Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian OXYZ

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I.. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS... Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường OA’, OB’.. Viết phương trình mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:

1 Hai véctơ u=(a a a1, 2, 3);v=(b b b1; 2; 3)

là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của mặt phẳng (α) ⇔ ,u v≠0

Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): By+Cz+D = sẽ song song hoặc chứa với trục x’Ox 0

Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): Ax+Cz+D = sẽ song song hoặc chứa với trục y’Oy 0

Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): Ax+By+D = sẽ song song hoặc chứa với trục z’Oz 0

2.2 Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG

Cho 2 mặt phẳng (α1): A x1 +B y1 +C z1 +D1= có VTPT 0 n
1=(A B C1, 1, 1)

và (α2): A x2 +B y2 +C z2 +D2 = có VTPT 0 n
2 =(A B C2, 2, 2)

Nếu n n
1,
2 không cùng phương thì (α1) cắt (α2)

Nếu n n
1,
2 cùng phương và (α1), (α2) không có điểm chung thì (α1) // (α2) Nếu n n
1,
2 cùng phương và (α1), (α2) có điểm chung thì (α1) ≡ (α2)

IV GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

VI CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Lập phương trình tổng quát của mp(α) đi qua A(2; 1; −1) và vuông góc

với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1)

Bài 3 Lập phương trình mp(α) đi qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2x− + −y z 17 0=

Lập phương trình mp(β) đi qua 3 điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)

và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 mp(α) và (β)

HD: mp(α) // (γ): 2x−y+ −z 17= có 0 n
=(2; 1;1− ) ⇒ (α): 2x− y+ + = z c 0(α) đi qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 1 0 5⋅ − + + = ⇔ = − ⇒ PT (α): 2c 0 c 7 x− y+ − = z 7 0

Cho n= suy ra 1 m= , khi đó phương trình mp(α) là: 118 x−2y−15z− = 3 0

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và lập với mặt phẳng (α):

Cho A= suy ra mp(α): 1 x− 26y+3z− = hoặc 3 0 x+ 26y+3z− = 3 0

Bài 7 Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là 3 số dương thay đổi

luôn luôn thỏa mãn a2 +b2 +c2 = Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O 3đến mặt phẳng (ABC) đạt Max

HD:
Với mọi m, (P m) luôn đi qua đường thẳng cố định (d):

Bài 9 Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1) Viết phương trình mặt

phẳng (ABC) CMR: O ∈ (ABC) và OABC là một hình chữ nhật

Cho S(9; 0; 0) Tính thể tích chóp S.OABC Viết phương trình mặt

phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS

Bài 10 Lập phương trình của mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo bởi hai mặt

phẳng ( )P :x−3y+7z+36=0 ; ( )Q :2x+ y− −z 15= nếu biết khoảng cách từ 0gốc tọa độ O đến α bằng 3

Bài 1 Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với

Bài 4 Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết PT mp(ABC)

Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC) Viết PT mặt phẳng:

Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC

Bài 8 Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N lần lượt là trung

điểm của OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho 2

Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > 0 Gọi A’, B’

là hình chiếu của O lên DA, DB Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường OA’, OB’ Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD

Tính d theo a để số đo góc A OB′ ′ =45°

Bài 10. Tìm trên Oy các điểm cách đều 2 mặt phẳng

( )α :x+y− + =z 1 0,( )β :x−y+ − = z 5 0

Bài 11 Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua điểm I(2; 1; −3) biết

(P) chứa Oy và (Q) chứa Oz

Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q)

Bài 12. Cho ∆OAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy

Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(Oxy) Cho điểm (0; 0; )

3

a

Xác định A, B và trung điểm E của OA Viết phương trình mặt phẳng

(P) chứa SE và song song với Ox Tính d O P( , ) từ đó suy ra d Ox SE( ; )

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:

1 Véctơ a
=(a a1; 2;a3) là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của a

2 Nhận xét: Nếu a
là một VTCP của (∆) thì ka
(k ≠ 0) cũng là VTCP của (∆)

tức là (∆) có vô số VTCP

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0)

3 Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát là giao

tuyến của hai mặt phẳng 1 1 1 1

00

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u
=(a a1, 2,a3),

(∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là v
=(b b b1, 2, 3)

1 2

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho (∆) đi qua M0(x0; y0, z0) với VTCP u
=(a b c, , ) và mp(α):

IV GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Góc giữa 2 đường thẳng:

Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u
=(a a1, 2,a3),

(∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là v
=(b b b1, 2, 3)

1 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Cho (∆) đi qua M0(x0; y0, z0) với VTCP u
=(a b c, , ) Khoảng cách từ điểm

2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u
=(a a1, 2,a3),

(∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là v
=(b b b1, 2, 3)

Giả sử ( ) (∆1 , ∆2) chéo nhau, khi đó ( ) [ ]

1 2

,( ),( )

1 Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi ( )

( )

1 2

 ∆



α

 hoặc sử dụng dấu hiệu nhận

biết qua hệ thức của các véctơ

Bài 1 Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau:

a Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau

b Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) và (∆3)

2 Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng (ααα)

Phương pháp:

Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) qua M và (∆) ⊥(α)

Giao điểm H của (∆) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (α)

Bài 1 Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2;−3) lên ( )α :x+ y−3z+ = 5 0

3 Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (ααα)

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (α)

Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (α) là

(2 0 1, 2 0 1, 2 0 1)

Bài 1 Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α):

x + y – 3z + 5 = 0

4 Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng (∆∆∆)

Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (∆)

Giao điểm H của (∆) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (∆)

Phương pháp 2: Viết PT tham số của (∆) ⇒ Tọa độ H theo tham số t

5 Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆∆∆)

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (∆)

Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (∆) là

TH2: (∆) ⊂ (α) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆)

TH3: (∆) không vuông góc với (α), (∆) ⊄ (α):

C1: Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (∆) và (β) ⊥ (α)

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆’) = (β) ∩ (α) C2: Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc (∆)

Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên (α) là H 1 , H 2

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆’) ≡ H 1 H 2 C3: Nếu (∆) cắt (α): Xác định A ≡ (∆) ∩ (α) Lấy M bất kì ∉ (∆) và M ≠ A Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α)

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là (∆’) ≡ AH

TH2: (∆ 1 ) và (∆ 2 ) không song song:

Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (∆ 1 ) và // (∆ 2 )

Hình chiếu song song của (∆ 1 ) lên (α) theo phương (∆ 2 ) là (∆) = (β) ∩ (α)

Bài 1 Xác định hình chiếu song song của đt (∆1):

Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M chứa (∆1 )

Nếu cho (∆ 1 ) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình (α) dưới dạng chùm Nếu (∆ 1 ) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B ∈ (∆ 1 )

⇒ Phương trình (α) qua 3 điểm A, B, M

Nếu (α) // (∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (∆ 2 ) thì tìm N = (∆ 2 ) ∩ (α) Nếu MN // (∆ 1 ) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt (∆ 1 ) suy ra đường thẳng cần tìm là (∆) ≡ MN

Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M chứa (∆1 ),

9 Dạng 9: VPT đường thẳng (∆∆∆) cắt (∆∆1 ), (∆∆2 ) và song song với (∆∆3 )

Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (∆1 ) và // (∆ 3 ),

mặt phẳng (β) chứa (∆ 2 ) và // (∆ 3 )

Nếu (α) // (β) thì bài toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (β) thì xét (∆) = (α) ∩ (β) Nếu (∆) cắt (∆ 1 ) và (∆ 2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm

Nếu (∆) // (∆ 1 ) hoặc (∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm

Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của (∆1 ) theo t 1 , của (∆ 2 ) theo t 2 Lấy M ∉ (∆ 1 ), N ∉(∆ 2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t 1 , t 2 ⇒ MN
theo t 1 , t 2

Xác định t 1 , t 2 sao cho MN // (∆ 3 ) ⇒ Đường thẳng (∆) cắt (∆ 1 ), (∆ 2 ) và song

song với (∆ 3 ) là (∆) ≡ MN

Phương pháp 3: Gọi M(x 0 , y 0 , z 0 ) là giao điểm của (∆) và (∆ 1 )

(∆) nhận VTCP của (∆ 3 ) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của (∆) theo x 0 , y 0 , z 0

Nếu (∆) // (∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm

M = ∆ ∩ α , H là hình chiếu vuông góc của M lên (∆ 1 )

⇒ MH là đường vuông góc chung của (∆ 1 ), (∆ 2 )

b Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2 ) dưới dạng tham số

Lấy M∈(∆1), N∈(∆ 2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo

c Phương pháp 2: Gọi a a
1,
2 là VTCP của (∆ 1 ) và (∆ 2 )

⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP

1, 2

a
= a a

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (∆ 1 ) và // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆ 2 )

và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β)

Bài 1 Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8)

Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA

Bài 2 Viết phương trình đường vuông góc chung của

( )1

3 0:

Viết phương trình mặt phẳng cách đều (∆1) và (∆2)

12 Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách

Bài 7 Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4)

Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC)

12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước:

Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0

Tìm M∈Oy sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 4

Bài 2. Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz sao cho khoảng cách từ M đến

b Dạng 3: Cho 2 điểm A x y z( 1, 1, 1) (;B x2,y2,z2)

Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min

Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của

các điểm A, B lên (∆) Gọi M 0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số

Bài 1 Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3)

Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 để (MA + MB) min;|MA – MB| max

Bài 2 Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5)

Tìm M∈ mặt phẳng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max

Bài 3 Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3)

Tìm M∈( )P :x−2y+ − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max z 4 0

Bài 4 Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4)

Tìm M∈( )P :x−2y+2z− = để (MA + MB) min; |MA – MB| max 9 0

Bài 5 Cho A(1; 2;−1), B(2− 2; 2; 3− )

 sao cho (MA + MB) min

Bài 6 Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4)

− sao cho (MA + MB) min

Bài 8 Cho A(2; 3; 0) và B(0;− 2; 0)

13 Dạng 13: Các bài toán về góc

Bài 1 Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( )P1 :x+ +y 2z+ =4 0,( )P2 : 2x+ + + = y z 1 0

Bài 2 Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1)

Tính góc của mỗi cặp cạnh đối của ABCD; Tính góc ((AB); (BCD))

Bài 3 Cho ( )P1 : 3x−y− + = , z 2 0 ( )P2 :x+2y+ − = , z 3 0

( )P3 :− +x 3y−2z+ = Gọi (∆) là giao tuyến của (P1 0 1) và (P2)

Tính góc giữa (∆) với giao tuyến của (P1), (P3) và với mặt phẳng (P3)

Bài 5 Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D( 1; 1; 0)

2

− −

a Tính góc giữa ((ABC); (ABD))

b Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC)

14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( ): 1 2

c) MA+MB nhỏ nhất d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất

2 VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất

3 VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất

4 VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất

5 Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương

trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất?

b Ta có MA2 +MB2 =12t2 −48t+76 12= (t−2) +28

Vậy MA2 +MB2 nhỏ nhất khi t= và khi đó 2 M(−1; 0; 4)

c Ta sẽ xác định hình chiếuA1, B1 của hai điểm A, B lên đường thẳng (d)

Ta có ( )

2

2 2

• Nếu a= thì (Q): 20 y− + = và khi đó z 4 0 cos 1

Khi đó

2

1 2sin

35 khi

3011