Phương trình đường thẳng

Các dạng toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng d biết d là giao tuyến của 2 mặt phẳng α và β... Viết pt hình chiế

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Vtcp của đường thẳng d thường ký hiệu là d

2) Cho đường thẳng d đi qua điểm M(xo,yo,zo) và có vtcp d = (a,b,c)

Phương trình tham số của d:

(t: tham số, t ÎR) Phương trình chính tắc của d:

3) d và d’ cùng nằm trên 1 mp ó [ ] = 0 4) d và d’ chéo nhau ó [ ] ≠ 0

5) d và d’ cắt nhau ó

6) d // d’ ó

ï

ïî

ïïíì

¹úû

ùêë

é

=úû

ùêë

0,

1

2 1

AB a

a a

d

d d

ùêë

é

=

1

1,

d

d

a

a AM

2/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 và d2

d(d1,d2) = [ ]

[ 1 2]

2 1,

,

d d

d d

a a

AB a a

Chú ý:

Nếu d1 // d2 thì:

d(d1,d2) = d(M,d2) với M Î d1

= d(N,d1) với N Î d2

IV GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG

Cho 2 đường thẳng d1, d2 có vtcp lần lượt là

Góc giữa d1 và d2 cho bởi:

cos(d1,d2) = |cos( )| =

2 1

2

1

d d

d d

a a

a a

öçè

æ

=

n a

n a n a P

d

.,

cos,

sin

Bổ sung kiến thức về mặt cầu:

1/ Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mp (P)

Ta có:

(P) tiếp xúc (S) ó d(I,(P)) = R

*Nếu (P) tiếp xúc (S) thì (P) còn gọi là tiếp diện của (S)

2/ Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆

Nếu d(I,∆) < R thì ∆ cắt (S) tại 2 điểm phân biệt

Nếu d(I,∆) = R thì ∆ và (S) chỉ có 1 điểm chung M Khi đó ∆ gọi

là tiếp tuyến của (S) tại M và M gọi là tiếp điểm của ∆ và (S)

Nếu d(I,∆) > R thì ∆ và (S) không có điểm chung

Các dạng toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc) của đường thẳng

d biết d là giao tuyến của 2 mặt phẳng α và β

*Phương pháp:

- Tìm 1 vtcp của d: = [ ]

- Tìm 1 điểm M Î ∩ β a

- d chính là đường thẳng qua M và có vtcp

=> d:

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d

* Phương pháp 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp của d

Giải:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi (Q) là mp trung trực của AB => d = (P) ∩ (Q)

Trung điểm của AB: I(3,-1,-2), Q = = (2,-2,2) = 2(1,-1,1)

Ví dụ: Cho 2 đường thẳng: d1 d2 =

a/ Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và song song d2

β: 3x + y – z – 1 = 0 γ: x – 2y + 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng α, β và vuông góc mặt phẳng γ

chung của d1 và d2 nên:

- Từ điều kiện trên ta tìm được tọa độ của M,N Þ pt của d

a/ Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

b/ Viết pt đường vuông góc chung d của d1 và d2

=> β: x – y + 2z +1 = 0 = [ , ] = (1,5,2) Chọn điểm M(0,-3,-2) Î α ∩ β

1/ Tìm điểm đối xứng M’ của M qua ∆:

Do H là trung điểm MM’ nên:

d(M,AB) =

Ví dụ 1:

Cho đường thẳng ∆: và điểm M(2,-1,3)

a/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên ∆

b/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆

a/ Tìm hình chiếu H của M trên (P)

b/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P)

Ta có:

cùng phương Û = =

b/ H là trung điểm MM’ nên:

ïî

ïíì

=-

=

=-

=

=-

32

42

M H M

M H M

M H M

z z z

y y y

x x x

d’ là đường thẳng qua 2 điểm A, B’

Ví dụ 1: Tìm hình chiếu của đường thẳng d: = = trên mặt phẳng (Oxy)

Giải:

Lấy 2 điểm A(1, -1, 2), B(3, 0, 3) thuộc d

A, B có hình chiếu trên (Oxy) lần lượt là A’(1, -1, 0), B’(3, 0, 0) Hình chiếu của đường thẳng d trên mp (Oxy) là đt A’ B’

= (2, 1, 0)

=> A’B’ :

Ví dụ 2:

Cho 2 điểm A(2, -1, 3), B(3, 0, 2) và mặt phẳng (P): x – 2y + z –

7 = 0 Viết pt hình chiếu của đường thẳng AB trên (P)

Nhận thấy đường thẳng AB cắt (P) tại A vì AÎ (P)

Gọi B’ là hình chiếu của B trên (P) => đường thẳng AB’ là hình chiếu của đường thẳng AB trên (P)

Ta có: B’ Î (P) => B’

(x, y, -x + 2y + 7) => = (x – 3, y, -x + 2y + 5)

( , - , )

(S) có tâm O, bán kính R =

Gọi = (a, b, c) (a2 + b2 + c2 ≠ 0)

(P) qua A => (P): a(x – 1) + b(y – 1)+ cz = 0 ó ax + by + cz – a – b = 0

- (P) qua A => (P): a(x – xA) + b(y – yA) + c(z – zA) = 0

- Dùng điều kiện = 0 và điều kiện cho sẵn tìm được a, b, c

=> pt của (P)

Ví dụ:

Viết pt mặt phẳng (P) đi qua trục Oz và hợp với mặt phẳng

(Q): 2x + y - z = 0 góc 600

22 2

b a

b a

183

31

-=ï

ïî

ïïíì

=-

-=-

ó

=

Î0.a d IM

d M

* Phương pháp 2:

Tìm tọa độ điểm M từ điều kiện:

Ví dụ: Viết pt mặt cầu (S) tâm I( 1, -2, 3) và tiếp xúc đường thẳng

1/ Cho 2 vectơ không cùng phương và

Nếu đường thẳng d vuông góc với và thì d có 1 vtcp là = [ , ]

2/ Nếu đường thẳng d1 qua điểm A và vuông góc đường thẳng d2

thì d1 nằm trong mặt phẳng qua A và vuông góc d2

3/ Nếu đường thẳng d1 qua điểm A và cắt đường thẳng d2 thì d1

nằm trong mặt phẳng qua A và d2

4/ Nếu đường thẳng d qua điểm A và song song mặt phẳng (P) thì

d nằm trong mặt phẳng qua A và song song (P)

Dạng 2: Viết pt đường thẳng ∆ qua điểm A, nằm trên mặt phẳng (P)

(hay song song mặt phẳng (P))và vuông góc đường thẳng d

a/ Viết pt đường thẳng ∆1 qua A, nằm trên (P) và vuông góc d b/ Viết pt đường thẳng ∆2 qua A, song song mặt phẳng (Oxy) và vuông góc d

Giải:

a/ Ta có: = (2, -1, 3), = (2, -5, -3)

=> = = (-18, -12, 8) =-2(9, 6, -4)

=> ∆1:

b/ Mặt phẳng (Oxy) có vtpt = (0, 0, 1)

îí

ì

^D

Giải:

* Cách 1:

Gọi (P) là mp qua A và ^ d1 => = = (3, 1, 1)

=> (P): 3(x – 0) + 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0 ó 3x + y + z – 2 = 0 Gọi B = (P) ∩ d2 => B(-1, 2, 3)

∆ là đường thẳng qua 2 điểm A,B

Ví dụ: Cho đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

Dạng 5: Viết pt đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song mặt phẳng

=> = = (-3,6,4) => ∆:

46

53

z y

x = - =-

* Cách 2:

Gọi B = ∆ ∩ Oy => B(0,t,0)

= = (-3,t+1,4), = (2,1,0)

Ta có: ∆ // (P) ó = 0 ó -6 + t + 1 = 0 => t = 5

a/ Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

b/ Viết pt đường thẳng qua A và cắt 2 đường thẳng d1, d2

=> = [ , ] = (12,2,-14) = 2(6,1,-7) Nhận thấy không cùng phương với và

=> ∆ là đt thỏa yêu cầu bài toán

Chú ý rằng điều kiện không cùng phương với và là cần thiết, nếu không ∆ chưa chắc cắt cả d 1 và d 2 Ta xem ví dụ sau: Cho điểm A(0,-1,2) và 2 đường thẳng:

- ∆ là đường thẳng qua điểm M Î α ∩ β và có vtcp = (nếu

Þ ∆ là đt qua M và có = = (1,0,0) => ∆:

ï ï ï í ì

t t k

=>∆:

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc mặt phẳng (P)

và cắt 2 đường thẳng d1, d2

Ta có thể coi bài toàn này thuộc dạng 7:

Viết phương trình đường thẳng ∆ song song đường thẳng d (có vtcp = ) và cắt 2 đường thẳng d1, d2

Ví dụ: (ĐH.07A)

Cho 2 đt d1: ; d2:

a/ Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

b/ Viết phương trình đường thẳng vuông góc mp (P): 7x + y – 4z

=

¢+

=

¢-

=

3

242

z

t y

t x

a/ Viết pt đường thẳng ∆1 nằm trên (P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2

b/ Viết pt đường thẳng ∆2 cắt 2 đường thẳng d1, d2, biết ∆2 nằm trên mặt phẳng qua điểm M(-2,1,-1) và song song mặt phẳng (P) Giải:

Phương pháp 1: Sử dụng khảo sát hàm số

Ví dụ: (ĐH.07D)

Cho 2 điểm A(1,4,2), B(-1,2,4) và đường thẳng ∆:

a/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của

∆OAB và vuông góc mặt phẳng (OAB)

b/ Tìm tọa độ điểm M Î ∆ sao cho MA2

+ MB2 nhỏ nhất Giải:

Phương pháp 2: Sử dụng tam giác vuông

Cần nhớ: Cho ∆ABC vuông

tại B Ta có:

AB ≤ AC, BC ≤ AC

Ví dụ 1: (ĐH.08A)

Cho điểm A(2,5,3) và đường thẳng d:

a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d b/ Viết phương trình mặt phẳng α chứa d sao cho khoảng cách từ

b/ Gọi K là hình chiếu của A trên α => AK = d(A,α)

∆AKH vuông : AK ≤ AH (không đổi)

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B trên ∆, (Q) => d(B,∆) =BH

∆BKH vuông: BH ≥ BK (không đổi)

Do đó:

BH nhỏ nhất ó BH = BK ó H ≡ K

Vậy đt ∆ thỏa ycbt khi ∆ qua 2 điểm A,K => =

K Î (Q) => K(2y – 2z – 1,y,z) => = (2y–2z–2, y+1,z-3)

b/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d và AB

c/ Tìm tọa độ điểm M Î d sao cho MA + MB nhỏ nhất

d(d,AB) = d(A,d) = =

c/ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d Ta có:

MA = MA’ => MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

H là trung điểm AA’ => A’(-3,2,5)

Mo là trung điểm A’B => Mo(2,0,4)

M (0, 0, 3)

Ví dụ 2:

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (2, 1, 4) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

- Chọn hệ trục tọa độ có gốc là O và 3 trục tọa độ nằm lần lượt trên 3 đường thẳng đó

- Xác định tọa độ của các điểm cần tìm rồi dùng các công thức và

các tính chất của hình học trong không gian Oxyz để giải

Chú ý:

Nếu chỉ có 2 đường thẳng vuông góc nhau thì ta vẽ thêm 1 đường thẳng nữa sao cho 3 đường thẳng này tạo nên một hệ trục tọa độ

Ví dụ 1(ĐH.09A):

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D ; AB=AD=2a CD=a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trng điểm AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Giải:

Diện tích hình thang ABCD:

3 2 ) 2 ( 2

1 ) (

2

1

a a a a AD CD

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc

(ABCD) nên: SI ^ (ABCD)

Vẽ đường thẳng: Iy//AB Ba

đường thẳng IA,Iy,IS đôi một vuông

góc nhau tại I Chọn hệ trục tọa độ Ixyz

Ta có:

cos((SBC),(ABCD)) = cos600

2

1 9 4

3 2

1

4 2 2 2 2

2

= + +

Û

= Û

a z a z a

a k

n k n

=Þ

=Û

=

5

1535

27 22

153.3.3

1.3

a SI

Ví dụ 2 (ĐH.09D):

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, AB=a, AA’=2a , A’C=3a Gọi M là trung điểm A’C’ , I

là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC

Ba đường thẳng AB, BC, BB’ đôi một

vuông góc nhau tại B Chọn hệ trục tọa

ï

ï í ì

=

=

-= Þ

-=

at z

at y

t a a x AM a

a a AM

2

2 :

) 2 , , 2 (

ïíì-

-

-=

'2

'22

':

')2,2,('

at z

at a y

at x C A a a a C A

3

4,3

2,3

d

S ABC

9

43

4 3

4,0,3

8(,

2 2

3

-

-=-

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC

là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’

2

1.3

1'

3

H A AC AB H

Ba đường thẳng AB, AC, Az đôi một vuông góc nhau tại A Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ

Ta có: BC//B’C’Þ (AA’,B’C’) = (AA’,BC)=a

A(0,0,0), B(a.0.0), C(0,a 3 ,0), A’( , 3)

2

3,

a a

)3,2

3,2

3 4

2

3 2 '.

.'

2 2 2 2 2

2 2

= + +

+

+ -

=

=

a a a a a

a a BC

AA

BC AA

a

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho 2 đường thẳng d1: ;

d2: a/ Viết pt đường thẳng ∆1 song song Ox và cắt 2 đường thẳng d1, d2 b/ Viết pt đường thẳng ∆2 vuông góc mặt phẳng (Oxz) và cắt 2 đường thẳng d1, d2

c/ Viết pt đường thẳng ∆3 nằm trên mặt phẳng α: 25x -3y + 11z

= 0 và cắt 2 đường thẳng d1, d2

d/ Gọi AB là đường vuông góc chung của d1 và d2 ( A Î d1, B Î

d2 ) Viết pt mặt cầu (S) đường kính AB

AB= ( 2t’ – t – 8, t’ + t + 4, - t’ – 2t + 14 )

)2,1,

ì

=

¢

=Ûî

í

ì

=-

¢+

=-

¢+Ûï

266

0166

0

0

2

1

t

t t

t

t t a

AB

a

AB

d d

Þ A( 2, 0, 0 ), B( 0, 10, 6 )

(S) có tâm I( 1, 5, 3 ), bán kính R = IA = 1+25+9 = 35

Þ (S): ( x – 1 )2

+ ( y – 5 )2 + ( z – 3 )2 = 35

Bài 2:

Cho 2 mặt phẳng: α: 2x – y + z + 2 = 0 ; β: x + y + 2z – 1 = 0 a/ Chứng minh rằng α và β cắt nhau Tính góc giữa α và β b/ Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến α bằng 3 lần khoảng cách từ M đến β

c/ Viết pt đường thẳng d đi qua A( 3, 2, -2 ) và song song với 2 mặt phẳng α và β

d/ Viết pt mặt phẳng (P) đi qua B( 0, 4, -1 ) và vuông góc với 2 mặt phẳng α và β

Giải

a/ Ta có:

1

11

3

b a

n n

n n

60),(a b =

13226

136

22

=Ú

=Û-

=+Û

è

æ0,0,51

c/ d // α và d // β Þ

úû

ùêë

a d , = ( -3, -3, 3 ) = -3( 1, 1, -1 )

Þ d:

1

21

21

a/ Tìm điểm C Î (P) sao cho ∆ABC vuông cân tại C

b/ Tìm điểm D Î (P) sao cho ∆ABD nhận điểm G ( làm trọng tâm

c/ Tìm điểm E thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oxz) sao cho ∆ABE có diện tích bằng 4

d/ Tìm điểm F Î (P) sao cho đường thẳng IF song song đường thẳng

=+

+

=+

+

G D

B

A

G D B

A

G D

B

A

z z

z

z

y y

y

y

x x

x

x

33

Vậy có 2 điểm E: E (5, 0, -2) và E ( - , o, )

d/ Ta có: F Î (P) => F (x, y,

7

18

x

IF // d ó cùng phương ó

17

1583111

++-

=-

153

1

y x

y x

ó îí

ì

=

=6

7

y x

Gọi = (a, b, c) là 1 vtcp của ∆ ( a2 + b2 + c2 ≠ 0)

Vtcp của Ox, Oz lần lượt là = (1, 0, 0), = (0, 0, 1)

Ta có:

ó ó

a= ±b

a= - b => = 2b2 óc= ± b => =(-b, b, ± b )=b(-1, 1,± ) (ta phải có b ≠0 vì nếu b = 0 => a=c=0: mâu thuẩn vì a2 + b2 +

c2 ≠ 0)

a=b => =2b2 óc=±b => =(b, b, ±b )=b(1, 1,± )

=> ∆:

Bài 5: Cho đường thẳng d: và điểm A (-1, 0, 2)

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d và tạo với d góc 30o

t = :

=

=> ∆:

12

22

12

1

-=-

=+

Bài 7: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d:

b a b

42

56

33

2

2++

=>O ≤ f(t) < ó O ≤ cos2(P,Q) < ó O ≤ cos(P,Q) <

Hai trường hợp trên cho : O ≤ cos(P,Q) £

-=+-+-+

-1111

12

02211

2

2 2

2

z y

z

y

z y

-=

1115

375

43

2 2

2

z z

z

z y

-=

06410235

43

2

z z

z y

ó

Vậy có 2 điểm D: D (3, 2, 2) và D ÷

ø

öç

è

-35

32,35

44,717

MI nhỏ nhất ó IM ^ (P)

=> Giá trị nhỏ nhất của là: d (I,(P)) = =

d/ Đặt: f(x, y, z) = x – 2y + z -1

=> f(xA, yA, zA) f(xB, yB, zB) = 2(- 6 ) = -12 < 0 => A và B nằm khác phía đối với (P)

=> A, B nằm khác phía đối với d

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d Ta có:

Do đó:

lớn nhất ó lớn nhất ó Dấu “ = “ xảy ra ó M≡Mo = d ∩ A’B

Gọi H = AA’ ∩ d => H(-1+2t,2-3t,1-t)

= (-2+2t,1-3t,-t)

= 0 ó -4 + 4t – 3 + 9t + t = 0 ó t =

=> H(0, )

H là trung điểm AA’ => A’(-1,0,0)

z y

ì

=

¢+-

¢+++

¢

=

¢++

¢-++

¢

212

12

012

12

2 2

2

t t t

t t

t

t t t t t t

-=

¢

213

t

t t

ó îí

ì

=+

-=

¢

08

14t2 t

t t

ó

Bài 12: Cho 3 điểm A(1,-1,2), B(2,0,3), C(3,2,-1) Viết pt mặt cầu (S)

có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz) và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) tại A

Do điều kiện m ≠ 1 nên m = -1

Bài 14: Cho 2 điểm A(2,1,-2), B (0,2,-2) và mặt phẳng α:

x + 3y +2z – 1 = 0 a/ Viết pt mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng AB và vuông góc α

b/ Viết pt mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng AB và hợp với mặt phẳng (Oxy) góc 45o

Bài 15: Cho điểm A(-2,4,3) và mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0

a/ Viết pt mặt phẳng (Q) qua A và song song (P) Tính khoảng cách giữa (P) và (Q)

b/ Viết pt mặt cầu (S) tiếp xúc (Q) tại A và tiếp xúc (P)

Giải

a/ (Q) // (P) => (Q): 2x – 3y + 6z + D = 0 (D≠19)

A Î (Q) Þ - 4 - 12 + 18 + D = 0 => D = - 2

=> (Q): 2x – 3y + 6z – 2 = 0

d((P),(Q)) = d(A,(P)) =

3694

1918124

++

++

= = 3 b/ Gọi d là đt qua A và ^ (Q) => = = (2,-3,6)

=> d:

Gọi I là tâm của (S) => I Î d => I(-2+2t,4-3t,3+6t)

(S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên:

=> I(

7

12,14

65,7

14

65)2 + (z -

7

12)2 =

Bài 16: Cho 2 điểm A(1,-1,0), B(2,0,-1) và mặt phẳng (P): 2x + y + z

+ 1 = 0 Tìm tọa độ điểm C Î (P) sao cho mp(ABC) vuông góc mp(P) và ∆ABC có diện tích bằng

Giải:

Ta có : C Î (P) => C(x,y,-2x-y-1)

= (1,1,-1), = (x-1,y+1,-2x-y-1), = (2,1,1)

b/ Tìm tọa độ điểm M Î mặt phẳng (Oxz) sao cho độ dài của vectơ + 2 + 3 nhỏ nhất

ì

< - -

> + -

0 2 3

0 2 3

2 2

m m m m

Bài 18: Cho ∆ABC có A(2,-1,6), B(-3,-1,-4), C(5,-1,0)

Tính bán kính của đường tròn nội tiếp ∆ABC

Giải

= (-5,0,-10), = (3,0,-6), = (8,0,4)

= 24 – 24 = 0 => ∆ABC vuông tại C

Gọi p, r lần lượt là nữa chu vi và bán kính của đường tròn nội tiếp

∆ABC

Diện tích ∆ABC:

S= AC.BC = pr => r =