Bài toán cực trị trong hình học không gian

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com 1 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1) BÀI TOÁN 1 Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho OA = a;OB = b;OC = c a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương) HD: a) mp(ABC) : 1 x y z a b c    ; 2 2 2 2 2 2 ( ;( )) abc d o ABC b c c a a b    b) 2 3 1 1 1 .( ) . 6 6 6 2 24 OABC b c a V abc a bc a            ( đẳng thức khi b = c = a/2 ) BÀI TOÁN 2 Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC và khoảng cách từ N đến các mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c . a) Chứng minh răng : 1 a b C OA OB OC    b) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất c) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất (ĐHHH95) HD: Chọn hệ trục Oxyz sao cho N(a,b,c) .Phương trình mặt phẳng (P) qua N là: (x - a) + (y - b) + (z - c) = 0    Suy ra : ( ;0;0) ; (0; ;0) ; (0;0; ) a b c a b c a b c A B C                   b) 3 3 3 3. ( . . ) 1 1 ( ) 1 9 6 6 6 2 OABC a b c a b c V abc abc               9 min khi a =b =c 2 OABC V abc     suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c c b a C O A B N LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com 2 c) Ta có : OA + OB + OC a b c a b c a b c                      b a c a c b a b c                                        2 2 2 2 ( )a b c ba ac cb a b c         min (OA + OB + OC) 2 2 2 a b c OA a ab ac           … BÀI TOÁN 3 Cho tứ diện SABC có 2 ; SC (ABC)SC CA AB a    ,tam giác ABC vuông tại A ,các điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC (ĐH Đà Nẳng 2001) HD: Chọn hệ trục C  O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0); S(0;0; a 2) Viết phương trình SA và MSA suy ra M : ( ; ; ) 2 2 2 t t t M a a  ; N(t;0;0) 6 2a min khi t= 3 3 a MN  BÀI TOÁN 4 Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM 2 + BM 2 + CM 2 + DM 2 nhỏ nhất HD: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ,ta có: 2 2 2 2 .MA MG GA MA MG GA MG GA           Tương tự: 2 2 2 2 .MB MG GB MG GB     ; 2 2 2 2 .MC MG GC MG GC     ; 2 2 2 2 .MD MG GD MG GD     Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4MA MB MC MD MG GA GB GC GD        Vậy S nhỏ nhất  MG nhỏ nhất  M G C B A S M N LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com 3 BÀI TOÁN 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ nhất của MN HD: Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0) Vì MD’//NC’ nên: a a m an m a n a n a       . Suy ra : MN = m + n – a = 2 2 n an a n a    Xét hàm số : 2 2 ( ) (n>a) n an a f n n a     . MinMN = 3a khi n =2a BÀI TOÁN 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo và tìm diện tích nhỏ nhất của nó theo a I A D D' B C A' K B' C' M N A D D' B C A' B' C' M N [...]...LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 19 Cho tứ diện ABCD có AB = 2x ; CD = 2y ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x ,y để diện tích toàn phần lớn nhất HD: 2x 1 x 2 STP Mà : 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 STP 2y 1 y2 x2 1 x2 2y 1 y2 2 1 ; 2 y 1 y2 y2 1 y2 2 1 2 Max STP = 2 Khi x = y = BÀI TOÁN 20 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt phẳng qua C’ và không cắt hình hộp nhưng cắt . tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com 1 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1) BÀI TOÁN 1 Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt. http://chukienthuc.com 3 BÀI TOÁN 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ nhất. khi b = c = a/2 ) BÀI TOÁN 2 Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC