CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG

• CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG

Đường tròn

Mục lục

Loại 1 Phương trình đường tròn 2 Loại 2 Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn 8 Loại 3 Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung 18

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Loại 1 Phương trình đường tròn

A Tóm tắt lý thuyết

* Phương trình chính tắc: Phương trình x  a2 y  b2  R 2(R  0)

là phương trình chính tắc đường tròn tâm I a;b , bán kính R

* Phương trình tổng quát: Phương trình x 2  y 2  2ax  2by   c 0 (a 2  b 2   c 0) là phương trình tổng quát của đường tròn tâm I a;b , bán kính R  a 2  b 2  c

* Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn  C có tâm

I, bán kính R và đường thẳng  Khi đó:

 C tiếp xúc với   R  d I, 

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Lập phương trình đường tròn  C tâm I 1; 2   trong các trường hợp sau

1)  C có bán kính bằng 5

2)  C đi qua điểm A 2;7

3)  C tiếp xúc với đường thẳng  : 3x  2y 12   0

Gọi  C là đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1  , C 3; 3  

I a;b  là tâm của  C 

Cách 2: Gọi M là trung điểm của AB  IM  AB (bán kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

Ta có M là trung điểm của AB  M 0;5 , AB  2;2

3)  C đi qua các điểm A 1;2 , B  2; 3 và tâm I thuộc đường thẳng d : x  3y 1   0

4)  C đi qua các điểm A 1;4 , B 4;0 và C  2; 2

5)  C Có đường kính là đoạn thẳng AB với A 3;4 , B 2;7 

6)  C có tâm I 1;2 , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x  4y 1   0

7)  C có tâm I 2;3 , cắt đường thẳng d : 3x  4y 1   theo một dây cung có độ dài bằng 0 2 8)  C đi qua A 2; 1   và tiếp xúc với các trục tọa độ

9)  C là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y  x  , 2

y  x  và y 2   8 x

10)  C nội tiếp tam giác  OAB với A 4;0 , B 0;3 

Bài 2 [ĐHA07] Cho tam giác ABC có A 0;2 , B  2; 2 và C 4; 2   Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

Bài 3 Cho  ABC có AB : x  y   2 0, AC : 2x  6y  3  và 0 M 1;1 là trung điểm cạnh

BC Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp  ABC

2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp  ABC Chứng minh rằng khi đó trọng tâm

G của  MBC chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó

Bài 7 [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng d : 3x 1  y  0 và d : 3x 2  y  0 Gọi  T là đường tròn tiếp xúc với d tại 1 A, cắt d tại hai điểm 2 B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của  T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

Bài 8 [ĐHD09NC] Cho   C : x 1  2  y 2  Gọi 1 I là tâm của  C Tìm tọa độ điểm M

thuộc  C sao cho  o

IMO  30

* Chú ý: Xét đường tròn  C và điểm M Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa M và

 C với số tiếp tuyến qua M của  C :

+) M nằm ngoài  C : qua M tồn tại hai tiếp tuyến của  C +) M  C : qua M tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của  C Tiếp tuyến này nhận M làm tiếp điểm

+) M nằm trong  C : qua M không tồn tại tiếp tuyến của  C

 IA  4 16   2 5  R  qua A có hai tiếp tuyến của  C

 là đường thẳng qua A  phương trình  có dạng:

Ví dụ 2 Cho  C : x 2  y 2  2x 6y   9  Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết: 0

1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y  0

2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y   0

3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x  y  góc 0 45 

 

* Thay b  0 vào  1  a  0 (loại)

* b  0: chia cả hai vế  1 cho b 2, đặt a

b

t  ta được 3t 2  8t  3  0

3

t 3 t

Ví dụ 3 Cho A 0; 3   và đường tròn  C : x 2  y 2  6x 6y   7  Lập PTĐT qua 0 A, cắt

 C theo một dây cung có độ dài bằng 10

Giải

Ta có   C : x  32 y  32  25   C có tâm I 3;3, bán kính R  5

Δ

E M

* b  0: chia cả hai vế  3 cho b 2, đặt a

b

t  ta được 3t 2  8t  3  0



1 3

Ví dụ 4 [ĐHD11NC] Cho A 1;0  và đường tròn  C : x 2  y 2  2x  4y  5  Viết PTĐT 0

 cắt  C tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A

 IA là đường trung trực của MN

   IA 0;2  

 phương trình  có dạng y  m Trước hết ta tìm điều kiện để  cắt  C tại hai điểm phân biệt  1 Xét hệ

Do đó:  1   4 có hai nghiệm phân biệt    ' 0  m 2  4m   6 0  5

Gọi x , 1 x là các nghiệm của 2  4  1 2

x  x  2



Khi đó  

1 2

Ví dụ 5 [ĐH11A11Chuẩn] Cho đường thẳng  : x   y 2  0 và đường tròn

 C : x 2  y 2  4x  2y  Gọi 0 I là tâm của  C , M là một điểm thuộc  Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến  C (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ của điểm M biết

tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

Do đó

S MAIB  2S MAI  MA.IA  x 5

Từ giả thiết suy ra: x 5  10  x  2 5 

MI  IA  MA  25  1

Ta có  PAB đều  APB   60 

  API  30 

  AIP  60 

 IP  2AI  2R  6   P thuộc đường tròn  C' có tâm I, bán kính R '  6 Như vậy P   d  C' Do đó

điểm P tồn tại duy nhất

 d tiếp xúc với  C'

 d I, d  R '

Bài 1 Xét vị trí tương đối giữa điểm M và đường tròn (C)

Bài 3 Cho (C) : x 2  y 2  2x 8y    Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết: 8 0

1) Tiếp tuyến đi quaA 4;0 

2) Tiếp tuyến đi qua A  4; 6

Bài 4 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và đi qua điểm 0;1 Tìm quỹ tích tâm đường tròn đó

Ví dụ 1 Tìm các giao điểm A, B của hai đường tròn C 1: x 2  y 2  4x 6y   0,

C 2: x 2  y 2  4x  2y  0 Viết PTĐTR đi qua A, B và C 3;1

Vậy các giao điểm của C 1, C 2 là A 0;0  và B 1;1 

* C 3 là đường tròn đi qua A, B, C  phương trình C 3 có dạng

 T , 1 T thuộc đường tròn 2  C' đường kính MI

( C' là đường tròn tâm I ' là trung điểm của MI, bán kính MI

 tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình 2x  y   3 0 Vậy PTĐTR đi qua các giao điểm của C 1, C 2 là 2x  y   3 0

R  2 Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn C 1: x 2  y 2  4x  3  , 0

C 2: x 2  y 2  8x 12   0

ĐS: x  3y  0, x  3y  0, x  35y  8  0, x  35y  8  0

Bài 4 [ĐHD03] Cho đường tròn   C : x – 12 y – 22  4 và đường thẳng d : x – y – 1  0

Viết phương trình đường tròn  C' đối xứng với đường tròn  C qua đường thẳng d Tìm tọa

độ các giao điểm của  C và  C'

C' : x  3  y  , các giao điểm của 4  C và  C' là A 1;0  và B 3;2 