CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Phương pháp đổi biến A.Tóm tắt lý thuyết Cơng thức đổi biến số ub b    f u  x  u '  x  dx   f  u  du (1.1) u a  a Phép đổi biến u = u(x) b Gỉa sử cần tính  g  x  dx Nếu viết g  x  dạng f u  x   u '  x  theo cơng thức   a (1.1), ta có u b  b  g  x  dx  a  f  u  du u a Phép biến đổi x = x(t)  Giả sử cần tính  f  x  dx Đặt x  x  t  , t  K Chọn hai số a , b  K cho   x  a  ,    x  b  Khi đó, theo cơng thức (1.1), ta có    b f  x  dx   f  x  t   x '  t  dt   a THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN B Các dạng toán hay gặp Dạng Đổi biến số cách đưa biểu thức vào dấu vi phân  Nội dung phương pháp Trong dạng tốn này, ta lưu ý đến cơng thức sau (chúng gọi công thức đưa biểu thức vào dấu vi phân): dx 1  1  x dx   dx 1  d n 1 (đưa n vào dấu vi phân, n   , n  ); n x n 1 x x  dx  d ln x x (đưa  e x dx  de x (đưa e x vào dấu vi phân);  cos xdx  d sin x (đưa cos x vào dấu vi phân);  sin xdx   d cos x (đưa sin x vào dấu vi phân);  dx  d tan x cos x  dx   d cot x (đưa vào dấu vi phân) sin x sin x (đưa x vào dấu vi phân,   1 ); (đưa vào dấu vi phân); x vào dấu vi phân); cos x  Một số ví dụ Ví dụ Tìm họ nguyên hàm 1) I   1  3x  x dx ; 2) J   1  3x  x dx Giải 1) I   1 3  1  3x  d 1  3x    18 1  3x   C 2) J   1  1  3x  d 1  3x    54 1  3x   C Ví dụ Tìm họ nguyên hàm tính tích phân: THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN x dx ; x 1 1) I   x2 2) J   dx ; x 1 x8  x 3) K   x  2 dx Giải d  x  1 1) I    ln  x  1 2 x 1 d  x  1  x3   ln  x  1  C 2) J  3) K   x5  x3  1 x  2 3 x  x  1 dx   d  x3  2  x3  2 Đặt t  x3  Ta có x   t  , x   t  10 Do 10 10  t   t  1  2 1 K  dt   1    dt   t 32 t 32 t t  3 10 10  3ln t  2 t 10  44  ln   15 Ví dụ Tính tích phân 1) I   x x  1dx ; 2) J  x x  2dx Giải 1) I  3  3 x   d  x  1    x  1 x   45 1 2) J   x x  2dx   x  2d  x      x3   x  33 3  3   4 1 15 Ví dụ Tính tích phân THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  cos xdx ;  2sin x 1) I1    cos x dx  2sin x 2) I     2sin x dx  sin x 3) [ĐHB03] I    sin xdx  cos x 4) [ĐHB05] I    5) [ĐHA06] I   sin xdx cos x  4sin x Giải   d sin x d   2sin x  1) I1       ln  2sin x  2sin x  2sin x     ln  ln  cos x d sin x d 1  2sin x  dx      ln  2sin x  2sin x  2sin x  2sin x 2) I     cos x d 1  sin x  dx    ln 1  sin x   sin x  sin x 3) I        ln ln  sin x cos xdx cos xd cos x 4) I    2   cos x  cos x 0 Đặt t  cos x Khi x   t  1, x    t  Do  t  1  dt  1   dt  t  ln t  1   ln tdt tdt  2  2  0   t 1  t 1 t 1 t 1  0 0 1 I  2  5) Ta thấy cos x  4sin x   cos x  cos x  4    3cos x  Do 2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC  I5   PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN sin xdx   3cos x  d cos x  3cos x   d   3cos x     3cos x   3cos x   10  Ví dụ Tính tích phân ln 1) [ĐHB06] I  e ln3 e 2) J   x dx  2e  x  ln xdx x  ln x  1 ln x   Giải ln ln e x dx de x 1) Ta có I   x   2x Đặt t  e x , ta có x x e  3e  ln e  3e  ln3 x  ln  t  , x  ln  t  Do  t  1   t   dt dt dt   t  3t   t  1 t    t  1 t   I 5   t 2      dt  ln t  t  t 1  3  ln  ln e ln xd ln x Đặt t  ln x , ta có ln x  1 ln x    2) Ta có J   x   t  , x  e  t  Do tdt  t     t  1   dt t  1 t    t  1 t    1 J  1    t  1     dt  ln  t 1 t   t 2  ln  ln  Bài tập Bài Tìm họ nguyên hàm THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC 1) x6  x7  dx ; 2) x  3x  x  x3  dx 3) 10 x9  11x10  x10  x11  dx 4)  x x  2dx ; 5) x x  4dx ; 6)  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN x dx ; x 1 7)   cos x  1 sin xdx ; 8)  1  2sin x  cos xdx ; 9)  1  2sin x  10)   cos x  1 11)   cos x dx ; 12)   sin x  1 cos xdx ; sin xdx ; sin x cos xdx dx ; 13) cos3 xdx  sin x  ; 14)  2cos x  sin xdx ; 15)   2sin x cos xdx ; 16)  cos x dx ; sin x  17)  ln x  dx ; x 18)  ln x  dx ; x THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC sin x 19) e 20) e tan x  cos2 x dx ; 21) PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN cos xdx ;  e 1  2e  dx; x x e x dx 22)  23) e ex  x ;  3e x dx Bài Tính tích phân 1)  x3 x 2)   1 x5  x x  1 ĐS: dx ĐS:  3) [ĐHD09] e ln 4)  e2 5)  ln  dx dx 1 x ln  2 ĐS: ln(e  e  1)  e x dx  e x  1 e x   ĐS: ln  3ln ln x  2ln x  dx x  ln x  1 ln x   ĐS: - ln  ln  6) [ĐHA09]   cos x  1 cos xdx  7) [ĐHD05]  e sin x  cos x  cos xdx ĐS:   15 ĐS: e     8) [ĐHB05] sin x cos xdx  cos x  ĐS: ln  x tan xdx ĐS: ln   9)  sin THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  10) sin x  sin 3 x   cos 3x dx ĐS:  tan xdx 11) [ĐHA08] I   cos x ĐS:   ĐS: 76 105 ĐS:  1  tan x dx 43  13) [ĐHB08]  14)    15)    16) sin  x    dx  sin x  1  sin x  cos x  sin x  cos x dx sin x  cos x ĐS: sin x  cos x dx  sin x 3 1 2  cos x dx ĐS:  sin x 1  sin x  ĐS:  32 dx 2 1   ln ln 17)  ĐS:   sin x  cos x  3   10 ln   27  12) ln  ln THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Dạng Một số phép đổi biến thông dụng  Nội dung phương pháp Trong phần ta quan tâm đến phép đổi biến sau:  Phép đổi biến t  n f ( x) Phép đối biến sử dụng biểu thức dấu tích   phân đưa dạng Q f  x  ; n f  x  df  x  , Q hàm phân thức hữu tỷ Với phép đổi biến t  n f ( x) , biểu thức dấu tích phân trở thành Q  t n ; t  dt    Phép đối biến f  x   a sin t ( a  , t    ;  ) Phép đổi biến sử dụng  2  hàm dấu tích phân có chứa biểu thức a   f  x   Với phép đổi biến nói   a   f  x    a cos t      Phép đổi biến f  x   a tan t ( a  , t    ;  ).Phép đổi biến sử dụng  2  hàm dấu tích phân có chứa biểu thức a   f  x   Với phép đổi biến nói   a2 a2   f  x     cos2 t  Một số ví dụ Ví dụ Tính tích phân 1) I   x x  dx xdx  x 1 2) [ĐHA04] J   3) K  x xdx    x2 Giải 1 1) Ta thấy I   x x  d  x  3 20 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN x2  t   Đổi biến: t  x    2 d  x  3  dt  2tdt  Đổi cận: x   t  ; x   t  Do 2 1  I    t  3 t dt    t  3t  dt   t  t  5  3 2 2  8 2) Đổi biến: t  x   x  t   dx  2tdt Đổi cận: x   t  ; x   t  Do J  t  1  2tdt  t 1  t  1   t  1  dt t3  t  2 dt   t 1 t 1 0 1  11  1   2  t  t    dt   t  t  2t  ln t     ln t 1   0 0 3) Ta có K  d 1  x  x    x2 Đổi biến: t   x  x  t  , d 1  x   dt  2tdt Đổi cận: x   t  ; x   t  Do 2 2tdt tdt  t  1  dt K     2  t  1  2t  t  1  t  1  1      dt   ln t     ln  ln  2 t 1     t   t  1   Ví dụ Tính tích phân 1) [ĐHB02] I   16  x dx ; 2) J   1 dx  2x  x2 ; THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC 3) K  dx  x2 1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Giải 1) Đổi biến  16  x  16   sin t   cos t  cos t     x  sin t , t    ;     2 dx  d  sin t   cos tdt   Đổi cận x   4sin t   sin t   t  ; x   4sin t   sin t    t Do       I    cos t  4cos tdt   16  cos tdt   1  cos 2t  dt   t  sin 2t   2   0 0 2) Ta thấy  x  x    x  x  32   x  1 Đổi biến    x   3sin t , t    ;    2  x  x  32  32 sin t  cos t  3cos t , dx  3cos tdt Đổi cận x   t   , x 1  t  Do J   3) Ta thấy K   dx x 1 x  3cos tdt  3cos t  dt  t       Đổi biến: THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  cos t   dx  d  sin t    sin t dt 1        sin t , t    ;   x    x sin t  2     sin x  cos x  cos x  x2  Đổi cận: x  t   , x2  t Do  K       cos t dt 4 sin t   dt  dt  sin tdt   d cos t    sin t   cos t  sin t  sin t  cos t 6 sin t      1  1  cos t     d cos t  ln   cos t  cos t    cos t  ln       ln  Ví dụ Tính tích phân 1) I  dx  1 x ; 3 2) J   dx x  x 1 3) K  x 1 xdx  x 1 Giải dt    1) Đổi biến x  tan t , t    ;  suy dx  d tan t   x   tan t  Các cos t cos t  2 giá trị 3 x ứng với giá trị   I   dt  t    6   t Do  2   3       2) Ta thấy x  x    x        x     1  4        THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Đổi biến PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  1 dt    x  x    Các  x    tan t , t    ;  suy dx  2 cos t cos t 3  2 giá trị x ứng với giá trị   t Do  3   I  dt  t 36      2x 1 x  1  1  dx  3) Phân tích K   dx    dx    1 x  x   1 x  x  x  x  1   1        K1 K2   Ta có K1   1 d  x  x  1 x  x 1  ln  x  x  1 1  ln Thực phép đổi biến câu 2, ta có K2      dt    t 3  6 Do 1   ln  K   ln     2    Bài tập Bài Tính tích phân 1) x ĐS: x 3 dx x 1  x  ĐS: ln  2) 3 1 3)   x   dx x 1  xdx ĐS: 231 10 ĐS: 468 4) x 105  x dx THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 5) 15 x ĐS: 29 270 ĐS: 116 135 ĐS: 10  11 ĐS: 34 27 ĐS: 27 ĐS:  ĐS:  36 ĐS:  x8 dx  2 ĐS: 1 ĐS:  1 e 6) [ĐHB04]  3ln x ln xdx x  e 7) x  ln x 1  ln x dx  8) [ĐHA05] sin x  sin x dx  3cos x  Bài Tính tích phân 4) dx  3 2 5) x 6)  2 7)  8)   9)  3 9  x  dx x 1 dx x x 9 x dx 1 x dx 1  x  1 x dx 1 x THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 ... VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Dạng Một số phép đổi biến thông dụng  Nội dung phương pháp Trong phần ta quan tâm đến phép đổi biến sau:  Phép đổi biến t  n f ( x) Phép đối biến sử dụng...BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN B Các dạng toán hay gặp Dạng Đổi biến số cách đưa biểu thức vào dấu vi phân  Nội dung phương pháp Trong dạng tốn này, ta lưu ý đến... website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN x2  t   Đổi biến: t  x    2 d  x  3  dt  2tdt  Đổi cận: x   t  ; x   t  Do 2 1  I    t 