) ị vụ nghim. PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 6 Kt lun: xy 22 (1)(1)1 -++= v xy 22 (5)(5)25 -++= Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy ():240 = . Lp phng trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d). ã Gi Immd (;24)() -ẻ l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm 4 244, 3 =-== . ã m 4 3 = thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy 22 4416 339 ổửổử -++= ỗữỗữ ốứốứ . ã m 4 = thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy 22 (4)(4)16 -+-= . Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D): xy 3480 += . Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D). ã Tõm I ca ng trũn nm trờn ng trung trc d ca on AB d qua M(1; 2) cú VTPT l AB (4;2) = uuur ị d: 2x + y 4 = 0 ị Tõm I(a;4 2a) Ta cú IA = d(I,D) aaa 2 118551010 -=-+ 2a 2 37a + 93 = 0 a a 3 31 2 ộ = ờ = ờ ở ã Vi a = 3 ị I(3;2), R = 5 ị (C): (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25 ã Vi a = 31 2 ị I 31 ;27 2 ổử - ỗữ ốứ , R = 65 2 ị (C): xy 2 2 314225 (27) 24 ổử -++= ỗữ ốứ Cõu 8. Trong h to Oxy cho hai ng thng dxy :230 +-= v xy :350 D +-= . Lp phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng 210 5 , cú tõm thuc d v tip xỳc vi D . ã Tõm I ẻ d ị Iaa (23;) -+ . (C) tip xỳc vi D nờn: dIR (,) D = a 2 210 5 10 - = a a 6 2 ộ = ờ =- ở ị (C): xy 22 8 (9)(6) 5 ++-= hoc (C): xy 22 8 (7)(2) 5 -++= . Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx 22 4340 ++-= . Tia Oy ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti A. ã (C) cú tõm I (23;0) - , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I Â l tõm ca (C Â ). PT ng thng IA : xt yt 23 22 ỡ = ớ =+ ợ , IIA ' ẻ ị Itt (23;22) Â + . AIIAtI 1 2'(3;3) 2 Â ==ị uuruur ị (C Â ): xy 22 (3)(3)4 -+-= Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy 22 450 += . Hóy vit phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M 42 ; 55 ổử ỗữ ốứ ã (C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M ị I Â 86 ; 55 ổử - ỗữ ốứ ị (C Â ): xy 22 86 9 55 ổửổử -++= ỗữỗữ ốứốứ Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 7 Cõu 11. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy 22 2420 +-++= . Vit phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho AB 3 = . ã (C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R 3 = . PT ng thng IM: xy 34110 = . AB 3 = . Gi Hxy (;) l trung im ca AB. Ta cú: HIM IHRAH 22 3 2 ỡ ẻ ù ớ =-= ù ợ xy xy 22 34110 9 (1)(2) 4 ỡ = ù ớ -++= ù ợ xy xy 129 ; 510 1111 ; 510 ộ =-=- ờ ờ ờ ==- ờ ở ị H 129 ; 510 ổử ỗữ ốứ hoc H 1111 ; 510 ổử - ỗữ ốứ . ã Vi H 129 ; 510 ổử ỗữ ốứ . Ta cú RMHAH 222 43 Â =+= ị PT (C Â ): xy 22 (5)(1)43 -+-= . ã Vi H 1111 ; 510 ổử - ỗữ ốứ . Ta cú RMHAH 222 13 Â =+= ị PT (C Â ): xy 22 (5)(1)13 -+-= . Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC vi cỏc nh: A(2;3), BC 1 ;0,(2;0) 4 ổử ỗữ ốứ . ã im D(d;0) d 1 2 4 ổử << ỗữ ốứ thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A khi v ch khi ( ) ( ) d DBAB ddd DCACd 2 2 2 2 9 1 3 4 4 41631. 2 43 ổử +- ỗữ - ốứ ==ị-=-ị= - +- Phng trỡnh AD: xy xy 23 10 33 +- =+-= - ; AC: xy xy 23 3460 43 +- =+-= - Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l b 1 - v bỏn kớnh cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú: ( ) bb bbb 22 3146 35 34 -+- =-= + ị bbb bbb 4 35 3 1 35 2 ộ -=ị=- ờ ờ ờ -=-ị= ờ ở Rừ rng ch cú giỏ tr b 1 2 = l hp lý. Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip D ABC l: xy 22 111 224 ổửổử -+-= ỗữỗữ ốứốứ Cõu 13. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d 1 ): xy 43120 = v (d 2 ): xy 43120 +-= . Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn (d 1 ), (d 2 ) v trc Oy. ã Gi AddBdOyCdOy 1212 ,,=ầ=ầ=ầ ị ABC (3;0),(0;4),(0;4) - ị D ABC cõn nh A v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip D ABC ị IR 44 ;0, 33 ổử = ỗữ ốứ . PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 8 Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: xy 10 = và hai đường tròn có phương trình: (C 1 ): xy 22 (3)(4)8 -++= , (C 2 ): xy 22 (5)(4)32 ++-= . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C 1 ) và (C 2 ). · Gọi I, I 1 , I 2 , R, R 1 , R 2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C 1 ), (C 2 ). Giả sử I(a; a – 1) Î d. (C) tiếp xúc ngoài với (C 1 ), (C 2 ) nên II 1 = R + R 1 , II 2 = R + R 2 Þ II 1 – R 1 = II 2 – R 2 Û aaaa 2222 (3)(3)22(5)(5)42 -++-=-++- Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): xy 22 (1)2 ++= . Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC. · y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0. Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) Cxyx 22 :20 ++= . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 o . · CxyIR 22 ():(1)1(1;0);1 ++=Þ-= . Hệ số góc của tiếp tuyến ( D ) cần tìm là 3 ± . Þ PT ( D ) có dạng xyb 1 :30 D -+= hoặc xyb 2 :30 D ++= · xyb 1 :30 D -+= tiếp xúc (C) dIR 1 (,) D Û= b b 3 123 2 - Û=Û=±+ . Kết luận: xy 1 ():3230 D -±+= · xyb 2 ():30 D ++= tiếp xúc (C) dIR 2 (,) D Û= b b 3 123 2 - Û=Û=±+ . Kết luận: xy 2 ():3230 D +±+= . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy 22 6250 + += và đường thẳng (d): xy 330 +-= . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 0 45 . · (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 . Giả sử ( D ): axbycc 0(0) ++=¹ . Từ: dI d (,)5 2 cos(,) 2 D D ì = ï í = ï î Þ abc abc 2,1,10 1,2,10 é ==-=- ê ===- ë Þ xy xy :2100 :2100 D D é = ê +-= ë . Câu 18. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn Cxy 22 ():(1)(1)10 -+-= và đường thẳng dxy :220 = . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C () , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 0 45 . · (C) có tâm I (1;1) bán kính R 10 = . Gọi nab (;) = r là VTPT của tiếp tuyến D ab 22 (0) +¹ , Vì · d 0 (,)45 D = nên ab ab 22 2 1 2 .5 - = + ab ba 3 3 é = Û ê =- ë · Với ab 3 = Þ D : xyc 30 ++= . Mặt khác dIR (;) D = c4 10 10 + Û= c c 6 14 é = Û ê =- ë Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 9 ã Vi ba 3 =- ị D : xyc 30 -+= . Mt khỏc dIR (;) D = c2 10 10 -+ = c c 8 12 ộ =- ờ = ở Vy cú bn tip tuyn cn tỡm: xy 360; ++= xy 3140 +-= ; xy 380; = xy 3120 -+= . Cõu 19. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai ng trũn (C 1 ): xyxy 22 2220 += , (C 2 ): xyxy 22 82160 ++= . ã (C 1 ) cú tõm I 1 (1;1) , bỏn kớnh R 1 = 2; (C 2 ) cú tõm I 2 (4;1) , bỏn kớnh R 2 = 1. Ta cú: IIRR 1212 3 ==+ ị (C 1 ) v (C 2 ) tip xỳc ngoi nhau ti A(3; 1) ị (C 1 ) v (C 2 ) cú 3 tip tuyn, trong ú cú 1 tip tuyn chung trong ti A l x = 3 // Oy. * Xột 2 tip tuyn chung ngoi: yaxbaxyb ():():0 DD =+-+= ta cú: ab aa dIR ab hay dIR ab bb ab 22 11 22 22 1 22 2 (;) 44 (;) 41 472472 1 44 D D ỡ +- ỡỡ = ù ==- ùù ỡ = ù ùù + ớớớớ = +- -+ ợ ùùù == = ùùù ợợ + ợ Vy, cú 3 tip tuyn chung: xyxyx 123 24722472 ():3,():,() 4444 DDD +- ==-+=+ Cõu 20. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn (C): xy 22 (2)(3)2 -+-= v (C): xy 22 (1)(2)8 -+-= . Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca (C) v (C). ã (C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R 2 = ; (C Â ) cú tõm I Â (1; 2) v bỏn kớnh R '22 = . Ta cú: IIRR '2 Â ==- ị (C) v (C Â ) tip xỳc trong ị Ta tip im M(3; 4). Vỡ (C) v (C Â ) tip xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II (1;1) Â = uur ị PTTT: xy 70 +-= Cõu 21. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xy 22 1 += v phng trỡnh: xymxmy 22 2(1)450 +++= (1). Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca ng trũn vi mi m. Gi cỏc ng trũn tng ng l (C m ). Tỡm m (C m ) tip xỳc vi (C). ã (C m ) cú tõm Imm (1;2) +- , bỏn kớnh Rmm 22 '(1)45 =+++ , (C) cú tõm O(0; 0) bỏn kớnh R = 1, OI mm 22 (1)4=++ , ta cú OI < R Â Vy (C) v (C m ) ch tip xỳc trong. ị R Â R = OI ( vỡ R > R) ị mm 3 1; 5 =-= . Cõu 22. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx 22 650 ++= . Tỡm im M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 6 0 0 . ã (C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị ã ã AMB AMB 0 0 60(1) 120(2) ộ = ờ = ờ ở Vỡ MI l phõn giỏc ca ã AMB nờn: (1) ã AMI = 30 0 IA MI 0 sin30 = MI = 2R mm 2 947 +== PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 10 (2) ã AMI = 60 0 IA MI 0 sin60 = MI = 23 3 R m 2 43 9 3 += Vụ nghim Vy cú hai im M 1 (0; 7 ) v M 2 (0; 7 - ) Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng D nh bi: Cxyxyxy 22 ():420;:2120 D + =+-= . Tỡm im M trờn D sao cho t M v c vi (C) hai tip tuyn lp vi nhau mt gúc 60 0 . ã ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R 5 = . Gi A, B l hai tip im. Nu hai tip tuyn ny lp vi nhau mt gúc 60 0 thỡ IAM l na tam giỏc u suy ra IMR=25 2= . Nh th im M nm trờn ng trũn (T) cú phng trỡnh: xy 22 (2)(1)20 -+-= . Mt khỏc, im M nm trờn ng thng D , nờn ta ca M nghim ỳng h phng trỡnh: xy xy 22 (2)(1)20(1) 2120(2) ỡ -+-= ớ +-= ợ Kh x gia (1) v (2) ta c: ( ) ( ) y yyyy y 22 2 3 210120542810 27 5 ộ = ờ -++-=-+= = ờ ở Vy cú hai im tha món bi l: ( ) M 6;3 hoc M 627 ; 55 ổử ỗữ ốứ Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) cú phng trỡnh xy 22 (1)(2)9 -++= v ng thng dxym :0 ++= . Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m t ú k c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho tam giỏc ABC vuụng. ã (C) cú tõm I(1; 2), R = 3. ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3 IA 32 ị= m m m m 1 5 3216 7 2 - ộ =- =-= ờ = ở Cõu 25. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn Cxyxy 22 ():186650 + += v Cxy 22 ():9 Â += . T im M thuc ng trũn (C) k hai tip tuyn vi ng trũn (CÂ), gi A, B l cỏc tip im. Tỡm ta im M, bit di on AB bng 4,8 . ã (C) cú tõm ( ) O 0;0 , bỏn kớnh ROA 3 == . Gi HABOM =ầ ị H l trung im ca AB ị AH 12 5 = . Suy ra: OHOAAH 22 9 5 =-= v OA OM OH 2 5 == . Gi s Mxy (;) . Ta cú: MCxyxy OM xy 22 22 ()186650 5 25 ỡ ù ỡ ẻ+ += ớớ = += ợ ù ợ xx yy 45 30 ỡỡ == ớớ == ợợ Vy M (4;3) hoc M (5;0) . Cõu 26. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy 22 4460 ++++= v ng thng D: xmym 230 ++= vi m l tham s thc. Gi I l tõm ca ng trũn (C). Tỡm m D ct (C) ti 2 im phõn bit A v B sao cho din tớch DIAB ln nht. ã (C) cú tõm l I (2; 2); R = 2 . Gi s D ct (C) ti hai im phõn bit A, B. K ng cao IH ca D IAB, ta cú: S D ABC = ã IAB SIAIBAIB 1 sin 2 = = ã AIB sin [...]... nghim) 2 2 ợx + y = 4 ãớ Cõu 43 ã Trang 15 PP to trong mt phng Trn S Tựng TP 03: CC NG CễNIC x2 y2 + = 1 A, B l cỏc im trờn (E) 25 16 sao cho: AF1+BF2 = 8 , vi F1, F2 l cỏc tiờu im Tớnh AF2 + BF1 Cõu 1 Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): ã AF1+AF2 = 2a v BF1+BF2 = 2a ị AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a = 20 M AF1 + BF2 = 8 ị AF2 + BF1 = 12 Cõu 2 Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh elip vi... 18 Trn S Tựng PP to trong mt phng Vy, cú 2 cp im cn tỡm: M(4; 2), N(1; 1) hay M(36; 6), N(9; 3) Cõu 13 Trong mt phng vi h to Oxy, cho parabol (P): y 2 = 8 x Gi s ng thng d i qua tiờu im ca (P) v ct (P) ti hai im phõn bit A, B cú honh tng ng l x1, x2 Chng minh: AB = x1 + x2 + 4 ã p dng cụng thc tớnh bỏn kớnh qua tiờu: FA = x1 + 2, FB = x2 + 2 AB = FA = FB = x1 + x2 + 4 Cõu 14 Trong mt phng vi h... (6 - 3b; b) Ta cú: 6 - 3b - 2 = b ờ ị (C): ( x - 3)2 + ( y - 1)2 = 1 hoc (C): x 2 + ( y - 2)2 = 4 Cõu 15 ã Trang 19 PP to trong mt phng Trn S Tựng TP 04: TAM GIC Trong mt phng vi h to Oxy, cho DABC bit: B(2; 1), ng cao qua A cú phng trỡnh d1: 3 x 4 y + 27 = 0 , phõn giỏc trong gúc C cú phng trỡnh d2: x + 2 y 5 = 0 Tỡm to im A Cõu 1 ã Phng trỡnh BC: x - 2 y +1 = ị To im C(-1;3) 3 -4 + Gi B l... ố5 ứ Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh C(4; 3) Bit phng trỡnh ng phõn giỏc trong (AD): x + 2 y - 5 = 0 , ng trung tuyn (AM): 4 x + 13y - 10 = 0 Tỡm to nh B ã Ta cú A = AD ầ AM ị A(9; 2) Gi CÂ l im i xng ca C qua AD ị CÂ ẻ AB Cõu 3 x -9 y+2 = x + 7y + 5 = 0 2 - 9 -1 + 2 Vit phng trỡnh ng thng Cx // AB ị (Cx): x + 7y - 25 = 0 Ta tỡm c: CÂ(2; 1) Suy ra phng trỡnh (AB): Cõu 4 Trong. .. + 15 = 0 ù20a + 10b + c = -125 ùc = 15 ợ ợ Cõu 37 Trong mt phng vi h to Oxy, cho im A(0; 2) v ng thng d: x 2 y + 2 = 0 Tỡm trờn d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng ti B v AB = 2BC ổ2 6ử ố5 5ứ ổ4 7ử ố5 5ứ ã B ỗ ; ữ ; C1(0;1); C2 ỗ ; ữ ổ4 7ử Cõu 38 Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A ỗ ; ữ v phng trỡnh ố5 5ứ hai ng phõn giỏc trong BBÂ: x - 2 y - 1 = 0 v CCÂ: x + 3y - 1 = 0 Chng... = -1 ị B(1; 1), C(4; 1) uuu r uuu r ị AB ^ AC ị à vuụng A Cõu 39 Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A(1; 3) v hai ng trung tuyn ca nú cú phng trỡnh l: x 2y + 1 = 0 v y 1 = 0 Hóy vit phng trỡnh cỏc cnh Trang 29 PP to trong mt phng Trn S Tựng ca DABC ã (AC): x + 2y 7 = 0; (AB): x y + 2 = 0; (BC): x 4y 1 = 0 Cõu 40 Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cõn, cnh ỏy BC cú phng... Cõu 44 Trong mt phng vi h to Oxy, cho D ABC cú nh A(1;2), phng trỡnh ng trung tuyn BM: 2 x + y + 1 = 0 v phõn giỏc trong CD: x + y - 1 = 0 Vit phng trỡnh ng thng BC ổ t +1 3- t ử ã im C ẻ CD : x + y - 1 = 0 ị C (t;1 - t ) Suy ra trung im M ca AC l M ỗ ; ữ 2 ứ ố 2 T A(1;2), k AK ^ CD : x + y - 1 = 0 ti I (im K ẻ BC ) Suy ra AK : ( x - 1) - ( y - 2) = 0 x - y + 1 = 0 Trang 30 Trn S Tựng PP to trong. .. (d) ị 3a b =4 (3) 3 ứ ố 3 S 3 = p 2 + 65 + 89 S 3 ã (2), (3) ị C(1; 1) ị r = = p 2 +2 5 ã (1), (3) ị C(2; 10) ị r = Trang 32 Trn S Tựng PP to trong mt phng Cõu 52 Trong mt phng to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 96 Gi M(2;0) l trung im ca AB, phõn giỏc trong ca gúc A cú phng trỡnh: d : x - y - 10 = 0 ng 3 5 ã Gi M ' i xng vi M(2;0) qua d : x - y - 10 = 0 ị M '(10; -8) PT ng thng AB qua M(2;0)... ID uu + Vi x = 2 ị IA = 2, ID = 4 2 ị ID = - IB ị B ( 2 + 2;2 + 2 ) , C ( 2 + 4 2;2 + 4 2 ) IB Trong D AID cú: + Vi x = 4 ị B ( 4 + 3 2;2 + 2 ) , C ( 4 + 4 2; -2 2 ) Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 2 v 2 im A(0; 4), B(4; 0) Tỡm ta 2 im C v D sao cho ng trũn (C) ni tip trong hỡnh thang ABCD cú ỏy l AB v CD Cõu 3 ã (C ) : ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 2 cú tõm I(1; -1)... M1(0; 5), M2(0; 5) Cõu 5 Trong mt phng Oxy, cho elip (E) cú hai tiờu im F1(- 3;0); F2 ( 3;0) v i qua im ổ 1ử A ỗ 3; ữ Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu 2ứ ố P = F1M 2 + F2 M 2 3OM 2 F M F2 M 1 thc: ã (E): x2 a2 + y2 b2 = 1ị 3 a2 + 1 4b 2 = 1 , a2 = b2 + 3 ị x2 y2 + =1 4 1 2 2 2 ị P = (a + ex M )2 + (a ex M )2 2( x M + yM ) (a2 - e2 x M ) = 1 Trong mt phng to Oxy, . Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 1 TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy 1 :7170 -+= , dxy 2 :50 +-= . Viết phương trình đường. giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip D ABC ị IR 44 ;0, 33 ổử = ỗữ ốứ . PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 8 Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,. () c c dI c 2 34 4101 ,4 4101 31 D -++ é =- Þ==Û ê = ë + . Vậy phương trình D cần tìm là: xy 341010 ++-= hoặc xy 341010 + = . PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 12 Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường