Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng MADE vµ MBHG.[r]
(1)Trong thời đại nay, tr-ớc phát triển không ngừng mặt xã hội ng-ời cần có nhìn nhận đắn phát triển giới, có nhìn theo nhiều chiều tr-ớc vấn đề Chính học sinh cần phải đ-ợc trang bị kiến thức phù hợp,
Một quan điểm dạy học phát huy tối đa khả t- độc lập sáng tạo học sinh, dạy cho học sinh cách học, cách t- Bài toán
“Đ-ờng qua điểm cố định” phần đáp ứng đ-ợc yêu cầu
Trong đề thi học sinh giỏi, thi vào tr-ờng chuyên, lớp chọn th-ờng có tốn liên quan đến tìm điểm cố định, chứng minh đ-ờng qua điểm cố định Thực tế cho thấy tốn khó, học sinh th-ờng khó khăn gặp phải toán dạng
Bài toán “Đ-ờng qua điểm cố định” đòi hỏi HS phải có kĩ định cộng với đầu t- suy nghĩ, tìm tịi nh-ng đặc biệt phải có ph-ơng pháp làm
Tìm hiểu nội dung tốn Dự đốn điểm cố định Tìm tịi h-ớng giải Trình bày lời giải Tìm hiểu tốn:
• Yếu tố cố định.( điểm, đ-ờng … )
• Yếu tố chuyển động.( điểm, đ-ờng … )
• Yếu tố khơng đổi.( độ dài đoạn, độ lớn góc … )
• Quan hệ khơng đổi ( Song song, vng góc, thẳng hàng … )
(2)Dự đoán điểm cố định:
Dựa vào vị trí đặc biệt yếu tố chuyển động để dự đốn điểm cố định Thơng th-ờng ta tìm hai vị trí đặc biệt cộng thêm với đặc điểm bất biến khác nh- tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng … để dự đoán im c nh
Tìm tòi h-ớng giải
Từ việc dự đốn điểm cố định tìm mối quan hệ điểm với yếu tố chuyển động, yếu tố cố định yếu tố không đổi Thông th-ờng để chứng tỏ điểm cố định ta điểm thuộc hai đ-ờng cố định, thuộc đ-ờng cố định thoả mãn điều kiện (thuộc tia cách gốc đoạn không đổi, thuộc đ-ờng tròn mút cung không đổi ) thông th-ờng lời giải toán th-ờng đ-ợc cắt bỏ suy nghĩ bên ta th-ờng có cảm giác lời giải có thiếu tự nhiên, khơng có tính thuyết phục trình bày ta cố gắng làm cho lời giải mang tính tự nhiên hơn, có giá trị việc rèn luyện t- cho học sinh
mét vµi vÝ dơ:
Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự Vẽ tia Cx vng góc với AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E cho
CD CA CB
CE
(3)Tìm hiểu đề bài:
* Yếu tố cố định: Đoạn AB * Yếu tố khơng đổi:
+ Góc BEC = 300, Góc ADB = 600 sđ cung BC, cung CA khụng i
+ B, D, H thẳng hàng; E, H, A thẳng hàng
D oỏn im c định:
khi C trùng B (d) tạo với BA góc 600 => điểm cố định thuộc tia By tạo với tia BA góc 600
khi C trùng A (d) tạo với AB góc 300 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với tia AB góc 300
By Az cắt M M điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định d-ới 900 => M thuộc đ-ờng trịn đ-ờng kính AB
T×m h-íng chøng minh:
M thuộc đ-ờng trịn đ-ờng kính AB cố định cần chứng minh sđ cung AM không đổi thật vậy:
s® cung AM = 2s®Gãc MCA=2s®Gãc CHA =2s®Gãc CDA = 1200
Lêi gi¶i:
Ta cã
CD CA
tgD => Gãc D=600 cã Gãc CHA = Gãc CDA = 600
G/s đ-ờng trịn đ-ờng kính AB cắt CH M ta có Góc MHA= 600 => sđ cung MA khơng đổi lại có đ-ờng trịn đ-ờng kính AB cố định vậy: M cố định CH ln qua M cố định
m
h D
E
b a
(4)Bài 2: Cho đ-ờng tròn (O) đ-ờng thẳng (d) nằm ngồi đ-ờng trịn I điểm di động (d) Đ-ờng tròn đ-ờng kính OI cắt (O) M, N Chứng minh đ-ờng trịn đ-ờng kính OI ln qua điểm cố định khác O đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định
H-íng dÉn:
do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm trục đối xứng hay đ-ờng thẳng qua O vuông gúc vi (d)
Giải:
Kẻ OH vuông góc với (d) cắt MN E
ta cú H cố định H thuộc
đ-ờng tròn đ-ờng kính OI đ-ờng trịn đ-ờng kính OI ln qua K cố định Xét tam giác OEF tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 900 Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH đó: OF/ OE = OH/ OI => OE OH = OF OI
L¹i cã gãc IMO = 900 ( nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính OI ) Xét tam giác vuông OMI có đ-ờng cao ứng với cạnh huyền MF nên: OF OI = OM2
Do đó:
2
OM OE
OH
= số vây E cố định MN qua E cố định
Bài 3: Cho đ-ờng tròn (O; R) dây AB cố định C điểm chuyển động đ-ờng tròn M trung điểm AC Chứng minh đ-ờng thẳng kẻ từ M vng góc với BC qua điểm cố định
d
E F
H N M
O
(5)Gi¶i:
Vẽ đ-ờng kớnh BD => D c nh
Giả sử đ-ờng thẳng qua M vuông góc với BC cắt AD t¹i I
DƠ thÊy gãc BCD = 900 hay MI // CD
Xét tam giác ACD có MC = MA; MI // CD => I trung điểm DA cố định hay đ-ờng thẳng qua M vuông góc với BC qua I cố định
Bài 4: Cho tam giác ABC hai điểm M, N thứ tự chuyển động hai tia BA, CA cho BM= CN Chứng minh
đ-ờng trung trực MN qua điểm cố định
H-íng dÉn:
Khi M B N C đ-ờng trung trực MN trung trực BC Vậy điểm cố định nằm đ-ờng trung trực BC
Gi¶i: Gi¶ sư trung trùc BC cắt trung trực MN I
I d
M O
A B
C
N I
C B
A
(6)I
M C
D
A O
B P
DƠ thÊy tam gi¸c IMB = tam gi¸c INC (c-c-c) vËy gãc MBI = gãc NCI
Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đ-ờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực BC cố định Vậy I cố định hay trung trực MN qua I cố định
Bài 5: Cho đ-ờng tròn (O; R) dây cung AB = R Điểm P khác A B Gọi (C; R1) đ-ờng tròn qua P tiếp xúc với đ-ờng tròn (O; R) A.Gọi (D; R2) đ-ờng tròn qua P tiếp xúc với đ-ờng tròn (O; R) B Các đ-ờng tròn (C; R1) (D; R2) cắt M khác P Chứng minh P di động AB đ-ờng thẳng PM ln qua điểm cố định
Tìm hiểu đề bài:
* Yếu tố cố định: (O; R), dây AB
* Yếu tố khơng đổi: DPCO hình bình hành Sđ cung BP (D), sđ cung AP (C), Góc BMA khụng i
Dự đoán
Khi P A PM tiếp tuyến (O; R) => điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) A
Khi P B th× PM lµ tiÕp tun cđa (O;
R)=> điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) B
Do tính chất đối xứng hình => Điểm cố định nằm đ-ờng thẳng qua O vng góc với AB
=> Điểm cố định nằm đ-ờng trịn ngoại tiếp tam giác OAB
Lêi gi¶i:
(7)vì AB = R => sđ cung AB (O) 1200 tam giác BDP cân góc OBA = góc DPB
tam giác OAB cân góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung BP (D) = sđ cung BA (O) = 1200
t-ơng tự sđ cung PA (C) = 1200 ta cã gãc BMP =
2
s® cung BP cđa (D) = 600 ta cã gãc AMP =
2
s® cung AP cña (C) = 600
VËy gãc BMA = gãc BMP + gãc AMP = 1200 = gãc BOA
xét tứ giác BMOA có góc BMA = góc BOA tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BOA
VËy
s® cung IA = gãc IMA = gãc PMA =
sđ cung PA (C) = 1200 Vậy I thuộc đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AOB sđ cung IA = 1200 => I cố định hay MP qua I cố định
Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vng MADE MBHG Hai đ-ờng trịn ngoại tiếp hai hình vuông cắt N Chứng minh đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định M di chuyển AB
H-íng dÉn: T-¬ng tù Giải:
Giả sử MN cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính AB I Ta có Góc ANM = Gãc ADM = 450( gãc néi tiÕp cïng chắn cung AM đ-ờng tròn ngoại tiếp hình vuông AMDE)
N
H G
M D E
(8)Ta cã Gãc BNM = Gãc BGM = 450( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM đ-ờng tròn ngoại tiếp hình vuông MBGH)
=> gãcANB = Gãc ANM + Gãc BNM = 900 => N thuộc đ-ờng tròn đ-ờng đ-ờng kính AB vËy s® cung AI = 2s®Gãc ANI
=2s®Gãc ANM = 900
Vậy I thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính AB số đo cung AI 900=> I cố định hay MN qua I cố định
Bài 7: Cho hình vng ABCD có tâm O Vẽ đ-ờng thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC thứ tự E, F Từ E, F lần l-ợt vẽ đ-ờng thẳng song song với BD, CA chúng cắt I Qua I vẽ đ-ờng thẳng (m) vng góc với EF Chứng minh (m) ln qua điểm cố định (d) quay quanh O
H-íng dÉn:
Khi E A HI qua A vuông góc với AC
khi E D HI qua B vuông góc víi BD
do tính chất đối xứng hình vẽ nên điểm cố định nằm đ-ờng trung trức AB
dự đoán: điểm cố định K nằm đ-ờng trịn đ-ờng kính AB
Gi¶i:
DÔ thÊy I thuéc AB
Cã gãc IHE + góc IAE = 1800 nên tứ giác IHEA nội tiếp
=> gãc IHA = gãc IEA = 450 Cã gãc IHF + gãc IBF = 1800
k
H
I F
O
D C
B A
(9)nên tứ giác IHFB näi tiÕp => gãc BHI = gãc BFI = 450
Vẽ đ-ờng tròn đ-ờng kính AB Ta có gãc BHA = gãc IHA + gãc BHI = 900 nên H thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính AB
Giả sử HI cắt đ-ờng tròn đ-ờng kính AB K ta cã: S® cung KA = s® gãc KHA = s® gãc IHA = 900
Do K thuộc đ-ờng trịn đ-ờng kính AB sđ cung KH = 900 nên K cố định hay HI qua K cố định
Bài 8: Cho góc vng xOy Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động cho OA+ OB = a ( a độ dài cho tr-ớc) Gọi G trọng tâm tam giác OAB (d) đ-ờng thẳng qua G vng góc với AB Chứng minh (d) ln qua điểm cố định
Gỵi ý:
Khi B D (d) đ-ờng thẳng vung góc với OD O cách (d) kho¶ng
3
a OB = OA =
2
a (d) phân gi¸c cđa gãc xOy
do tính chất đối xứng dự đoán điểm cố định thuộc tia phân giác gúc xOy
Giải:
Trên Ox, Oy thứ tù lÊy ®iĨm C, D cho OC = OD = a
Phân giác góc xOy cắt CD N, cắt (d) I
r thy tam giác NAO = tam giác NBD NF vng góc với AB n C
I
G f A
O D
(10)XÐt tam gi¸c ONF cã GI // NF => a ON OI ON OI OF OG
= h»ng sè
Vậy I cố định hay (d) qua điểm cố định I
Bài 9: Cho góc vng xOy Trên Ox lấy điểm A cố định Trên Oy lấy điểm B di động Đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự M, N Chứng minh đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định
gỵi ý:
Tam giác BNM cân B O góc B900 nên góc MNB 450 điểm cố định nằm phân giác góc xOy
khi B vô xa bán kính cđa (I)
OA MN đ-ờng thẳng song song với Ox cách Ox khoảng
2
OA
Gi¶i:
Giả sử tia phân giác Om góc xOy cắt MN F
ta cú tam giỏc BMN cân đó: B
2 90
ONM
l¹i cã B
2 90
AIO
VËy: ONM = AIO
Dễ thấy tam giác AIO tam giác FNO đồng dạng
VËy: OA OF ION cos OI ON OA
OF
= số Vậy F cố định hay MN qua F cố định
(11)Bài 10: Cho đoạn thẳng AB điểm M đoạn thẳng Từ M vẽ tia Mx vng góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D cho MC= MA; MD = MB Đ-ờng tròn tâm O[1] qua điểm A, M, C đ-ờng tròn tâm O[2] qua điểm B, M, D cắt điểm thứ hai N Chuứng minh đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định M chuyển AB
(T-ơng tự 6)
Bi 11: Cho ba điểm A, B, C thẳng hành theo thứ tự vẽ đ-ờng trịn (O) thay đổi qua A B Từ điểm P cung lớn AB vẽ đ-ờng kính PQ cắt AB D.Tia CP cắt đ-ờng tròn điểm thứ hai I
Chứng minh đ-ờng tròn (O) thay đổi QI ln qua điểm cố định
Gi¶i:
Giả sử QI cắt AB H ta có tam giác CIH tam giác CDP đồng dạng
do đó:
CP CD CH
CI
CH.CD CI.CP
l¹i cã CI.CPCB.CA VËy CH.CD= CB.CA =>
CD CA CB
CH = h»ng
số => H cố định hay đ-ờng thẳngQI qua H cố định
h
i p
q d
(12)Bài 12: Cho đ-ờng trịn (O; R) có dây cung CD Trên tia đối tia DC lấy M Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O; R) Chứng minh M thay đổi AB ln qua điểm cố định
Gợi ý: Mvô xa AB trở thành đ-ờng kính
im c nh nm trờn đ-ờng thẳng qua O vng góc với CD
Giải: Kẻ đ-ờng thẳng qua O vng góc với CD cắt đ-ờng thẳng AB K ta có: OH.OK = OI.OM = OB2 = số mà OH khơng đổi OK khơng đổi hay AB qua K cố định
Bài 13: Cho đ-ờng tròn tâm O dây AB, M điểm chuyển động đ-ờng trịn, từ M kẻ MH vng góc với
AB (H thuộcAB), gọi E, F lần l-ợt hình chiếu vng góc H MA, MB Chứng minh đ-ờng thẳng qua M vuông góc với EF ln qua điểm cố định M thay đổi đ-ờng trịn
Gi¶i:
d
F
E
h o
B A
m
i h
k a
B
o
c D
(13)Giả sử đ-ờng thẳng qua M vuong góc với EF cắt đ-ờng trịn O I Ta có: Tứ giác MEHF nội tiếp góc AMH = góc EMH = góc EFH lại có góc EFH = góc IMB (cạnh t-ơng ứng vng góc)
ta cã
2
s® cung IB = s® gãc IMB
2
s® cung MB = s® gãc MAB
lại có góc IMB + góc MAB = góc AMH + góc MAH = 900 sđ cung IM = 1800 hay MI đ-ờng kính đ-ờng trịn (O) MI qua điểm cố định O
Bài 14: Cho đ-ờng tròn (O) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đ-ờng tròn (O), ( A khác B C) Tia phân giác góc ACB cắt đ-ờng trịn (O) điểm D khác C, lấy I thuộc đoạn CD cho DI = DB Chứng minh đ-ờng thẳng AI qua điểm cố định
Gi¶i:
giả sử AI cắt đ-ờng trịn (O) G góc ACD = góc BCD => cung AD = cung DB => AD = DB mà DB = DI nên DA = DI => Tam giác DAI cân góc DAI = góc DIA lại có: góc DAI =
2
s® cung DG gãc DIA =
2
(s® cung AD + s® cung CG)
VËy s® cung DG = s® cung AD + s® cung CG
hay sđ cung DB + sđ cung BG = sđ cung AD + sđ cung CG mà sđ cung DB = sđ cung AD sđ cung BG = sđ cung CG hay G điểm cung nhỏ BC đ-ờng trịn (O) Vậy AI qua điểm cung BC cố định
G i
D
o
B C
(14)Bài 15: Cho đ-ờng trịn (O) có hai đ-ờng kính AB CD vng góc với I đoạn CD AD, AC lấy hai điểm M, N cho I trung điểm MN Chứng minh đ-ờng trịn ngoại tiếp tam giác AMN ln qua điểm cố định khác A
Gi¶i:
Tam giác AMN vuông A => IA
l trung tuyến ứng với cạnh huyền => IA = IM = IN lại có IA = IB nên tứ giác AMBN nội tiếp hay đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua B cố định
Bài 16: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự Một đ-ờng trịn (O) thay đổi nh-ng ln qua B C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến đ-ờng tròn (O) Đ-ờng thẳng MN cắt hai đoạn AO, AC lần l-ợt H K Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK ln qua hai điểm cố định
gi¶i:
Qua O Kẻ đ-ờng thẳng vng góc với BC I ta có I trung điểm BC nên I cố định
m n
b
a
C i d
k h
n
I
C B A
(15)F
E o2 o1
C B
A
D
lại có tứ giác OHKI nội tiếp ( góc OHK = góc OIK = 900) => góc IOH = góc HKA hay tam giác AOI đồng dạng với tam giác AKH
=> AK.AI AO.AH
AI AO AH
AK
có tam giác ONA vuông, đ-ờng cao NH =>AO.AH AN2
ta cã AN2 AB.AC
vËy:
AI AB.AC AK
AB.AC
AK.AI = số => K cố định
Vậy đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK qua hai điểm cố định I, K
Bài 17: Cho tam giác ABC điểm D tuỳ ý BC Vẽ đ-ờng tròn (O1) qua D tiếp xúc với AB B đ-ờng tròn (O2) qua D tiếp xúc với AC C, hai đ-ờng tròn (O1) (O2) cát E khác D Chứng minh D di động BC đ-ờng thẳng DE ln qua điểm cố
định
Gi¶i:
Gi¶ sư DE cắt đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC F
ta cã: gãc BED = gãc ABC ( gãc nội tiếp góc tạo bới tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BD (O1))
T-ơng tù gãc CED = gãc ACB
mµ gãcABC + gãcACB + gãc BAC =1800 nªn gãcBEC + gãc BAC = 1800
(16)Vậy sđ cung BF = sđ góc BEF = 2sđ gócBED =2sđ góc ABC = hsố mà đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cố định nên F cố định hay đ-ờng thẳng DE qua F cố định
Bài 18: Cho đ-ờng tròn (O; R) cố định đ-ờng thẳng (d) cắt (O; R) hai điểm cố định A, B, Một điểm M động (d) phía ngồi đoạn AB Qua M vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đ-ờng tròn (O; R) ( N, P hai tiếp điểm) Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua hai điểm cố định
gi¶i:
Dễ thấy tứ giác MNOP nội tiếp Kẻ OK vng góc với AB ( K thuộc AB) => K cố định tứ giác MPOK nội tiếp hay điểm MNKOP thuộc đ-ờng tròn
Vậy đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định O, K
Bài 19: Cho nửa đ-ờng trịn tâm O đ-ờng kính AB điểm C chạy nửa đ-ờng tròn.Vẽ đ-ờng tròn (I) tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với đ-ờng kính AB D Chứng minh đ-ờng thẳng CD qua điểm cố định C di chuyển nửa đ-ờng tròn
d
k
p
n o
B
(17)Gỵi ý:
do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm đ-ờng thẳng qua O vng góc với AB Kẻ đ-ờng thẳng qua O vng góc với AB cắt CD K Ta phải chứng minh K cố định cách K thuộc đ-ờng cố định
Gi¶i:
ta có ID song song với OK nên Tam giác ICD Tam giác OCK đồng dạng đó:
OK OC ID IC
mà IC = ID nên OC = OK hay K thuộc đ-ờng tròn (O) Vậy CD qua K cố định
Bài 20: Cho đ-ờng tròn (O) điểm A O nằm đ-ờng tròn Một đ-ờng thẳng thay đổi qua A cắt (O) M N Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O
H-ớng dẫn: Do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm đ-ờng thẳng OA G/s đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN cắt đ-ờng thẳng OA D ta phải chứng minh D cố định cách OD khơng đổi
Gi¶i:
K I
D
O A
B C
O
D
M A
(18)Dễ thấy tam giác OMA đồng dạng với tam giác ODM
OM OD OA
OM
=>
OA R OA OM OD
2
= hsố Vậy D cố định hay đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua D cố định
Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC Điểm D di động cạnh BC Gọi (E), (F) lần l-ợt hai đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm cố định khác A
Gợi ý:
Khi D B F tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Khi D C E tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF có hai vị trÝ ®i qua I
Dự đốn điểm cố định I Ta phải
chøng minh I n»m đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF hay tứ giác AEIF ngoại tiếp
Lời giải sơ l-ợc:
Gãc ACD = Gãc AFE =
2
Góc AFD ( góc tâm góc nội tiÕp cña (F)) Gãc AIE = Gãc ACB =
2
Góc AIB( góc tâm góc néi tiÕp cđa (I))
Vậy Góc AIE = Góc AFE nên tứ giác AFIE nội tiếp hay đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua I cố định
I
F E
A