CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG

• CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1 Đường tròn Mục lục Loại 1. Phương trình đường tròn 2 Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn 8 Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung 18 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2 Loại 1. Phương trình đường tròn A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình chính tắc: Phương trình     2 2 2 x a y b R     ( R 0  ) là phương trình chính tắc đường tròn tâm   I a;b , bán kính R . * Phương trình tổng quát: Phương trình 2 2 x y 2ax 2by c 0     ( 2 2 a b c 0    ) là phương trình tổng quát của đường tròn tâm   I a;b , bán kính 2 2 R a b c    . * Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn   C có tâm I , bán kính R và đường thẳng  . Khi đó:   C tiếp xúc với     R d I,   . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn   C tâm   I 1; 2  trong các trường hợp sau 1)   C có bán kính bằng 5 . 2)   C đi qua điểm   A 2;7  . 3)   C tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 12 0     . Giải 1)   C có tâm   I 1; 2  , bán kính bằng 5        2 2 C : x 1 y 2 25     . 2) Gọi R là bán kính của   C .   A C   2 2 2 2 R IA 3 9 90     . Vậy       2 2 C : x 1 y 2 90     . 3) Gọi R là bán kính của   C .   C tiếp xúc với       3.1 2. 2 12 19 2 2 13 3 2 R d I,         . Vậy       2 2 361 13 C : x 1 y 2    . Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm   A 2;0 ,   B 3; 1  ,   C 3; 3  . Giải Gọi   C là đường tròn đi qua ba điểm   A 2;0 ,   B 3; 1  ,   C 3; 3  .   I a;b là tâm của   C  2 2 2 2 IA IB IB IC                       2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 b a 3 b 1 a 3 b 1 a 3 b 3                    a b 3 b 2         a 1 b 2          I 1; 2  . R là bán kính của   C  2 2 R IA 5   . Vậy       2 2 C : x 1 y 2 5     . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 4 Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm   A 1;4 ,   B 1;6  và có tâm thuộc đường thẳng : x 2y 4 0     . Giải Giả sử   C là đường tròn cần lập phương trình và   C có tâm I , bán kính R . Cách 1: I    tọa độ I có dạng   I 2a 4;a   . Ta có   IA 2a 3; a 4          2 2 2 2 IA 2a 3 a 4 5a 20a 25        .   IB 2a 5; a 6          2 2 2 2 IB 2a 5 a 6 5a 32a 61        . Từ A ,   B C   2 2 IA IB  (cùng bằng 2 R )  2 2 5a 20a 25 5a 32a 61       a 3     I 2;3  . Lại có 2 2 2 2 R IA 3 1 10     . Vậy       2 2 C : x 2 y 3 10     . Cách 2: Gọi M là trung điểm của AB  IM AB  (bán kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung). Ta có M là trung điểm của AB    M 0;5 ,   AB 2;2   . Δ M A I B       IM M 0;5 IM AB 2;2 1; 1           qua    IM : x y 5 0     IM : x y 5 0    . I IM     x y 5 0 I : x 2y 4 0             I 2;3  . 2 2 2 2 R IA 3 1 10     . Vậy       2 2 C : x 2 y 3 10     . Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm   A 2;9 ,   B 3;10  và tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 2 0     . Giải Giả sử   C là đường tròn cần lập phương trình và   C có tâm   I a;b , bán kính R . Ta có   IA 2 a;9 b          2 2 2 IA a 2 b 9     , THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 5   IB 3 a;10 b           2 2 2 IB a 3 b 10     ,   3a 2b 2 13 d I,     . Từ 2 2 IA IB  (cùng bằng 2 R )          2 2 2 2 a 2 b 9 a 3 b 10         b 5a 12     1 . Lại có   2 2 IA d I,   (cũng cùng bằng 2 R )        2 3a 2b 2 2 2 13 a 2 b 9         2 . Thay   1 vào   2 ta thu được       2 3a 2 5a 12 2 2 2 13 a 2 5a 12 9                        2 2 2 a 2 5a 3 13 a 2       2 a 2a 3 0     a 1 a 3       +) Thay a 1   vào   1 ta có b 7     I 1;7  . 2 2 2 2 R IA 3 2 13     . Vậy trong trường hợp này   C có phương trình     2 2 x 1 y 7 13     . +) Thay a 3  vào   1 ta có b 27     I 3;27 . 2 2 2 2 R IA 1 18 325     . Vậy trong trường hợp này   C có phương trình     2 2 x 3 y 27 325     . Tóm lại       2 2 C : x 1 y 7 13     hoặc       2 2 C : x 3 y 27 325     . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 6 C. Bài tập Bài 1. Lập phương trình đường tròn   C biết 1)   C có tâm   I 1;3 , bán kính R 4  . 2)   C có tâm   I 2;3 ,     A 1; 2 C   . 3)   C đi qua các điểm   A 1;2 ,   B 2; 3   và tâm I thuộc đường thẳng d : x 3y 1 0    . 4)   C đi qua các điểm   A 1;4 ,   B 4;0  và   C 2; 2   . 5)   C Có đường kính là đoạn thẳng AB với   A 3;4 ,   B 2;7 . 6)   C có tâm   I 1;2 , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x 4y 1 0    . 7)   C có tâm   I 2;3 , cắt đường thẳng d : 3x 4y 1 0    theo một dây cung có độ dài bằng 2 . 8)   C đi qua   A 2; 1  và tiếp xúc với các trục tọa độ. 9)   C là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y x 2   , y x 2   và y 8 x   . 10)   C nội tiếp tam giác OAB  với   A 4;0 ,   B 0;3 . Bài 2. [ĐHA07] Cho tam giác ABC có   A 0;2 ,   B 2; 2   và   C 4; 2  . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N . Bài 3. Cho ABC  có AB : x y 2 0    , AC:2x 6y 3 0    và   M 1;1  là trung điểm cạnh BC . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC  . Bài 4. [ĐHB09Chuẩn] Cho     2 2 4 5 C : x 2 y    và hai đường thẳng 1 :x – y 0   , 2 :x – 7y 0   . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn   C' biết   C' tiếp xúc với các đường thẳng 1  , 2  và tâm K thuộc (C) . Bài 5. [ĐHB05] Cho hai điểm   A 2;0 và   B 6;4 . Viết phương trình đường tròn   C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của   C đến điểm B bằng 5 . Bài 6. Cho   A 3;1 ,   B 0;7 ,   C 5;2 . 1) Chứng minh rằng ABC  vuông và tính diện tích tam giác. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 7 2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ABC  . Chứng minh rằng khi đó trọng tâm G của MBC  chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó. Bài 7. [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng 1 d : 3x y 0   và 2 d : 3x y 0   . Gọi   T là đường tròn tiếp xúc với 1 d tại A , cắt 2 d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của   T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. Bài 8. [ĐHD09NC] Cho     2 2 C : x 1 y 1    . Gọi I là tâm của   C . Tìm tọa độ điểm M thuộc   C sao cho  o IMO 30  . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 8 Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn A. Tóm tắt lý thuyết * Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn   C có tâm I , bán kính R và điểm M . Đặt d IM  . Ta có +) M nằm ngoài   C  d R  . +)   M C   d R  . +) M nằm trong   C  d R  . * Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn   C có tâm I , bán kính R và đường thẳng  . Đặt   d d I,   . Ta có +)  không có điểm chung với   C  d R  . +)  tiếp xúc với   C (  là tiếp tuyến của   C )  d R  . +)  cắt   C tại 2 điểm phân biệt  d R  . * Chú ý: Xét đường tròn   C và điểm M . Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa M và   C với số tiếp tuyến qua M của   C : +) M nằm ngoài   C : qua M tồn tại hai tiếp tuyến của   C . +)   M C  : qua M tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của   C . Tiếp tuyến này nhận M làm tiếp điểm. +) M nằm trong   C : qua M không tồn tại tiếp tuyến của   C . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 9 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho đường tròn       2 2 C : x 1 y 2 16     và điểm   A 1;6  . Chứng minh A nằm ngoài   C và viết phương trình các tiếp tuyến qua   A 1;6  của   C . Giải Ta có   C là đường tròn tâm   I 1;2 , bán kính R 4  .   IA 2;4    IA 4 16 2 5 R      qua A có hai tiếp tuyến của   C .  là đường thẳng qua A  phương trình  có dạng:     :a x 1 b y 6 0       :ax by a 6b 0      ( 2 2 a b 0   ). Có   a 2b a 6b 2 a 2b 2 2 2 2 a b a b d I,          .  là tiếp tuyến của   C khi và chỉ khi   d I, R    2 a 2b 2 2 a b 4     2 2 a 4ab 4b 2 2 a b 4      2 3a 4ab 0    4b 3 a 0 a        . +) a 0     :b y 6 0     : y 6 0    ( a 0   b 0  ). +) Từ 4b 3 a   , cho b 3    a 4   :4x 3y 22 0     Vậy : y 6 0    hoặc :4x 3y 22 0     . Ví dụ 2. Cho   2 2 C : x y 2x 6y 9 0      .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết: 1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 0   . 2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y 0   . 3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x y 0   góc 45  . Giải Ta có       2 2 C : x 1 y 3 1        C có tâm   I 1;3 , bán kính R 1  . Gọi  là tiếp tuyến cần tìm. 1) d    phương trình  có dạng : x y c 0     . Ta có   1 3 c c 2 2 2 d I,       . Do đó:  là tiếp tuyến của   C khi và chỉ khi 10   d I, R    c 2 2 1    c 2 2    c 2 2 c 2 2           c 2 2 2 c 2 2 2          : x y 2 2 2 0 : x y 2 2 2 0               . Vậy : x y 2 2 2 0      hoặc : x y 2 2 2 0      . 2) d    phương trình  có dạng :4x 3y c 0     . Ta có   4 9 c c 13 5 5 d I,       . Do đó:  là tiếp tuyến của   C khi và chỉ khi   d I, R    c 13 5 1    c 13 5    c 13 5 c 13 5          c 8 c 18         :4x 3y 8 0 :4x 3y 18 0            . Vậy :4x 3y 8 0     hoặc :4x 3y 18 0     . 3) Xét đường thẳng  nhận   n a;b  ( 2 2 a b 0   ) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có   ,d 45       cos ,d cos45       2a b 2 2 2 2 5 a b       2 2 4a 4ab b 1 2 2 2 5 a b     [...]... kớnh R 2 t d I1I 2 Ta cú: d V trớ tng i S tip tuyn chung d R1 R 2 C1 , C2 4 d R1 R 2 C1 , C2 tip xỳc ngoi nhau ngoi nhau 3 R1 R 2 d R 1 R 2 C1 , C2 2 d R1 R 2 C1 , C2 tip xỳc trong nhau 1 d R1 R 2 C1 , C2 0 nm ngoi nhau ct nhau ti hai im phõn bit lng nhau 18 B Mt s vớ d Vớ d 1 Tỡm cỏc giao im A , B ca hai ng trũn C2 : x2 y 2 4x 2y 0 Vit PTTR i qua C1 : x2 y . 2 Loại 1. Phương trình đường tròn A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình chính tắc: Phương trình     2 2 2 x a y b R     ( R 0  ) là phương trình chính tắc đường tròn tâm   I. Đường tròn Mục lục Loại 1. Phương trình đường tròn 2 Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn 8 Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp. Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm   A 1;4 ,   B 1;6  và có tâm thuộc đường thẳng : x 2y 4 0     . Giải Giả sử   C là đường tròn cần lập phương trình và   C