Chuyên đề phương trình đường tròn OXY

áp dụng đk tiếp xúc, giải được k.. * Nếu giải được 1 h.g.góc k, thì xét đường thẳng xx đây là tiếp tuyến thứ hai.. áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta được 1 phương trình đẳng cấp bậc hai th

áp dụng đk tiếp xúc, giải được k

* Nếu kết quả 2 hệ số góc k (tương ứng 2 t.tuyến), bài toán giải quyết xong

* Nếu giải được 1 h.g.góc k, thì xét đường thẳng xx (đây là tiếp tuyến thứ hai)

áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta được 1 phương trình đẳng cấp bậc hai theo a b

Nh n xột: Phương pháp 2 tỏ ra hiệu quả và khoa học hơn

3 V trớ t ng đ i c a hai đ ng trũn-S ti p tuy n chung:

Cho hai đ ng trũn ( )C cú tõm 1 I , bỏn kớnh 1 R và 1 (C2)cú tõm I , bỏn kớnh 2 R 2

a Với giá trị nào của thì phương trình trên là p.trình của một đường tròn.

b Tìm giá trị để đường tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất

c Tìm quỹ tích tâm đường tròn, khi thay đổi trên đoạn 0

Bài t p 2: Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua ba đi m v i (1;4), ( 7;4), (2; 5)A B - C -

Bài t p 3: Cho 3 đi m (1;2), (5;2), (1; 3)A B C -

a L p ph ng trình đ ng tròn (C) ngo i ti p tam giác ABC

B c 1: L p ph ng trình đ ng trung tr c d c a đo n AB

B c 2: Tâm I c a (C) là giao đi m c a d và

Bài t p 7: L p ph ng trình c a đ ng tròn (C) đi qua 2 đi m (1;2), (3;4)A B và ti p xúc v i

G i ( ; )I a b là tâm c a (C) Do (C) ti p xúc v i Ox, Oy nên a = b =R

=ë

B c 2: Tâm I c a đ ng tròn t ng ng là giao đi m c a d và T T 1, 2

Bài t p 10: L p ph ng trình đ ng tròn đi qua hai đi m (0;1), (2; 3)A B  và có bán kính

D th y ( )

2 2

;

4

AB

R= éëd I ù +û

Bài t p 12: ( H A-2007) Cho tam giác ABC có A(0; 2), ( 2; 2)B - - và C(4; 2)- G i H là

chân đ ng cao k t B; M, N l n l t là trung đi m c a AB và BC Vi t ph ng trình đ ng

B c 3: Tâm I c a (C) là giao đi m c a BH và d Suy ra IM =R

Bài t p 13: Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua đi m (1;1)A và có bán kính R 10, tâm

(C) n m trên Ox

G i ý:

G i ( ;0)I a ÎOx là tâm c a (C) Theo gi thi t, IA = 10, t đây gi i ra I

Bài t p 14: Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua đi m M(2;3) và ti p xúc đ ng th i v i hai

(Dùng k n ng: G i ph ng trình x2+y2-2ax-2by+ = và thay t a đ ) c 0

= ë

-TH 1: b=2Þ I a( ; 2) Theo gi thi t IO'=R1+R2 T đây, gi i ra I

TH 2: b= - Þ2 I a( ; 2)- Theo gi thi t IO'=R1+R2 T đây, gi i ra I

d Bi t ti p tuy n đi qua (3;6)A

Bài t p 2: Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C): x2+y2-4x-2y= t i giao đi m c a (C) và 0

Bài t p 4: Cho đ ng tròn (C): x2+y2-6x+2y+6= và đi m (1;3)0 A

a Ch ng t A n m ngoài đ ng tròn (C)

b L p ph ng trình ti p tuy n v i (C) xu t phát t A

Bài t p 5: Cho đ ng tròn (C): (x+1)2+(y-2)2 = và đi m (2; 1)9 M -

a Ch ng t qua M ta v đ c hai ti p tuy n D và 1 D v i (C) Hãy vi t ph2 ng trình

I R

ìïí

=ïî

T©m B¸n kÝnh và (C có 2) 2( )

2

4;42

I R

ìïí

=ïî

T©m B¸n kÝnh

c b

é

=ê

ê

= ë

K t lu n: V y t n t i 4 ti p tuy n th a mãn yêu c u bài toán:

1: 4x 3y 14 0

D - + + = , D2: -4x+3y-6 0= , D3: y- =2 0, D4: 24x+7y-74 0=

Bài t p 7: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ ng tròn 2 2

( ) :C x y 25, bi t r ng ti p tuy n đó h p v i đ ng th ng : 2 1 0 mét gãc mµ cos = 2

ê =ë

TH 1: a=0Þnd =(0; ) b (b¹0), ch n nd(0;1)Þd y m: + =0

51

m m

d O d R

m

=é

= ë

n n

d O d R

n

=é

= ë

S r

522

Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính

Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình:

Hoàn toàn có thể xác định tọa độ H là hình chiếu của I trên đường thẳng AB.

Sau đó tìm A, B là giao điểm của đường tròn tâm H bán kính HA với đường thẳng AB

đi m M thu c d mà qua đú ta k đ c hai đ ng th ng ti p xỳc v i đ ng trũn ( )C t i A và

B sao cho gúc AMB b ng 60 0

6) ( H B-2003) Cho tam giỏc ABC vuụng t i A và AB= AC Bi t M(1; 1)- là trung đi m c nh

giao điểm H của và là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi là điểm đối xứng với qua Khi đó:

Vì (C') đối xứng với (C) qua nên (C') có tâm là d J(3;0) và bán kính R=2

Tọa độ các giao điểm của (C) và (C') là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ giao điểm của (C) và (C') là (1;0),A B(3; 2)

9) ( H A-2004) Cho hai đi m A(0; 2), (B - 3; 1)- Tỡm to đ tr c tõm và to đ tõm c a

đ ng trũn ngo i ti p c a tam giỏc OAB

+ Đường thẳng qua O, vuông góc với BA có phương trình 3

Đường thẳng qua B, vuông góc với OA có phương trình

Đường thẳng qua A, vuông góc với BO có phương trình

OAB là I( 3

10) ( H A-2005) Cho hai đ ng th ng d1:x-y=0, d2: 2x+ y- = Tỡm to 1 0 đ cỏc đ nh

c a hỡnh vuụng ABCD bi t r ng đ nh A thu c d , 1 đ nh C thu c d và cỏc 2 đ nh B, D thu c tr c

ợẻ

A t t

C t t

IB IA I

Vậy bốn đỉnh của hình vuông là:

hoặc 1), B(2;0), C(1; 1),- D(0;0)

11) ( H B-2005) Cho hai đi m (2;0), (6;4)A B Vi t ph ng trình đ ng trịn ( )C ti p xúc

v i tr c hồnh t i A và kho ng cách t tâm c a ( )C đ n đi m B b ng 5

=ë

Gäi t©m cđa (C) lµ vµ b¸n kÝnh cđa (C) lµ R

Ta cã: (C) tiÕp xĩc víi Ox t¹i A a=2 vµ b

Vậy (C) có tâm I 6,2 và R=2 ( )

Vì đường tròn (C tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm 1) I nằm trên 2 đường thẳng 1

y= ± vàvì (C) có tâm x I 6,2 ,R = 2 ( )

nên tâm I x1( ;±x)với x > 0

TH 1: Tâm I Ỵ đường thẳng y = x Þ 1 I x x( , ), bán kính R1=x

(C tiếp xúc ngoài với (C) Û 1) I I1=R R+ 1Û (x-6)2+(x-2)2 = +2 x

=

ë Ứng với R1=2 hay R2 =18Có 2 đường tròn là: (x-2)2+(y-2)2 =4; (x-18)2+(y-18)2 =18

TH 2: Tâm I Ỵ đường thẳng 1 y= - Þx I x( ,-x); R1 = x

Tương tự như trên, ta có x= 6

Có 1 đường tròn là (x-6)2 +(y+6)2 =36

K t lu n: Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là:

(x-2)2 +(y-2)2 =4; (x-18)2 +(y-18)2 =18; (x-6)2 +(y+6)2 =36

13) ( d b 2005)

Cho hai đ ng trịn ( ) 2 2 ( ) 2 2

C x +y = C x +y - x- y- = Vi t ph ng trình

tr c đ ng ph ng d c a ( )C và 1 (C2) Ch ng minh r ng n u K thu c d thì kho ng cách t K

đ n tâm c a ( )C nh h n kho ng cách t K 1 đ n tâm c a(C2)

G i ý:

Đường tròn (C có tâm 1) O 0,0 bán kính ( ) R1=3

Đường tròn (C có tâm 2) I 1,1 , bán kính ( ) R2 =5

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn (C , 1) (C là 2)

( d b 2005) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho (C): x2 + y2 -4x-6y-12=0 Tìm t a

đ đi m M thu c đ ng th ng d : 2x- + =y 3 0 sao cho MI = 2R , trong đĩ I là tâm và R là bán

( d b 2005) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho 2 đi m A(0;5), B(2; 3) Vi t ph ng

trình đ ng trịn đi qua hai đi m A, B và cĩ bán kính R= 10

Yêu cầu của bài toán tương đương với:

Vậy, có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: )

=ộ

Đường tròn (C) có tâm I(1;3) và bán kính nên M nằm ngoài (C).

Nếu T x là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:

17) ( H A-2007) Cho tam giỏc ABC cú (0; 2), ( 2; 2)A B - - và (4; 2)C - G i H là chõn đ ng

cao k t B; M, N l n l t là trung đi m c a AB và BC Vi t ph ng trỡnh đ ng trũn qua cỏc

d x- y+m = Tỡm m đ trờn d cú duy nh t m t đi m P mà t P cú th k đ c hai ti p

tuyờn PA, PB (A, B là cỏc ti p đi m) sao cho tam giỏc PAB đ u

-ëTrªn d cã duy nhÊt mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n khi vµ chØ khi d tiÕp xóc víi (C') t¹i P

19) ( d b 2007) Trong m t ph ng Oxy cho đ ng tròn (C): x2+y2 = 1 ng tròn (C')

tâm I (2,2) c t (C) t i các đi m A, B sao cho AB = 2 Vi t ph ng trình đ ng th ng AB

1

1

m m

m a

=éD

- Ho c là A là giao đi m các đ ng (d) và x = Þ A(2, –1) 2

- Ho c là A là giao đi m các đ ng (d) và x = Þ A(6, –5) 6

- Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)

- Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)

R H O

B A

AB BH

AH = = = Có 2 v trí cho AB đ i x ng qua tâm I

G i A'B' là v trí th 2 c a AB G i H' là trung đi m c a A'B'

3 5 HI MI

169 4

3 ' MH ' H ' A ' MA

-ïí

=ïî

T©m B¸n kÝnh

S = IA IB AIB= R AIB= AIB

L p lu n S IAB maxÛ(2sinAIB max) ÛsinAIB= Û1 AIB=900 Û IA^IB (**)

Ta có: IA= -( my A +2m-1;y A+2 ,) IB= -( my B +2m-1;y B +2)

24) ( H D-2009) Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ ng tròn ( ) (C : x-1)2+y2 = G i I là 1

tâm c a (C) Xác đ nh đi m M thu c (C) sao cho IMO = 300

Cách 2: ý r ng, v i các gi thi t đã cho c a bài toán, th y đ c MOI = 300

Lúc đó, đi m M là giao đi m c a 2 đ ng th ng D , 1 D qua O và có các h s góc t2 ng ng

0

1

1tan30

d x-y= G i (T) là đ ng tròn ti p xúc v i d t i A, c t 1 d t i hai đi m B, C sao cho 2

tam giác ABC vuông t i B Vi t ph ng trình c a (T) bi t tam giác ABC có di n tích b ng 3

Do Aẻd1: 3x+ y=0ị A a( ;- 3a M t khỏc, (T) c t ) d t i hai đi m B, C nờn g i 2

G i F F là cỏc tiờu đi m c a (E) (1, 2 F cú hoành đ õm); M là giao đi m cú tung đ d1 ng

c a đ ng th ng AF v i (E), N là đi m đ i x ng c a 1 F qua M Vi t ph2 ng trỡnh đ ng

trũn ngo i ti p tam giỏc ANF 2

G i ý:

Nhận thấy và Đường thẳng có phương trình:

là giao điểm có tung độ dương của với (E), suy ra:

Do N là điểm đối xứng của qua M nên

1 2

1( 1;0) (1;0)

b Vi t ph ng trình đu ng th ng song song v i d và c t đ ng tròn t i hai đi m M, N

sao cho đ dài MN b ng 2

c Tìm to đ đi m T trên d sao cho qua T k đ c hai đ ng th ng ti p xúc v i ( )C

t i hai đi m A, Bvà góc ATB b ng 60 0

30) (C CNHN 2004) Cho tam giác ABC, hai c nh AB, AC theo th t có ph ng trình

x+y- = và 2x+6y+ = , c nh BC có trung đi m 3 0 M -( 1;1) Vi t ph ng trình đ ng

tròn ngo i ti p tam giác ABC

31) (C CNHN 2005) Cho tam giác ABC, bi t ph ng trình các c nh AB, BC, CA l n l t là

2x+y- =5 0, x+2y+2=0, 2x-y+ = Tìm to 9 0 đ tâm đ ng tròn n i ti p tam giác

ABC

32)(C SPQB 2005) Vi t ph ng trình đ ng tròn ( )C qua 3 đi m (2;3), (4;5), (4;1)A B C

Ch ng t đi m K(5; 2) thu c mi n trong c a ( )C Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua đi m

K sao cho d c t ( )C theo dây cung AB nh n K làm trung đi m

33) Cho đ ng tròn ( ) 2 2

C x + y - x- y- =

a Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ( )C đi qua đi m M(4;0)

b Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ( )C đi qua đi m (4;6)N

34) Cho đ ng tròn ( ) (C : x-2)2+(y-4)2 = và đi m 9 M(3; 4)

a Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ( )C đi qua đi m M

b Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n đó h p v i chi u d ng c a

tr c Ox m t góc 45 0

35) ( HGTVT) Cho đ ng tròn ( ) 2 2

C x +y - x- y- = và đi m (2;2)A Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ( )C đi qua đi m A Gi s hai ti p đi m là MN, tính S AMN

Trên (C) l y đi m M và l y đi m N trên d sao cho M, N đ i x ng nhau qua Ox Tìm M, N

39) (Toán h c Tu i tr 2010) Cho tam giác ABC có (1;0)A , hai đ ng th ng t ng ng ch a

đ ng cao k t B, C c a tam giác th t có ph ng trình: x-2y+ = và 31 0 x+y- = 1 0

Vi t ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

trên (P) đi m M sao cho t M có th k đ c hai ti p tuy n v i đ ng tròn (C) và hai ti p

tuy n này t o v i nhau m t góc 600

Suy ra MÎ( )C/ º(O; 6) v y đi m M là giao đi m c a hai đ ng: