PHƯƠNG PHÁP TÒA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGPHƯƠNG PHÁP TÒA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGPHƯƠNG PHÁP TÒA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGPHƯƠNG PHÁP TÒA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGPHƯƠNG PHÁP TÒA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGPHƯƠNG PHÁP TÒA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGPHƯƠNG PHÁP TÒA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGPHƯƠNG PHÁP TÒA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Hình học giải tích trong mặt phẳng Phần 1: Đờng thẳng I. Kiến thức cơ bản: 1. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng: - Đờng thẳng đi qua M(x 0 ;y 0 ) và nhận );( ban = làm vectơ pháp tuyến có phơng trình là: a(x-x 0 ) + b(y-y 0 )=0 - Đờng thẳng cắt trục 0x tại A(a;0) và 0y tại B(0;b) (a và b khác 0) có phơng trình theo đoạn chắn: 1=+ b y a x - Đờng thẳng qua M(x 0 ;y 0 ) và có hệ số góc là k có phơng trình là: y-y 0 =k(x-x 0 ) 2. Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng: - Đờng thẳng đi qua M(x 0 ;y 0 ) và nhận );( bau = làm vectơ chỉ phơng có phơng trình tham số là: )(; 0 0 Rt btyy atxx += += phơng trình chính tắc: b yy a xx 00 = - Đờng thẳng đi qua hai điểm M(x 1 ;y 1 ) và N(x 2 ;y 2 ) có dạng: 12 1 12 1 yy yy xx xx = Chú ý: - Nếu phơng trình đờng thẳng có vectơ pháp tuyến là );( ban = thì sẽ có vectơ chỉ phơng là );( abu = và ngợc lại. - Cho hai đờng thẳng d 1 và d 2 : +, d 1 song song với d 2 thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phơng. +, d 1 vuông góc với d 2 thì pháp tuyến của d 1 là chỉ phơng của d 2 và ngợc lại. 3. Vị trí t ơng đối giữa hai đ ờng thẳng: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đờng thẳng 1 và 2 có phơng trình: 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0 21 , cắt nhau 2 1 2 1 b b a a 21 // 2 1 2 1 2 1 c c b b a a = 21 2 1 2 1 2 1 c c b b a a == 4. Khoảng cách và góc: - Khoảng cách từ điểm M(x 0 ;y 0 ) đến đờng thẳng : ax+by+c=0 đợc tính theo công thức: 22 00 );( ba cbyax Md + ++ = http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 1 Hình học giải tích trong mặt phẳng - Cho hai đờng thẳng 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 và 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0. Góc giữa 1 và 2 đ- ợc xác định bởi công thức: 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 21 . );cos( baba bbaa ++ + = II. Các dạng toán, ví dụ và bài tập áp dụng: Dạng 1: áp dụng công thức sách giáo khoa. Ví dụ 1: Viết phơng trình của đờng thẳng d trong các trờng hợp sau đây: a, Đi qua M(3;2) và nhận )2;2(=n làm vectơ pháp tuyến. b, Cắt trục 0x tại A(-1;0) và 0y tại B(0;5). c, Đi qua M(1;1) và có hệ số góc là k=2. Ví dụ 2: Viết phơng trình tham số của đờng thẳng trong các trờng hợp sau: a, Đi qua M(-1;4) và nhận )1;0(=u làm vectơ chỉ phơng. b, Đi qua M(3;2) và nhận )2;2(=n làm vectơ pháp tuyến. c, Đi qua hai điểm M(-1;-5) và N(3;2). Ví dụ 3: Xét vị trí tơng đối của các cặp đờng thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng: a, 1 : 2x-5y+3=0 và 2 : 5x+2y-3=0 b, 1 : x-3y+4=0 và 2 : 0,5x-1,5y+4=0 c, 1 : 10x+2y-3=0 và 2 : 5x+y-1,5=0 Ví dụ 4: Tìm khoảng cách từ một điểm đến đờng thẳng trong các trờng hợp sau: a, A(3;5) và d: 4x+3y+1=0 b, B(1;-2) và n: 3x-4y-26=0 c, C(1;2) và m: 3x+4y-11=0 Ví dụ 5: Tìm số đo của góc giữa hai đờng thẳng d 1 : 4x-2y+6=0 và đờng thẳng d 2 : x-3y+1=0. Ví dụ 6: (Dựa vào chú ý) Viết phơng trình đờng thẳng d biết rằng: a, Đi qua A(-1;2) và song song với đờng thẳng : 5x+1=0. b, Đi qua B(7;-5) và vuông góc với đờng thẳng: x+3y-6=0. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có: A(-1;2), B(2;-4), C(1;0). a, Viết phơng trình đờng cao của tam giác ABC ứng với đỉnh A. b, Viết phơng trình đờng trung tuyến của tam giác ứng với đỉnh A. c, Tính các đờng cao của tam giác ABC. d, Tính các góc của tam giác ABC. e, Tính các cạnh của tam giác ABC. f, Tính S của tam giác ABC theo công thức: ( ) 2 2 2 2 1 CABACABAS ABC = Bài tập: Câu 1: Cho tam giác ABC có: A(3;-4), B(-2;5), C(1;6). a, Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC. b, Viết phơng trình đờng cao của tam giác ABC ứng với đỉnh A. c, Viết phơng trình đờng trung tuyến của tam giác ứng với đỉnh A. d, Tính các đờng cao của tam giác ABC. e, Tính các góc của tam giác ABC. f, Tính các cạnh của tam giác ABC. g, Tính S của tam giác ABC theo công thức: ( ) 2 2 2 2 1 CABACABAS ABC = Câu 2: Cho tam giác ABC có phơng trình các đờng thẳng AB, BC, CA là: AB: 2x-3y-1=0 BC: x+3y+7=0 CA: 5x-2y+1=0 http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 2 Hình học giải tích trong mặt phẳng Viết phơng trình đờng cao kẻ từ đỉnh B. Câu 3: Cho điểm A(-5;2) và đờng thẳng d: 2 3 1 2 + = yx . Hãy viết phơng trình đ- ờng thẳng: a, Đi qua A và song song với d. b, Đi qua A và vuông góc với d. Câu 4: Xét vị trí tơng đối của các cặp đờng thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng: a, 1 : x-3y+2=0 và 2 : -x+2y-5=0 b, 1 : += = ty tx 5 24 và 2 : = += '34 '68 ty tx c, 1 : += += ty tx 23 5 và 2 : 3 7 2 4 + = yx d, 1 : = += ty tx 1 5 và 2 : x + y- 4=0 Câu 5: Tính góc giữa hai đờng thẳng 1 và 2 trong các trờng hợp sau: a, 1 : x=5 và 2 : 2x+y-14=0 b, 1 : += += ty tx 22 13 và 2 : += = '7 '25 ty tx c, 1 : += = ty tx 34 4 và 2 : 2x+3y-1=0 Câu 6: Viết phơng trình các đờng trung trực của tam giác ABC biết M(-1;1), N(1;9), P(9;1) là các trung điểm 3 cạnh của tam giác. Câu 7: a, Cho phơng trình đờng thẳng d có dạng tham số: += = ty tx 4 23 Chuyển d về dạng chính tắc, tham số. b, Cho phơng trình đờng thẳng d có dạng tổng quát : x+y-2=0 Chuyển d về dạng chính tắc, tham số. Dạng 2: Lập phơng trình các cạnh của tam giác. 1. Các dạng cơ bản: 1.1. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết tọa độ 3 đỉnh. Ph ơng pháp: Viết dới dạng tham số hoặc chính tắc Phơng trình đờng thẳng AB: = BAu QuaA AB , BC và CA tơng tự. Nếu viết dới dạng chính tắc thì sử dụng công thức phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt ở mục 2 phần lí thuyết. 1.2. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết tọa độ trung điểm các cạnh AB, BC, CA lần lợt là M, N, P. Ph ơng pháp: Viết dới dạng tham số. Phơng trình AB: = NMu QuaP AB , BC và CA tơng tự. 1.3. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B và hai đờng cao xuất phát từ hai đỉnh A và C lần lợt có phơng trình là: d 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 và d 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0 Ph ơng pháp: http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 3 A B C P N M B d 2 d 1 Hình học giải tích trong mặt phẳng Phơng trình đờng thẳng AB: == );( 22 2 banu QuaB dAB Phơng trình đờng thẳng BC: == );( 11 1 banu QuaB dBC Tìm điểm A=d 1 AB, điểm C=d 2 BC, viết phơng trình đờng thẳng AC đi qua hai điểm A và C vừa tìm đợc. 1.4. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B, đờng cao và đ- ờng trung tuyến ứng với cạnh A có phơng trình tơng ứng là: d 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 và d 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0 Ph ơng pháp: Phơng trình đờng thẳng BC: == );( 11 1 banu QuaB dBC Tìm điểm A=d 1 d 2 suy ra phơng trình đờng thẳng AB đi qua hai điểm A và B. Gọi M là trung điểm của BC thì M=BCd 2 , từ đó suy ra tọa độ điểm C và ph- ơng trình đờng thẳng AC đi qua hai điểm A và C. 1.5. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B và hai trung tuyến xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 và d 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0 Ph ơng pháp: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì G=d 1 d 2 . Gọi B là điểm đối xứng của B qua G suy ra tọa độ đỉnh B. Ta có: 2 1 //' //' dAB dCB nên suy ra: Phơng trình đờng thẳng BC: == );( ' 11' 1 bann QuaB dCB và C=d 2 BC Tơng tự lập đợc phơng trình đờng thẳng AB và A=d 1 AB. Lập phơng trình đ- ờng thẳng AB, BC, CA khi biết A, B, C. 1.6. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B và đờng phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 và d 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0 Ph ơng pháp: Gọi B và B lần lợt là điểm đối xứng của B qua d 2 và d 1 . Suy ra B và B đều thuộc AC hay phơng trình đờng thẳng AC qua hai điểm B và B. 1.7. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B, đờng cao và phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 và d 2 : a 2 x+b 2 y+c 2 =0 Ph ơng pháp: Phơng trình đờng thẳng BC: == );( 11 1 banu QuaB dBC Tìm điểm C=d 2 AB. Gọi B là điểm đối xứng của B qua d 2 . Phơng trình đờng thẳng AC chính là phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm B và C. Tìm điểm A=d 1 AC. Từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB đi qua A và B. 2. Các ví dụ: Ví dụ: Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết: a, Tọa độ 3 đỉnh lần lợt là A(2;3), B(-4;5), C(-1;-6). b, Tọa độ trung điểm 3 cạnh AB, BC, CA lần lợt là M(-1;-1), N(1;9), P(9;1). http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 4 A C A B C d 1 d 2 B C A d 1 d 2 G B B A C d 1 d 2 Hình học giải tích trong mặt phẳng c, Đỉnh B(-4;-5) và hai đờng cao xuất phát từ hai đỉnh A và C lần lợt có phơng trình là: d 1 : 5x+3y-4=0 và d 2 : 3x+8y+13=0 d, Đỉnh B(4;-1), đờng cao và đờng trung tuyến ứng với cạnh A có phơng trình t- ơng ứng là: d 1 : 2x-3y+12=0 và d 2 : 2x+3y=0 e, Đỉnh B(1;3) và hai trung tuyến xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : x-2y+1=0 và d 2 : y-1=0 f, Đỉnh B(2;-1) và đờng phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : 2x-y+1=0 và d 2 : x+y+3=0 g, Đỉnh B(1;-3), đờng cao và phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : 3x-4y+27=0 và d 2 : x+2y-5=0 3. Bài tập: Câu 1: Cho tam giác ABC với A(-3;4), B(2;-5), C(1;7) a, Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC. b, Viết phơng trình đờng cao, đờng trung tuyến xuất phát từ A. c, Viết phơng trình các đờng trung trực của tam giác ABC. Câu 2: Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết tọa độ trung điểm 3 cạnh AB, BC, CA lần lợt là M(2;-3), N(4;1, P(-3;5). Câu 3: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh B(2;2) và hai đờng cao xuất phát từ hai đỉnh A và C lần lợt có phơng trình là: d 1 : x+y-2=0 và d 2 : 9x-3y+4=0 Câu 4: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh B(3;-5), đờng cao và đờng trung tuyến ứng với cạnh A có phơng trình tơng ứng là: d 1 : 5x+4y-1=0 và d 2 : 8x+y-7=0 Câu 5: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh B(3;1) và hai trung tuyến xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : 2x-y-1=0 và d 2 : x-1=0 Câu 6: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh B(3;2) và đờng phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : 4x-2y+3=0 và d 2 : 5x-y+1=0 Câu 7: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh đỉnh B(-4;5), đờng cao và phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là: d 1 : 2x+3y-2=0 và d 2 : 3x-2y+15=0 Câu 8: Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB là: x+y-9=0, các đờng cao qua đỉnh A và B lần lợt là: d 1 : x+2y-13=0 và d 2 : 7x+5y-49=0 Lập phơng trình các cạnh còn lại và đờng cao thứ 3. Câu 9: Phơng trình hai cạnh của một tam giác là: 3x-y+24=0 và 3x+4y-96=0. Viết phơng trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm H(0;32/3). Câu 10: Cho đờng thẳng d có phơng trình: 3x+4y-12=0. a, Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lợt với trục 0x, 0y. b, Tính toạ độ hình chiếu H của gốc 0 trên đờng thẳng d. c, Viết phơng trình đờng thẳng d 1 đối xứng với d qua 0. Câu 11: Cho đờng thẳng d: 2x-3y+3=0 và điểm M(4;-11). a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và song song với d. b, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vuông góc với d. Gọi hình chiếu của M trên d là H, hãy tính toạ độ điểm H. c, Xác định toạ độ của điểm M 1 đối xứng với M qua d. Câu 12: Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm của cạnh BC. Cạnh AB, AC có phơng trình: x-2y-2=0 và 2x+5y+3=0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 5 Hình học giải tích trong mặt phẳng Câu 13: Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh BC là: 2 3 1 1 = yx , phơng trình các đờng trung tuyến BM, CN lần lợt là: 3x+y-7=0 và x+y-5=0. Viết phơng trình các cạnh AB, AC. Câu 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC, Phơng trình đ- ờng thẳng chứa cạnh AB là:y=2x, phơng trình đờng thẳng chứa cạnh AC là: y=- 0,25x+2,25, trọng tâm G của tam giác có toạ độ G(8/3;7/3). Tính diện tích của tam giác ABC. Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại C. Biết A(-2;0), B(2;0) và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến trục hoành bằng 1/3. Tính diện tích tam giác ABC. Dạng 3: Tìm điểm liên quan đến đờng thẳng 1. Các dạng cơ bản: 1.1. Xác định hình chiếu vuông góc I của điểm M trên đờng thẳng d. Ph ơng pháp: +, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vuông góc với d : = d nu QuaM +, Gọi I là hình chiếu của M trên d thì I=d 1.2. Xác định điểm M đối xứng với điểm M qua d. Ph ơng pháp: +, Xác định hình chiếu vuông góc I của M trên đờng thẳng d. +, Gọi M là điểm đối xứng của điểm M qua d thì I là trung điểm của MM Từ đó suy ra tọa độ điểm M. 1.3. Cho hai điểm A, B cho trớc. Xác định điểm C thuộc đờng thẳng d d: ax+by+c=0 sao cho: ABC là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông. Ph ơng pháp: Đối với dạng bài toán này chúng ta phải biểu diễn điểm C thuộc d theo ẩn t (có thể đặt x=t hoặc y=t cho phù hợp), sau đó sử dụng các tính chất của tam giác theo yêu cầu của đề bài để tìm t rồi suy ra tọa độ điểm C. Cụ thể là: +, Tam giác ABC cân: = = = ABCA CABC BCAB +, Tam giác ABC đều: = = ACAB BCAB +, Tam giác ABC vuông tại C: 0. =CBCA 1.4. Tìm điểm thuộc đờng thẳng thỏa mãn các điều kiện liên quan đến trọng tâm và diện tích tam giác. Ph ơng pháp: Trớc hết ta phải biểu diễn tọa độ của điểm cần tìm theo 1 ẩn t (có thể đặt x=t hoặc y=t cho phù hợp). Sau đó sử dụng các công thức có liên quan đến trong tâm và diện tích tam giác sau đây để suy luận bài toán. +, Gọi G(x G ;y G ) là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: ++ = ++ = 3 3 CBA G CBA G yyy y xxx x +, Công thức tính diện tích tam giác ABC thờng sử dụng là: http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 6 Hình học giải tích trong mặt phẳng ( ) 2 2 2 2 1 CABACABAS ABC = 1.5. Tìm trên đờng thẳng d: ax+by+c=0 điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) không thuộc d là nhỏ nhất. Ph ơng pháp: Trớc hết tính tích sau: t A .t B =(ax A +by A +c).(ax B +by B +c) +, Trờng hợp 1: Nếu t A .t B <0, tức là A, B ngợc hớng so với d. Viết phơng trình đờng thẳng AB. Gọi M=ABd, suy ra tọa độ M. MA+MBAB MA+MB min A, M, B thẳng hàngMM. +, Trờng hợp 2: Nếu t A .t B >0, tức là A, B ngợc hớng so với d. Gọi A là điểm đối xứng với A qua d, suy ra tọa độ A. Viết phơng trình đờng thẳng AB. Gọi M=A 1 Bd, suy ra tọa độ M. Nhận xét: MA+MB=MA+MBAB MA+MB min A, M, B thẳng hàng MM. 1.6. Tìm trên đờng thẳng d: ax+by+c=0 điểm M sao cho: /MA-MB/ lớn nhất biết A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) không thuộc d. Ph ơng pháp: Vì Md nên M biểu diễn theo d với ẩn t Tính độ dài: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 MBMBMAMA yyxxyyxxMBMA ++= Trong mỗi căn thức, ghép ẩn t lại thành hằng đẳng thức, còn lại là số hạng tự do, cụ thể là: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 batbatMBMA ++= Xét các điểm: A 1 (a 1 ;b 1 ), B 1 (a 2 ;b 2 ), M 1 (t;0). Khi đó: 1111 BMAMMBMA = Vì M 1 nằm trên trục hoành và A 1 , B 1 nằm về cùng một phía của 0x nên MBMA max 1111 BMAM max M 1 =A 1 B 1 0x M 1 M. 2. Các ví dụ: Ví dụ1: Cho hai đờng thẳng d: += = ty tx 1 2 và d: = = ' '2 ty tx Viết phơng trình đờng thẳng đối xứng với d qua d. Ví dụ 2: Cho hai điểm A(-1;2), B(3;1) và đờng thẳng d: += += ty tx 2 1 . Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho: a, Tam giác ABC cân. b, Tam giác ABC đều. c, Tam giác ABC vuông tại C. Ví dụ 3: Diện tích tam giác ABC là S=3/2. Hai đỉnh A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G của tam giác thuộc đờng thẳng d: 3x-y-8=0. Tìm toạ độ đỉnh C. Ví dụ 4: Cho A(1;0), B(-2;4), C(-1;4), D(3;5) và đờng thẳng d: 3x-y-5=0. Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho S MAB =S MCD . Ví dụ 5: Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đờng thẳng d: 2x-y-1=0 a, Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho MP+MQ nhỏ nhất. b, Tìm toạ độ điểm N trên d sao cho NQNP lớn nhất. 3. Bài tập: Câu 1: Cho hai đờng thẳng có phơng trình d 1 : x-3y+6=0 và d 2 : 2x-y-3=0. Lập phơng trình đờng thẳng d đối xứng với d 2 qua d 1 . Câu 2: Cho điểm A(8;6). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích S=12. http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 7 Hình học giải tích trong mặt phẳng Câu 3: Cho tam giác ABC có B(2;-1), C(1;2), G là trọng tâm của tam giác. G nằm trên đờng thẳng d: x+y-2=0 và S ABC =1/2. Tìm A. Câu 4: Cho tam giác ABC với A(-1;0), B(4;0), C(0;m), m0. Tìm G theo m, xác định m để tam giác GAB vuông tại G. Câu 5: Trong tam giác cân ABC, cạnh đáy BC có phơng trình: x+3y+1=0. Cạnh bên AB có phơng trình: x-y+5=0, đờng thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M(4;- 1). Tìm đỉnh C. Câu 6: Trong mặt phẳng 0xy cho tam giác ABC với A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Xác định toạ độ điểm D thuộc BC sao cho: S ABD =1/3S ABC . Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn 0xy cho hai điểm A(-1;3), B(1;1) và đờng thẳng d có phơng trình: y=2x. a, Xác định điểm C trên d sao cho tam giác ABC đều. b, Xác định điểm C trên d sao cho tam giác ABC cân. c, Xác định điểm C trên d sao cho tam giác ABC vuông tai C. Câu 8: Tìm trên trục tung điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A và B là nhỏ nhất trong các trờng hợp sau: a, A(1;1) và B(-2;-4). b, A(1;1) và B(3;-3). Câu 9: Tìm trên đờng thẳng d: x+y=0 điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A và B là nhỏ nhất trong các trờng hợp sau: a, A(1;1) và B(-2;-4). b, A(1;1) và B(3;-2). Câu 10: Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm cạnh BC, cạnh AB, AC có phơng trình lần lợt là: x-2y-2=0 và 2x+5y+3=0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọc độ trực chuẩn 0xy cho hai điểm A(3;1) và B(-1;2) và đờng thẳng d có phơng trình là: x-2y+1=0. a, Hãy tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC cân. b, Hãy tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC đều. c, Hãy tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC vuông tại C. Câu 12: Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho điểm A(3;1). a, Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất. b, Viết phơng trình hai đờng chéo và tâm của hình vuông. Câu 13: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(2;-1) và hợp với đờng thẳng d: 5x-2y+3=0 một góc bằng 45 0 . Câu 14: Cho 3 điểm A(1;-2), B(5;4), C(2;0). Viết phơng trình đờng phân giác trong góc A. Câu 15: Cho hai đờng thẳng d: x-3y+10=0 và d: 2x+y-8=0 và điểm Q(0;1). Viết phơng trình đờng thẳng qua Q và cắt d, d tại hai điểm phân biệt A, B nhận Q làm trung điểm. Câu 16: Cho 3 đờng thẳng d 1 , d 2 , d 3 có phơng trình là: d 1 : 2x+y+3=0 d 2 : 3x-2y-1=0 d 3 : 7x-y+8=0 Tìm Pd 1 ; Qd 2 sao cho d 3 là đờng trung trực của PQ. Dạng 4: Lập phơng trình đờng thẳng liên quan đến khoảng cách và góc. 1. Các dạng cơ bản: 1.1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm A(x A ;y A ) và hợp với đờng thẳng d: ax+by+c=0 cho trớc một góc bằng 0 . Ph ơng pháp: Gọi phơng trình đờng thẳng đi qua A(x A ;y A ) và có hệ số góc k có dạng: y-y A =k(x-x A ) y=k(x-x A )+y A http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 8 Hình học giải tích trong mặt phẳng Do đờng thẳng này tạo với đờng thẳng d một góc bằng 0 nên theo công thức tính góc ta có: 2222 0 1. cos kba bak ++ = Từ đó tính ra k và suy ra phơng trình đờng thẳng cần tìm. 1.2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm A(x A ;y A ) và có khoảng cách đến một điểm B(x B ;y B ) cho trớc một khoảng bằng m. Ph ơng pháp: Gọi phơng trình đờng thẳng đi qua A(x A ;y A ) và có hệ số góc k có dạng: y-y A =k(x-x A ) y=k(x-x A )+y A Do đờng thẳng này có khoảng cách đến đờng thẳng d cho trớc là m nên theo công thức tính khoảng cách ta có: 2 1 k ykxykx m AABB + + = Từ đó tính ra k và suy ra phơng trình đờng thẳng cần tìm. 1.3. Viết phơng trình đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC biết toạ độ các đỉnh A(x A ;y A ), B(x B ;y B ), C(x C ;y C ). Ph ơng pháp: Bài toán viết phơng trình đờng phân giác trong của một tam giác là bài toán thờng gặp bởi nó liên quan đến việc tìm tâm và bán kính đờng tròn nội tiếp trong tam giác. Có hai cách làm nh sau: Cách 1: Gọi D là chân đờng phân giác góc A trên cạnh đối diện BC. Theo định lý về tính chất tia phân giác (hình học 8), ta có: AC AB DC DB = Nh vậy điểm D là điểm chia trong đoạn BC theo tỉ số k AC AB = áp dụng công thức: 1; 1 ; 1 = = k k kyy y k kxx x CB D CB D Suy ra toạ độ D. Phơng trình đờng phân giác góc A đi qua hai điểm A và D. Cách 2: +, Viết phơng trình cạnh AB và AC. +, Viết phơng trình hai đờng phân giác của các góc tạo bởi hai đờng thẳng AB, AC (Đã có ở chú ý phía sau) +, Thế các toạ độ của B, C vào trong các phơng trình của các đờng phân giác nói trên. +, Phân giác trong có phơng trình mà khi thế các toạ độ của B, C vào ta đ- ợc kết quả là hai số trái dấu nhau. Chú ý: Cho hai đờng thẳng cắt nhau 1 và 2 có phơng trình: a 1 x+b 1 y+c 1 =0 và a 2 x+b 2 y+c 2 =0. Phơng trình của 2 đờng phân giác của các góc hợp bởi 1 và 2 là: 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 ba cybxa ba cybxa + ++ = + ++ 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(2;1) và tạo với đờng thẳng d: 2x+2y+1=0 một góc bằng 45 0 . Ví dụ 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P(1;-2) và cách điểm Q(- 1;1) một đoạn bằng 5 5 . http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 9 Hình học giải tích trong mặt phẳng Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, 3 cạnh nằm trên 3 đờng thẳng: AB: 2x-y+9=0; BC: 2x+y-5=0; CA: x+2y+2=0 a, Viết phơng trình đờng phân giác trong của góc A. b, Tìm tâm và bán kính đờng tròn nội tiếp trong tam giác. Ví dụ 4: Cho hình vuông có đỉnh A(-4;5) và một đờng chéo nằm trên đờng thẳng có phơng trình: 7x-y+8=0. Lập phơng trình các cạnh và đờng chéo thứ hai của hình vuông. Ví dụ 5: Trong hệ trục toạ độ 0xy cho hình chữ nhật ABCD, tâm I(4;5), đờng thẳng chứa cạnh AD đi qua 0, cạnh AB có phơng trình: 2x-y-5=0. Viết phơng trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật. Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết toạ độ A(1;0), B(2;0) và giao điểm I của hai đờng chéo AC và BD nằm trên đờng thẳng y=x. Hãy tìm toạ độ các đỉnh C và D. 3. Bài tập: Câu 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(2;-1) và tạo với đờng thẳng d: 5x-2y+3=0 một góc bằng 45 0 . Câu 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P(2;5) và cách điểm Q(5;1) một đoạn bằng 3. Câu 3: Cho tam giác ABC biết: - Phơng trình đờng thẳng chứa cạnh AB: x-2y+4=0. - Phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao AH: 4x-3y-4=0 - Phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến BN: x-7y+1=0 a, Xác định hình dạng của tam giác. b, Viết phơng trình đờng phân giác trong của góc C. c, Tìm tâm đờng tròn nội tiếp trong tam giác. Câu 4: Cho tam giác ABC, biết đỉnh A(-1;3). Cạnh BC nằm trên đờng thẳng: 4x+7y-1=0. Đờng cao BK nằm trên đờng thẳng: 3x-4y+27=0. a, Viết phơng trình các cạnh của tam giác. b, Viết phơng trình phân giác trong của góc A. Câu 5: Cho d 1 : 2x+y-1=0 và d 2 : x-y=0. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết Ad 2 , Cd 1 và B, D trên 0x. Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x-2y-1=0, đờng chéo BD: x-7y+14=0 và đờng chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Phần II: Đờng tròn I. Kiến thức cơ bản: 1. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng tròn: Phơng trình tổng quát của đờng tròn tâm I(a;b), bán kính R là: (C): 2 2 2 ( ) ( )x a y b R + = R (1) Biến đổi từ dạng (1) ta có phơng trình: (C): 2 2 2 2 0x y ax by c+ + = (2) với a 2 +b 2 - c >0 Trong dạng (2), bán kính R của đờng tròn là: 2 2 R a b c= + Khi đó, dạng (2) cũng đợc gọi là phơng trình tổng quát của đờng tròn. 2. Vị trí t ơng đối: a, Vị trí tơng đối của một điểm đối với một đờng tròn: Cho đờng tròn (C): 2 2 2 2 0x y ax by c+ + = và điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) - Nếu 2 2 0 0 2 2 0x y ax by c+ + = thì M 0 nằm trên đờng tròn. - Nếu 2 2 0 0 2 2 0x y ax by c+ + < thì M 0 nằm trong đờng tròn. - Nếu 2 2 0 0 2 2 0x y ax by c+ + > thì M 0 nằm ngoài đờng tròn. b, Vị trí tơng đối của đờng thẳng với đờng tròn: Cho đờng tròn (C): 2 2 2 2 0x y ax by c+ + = và điểm một đờng thẳng . http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 10 [...]... đờng phân giác trong của góc A của ABC b, Tính S tam giác, xác định tâm và bán kính đờng tròn nội tiếp ABC Câu 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(13/5;13/5) phơng trình các đờng thẳng AB và AC lần lợt là : 4x-y-3=0, x+y-7=0 viết phơng trình đờng thẳng chứa cạnh BC Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các đờng thẳng d1: x+y+3=0, d2: x-y-4=0, d3 : x-2y=0 Tìm toạ độ điểm M nằm... gốc toạ độ sao cho đờng thẳng (d) tạo với (d1) và (d2) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2) Tính diện tích tam giác cân đó Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1;-1), B(-2;1), C (3;5) a, Tính diện tích ABC b, Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB bằng 600 c, Hãy tìm tất cả các điểm P trên trục Oy sao cho góc APC bằng 450 Câu 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy... http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 15 Hình học giải tích trong mặt phẳng Câu 4: Cho hypebol (H), biết: - (H) đi qua điểm P( 3 34 ; 9 ) 5 5 - Hai bán kính qua tiêu điểm MF1; MF2 vuông góc với nhau a, Tìm tiêu cự, tiêu điểm của hypebol b, Viết phơng trình chính tắc của (H) trong hệ tọa độ Oxy http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 16 Hình học giải tích trong mặt phẳng Dạng 2: Bài toán liên quan đến... trên đờng thẳng x+y-2=0 Hãy tìm toạ độ điểm C biết rằng diện tích của tam giác ABC bằng 2/3 Câu 12: Cho tam giác ABC với A(1;5), B(-4-5), C(4;-1) Tìm toạ độ trực tâm và tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 13: Trong mp với toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d): 3x-4y+1=0 Lập phơng trình đờng thẳng song song với (d) và cách (d) một khoảng bằng 1 Câu 14: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai đờng thẳng d1: 2x-3y+1=0,... - Nếu phơng trình đờng thẳng có vectơ pháp tuyến là n = (a; b) thì sẽ có vectơ chỉ phơng là u = (b; a) và ngợc lại - Cho hai đờng thẳng d1 và d2: +, d1 song song với d2 thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phơng +, d1 vuông góc với d2 thì pháp tuyến của d1 là chỉ phơng của d2 và ngợc lại 3 Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đờng thẳng 1 và 2 có phơng trình:... giác ABC có trọng tâm G(3;5) Lớp 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng Phần 1: Đờng thẳng I Kiến thức cơ bản: 1 Phơng trình tổng quát của đờng thẳng: - Đờng thẳng đi qua M(x0;y0) và nhận n = (a; b) làm vectơ pháp tuyến có phơng trình là: a(x-x0) + b(y-y0)=0 http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 18 Hình học giải tích trong mặt phẳng - Đờng thẳng cắt trục 0x tại A(a;0) và 0y tại... http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 17 Hình học giải tích trong mặt phẳng Bài tập tết Câu 1: ChoABC với A (2,2), B (-1,6),C (-5,3) a, viết phơng trình các cạnh ABC b, Viết phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao AH của ABC c, CMR: ABC là tam giác vuông cân Câu 2: Viết phơng trình đờng thẳng ()đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d1): 2x-y+1=0 và (d2): x-2y-3=0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau Câu 3: Lập... và (C2) không cắt nhau và lồng nhau Nếu I1I2=R1+R2 (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 12 Hình học giải tích trong mặt phẳng Nếu I1I2=|R1-R2| (C1) và (C2) tiếp xúc trong với nhau Nếu |R1-R2|< I1I2 b > 0) , trong đó: a2=b2+c2; 0 là tâm đối xứng; 0x, 0y là các trục đối xứng B2(0;-b) Trục lớn: A1A2=2a nằm trên 0x Trục bé: B1B2=2b nằm trên 0y... cách từ M đến d2 Câu 9: Trong mp với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;0), B(3;-1) và đờng thẳng (d) : x-2y-1=0 tìm điểm C thuộc (d) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6 Câu 10: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) và các cạnh AB: 4x+y+15=0, AC : 2x+5y+3=0 Tìm trên đờng cao kẻ từ đỉnh A của tam giác điểm M sao cho tam giác BMC vuông tại M Câu 11: Trên mp với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2;-1),B(1;-2) . cho tam giác ABC vuông tại C. Câu 12: Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho điểm A(3;1). a, Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất. b, Viết phơng. 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC, Phơng trình đ- ờng thẳng chứa cạnh AB là:y=2x, phơng trình đờng thẳng chứa cạnh AC là: y=- 0,25x+2,25, trọng tâm G của tam giác có toạ độ. tam giác ABC với A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Xác định toạ độ điểm D thuộc BC sao cho: S ABD =1/3S ABC . Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn 0xy cho hai điểm A(-1;3), B(1;1) và đờng