Các bài toán đường thẳng và đường tròn luôn đi qua điểm cố định

1 Đường thẳng và đường tròn luôn đi qua điểm cố định I. Các bài toán Bài toán 1. Cho đường tròn (O, R). Đường kính AB quay quanh O. Hai điểm C, D cố định trên (O, R) (CD ≠ 2R). AC, BD cắt nhau tại E. H là trực tâm của tam giác CDE. Các điểm K, L theo thứ tự thuộc CE, DE sao cho KELH là hình bình hành. Chứng minh rằng trung trực của KL luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 2. Cho tam giác nhọn ABC có BC > CA. Điểm M chạy trên đoạn CA. Các điểm A’, C’ theo thứ tự thuộc các đoạn BC, BA sao cho MC = CA’, AM = MC’. Chứng minh rằng đường tròn (A’BC’) luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 3. Cho tam giác ABC và số dương k. Điểm M cố định trên cạnh BC. Các điểm N, P theo thứ tự chạy trên các đoạn AB, AC sao cho S(ANMP) = k. Chứng minh rằng đường tròn (ANP) luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 4. Cho tam giác ABC, điểm O thuộc tam giác, số S(OAB) k. S(OAC)  Hai điểm M, N theo thứ tự thay đối trên các cạnh AB, AC sao cho S(OMB) k. S(ONC)  Chứng minh rằng đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Bài toán 5. Cho tam giác ABC không cân tại A. Điểm M chạy trong tam giác sao cho     AMB C AMC B .  Các điểm K, L theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM. Chứng minh rằng đường thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 6. Cho tam giác ABC và điểm M thay đổi trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A sao cho MB AB . MC AC  Trên nửa mặt phẳng bờ MB không chứa C lấy điểm E sao cho  90EBM ;EB MC.  Trên nửa mặt phẳng bờ MC không chứa B lấy điểm F sao cho  90FCM ;FC MB.  Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M chạy trên cung  BC không chứa A của (O). K, L theo tthứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM. Chứng minh rằng đường tròn (MKL) luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 8. Cho tam giác ABC không cân và không vuông tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chạy trên các cạnh AB, AC sao cho BN = CM. P là giao điểm của BN và CM. Phân giác của góc  BPC theo thứ tự cắt AB, AC tại X, Y. Z, T theo thứ tự là hình chiếu của X, Y trên AC, AB. Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm của XZ, YT luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 9. Cho tam giác ABC. Điểm D chạy trên đường thẳng BC và khác B, C. Các đường tròn (ABD), (ACD) theo thứ tự lại cắt AC, AB tại E, F. DF, DE theo thứ tự cắt 2 AC, AB tại M, N. X là giao điểm của BM, CN. Chứng minh rằng đường thẳng DX luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). S = AB ∩ CD. T = AD ∩ BC. Điểm M chạy trên (O). MS, MT theo thứ tự lại cắt (O) tại N, P. Chứng minh rằng đường tròn (ONP) luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 11. Cho hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ). Điểm M chạy trên (O 1 ). Đường thẳng qua O 2 và song song với O 1 M cắt (O 2 ) tại A. B. MA. MB theo thứ tự lại cắt (O 2 ) tại C, D. Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 12. Cho tam giác đều ABC và điểm M. Phép đối xứng tâm M theo thứ tự biến A, B, C thành A’, B’, C’. 1) Chứng minh rằng trung trực của các đoạn AB’, BC’, CA’ đồng quy tại một điểm, kí hiệu là P. 2) Gọi D là trung điểm của AB. Đặt N = AP ∩ MD. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 13. Cho tam giác ABC. Điểm X chạy trên đoạn BC. Đường tròn (O) đi qua A, tiếp xúc với BC tại X và cắt đường tròn (ABC) tại M, N sao cho MN đi qua trung điểm của AX. MN cắt AB, AC tại Y, Z. Chứng minh rằng đường tròn (AYZ) luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 14. Cho hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ) cắt nhau tại A, B. Đường thẳng ∆ quay quanh B và theo thứ tự lại cắt (O 1 ), (O 2 ) tại C, D. M là trung điểm của CD. AM lại cắt (O 2 ) tại P. Đường thẳng qua M và vuông góc với O 1 M cắt AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 15. Cho tam giác ABC. A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Các điểm P, P’ thay đổi sao cho PA = PA’, PB = PB’, PC = PC’. Chứng minh rằng đường thẳng PP’ luôn đi qua một điểm cố định. II. Các lời giải Bài toán 1. Cho đường tròn (O, R). Đường kính AB quay quanh O. Hai điểm C, D cố định trên (O, R) (CD ≠ 2R). AC, BD cắt nhau tại E. H là trực tâm của tam giác CDE. Các điểm K, L theo thứ tự thuộc CE, DE sao cho KELH là hình bình hành. Chứng minh rằng trung trực của KL luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của CE, DE và DH, CH (h.1). Ta có    11 1 2222 (EC, ED) (AC, BD) s®AB s®CD s®CD(mod ).    Kết hợp với C, D cố định, suy ra E chạy trên một đường tròn cố định, kí hiệu là (O’). Chú ý rằng KH // EQ HQ HC;KH LE;KE LH;        C, D, P, Q cùng thuộc một đường tròn; LH // EP HP HD, ta có 3    22 22 KO' R' KC.KE KC.KE KH HC .KE KH.KE HC.HQ LH.LE HD.HP LH HD .LE LD.LE LD.LE LO ' R ' .                  P Q O' K L H E B O C D A (h.1) Do đó KO' LO'. Vậy trung trực của KL luôn đi qua O’ (đpcm). Chú ý. Các cung nói trong lới giải trên là cung định hướng. Bài toán 2. Cho tam giác nhọn ABC có BC > CA. Điểm M chạy trên đoạn CA. Các điểm A’, C’ theo thứ tự thuộc các đoạn BC, BA sao cho MC = CA’, MA = C’A. Chứng minh rằng đường tròn (A’BC’) luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. Cách 1. Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của đường tròn (C, CA) với các đoạn BC, BA; K là giao điểm thứ hai của các đường tròn (KBC), (KBA) (h.2). Theo kết quả quen biết, các tam giác KEC, KAF đồng dạng cùng hướng (1). Dễ thấy AE // MA’ và CF // MC’. Do đó 2 CA' CM AC' (). CE CA AF  Từ (1) và (2) suy ra các tam giác KA’C, KC’F đồng dạng cùng hướng. Do đó các tam giác KA’C’ và KCF đồng dạng (cùng hướng). Suy ra     180 180A'KC' EKA EBA A'BC '. 4 Điều đó có nghĩa là K thuộc đường tròn (A’BC’) (đpcm). K E F C' A' A B C M (h.2) Chú ý. Nếu M trùng C thì A’ trùng C và C’ trùng F. Nếu M trùng A thì A’ trùng E và C’ trùng A. Cách 2. Ta cần có một bổ đề. Bổ đề. Cho các đường thẳng x’x, y’y cắt nhau tại O và hai số a, b khác không. các điểm A, B theo thứ tự chạy trên x’x, y’y sao cho 1aOA bOB .   Khi đó đường tròn (OAB) luôn đi qua một điểm cố định khác O. Có thể tìm thấy phép chứng minh bổ đề trên trong Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10, tr 84. tr 215. Trở lại giải bài toán 2. Chú ý rằng MA = MC’, ta có 22 2 2 BC ' AB AC ' AB BA ' BC A ' C AM BC CM cosA cosA cosA AB BC AC kh«ng ®æi. cos A       Do đó, theo bổ đề trên, đường tròn (A’BC’) luôn đi qua một điểm cố định. 5 Bài toán 3. Cho tam giác ABC và số dương k. Điểm M cố định trên cạnh BC. Các điểm N, P theo thứ tự chạy trên các đoạn AB, AC sao cho S(ANMP) = k. Chứng minh rằng đường tròn (ANP) luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. (h.3). A B CM N P (h.3) Ta có k S(ANMP) BM.S(ANM) CM.S(APM) BM.AN CM.AP . S(ABC) S(ABC) BC.S(ABM) CB.S(ACM) BC.BM CB.CM    Do đó BM CM k.BC AN AP . BA CA S(ABC)  Từ đó, theo bổ đề trong bài toán 2, suy ra đường tròn (ANP) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Bài toán 4. Cho tam giác ABC, điểm O thuộc tam giác, số S(OAB) k. S(OAC)  Hai điểm M, N theo thứ tự thay đối trên các cạnh AB, AC sao cho S(OMB) k. S(ONC)  Chứng minh rằng đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Lời giải. (h.4). A B C O M N (h.3) S(OMB) S(OMB) S(OAB) S(OAC) MB S(OAB) AC Ta cã k . . . . S(OMC) S(OAB) S(OAC) S(ONC) AB S(OAC) MC   6 1 1 1 AB AM S(OAB) AC AM S(OAB) AN AB S(OAC) AC AN AB S(OAC) AC        Từ đó, chú ý rằng S(OAB) k, S(OAC)  sau một vài biến đổi đại số đơn giản, suy ra 0 S(OAB) AM AN S(OAB) .k.k . S(OAC) AB AC S(OAC)    Vậy, theo bổ đề trong bài toán 2, (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Chú ý. Bài toán 4 thường được phát biểu dưới dạng bài toán vật lí (xem bài toán 4’) và được giải bằng phép vị tự quay. Bài toán 4’. Cho hai đường thẳng x’x, y’y cắt nhau tại O. Các điểm A, B theo thứ tự chuyển động đều trên x’x, y’y và không khi nào gặp nhau tại O. Chứng minh rằng đường tròn (OAB) luôn đi qua một điểm cố định khác O. Bài toán 5. Cho tam giác ABC không cân tại A. Điểm M chạy trong tam giác sao cho     AMB C AMC B.  Các điểm K, L theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM. Chứng minh rằng đường thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. Ta cần có một bổ đề. Bổ đề. Nếu điểm M nằm trong tam giác ABC thì     AMB C AMC B   khi và chỉ khi MB AB . MC AC  Bổ đề trên rất quen thuộc, không trình bày phép chứng minh ở đây. Trở lại giải bài toán 5. Gọi N là giao điểm của BK và CL; S là giao điểm của BC và KL (h.4). Vì     AMB C AMC B   nên, theo bổ đề trên, MB AB . MC AC  Từ đó dễ dàng suy ra N thuộc AM. L K N S A B C M (h.5) 7 Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác NBC và cát tuyến SLK, 1 SB LC KN . SC LN KB  Từ đó, chú ý rằng     KAB KAN;LAC LAN, suy ra 1 SB AC AN . AN AB SC     Do đó SB AB . AC SC  Điều đó có nghĩa là S cố định (đpcm). Chú ý. S là chân đường phân giác ngoài kẻ từ A của tam giác ABC. Bài toán 6. Cho tam giác ABC và điểm M thay đổi trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A sao cho MB AB . MC AC  Trên nửa mặt phẳng bờ MB không chứa C lấy điểm E sao cho  90EBM ;EB MC.  Trên nửa mặt phẳng bờ MC không chứa B lấy điểm F sao cho  90FCM ;FC MB.  Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. Cách1. Ta cần có một bổ đề. Bổ đề. Nếu về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các hình chữ nhật ABXY và ACZT sao cho AY = AC và AT = AC thì BT, CY, XZ đồng quy tại hình chiếu của A trên XZ và BT CY. Bổ đề trên rất quen thuộc, không trình bày phép chứng minh ở đây (h.6.1). Z X T Y A B C (h.6.1) Trở lại giải bài toán 6 (h.6.2). 8 S O K F Q E P B C M A (h.6.2) Không mất tính tổng quát giả sử tam giác ABC có hướng dương. Về phía ngoài tam giác MBC dựng các hình chữ nhật MBEP, MCFQ. Theo bổ đề trên BQ, CP và EF đồng quy tại K (hình chiếu của M trên EF) và  90BKC . Do đó K thuộc đường tròn (O) (đường kí BC) và đường tròn (MBEP). Gọi S là giao điểm thứ hai của EF và (O).  Ta cã tan(KS, KB) tan(KS, KB) tan(KE, KB) tan(ME,MB) BE CM tan(MF, MB) tan EMB . BM BM        Do đó BM (KS,KB) arctan . CM    Suy ra 22 BM BA (OS,OB ) arctan arctan CM CA    không đổi. Vậy S cố định (đpcm). Cách 2. Không mất tính tổng quát giả sử tam giác ABC có hương dương (h.6.3). Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy điểm P sao cho  90PBA ;PB AC.  Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm Q sao cho  90QCM ;QC AB.  Đặt S = EF ∩ PQ. Vì BM BA BE CM; ;CA BP CM CA  và BM BA CF BM; ;BA CQ CM CA  nên 9 BM BM BA BA CM CM C A CA ;. BE CM CA BP CF BM BA CQ   S Q P F E C B A M (h.6.3) Do đó các cặp tam giác vuông BME, BAP và CMF, CAQ đồng dạng (cùng hướng). Suy ra các cặp tam giác BEP, BMA và CFQ, CMA đồng dạng (cùng hướng). Vậy, ta có 02 22 (BE,CF) (PE,AM) (AM,CF) ( PB,AB) (QC,AC) (mod ).            Do đó PE QF.   Từ đó, theo định lí Thales, suy ra 1 SE PE PE (). QF SF QF  Mặt khác, vì các cặp tam giác BEP, BMA và CFQ, CMA đồng dạng nên 22 2 PE BE AM CM CM CM CA (). QF AM CF BM BM BM BA     Từ (1) và (2) suy ra S cố định (đpcm). Chú ý. Các điểm P, Q xuất hiện bằng cách cho M trùng A, một vị trí đặc biệt của M. Bài toán 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M chạy trên cung  BC không chứa A của (O). K, L theo tthứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABM, ACM. Chứng minh rằng đường tròn (MKL) luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. Gọi (O’) là đường tròn tiép xúc với các đoạn AB, AC (tại E, F) và tiếp xúc trong với (O) (tại T) (h.7). Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm thứ hai của TE, TF với (O); S là giao điểm thứ hai của TA với (O’). Dễ thấy K MP;L MQ;PK PA;QL QA;ES // PA;FS // QA;tø gi¸c TESF ®iÒu hoμ.   Do đó     PRT MRT MQT LQT.  PK PA ES FS QA QL . PT PT ET FT QT QT    10 O S L K Q P E T O' F A B C M (h.7) Suy ra các tam giác TPK, TQL đồng dạng. Do đó  MKT MKL. Vậy tứ giác MKLT nội tiếp. Nói cách khác đường tròn (MKL) đi qua T (đpcm). Chú ý. Vì tứ giác TPAQ là ảnh của tứ giác TESF qua phép vị tự R R' T V và tứ giác TESF diều hoà nên tứ giác TPAQ điều hoà. Bài toán 8. Cho tam giác ABC không cân và không vuông tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chạy trên các cạnh AB, AC sao cho BN = CN. P là giao điểm của BN và CM. Phân giác của góc  BPC theo thứ tự cắt AB, AC tại X, Y.Z, T theo thứ tự là hình chiếu của X, Y trên AC, AB. Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm của XY, ZT luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. Ta cần có hai bổ đề. Bổ đề 1. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh CB, CD sao cho BN = DM. P là giao điểm của BN, DM. Khi đó   BPA DPA. Bổ đề 1 rất quen thuộc, không trình bày cách chứng minh ở đây (h.8.1). [...]... và (4) suy ra KY  KZ Vậy XYAZ là hình bình hành Do đó, theo bổ đề trên, đường tròn (AYZ) luôn đi qua một đi m cố định khác A Bài toán 14 Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A, B Đường thẳng ∆ quay quanh B và theo thứ tự lại cắt (O1), (O2) tại C, D M là trung đi m của CD AM lại cắt (O2) tại P Đường thẳng qua M và vuông góc với O1M cắt AC tại Q Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một đi m... B X Q L Y H O C P (h.12.2) Bài toán 13 Cho tam giác ABC Đi m X chạy trên đoạn BC Đường tròn (O) đi qua A, tiếp xúc với BC tại X và cắt đường tròn (ABC) tại M, N sao cho MN đi qua trung đi m của AX MN cắt AB, AC tại Y, Z Chứng minh rằng đường tròn (AYZ) luôn đi qua một đi m cố định Lời giải Trước hết ta cần có một bổ đề Bổ đề Cho tam giác ABC Đi m X chạy trên đoạn BC Các đi m Y, Z theo thứ tự thuộc... F cố định (đpcm) Chú ý Có thể kiểm tra được rằng F là hình chiếu của O trên ST Do đó F là đi m Miquel của tứ giác toàn phần xác định bởi các đường thẳng AB, AD, CB, CD Bài toán 11 Cho hai đường tròn (O1), (O2) Đi m M chạy trên (O1) Đường thẳng qua O2 và song song với O1M cắt (O2) tại A B MA MB theo thứ tự lại cắt (O2) tại C, D Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua một đi m cố định Lời giải Cách... Bổ đề 2 Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau, không vuông góc với nhau và đi m P không thuộc a, b Đường thẳng c quay quanh P và theo thứ tự cắt a, b tại A, B A’, B’ theo thứ tự là hình chiếu của A, B trên b, a M, N theo thứ tự là trung đi m của AC, BD Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua một đi m cố định Lời giải  Đặt (a, b)   (0    ) 2 Gọi O là giao đi m của a và b Gọi d là đường thẳng chứa phân giác... rằng đường tròn (ONP) luôn đi qua một đi m cố định Lời giải 13 T F P A K S B E L D O Q N C M (h.10) Gọi E là giao đi m của AC và BD; Q là giao đi m của MS và AC; K, L theo thứ tự là giao đi m của NP và AB, CD (h.11) Ta có (SKAB) = N(SKAB) = N(MPAB) = C(MPAB) = (MPQT) = A(MPQT) = A(MPCD) = N(MPCD) = (SLCD) Suy ra KL, AC, BD đồng quy Đi u đó có nghĩa là NP đi qua E Gọi F là giao đi m thứ hai của OE và. .. (h.8.3) Trường hợp 2 BAC  90 Tương tự trường hợp 1 Bài toán 9 Cho tam giác ABC Đi m D chạy trên đường thẳng BC và khác B, C Các đường tròn (ABD), (ACD) theo thứ tự lại cắt AC, AB tại E, F DF, BE theo thứ tự cắt AC, AB tại M, N X là giao đi m của BM, CN Chứng minh rằng đường thẳng DX luôn đi qua một đi m cố định Lời giải 12 Gọi P, Q theo thứ tự là giao đi m của MN với AX, BC (h.9) Dễ thấy (MNPQ)  1... Do đó BS tiếp xúc với (O1) Suy ra S cố định (đpcm) Bài toán 15 Cho tam giác ABC A’, B’, C’ theo thứ tự là trung đi m của BC, CA, AB Các đi m P, P’ thay đổi sao cho PA = PA’, PB = PB’, PC = PC’ Chứng minh rằng đường thẳng PP’ luôn đi qua một đi m cố định Lời giải Cách 1 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, (E) = (A’B’C’) (đường tròn Euler (E) của tam giác ABC)  1 2 Qua phép vị tự VG , A, B, C theo thứ... chứa phân giác của hai góc đối đỉnh tạo bởi a, b và có số đo bằng  (h.8.2) c a A P d M D K N Q O B C b (h.8.2) cos Dễ thấy qua phép vị tự đối xứng VO  § d : A  C; B  D Từ đó, chú ý rằng AB luôn đi qua đi m cố định P, suy ra CD luôn đi qua đi m cố cos định Q  VO  § d (P) PA QC   k PB QD Gọi K là trung đi m của PQ Vì K, M, N theo thứ tự là trung đi m của PQ, AC, BD nên Đương nhiên 11  1 ... 2 2 2 Do đó K thuộc MN Nói cách khác, MN đi qua K (đpcm) Trở lại giải bài toán 8 Có hai trường hợp xảy ra Trường hợp 1 BAC  90 Lấy K sao cho ABKC là hình bình hành (h.8.3) Theo bổ đề 1, XY luôn đi qua K Gọi d là đường thẳng chứa phân giác của góc BAC cosA Đặt L  VO § d (K) Gọi G là trung đi m của LK Theo bổ đề 2, đường thẳng nối trung đi m của các đoạn XY, ZT luôn đi qua G       d Y T A Z... ∆ Kết hợp với S là cực của ∆, ta có S cố định (đpcm) Chú ý Các cung nói trong lời giải trên là các cung định hướng của đường tròn (O2)  Bài toán 12 Cho tam giác ABC vuông tại A Hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho M thuộc AB, N thuộc AC và P, Q thuộc BC K = BN ∩ MQ; L = CM ∩ NP; X = MP ∩ NQ; Y = KP ∩ LQ Chứng minh rằng 1) KAB  LAC 2) XY luôn đi qua một đi m cố định Lời giải 1) Lấy U, V theo thứ tự . 1 Đường thẳng và đường tròn luôn đi qua đi m cố định I. Các bài toán Bài toán 1. Cho đường tròn (O, R). Đường kính AB quay quanh O. Hai đi m C, D cố định trên (O, R) (CD. Chứng minh rằng đường thẳng nối trung đi m của XZ, YT luôn đi qua một đi m cố định. Bài toán 9. Cho tam giác ABC. Đi m D chạy trên đường thẳng BC và khác B, C. Các đường tròn (ABD), (ACD). theo bổ đề trên, đường tròn (A’BC’) luôn đi qua một đi m cố định. 5 Bài toán 3. Cho tam giác ABC và số dương k. Đi m M cố định trên cạnh BC. Các đi m N, P theo thứ tự chạy trên các đoạn AB, AC