Phương trình đường thẳng

229 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1) Vectơ ≠ gọi là vtcp của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng d. Vtcp của đường thẳng d thường ký hiệu là d . 2) Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x o ,y o ,z o ) và có vtcp d = (a,b,c) Phương trình tham số của d: (t: tham số, t Î R) Phương trình chính tắc của d: (abc ≠ 0) II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG Cho 2 đường thẳng: d 1 qua điểm A và có vtcp d 2 qua điểm B và có vtcp 1) d và d’ cùng nằm trên 1 mp ó [ ]. = 0 2) d và d’ chéo nhau ó [ ]. ≠ 0 230 3) d và d’ cùng nằm trên 1 mp ó [ ]. = 0 4) d và d’ chéo nhau ó [ ]. ≠ 0 5) d và d’ cắt nhau ó 6) d // d’ ó ï ï î ï ï í ì ¹ ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ®®® ®®® 0, 0, 1 21 ABa aa d dd 7) d ≡ d’ ó [ ] = [ III. KHOẢNG CÁCH Cho 2 đường thẳng chéo nhau: d 1 qua điểm A và có vtcp d 2 qua điểm B và có vtcp 1/ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d 1: d(M,d 1 ) ® ®® ú û ù ê ë é = 1 1 , d d a aAM 2/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d 1 và d 2 d(d 1 ,d 2 ) = [ ] [ ] 21 21 , , dd dd aa ABaa Chú ý: Nếu d 1 // d 2 thì: d(d 1 ,d 2 ) = d(M,d 2 ) với M Î d 1 231 = d(N,d 1 ) với N Î d 2 IV. GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG Cho 2 đường thẳng d 1 , d 2 có vtcp lần lượt là Góc giữa d 1 và d 2 cho bởi: cos(d 1 ,d 2 ) = |cos( )| = 21 21 . dd dd aa aa V. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẮNG VÀ MẶT PHẲNG Cho đường thằng d có vtcp là và mp (P) có vtpt là Góc giữa d và mp (P) cho bởi: ( )( ) ®® ®® ®® = ÷ ø ö ç è æ = na na naPd . ,cos,sin Bổ sung kiến thức về mặt cầu: 1/ Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mp (P). Ta có: (P) tiếp xúc (S) ó d(I,(P)) = R 232 (P) cắt (S) ó d(I,(P)) < R (P) và (S) không có điểm chung ó d(I,(P)) > R Chú ý: *Nếu d(I,(P)) < R thì (P) cắt (S) theo một đường tròn có: Tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Bán kính: r = *Nếu (P) qua tâm I của (S) thì (P) cắt (S) theo một đường tròn gọi là đường tròn lớn. Tâm và bán kính của đường tròn lớn cũng là tâm và bán kính của mặt cầu. *Nếu (P) tiếp xúc (S) thì (P) còn gọi là tiếp diện của (S) 2/ Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆. Nếu d(I,∆) < R thì ∆ cắt (S) tại 2 điểm phân biệt. Nếu d(I,∆) = R thì ∆ và (S) chỉ có 1 điểm chung M. Khi đó ∆ gọi là tiếp tuyến của (S) tại M và M gọi là tiếp điểm của ∆ và (S). Nếu d(I,∆) > R thì ∆ và (S) không có điểm chung. Các dạng toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc) của đường thẳng d biết d là giao tuyến của 2 mặt phẳng α và β. *Phương pháp: - Tìm 1 vtcp của d: = [ ] - Tìm 1 điểm M a Î ∩ β - d chính là đường thẳng qua M và có vtcp 233 Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d là giao tuyến của 2 mặt phẳng: α: 4x - 2y + 3z = 0 và β: 3x + y + 2z – 5 = 0 Giải: Ta có: = (4,-2,3), = (3,1,2) => = [ ] = (-7,1,10) Chọn điểm M(1,2,0) a Î ∩ β => d: Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d. * Phương pháp 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp của d. * Phương pháp 2: - Tìm 2 mặt phẳng α và β khác nhau cùng qua d. - d = α ∩ β Ví dụ1: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng α: 2x – y + 3z - 6 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm A của d và α và song song đường thẳng d’: Giải: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 234 ó ó => A(-3,-6,2) ∆ // d’ => = = (4,-3,1) => ∆: Ví dụ 2: Cho 2 điểm A(2,0,-3), B(4,-2,-1) và mp (P): x + y + 2z + 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trên (P) sao cho mọi điểm của d cách đều A và B. Giải: Gọi (Q) là mp trung trực của AB => d = (P) ∩ (Q) Trung điểm của AB: I(3,-1,-2), Q = = (2,-2,2) = 2(1,-1,1) => (Q): 1(x-3) – 1(y+1) + 1(z+2) = 0 ó x – y + z – 2 = 0 Ta có: d = [ P , Q ] = 2(3,1,-2) Chọn điểm M(-1,-3,0) Î (P) ∩ (Q) => d: Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và đường thẳng d Phương pháp: - Tìm A Î d và d . - (P) là mặt phẳng qua M (hay qua A) và có P = [ , d ] Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0,-1,3) và đt d: 2 2 2 1 1 - - == + zyx 235 Giải: Chọn A(-1,0,2) Î d, d = (1,2,-2) = (1,-1,1) => P = [ , d ] = (0,3,3) = 3(0,1,1) => (P): 1(y+1) + 1(z-3) = 0 ó y + z -2 = 0 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc đường thẳng d. Phương pháp: (P) là mặt phẳng qua M và có P = d Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2,1,4) và vuông góc đường thẳng d: Giải: Ta có: P = d = (3,6,3) = 3(1,2,1) => (P): 1(x-2) + 2(y-1) + 1(z-4) = 0 ó x + 2y + z – 8 = 0 Dạng 5: Chứng minh 2 đường thẳng d 1 và d 2 chéo nhau Phương pháp: - Tìm A Î d 1 , B Î d 2 và , - Chứng minh: [ , ]. ≠ 0 Ví dụ: Cho 2 đường thẳng d 1 : ; d 2 : 236 Tìm m để d 1 và d 2 chéo nhau. Giải: Chọn A(1,m,1-m) Î d 1 , = (m,2,-3) B(m,0,1-m) Î d 2 , = (-2,m,1) Ta có: [ , ]. = 4m 2 – 7m -2 Do đó: d 1 và d 2 chéo nhau ó [ , ]. ≠ 0 ó 4m 2 – 7m – 2 ≠ 0 ó m ≠ 2 và m ≠ Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d 1 và song song đường thẳng d 2 (d 1 và d 2 chéo nhau) Phương pháp : - Tìm A Î d 1 và , . - (P) là mặt phẳng qua A và có = [ , ] Áp dụng: Tính khoảng cách giữa d 1 và d 2 : Phương pháp 1: d(d 1 ,d 2 ) = d(B,(P)) với B là điểm bất kỳ thuộc d 2 . Phương Pháp 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. * Chú ý: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AB và CD: d(AB,CD) = 237 Ví dụ: Cho 2 đường thẳng: d 1 d 2 = a/ Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d 1 và song song d 2 c/ Tính khoảng cách giữa d 1 và d 2 Giải: a/ Chọn A(0,2,3) Î d 1 , = (1,1,-1): ; B(-3,-1,0) Î d 2, = (-1,2,3) Ta có: [ , ]. = -18 ≠ 0 => d 1 và d 2 chéo nhau. b/ = [ , ] = (5,-2,3) =>(P): 5x – 2(y-2) +3(z-3) = 0 ó 5x – 2y + 3z – 5 = 0 c/ d(d 1 ,d 2 ) = d(B,(P)) = = Cách khác: (sử dụng công thức) d(d 1 ,d 2 ) = = Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và vuông góc α. Phương pháp - Tìm A Î d, và . - (P) là mặt phẳng qua A và có = [ ] Ví dụ: Cho 3 mặt phẳng: α: x – 2y + 3z – 4 = 0 238 β: 3x + y – z – 1 = 0 γ: x – 2y + 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng α, β và vuông góc mặt phẳng γ. Giải: Ta có: = ( 1, -2, 3 ), b n = ( 3, 1, -1 ), ® g n = ( 1, -2, 0 ) Gọi d = α ∩ β => = [ , ] = (-1,10,7) = [ ] = (14,7,-8) Chọn M(0,7,6) Î α ∩ β => (P): 14x + 7(y-7) – 8(z-6) = 0 ó 14x + 7y – 8z – 1 = 0 Dạng 8: Viết phương trình đường vuông góc chung d của 2 đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2 . Phương pháp 1: - Gọi M = d ∩ d 1 , N = d ∩ d 2 . - d là đường vuông góc chung của d 1 và d 2 nên: - Từ điều kiện trên ta tìm được tọa độ của M,N Þ pt của d. Phương pháp 2: - d có vtcp = [ ] - Gọi α ≡ (d,d 1 ); β ≡ (d,d 2 ) α qua A Î d 1 và có = [ ] β qua B Î d 2 và có = [ ] - d = α ∩ β . 229 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1) Vectơ ≠ gọi là vtcp của đường thẳng d nếu giá của. Vtcp của đường thẳng d thường ký hiệu là d . 2) Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x o ,y o ,z o ) và có vtcp d = (a,b,c) Phương trình tham số của d: (t: tham số, t Î R) Phương trình chính. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d. * Phương pháp 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp của d. * Phương pháp 2: - Tìm 2 mặt phẳng α và β khác nhau cùng qua d. - d = α ∩ β Ví dụ1: Cho đường thẳng d: