Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG ________________________________________ MỤC LỤC A. MỤC TIÊU DẠY HỌC 2 B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 2 1. Hình thức dạy học 2 2. Kế hoạch dạy học 3 C. NỘI DUNG BÀI HỌC 3 I. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 3 1. Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương. 3 2. Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương. 4 3. Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt và 6 4. Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc. 7 5. Bài tập áp dụng 7 II. Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng. 12 III. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. 18 IV. Góc giữa hai đường thẳng 19 V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 23 VI. Luyện tập: 27 VII. Hoạt động trải nghiệm sáng tạo 37 D. KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ 45 A. MỤC TIÊU DẠY HỌC • Căn cứ: Chuẩn KTKN Yêu cầu của nhà trường Khả năng, mong muốn của HS… • Mục tiêu dạy học:  Về kiến thức: Học sinh hiểu, nhớ được cách xác định véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương của đường thẳng. Học sinh hiểu, biết cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt, phương trình có hệ số góc k và các dạng phương trình chính tắc, phương trình đoạn chắn. Học sinh hiểu được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau. Học sinh hiểu, nhớ được công thức tính góc giữa hai đường thẳng và các công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.  Về kĩ năng: Học sinh biết xác định véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương của đường thẳng. Học sinh viết được thành thạo phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước hoặc đường thẳng đi quahai điểm phân biệt cho trước. Học sinh tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của véctơ chỉ phương của một đường thẳng và ngược lại. Học sinh biết chuyển đổi phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng. Học sinh biết xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Học sinh sử dụng thành thạo công thức tính góc giữa hai đường thẳng và các công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và biết áp dụng vào các bài tập liên quan.  Về thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, tính chính xác, tư duy logic,........ Học sinh có thái độ ứng dụng các kiến thức đã học vào bài tập và vào thực tế. B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 1. Hình thức dạy học Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành các nhóm làm bài tập, tự học theo hướng dẫn của giáo viên,..... Sử dụng các phương pháp dạy học: Phương pháp gợi mở vấn đáp, phương pháp thuyết trình, phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề,.... 2. Kế hoạch dạy học Nội dung Tiết I: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước. Véctơ pháp tuyến và véctơ chỉ phương 2 Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương. Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt và 1 Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc. 1 Bài tập áp dụng 1 II: Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng. 1 III: Vị trí tương đối của hai đường thẳng. 1 IV: Góc giữa hai đường thẳng. 2 V: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 2 VI: Luyện tập. 3 VII: Hoạt động trải nghiệm sáng tạo. 2 C. NỘI DUNG BÀI HỌC I. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương. 1.1. Vectơ pháp tuyến (VTPT): Vectơ có giá vuông góc với đường thẳng được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d. + Nếu là VTPT của đường thẳng d thì cũng là VTPT của đường thẳng d + Một đường thẳng có vô số VTPT và tất cả các VTPT ấy đều cùng phương. 1.2. Vectơ chỉ phương (VTCP): Vectơ có giá song song với đường thẳng được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. + Nếu là VTCP của đường thẳng thì cũng là VTCP của đường thẳng d. + Một đường thẳng có vô số VTCP và tất cả các VTCP ấy đều cùng phương. 1.3. Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP của đường thẳng d. + VTCP của đường thẳng vuông góc với VTPT của đường thẳng ấy + Nếu gọi tọa độ của VTPT của đường thẳng d là thì VTCP là hoặc + Nếu gọi tọa độ của VTCP của đường thẳng d là thì VTPT là hoặc + Đường thẳng có VTPT thì sẽ có VTCP. 1.4: Ví dụ: a. Phương trình đường thẳng d có VTPT thì cũng là VTPT của d. b. Phương trình đường thẳng d có VTCP thì cũng là VTCP của d. c. Tìm VTCP và VTPT. + Đường thẳng d có VTPT VTCP + Đường thẳng d có VTPT VTCP + Đường thẳng d có VTCP VTPT hoặc + Đường thẳng d có VTCP VTPT 2. Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương. 2.1. Đường thẳng đi qua một điểm và biết VTPT. Một phương trình bậc nhất hai ẩn đối với x và y có dạng: (1), với được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận làm VTPT. Ngược lại, đường thẳng đi qua điểm và có VTPT Phương trình tổng quát có dạng: Chú ý: + Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát: Cho đường thẳng d: . Có các trường hợp sau xảy ra, phụ thuộc vào hệ số a, b, c: • Nếu thì d có dạng: . Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox. • Nếu thì d có dạng: . Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy. • Nếu thì d có dạng: . Đường thẳng đi qua gốc tọa độ. + Nếu đường thẳng (d) đi qua hai điểm và (d) có dạng: được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn nhận: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d: a. d đi qua điểm nhân là VTPT. b. d đi qua nhận là VTPT. c. d đi qua 2 điểm và . Lời giải a. Vì d đi qua điểm nhận là VTPT Pt đường thẳng d: b. Vì d đi qua nhận là VTPT Pt đường thẳng d: c. Vì d đi qua 2 điểm và Pt đường thẳng d: 2.2. Đường thẳng đi qua một điểm và biết VTCP. Một hệ phương trình 2 ẩn đối với x và y có dạng: (2) ( và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của một đường thẳng nhận: là VTCP. Ngược lại, đường thẳng đi qua điểm và có VTCP Pt tham số có dạng: Chú ý: Bằng cách khử tham số t từ 2 phương trình của hệ phương trình (2) trên ta đượcphương trình: Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng. Ví dụ: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d: a. d đi qua có VTCP b. d đi qua có VTCP Lời giải: a. Vì d đi qua có vtcp nên PT tham số d: Không có PT chính tắc. b. Vì d đi qua có VTCP nên: + PT tham số d: + PT chính tắc d: 2.3. Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc hoặc song song với đường thẳng cho trước Pt đường thẳng d qua điểm và song song : Pt đường thẳng d: Pt đường thẳng d qua điểm và vuông góc : Pt đường thẳng d: Chú ý: + Hai đường thẳng song song thì chúng cùng VTPT hoặc cùng VTCP. + Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đường thẳng này đóng vai trò là VTCP của đường thẳng kia và ngược lại. Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d: a) d đi qua và song song với đường thẳng b) d đi qua và vuông góc với đường thẳng c) d là đường trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút và Lời giải a. Đường thẳng nhận là VTPT. Do nên d nhận là VTPT mà d đi qua Phương trình d: b) Đường thẳng nhận là VTPT. Do nên d nhận là VTPT mà d đi qua Phương trình d: c) Gọi I là trung điểm của AB ta có: là VTCP của đường thẳng AB Do d là đường trung trực của đoạn AB nên: d đi qua và vuông góc với AB Vậy phương trình d: 3. Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt và + Cách tìm phương trình tham số: Tìm VTCP: PT tham số AB: + Cách tìm phương trình tổng quát: Tìm VTPT: PTtổng quát AB: Ví dụ : Viết PTTQ, PTTS của đường thẳng đi qua và Lời giải: Đường thẳng AB đi qua có VTCP là: Pt tham số có dạng: Đường thẳng AB đi qua và nhận VTPT PT tổng quát AB là: 4. Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc. Phương trình bậc nhất 2 ẩn: được gọi là phương trình hệ số góc. Trong đó ( là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox với đường thẳng) Cách viết phương trình: Đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k. Pt đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d. a. d đi qua điểm và có hệ số góc k=2. b. d đi qua tạo với Ox góc . Lời giải: a. Pt đường thẳng d là: b. d đi qua tạo với Ox góc 5. Bài tập áp dụng Bài 1: Cho có , , . Viết phương trình tổng quát: a. Đường cao hạ từ đỉnh A. b. Đường trung trực của đoạn AB. c. Đường thẳng qua A và song song với đường trung tuyến CM. Bài 2: Cho có . Các đường cao xuất phát từ B và C của tam giác lần lượt có phương trình là: và . Viết phương trình các cạnh của tam giác. Bài 3: Cho có , , a. Lập phương trình các cạnh của tam giác. b. Lập phương trình đường trung tuyến AM. Bài 4: Cho có . Đường cao và phân giác trong kẻ từ A và C có phương trình lần lượt là: và . Viết phương trình các cạnh của tam giác. Bài 5 : Cho có , , lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC, BC của tam giác. Viết phương trình các cạnh của tam giác. Bài 6: Cho cân tại A, cạnh BC, AB có phương trình lần lượt là: và , đường thẳng AC đi qua thuộc AC. Viết phương trình AC.

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

TRONG MẶT PHẲNG

MỤC LỤC

A MỤC TIÊU DẠY HỌC 2

B HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 2

1 Hình thức dạy học 2

2 Kế hoạch dạy học 3

C NỘI DUNG BÀI HỌC 3

I Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 3

1 Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương 3

2 Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương 4

3 Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A x y 1; 1 và B x y 2; 2 6

4 Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc 7

5 Bài tập áp dụng 7

II Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng. 12

III Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. 18

IV Góc giữa hai đường thẳng 19

V Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 23

VI Luyện tập: 27

VII Hoạt động trải nghiệm sáng tạo 37

D KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ 45

A MỤC TIÊU DẠY HỌC

 Căn cứ:

- Chuẩn KT-KN

- Yêu cầu của nhà trường

- Khả năng, mong muốn của HS…

- Học sinh hiểu được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau

- Học sinh hiểu, nhớ được công thức tính góc giữa hai đường thẳng và các công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

 Về kĩ năng:

- Học sinh biết xác định véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương của đường thẳng

- Học sinh viết được thành thạo phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước hoặc đường thẳng đi quahai điểm phân biệt cho trước

- Học sinh tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của véctơ chỉ phương củamột đường thẳng và ngược lại

- Học sinh biết chuyển đổi phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng

- Học sinh biết xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

- Học sinh sử dụng thành thạo công thức tính góc giữa hai đường thẳng và các công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và biết áp dụng vào các bài tập liên quan

 Về thái độ:

- Rèn luyện tính cẩn thận, tính chính xác, tư duy logic,

- Học sinh có thái độ ứng dụng các kiến thức đã học vào bài tập và vào thực tế

kiện cho trước.

Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương

Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A x y 1; 1 và B x y 2; 2 1Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc 1

II: Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng 1

I Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

1 Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

1.1 Vectơ pháp tuyến (VTPT): Vectơ n 0



có giá vuông góc với đường thẳng  được gọi

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

+ Nếu n là VTPT của đường thẳng d thì kn cũng là VTPT của đường thẳng d

+ Một đường thẳng có vô số VTPT và tất cả các VTPT ấy đều cùng phương

1.2 Vectơ chỉ phương (VTCP): Vectơ u 0



có giá song song với đường thẳng  được gọi

là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

+ Nếu u



là VTCP của đường thẳng  thì ku

 cũng là VTCP của đường thẳng d

+ Một đường thẳng có vô số VTCP và tất cả các VTCP ấy đều cùng phương

1.3 Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP của đường thẳng d

+ VTCP của đường thẳng vuông góc với VTPT của đường thẳng ấy n u n u . 0

+ Nếu gọi tọa độ của VTPT của đường thẳng d là na b;  thì VTCP là u  b a;  hoặc

a Phương trình đường thẳng d có VTPTn  1; 2 thì n2; 4 , n3; 6 , n5;10cũng là VTPT của d.

VTCPu  2;3+ Đường thẳng d có VTCPu  0;1

VTPTn  1;0 hoặc n  1;0

+ Đường thẳng d có VTCPu  5;7 VTPTn    7;5

2 Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương

2.1 Đường thẳng đi qua một điểm và biết VTPT

- Một phương trình bậc nhất hai ẩn đối với x và y có dạng: ax by c   (1), với0

0

a b  được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận na b; 

làm VTPT

Ngược lại, đường thẳng đi qua điểm M x 0; y0 và có VTPT    2 2 

 Nếu a  thì d có dạng: 0 by c  Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox.0

 Nếu b  thì d có dạng: 0 ax c  Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy.0

 Nếu c  thì d có dạng: 0 ax by  Đường0

thẳng đi qua gốc tọa độ

+ Nếu đường thẳng (d) đi qua hai điểm M a ;0 và

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d:

a d đi qua điểm M1; 2 nhân n  1;1 là VTPT

a Vì d đi qua điểm M1; 2 nhậnn  1;1

2.2 Đường thẳng đi qua một điểm và biết VTCP

- Một hệ phương trình 2 ẩn đối với x và y có dạng:

0 0

Ngược lại, đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0 và có VTCPna b; 0

 Pt tham số có dạng:

0 0

Bằng cách khử tham số t từ 2 phương trình của hệ phương trình (2) trên ta đượcphương trình:

Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng

Ví dụ: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d:

x t y

b Vì d đi qua A5;3 có VTCPu    2; 4 nên:

- Pt đường thẳng d qua điểm M x 0; y0 và song song  : ax by c  0

 Pt đường thẳng d: ax x 0b y y  0 0

- Pt đường thẳng d qua điểm M x 0; y0 và vuông góc  : ax by c  0

 Pt đường thẳng d: b x x  0a y y  0 0

Chú ý:

+ Hai đường thẳng song song thì chúng cùng VTPT hoặc cùng VTCP

+ Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đường thẳng này đóng vai trò là VTCP của đường thẳng kia và ngược lại

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d:

a) d đi qua M 1; 4 và song song với đường thẳng : x 2y12 0

b) d đi qua

31;

A B I

x x x

I

y y y

3 Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A x y 1; 1 và B x y 2; 2

 PT tổng quát AB là: 1x 23y1  0 x3y 5 0

4 Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc

- Phương trình bậc nhất 2 ẩn: y kx b  được gọi là phương trình hệ số góc

Trong đó k tan ( là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox với đường thẳng)

- Cách viết phương trình:

Đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0 và có hệ số góc k.

Pt đường thẳng: y k x x   0y0  kx y y  0 kx0 0

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d

a d đi qua điểm M5; 1 

và có hệ số góc k=2

b d đi qua

23;

3

 tạo với Ox góc 30.Lời giải:

a Pt đường thẳng d là: y2x 51 2x y 11 0

b d đi qua

23;

b Đường trung trực của đoạn AB

c Đường thẳng qua A và song song với đường trung tuyến CM

Bài 2: Cho ABC có A1;1

Các đường cao xuất phát từ B và C của tam giác lần lượt có phương trình là: 2 x y  8 0 và 2x3y 6 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác

Bài 3: Cho ABC có A1;4, B3; 1  , C6; 2

a Lập phương trình các cạnh của tam giác

b Lập phương trình đường trung tuyến AM

Bài 4: Cho ABC có B2; 1  Đường cao và phân giác trong kẻ từ A và C có phương trình lần lượt là: 3x 4y27 0 và x2y 5 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác

Bài 5 : Cho ABC có M2;1, N5;3 , P3; 4  lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC,

BC của tam giác Viết phương trình các cạnh của tam giác

Bài 6: Cho ABC cân tại A, cạnh BC, AB có phương trình lần lượt là: x 3y1 0 và

5 0

x y   , đường thẳng AC đi qua M  4;1 thuộc AC Viết phương trình AC

Bài 7: Cho ABC có C4;3

Đường phân giác và trung tuyến kẻ từ A có phương trình lần lượt là: x2y 5 0 và 4 13 10 0x y  Lập phương trình cạnh BC

A B M

x x x

M

y y y

2; 1

là VTCP của đường thẳng AB

Do d là đường trung trực của đoạn AB nên: d đi qua

32;

Gọi H và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C

 PTBH: 2 x y  8 0 và PT CK: 2x3y 6 0

+ Đường thẳng BH có VTCPu  1; 2

Giả thiết BH AC nên đường thẳng AC nhận u  1; 2

làVTPT

B C M

x x x

M

y y y

Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên CD

Gọi  là đường thẳng đi qua B2; 1 

và vuông góc với CD

 Phương trình  : 2 x y  5 0

Theo giả thiết M2;1 , N5;3 , P3; 4  lần

lượt là trung điểm của cạnh AB, AC, BC

Theo cách dựng  AMN cân tại A.

Ta có I là trung điểm của BC ta có:

M N I

x x x

I

y y y

Vì AMN cân tại A  AI MN MN 15;5

là VTPT của đường thẳng AI

Gọi D và M lần lượt là chân đường phân giác và trung tuyến kẻ từ A

 Phương trình AD: x2y 5 0 và phương trình AM: 4 13 10 0x y 

Ta có ADAM   Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:A

 7;1

AE

   

là VTCP của MI  Phương trình IM: x7y10 0

IMAM M  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình sau:

1.1 Chuyển đổi giữa phương trình chính tắc và phương trình tham số:

1.1.1 Chuyển phương trình chính tắc về phương trình tham số:

x t y

a) Cách làm:

 Cách 1: Ta có PT tham số:

Rút t từ hệ ta có

0 0

x t y t

1.2 Chuyển đổi giữa phương trình tham số và phương trình tổng quát:

1.2.1 Chuyển phương trình tham số về phương trình tổng quát:

Khi PT của đường thẳng không có dạng chính tắc tức làa 0 hoặcb 0thì ta chuyển pt tham

số vềPT tổng quát như sau:

+ Khi a 0ta có PT tham số:

0 0

Đưa PT tham số sau về dạng PT tổng quát :

TừPT tổng quát ta suy ra VTPTna b;  suy ra VTCPu  b a; 

Đuờng thẳng d đi qua điểm Mx y0; 0 và có VTCPu  b a; 

nên:

PT tham số của đường thẳng (d):

0 0

Ví dụ 1: Đưa PT sau về dạng PT tham số: (d)x y  5 0 

Chú ý:

Khi biết một dạng nào đó của PT đường thẳng d ta có thể tìm tất cả các dạngPT còn lại của đường thẳng d

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC biết A(-1 ; 2) ; B(2 ; -4) C(1 ; 0)

a) Viết PT tham số của đường thẳng BC TừPT tham số viết tất cả các dạng PT còn lại của các đường thẳng trên

b) Viết PT tổng quát của đường cao AH TừPT tổng quát viết PT tham số , PT chính tắc của đường cao AH

x 

 Pt chính tắc: y=

94

a) Đi qua điểm A 1;1

và song song với trục hoành

b) Đi qua điểmB(2 ; )1 và song song với trục tung

c) Đi qua điểmC2;1

và vuông góc với đt 5x 7y 2 0Giải:

Bài 1:

a) Ta có PT tổng quát:7x 4y12 0 Đặt x t thay vào PT ta có 7t 4y12 0

x t t y

y 

Ta có PT chính tắc: x=

4 127

c) Ta có PT tổng quát: y  6 0

Đặt x t Vì y 6 0   y6

Ta có PT tham số : 6

x t y

Bài 2:

a) PT tham số:

1 23

x y

x t y

b) Đường thẳng cần tìm có VTCPj0;1và đi qua B nên có PT tham số là :

21

' 0' 0

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

x y

29 29 b) Ta có

IV Góc giữa hai đường thẳng

os( , )

1010

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A(2;-1) biết  tạo với đường thẳng

M 

.Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD



 PTTQ của  : axby 2a b 0

Ta có:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt:

V Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

1 Lý thuyết:

Khoảng cách giữa hai điểm A,B là: AB (x B x A)2(y B y A)2

Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng : Ax By C  là:0

2 56

Khử dấu giá trị tuyệt đối của phương trình (1) ta được hai phương trình

của hai đường phân giác vuông góc với nhau của góc tạo bởi (d) và (d’)

Ví dụ: Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường

thẳng:

a (d1): 4x -3y + 2 = 0 và (d2): y - 3 = 0

b (d1):

1222



   



Vậy phương trình của đường phân giác của góc tạo bởi (d1), (d2) là

8 13 0

4 1 0

y x

Bài 1: Lập phương trình đường thẳng  biết

a  đối xứng với đường thẳng d:x 2y 5 0 qua (2;1)M

b  song song và cách đều hai đường thẳng d1: 5x 2y 7 0 và d2: 5x 2y 9 0

c  đối xứng với ' : 2 x y  3 0 qua :d x 3y  6 0

d  qua E(2;3) và cách đều hai điểm A(1;0) ; B(7;8)

Bài 2: (Khối A-2006)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng ( ) :d1 x y  3 0;

2

( ) :d x y  4 0 và ( ) :d3 x 2y0.Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng ( )d3 sao

cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ( )d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng2

7 9( ô ý)

1

V l m

1

2

a b

, chọn b 2 a1 :x 2y 4 0Vậy PTTQ của đường thẳng  là

( 22; 11)(2;1)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;2), B(-1;6), C(-5;3)

a Viết PTTQ, PTTS, PTCT (nếu có) của các canh của tam giác ABC

Viết PTTQ, PTTS, PTCT (nếu có)của các đường cao AA BB CC1, 1, 1

Cho Δ ABC có trọng tâm G(-2; -1), (AB): 4x + y + 15 = 0, (AC): 2x + 5y + 3 = 0

a Tìm tọađộ trung điểm M của BC

b Tìm tọađộđiểm B và viết phương trình đường thẳng BC

c Tính diện tích Δ ABC

Bài 4:(ĐHVH HN95)

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông có đỉnh (-4 ; 5) và một đường chéo có pt: 7x-y+8=0 Viết phương trình chính tắc các cạnh của hình vuông Từ đó tìm pt tổng quát của chúng

Bài 5: (D-2004)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;0), B(4;0), C(0;m) (m  ) Tìm G 0

theo m biết G là trọng tâm tam giác ABC, tam giác GAB vuông tại G

Bài 6:(D-2010)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0 ; 2) và  là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên  Viết pt đường thẳng  biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

Bài 7: (B-2010)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C( -4 ; 1), phân giác trong của góc A có phương trình x+y-5=0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

Bài 8: (B-2004)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) Tìm tọa độ điểm C nằm trên đường thẳng x 2y 1 0 biết khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là 6

Bài 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho P(3 ; 0) và 2 đường thẳng  d1 : 2x y 2 0 ;

 d2 :x y   Gọi đường thẳng d là đt qua P và cắt 3 0 d1,d2 lần lượt ở A và B Viết

phương trình đường thẳng của d biết rằng PA=PB

Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc

A là điểm D( 1; -1) Đường thẳng AB có phương trình 3x+2y-9=0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có pt x+2y-7=0 Viết pt đường thẳng BC

Bài 15: (A-2013):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y + 5 = 0 và A(−4;8) Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5;−4).

d O d  

3 3 10( ; )

1010

a) Gọi M x y là tọa độ trung điểm của cạnh BC( ; )

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Do M là trung điểm của BC C( 2  t t;4 11)

Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng AC  t3

 t 0 B0;8.Tọa độ D đối xứng với B qua I D1;1

.Tọa độ D đối xứng với B qua I  D0;8

Từ đó AB đi qua A(-4 ; 5) có VTCPAB4;3

Ta có A(-4 ;5 ); C(3 ; 4) ; AC: x+7y-31=0

Ta lập pt đường thẳng đi qua A và hợp với AC góc 450, ta được pt của AB và AD

Gọi k là hệ số góc của AB (hoặc AD) ta có:

k k

k k

m m y

+Nếu  trùng Ox hoặc Oy thì H trùng với O và A trùng với O (vô lí)

+Nếu  không trùng với Ox

Gọi k là hệ số góc của đt  : (  ) y=kx

Do AH vuông góc với  nên (AH) :

1

y x m k

2121

k x k k y k

2

11

2

21

k k



4 2

4

41

k k

Nếu d vuông góc với Ox thì (d): xx c, do dó x=-4 (loại)

Nếu d không vuông góc với Ox thì (d): y-1=k(x+4)  kx y4k 1 0

Ta lại có : cosAD;d cos450

B B





 

Xét B(4 ; -5) Ta thấy B nằm cùng phía với AD nên trường hợp này loại

Do đó B(4;7) Khi đó (BC) : 3x-4y+16=0

Bài 8:

Gọi điểm C(2c+1;c)

Đường thẳng AB qua A(1;1) có VTCP AB (3; 4)

Phương trình đường thẳng (d) đi qua P(3; 0) và có hệ số góc k: y k x   3 kx-3k

Tọa độ của giao điểm A của (d) và d1

là nghiệm của hệ pt:

x 3

y k k y

Tọa độ của điểm A không đúng nghiệm của phương trình các trung tuyến đã cho

Do đó cáctrung tuyến đã cho là các trung tuyến BN và CP xuất phát từ B và C

Giả sử: BN: x-2y+1=0; CP: y-1=0

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm hệ pt:

1 0

x y y

B C M

B C M

x x x

y y y

   4y1  x 3 x 4y 1 0

 PTBC : x 4y 1 0

Tương tự ta có pt đường thẳng AC : x+2y-7=0

Vậy pt 3 đường thẳng chứa 3 cạnh của tam giác ABC là:

x y