CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 1 CHUYÊN : TÍCH PHÂN HÀM LNG GIÁC PHNG PHÁP BIN I S TRONG TÍCH PHÂN HÀM LNG GIÁC Dng 1: Tính tích phân dng   cos .sin I f x x dx     đt cos sin t x dt dx     Bài tp gii mu: Bài 1: (HTS – 1999) Tính tích phân sau   2 2 0 sin cos 1 cos I x x x dx     Gii: Cách 1: Ta có:       2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos .sin I x x x dx x x x x dx x x x xdx               t cos sin t x dt xdx     i cn 0 1 0 2 x t t x               Khi đó     0 1 2 3 4 2 3 2 3 1 0 1 2 17 2 2 0 2 3 4 12 t t t I t t t dt t t t dt                    Cách 2:         2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 2 3 4 sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos . cos cos 2cos cos 17 2 2 3 4 12 0 I x x x dx x x x x dx x x x d x x x x                            Cách 3: t sin 1 cos cos 1 xdx dt t x x t           … bn đc t gii (cách này là d nht) Cách 4: t         3 2 2 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 co sin cos s 3 du x x x xdx u x d v d xv xdx                       Khi đó www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 2           2 2 3 3 3 0 0 4 1 2 1 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 3 3 3 0 2 1 17 1 cos 2 3 12 1 c 12 os . 3 0 x x x dx x d x I x x                    Bài 2: Tính tích phân sau 2 3 sin dx I x     Gii: Cách 1: Nhân c t và mu cho sin x ta đc 2 2 2 2 2 3 3 3 sin sin sin sin 1 cos dx xdx xdx I x x x              t cos sin t x dt xdx     i cn 0 2 1 2 3 t x t x                    Khi đó   1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 3 2 2 2 0 dt dt dt dt I dt t t t t t t t t                                Cách 2: t 2 2 1 2 tan tan 1 2 2 2 1 x x dt t dt dx dx t              2 2 1 1 2 1 . 2 sin 1 1 tdt dx dt t x t t t      i cn 3 3 3 1 2 x t x t                    www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 3 Khi đó   1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 ln ln ln3. 3 sin 3 2 3 I dx dt t x t           Cách 3: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 tan 1 2 2 ln tan ln3 sin 2 2 2sin cos 2 tan cos tan 2 2 2 2 2 3 x d dx dx dx x I dx x x x x x x                           Cách 4:          2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 cos 1 cos sin sin 1 cos sin 2 1 cos 1 cos sin 1 cos x x dx xdx xdx I d x x x x x x                              2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 cos 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos 2 1 cos 2 1 cos d x d x d x x x x x                            1 1 1 2 2 ln 1 cos ln 1 cos ln 3 2 2 2 3 3 x x           Cách 5: t 2 sin c c os o n t si u x du xdx dx v d x x v               …. Bn đc t gii nhé Bài 2: (H – A 2005) Tính tích phân sau 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x      Gii: Cách 1: Ta có:   sin 2 sin sin 2cos 1 x x x x    . t 1 3cos t x   ta đc 3sin sin 2 3 2 1 3cos 1 3cos x x dt dt dx dx x x        ; 2 2 1 2 1 cos 2cos 1 3 3 t t x x       i cn 0 2 1 2 x t t x               Khi đó www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 4 2 2 3 1 2 4 2 4 2 34 1 9 9 27 9 27 t I dt t t                   Cách 2: t 1 3cos t x   … bn đc t gii Cách 3: t   2cos 1 2sin 1 3cos 2 sin 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3cos u x du x d x x v x dv dx x x                        Khi đó       2 2 0 0 3 2 4 2 4 2cos 1 1 3cos sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos 2 3 3 3 9 0 2 8 34 1 3cos 2 3 27 27 0 I x x x xdx xd x x                     Cách 4: Phân tích           2 1 1 3cos sin 2 sin 1 2cos 1 1 3 3 . 1 3cos . 1 3cos 3 3 1 3cos 1 3cos 1 3cos 2 1 1 3cos 1 3cos 1 3cos 9 9 1 3cos x x x x dx d x d x x x x xd x d x x                      … n đây thì quá d rùi, bn đc t làm nhé Chú ý: Nu ta đt cos t x  thì tích phân ban đu tr thành tích phân hàm hu t li phi đt ln na mt công nên ta la chn cách nào là phù hp nht Tng quát:      dx xdc xbxa cos sin2sin. hoc .sin 2 s a x bcosx dx c d inx      ta đt cos c d x t   . Bài 3: (H – B 2005) Tính tích phân sau 2 0 sin 2 .cos 1 cos x x I dx x     Gii: Cách 1: Ta có 2 2 2 0 0 sin 2 .cos sin .cos 2 1 cos 1 cos x x x x I dx dx x x         t sin 1 cos cos 1 dt xdx t x x t           www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 5 i cn 1 2 2 0 t x t x               Khi đó   2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ln 2ln 2 1 12 t t I dt t dt t t t t                          Cách 2:       2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 1 cos 1 sin 2 .cos sin .cos 2 2 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 1 cos cos sin ln 1 cos 2ln 2 1 2 1 cos 2 0 x x x x x I dx dx d x x x x x x d x x x x                                            Chú ý:     cos 1 cos d x d x   và ta có th đt cos t x  Tng quát: sin 2 .cos .cos a x x I dx b c x      ta đt .cos t b c x   hoc cos t x  Bài 4: ( 68 IVa) Tính tích phân sau 3 2 0 4sin 1 cos x I dx x     Gii: Ta có        3 3 3 2 4sin 1 cos 4sin 1 cos 4sin 4sin 4sin cos 4sin 2sin 2 1 cos 1 cos 1 cos sin x x x x x x x x x x x x x x            Cách 1: Khi đó     3 2 2 0 0 4sin 4sin 2sin 2 cos2 4cos 2 2 1 cos 0 x I I dx x x dx x x x              Cách 2:     3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4sin 4sin 4sin cos 4 sin 4 cos cos 4cos 2cos 2 2 2 1 cos 0 0 x I dx x x x dx xdx xd x x x x                     Cách 3:   2 3 2 2 0 0 4 1 cos sin 4sin 1 cos 1 cos x x x I dx dx x x          t sin 1 cos cos 1 dt xdx t x x t           www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 6 i cn 1 2 2 0 t x t x               Khi đó       2 1 2 2 2 1 4 1 1 2 4 8 2 8 2 1 t I dt t dt t t t                  Chú ý: Có th đt cos t x  Cách 4: t 2 2 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dt dx x t t x t t x t                  Chú ý: Nu ta phân tích theo hng sau 3 4sin 4sin (1 cos )(1 cos ) 4sin 2sin 2 1 cos 1 cos x x x x x x x x        … li có my cách khác, bn đc t làm và khám phá nhé! Tng t 3 2 0 4cos 2 1 sin x I dx x      Bài 5: Tính tích phân sau 12 0 tan 4 I xdx    Gii: Cách 1: Ta có: 12 12 0 0 sin 4 tan 4 cos 4 x xdx dx x      t cos 4 4sin 4 sin 4 4 dt t x dt xdx xdx        i cn 0 1 1 12 2 x t x t                 Khi đó 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 ln ln 2. 1 cos 4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t x t t              Cách 2: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 7   12 12 12 0 0 0 cos 4 sin 4 1 1 1 tan 4 ln cos4 ln 2 12 cos 4 4 cos 4 4 4 0 d x x I xdx dx x x x               Bài 6: Tính tích phân sau 3 2 4 cos 1 sin x I dx x      Gii:     2 3 2 2 2 2 2 4 4 4 4 1 sin cos cos cos cos 1 sin cos 1 sin 1 sin 1 sin x x x I dx xdx xdx x xdx x x x                      n đây ta đt 1 sin t x   Hoc   2 2 2 4 4 4 1 1 3 2 2 2 cos cos sin cos sin 2 sin sin 2 2 4 4 4 I x x x dx xdx xdx x x                          Bài tp t gii có hng dn: Bài 1: (HTL – 2000) Tính tích phân: 2 2 2 0 3sin 4cos 3 ln3 6 3sin 4cos x x I dx x x         HD: Tách làm hai tích phân 2 2 2 2 2 2 0 0 sin cos 3 4 3sin 4cos 3sin 4cos x x I dx dx x x x x         kt hp vi công thc 2 2 sin cos 1 x x   ta s đc kt qu Cách khác: S dng tích phân liên kt là 2 2 2 0 3cos 4sin 3sin 4cos x x J dx x x      Bài 2: (DBH – A 2005) Tính tích phân sau 3 2 0 3 sin .tan ln 2 8 I x xdx      HD: Ta có   2 2 sin sin .tan 1 cos cos x x x x x   và đt cos t x  Bài 3: (HQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau 2 0 sin3 1 3ln 2 1 cos x I dx x        HD: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 8 Ta có   2 3 2 2 2 0 0 0 sin 4 cos 1 sin3 3sin 4sin 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x I dx dx dx x x x               và đt 1 cos t x   Bài 4: (HQGHN – A 1997) Tính tích phân sau 3 2 2 0 sin 1 2 1 cos x I dx x        HD: Ta có 3 2 2 2 sin 1 cos sin 1 cos 1 cos x x x x x     và đt cos t x  Bài 5: Tính tích phân sau 2 2 2 0 sin ln 2 sin 2cos .cos 2 x I dx x x x      HD: Ta có   2 2 2 sin 2cos .cos sin cos 1 cos 1 cos 2 x x x x x x x       và đt 1 cos t x   Bài 6: (HNN  – B 1998) Tính tích phân: 2 0 cos 2 1 1 cos 2 x I dx x        Bài 7: Tính tích phân: 3 6 0 sin3 sin 3 1 1 ln 2 1 cos3 6 3 x x I dx x         HD: Phân tích   3 2 sin 3 sin 3 sin 3 1 sin 3 sin 3 .cos3 x x x x x x     và đt 1 cos3 t x   Bài 8: (HDB – 2004) Tính tích phân sau: 2 cos 0 sin 2 2 x I e xdx     HD: S dng công thc nhân đôi sin 2 2sin cos x x x  và đt cos t x  Bài 9: (HDB – 2005) Tính tích phân sau:   1 4 sin 2 0 tan cos ln 2 1 x I x e x dx e        HD: Tách ra thành tng hai tích phân đn gin Bài 10: (H – D 2005) Tính tích phân sau:   2 sin 0 cos cos 1 4 x I e x xdx e         HD: Tách ra thành tng hai tích phân đn gin Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: 2 2 0 sin 2 4 cos x I dx x     www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 9 Bài 12: Tính tích phân sau: 3 0 2sin 2 sin 6cos 2 x x I dx x      HD: t 6cos 2 t x   hoc 6cos 2 t x   Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau:   2 3 4 4 4 4 0 0 1 cos sin 4sin 4 1 cos 1 cos x x x I dx dx x x          HD: t cos t x  Bài 14: Tính tích phân sau: 2 2 0 cos 4 1 cos x I dx x       HD: Phân tích 2 2 1 cos 2 sin x x    t đó đt sin t x  Bài 15: Tính tích phân sau 2 2 0 sin 4 3 2 6ln 4 1 cos x I dx x       HD: Phân tích 2 sin 4 2sin 2 cos2 1 cos2 1 cos 1 2 x x x x x     và đt 3 cos 2 t x   hoc cos 2 t x  Dng 2: Tính tích phân dng   sin .cos b a I f x xdx   đt sin cos u x du xdx     tính tích phân dng .sin 2 .sin .cos a x b x dx c d x    ta đi bin bng cách đt .cos t c d x   Bài tp gii mu: Bài 1: (H – B 2003) Tính tích phân sau 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x I dx x      Gii: Cách 1: Ta có 2 4 4 0 0 1 2sin cos2 1 sin 2 1 sin 2 x x I dx dx x x          t 1 sin 2 cos2 2 dt x t xdx     www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 10 i cn 2 4 1 0 t x t x               Khi đó 2 1 2 1 1 1 ln ln 2 1 2 2 2 dt I t t     Hoc đt sin 2 x t  Cách 2:       ' 4 4 4 0 0 0 1 sin 2 cos 2 1 1 (1 sin 2 ) 1 1 ln 1 sin2 ln 2 4 1 sin 2 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2 0 x x d x I dx dx x x x x                   Cách 3: Bin đi     2 1 – 2sin cos sin cos – sin x x x x x   và   2 1 sin 2 cos sin x x x      2 4 4 4 0 0 0 cos sin 1 2sin cos sin 1 ln cos sin ln 2 4 1 sin 2 cos sin cos sin 2 0 d x x x x x I dx dx x x x x x x x                    Hoc đt sin cos t x x   Bài 2: Tính tích phân sau    3 0 2 2cos2 cos  dx x x I Gii: t sin cos t x dt xdx    i cn 0 0 3 3 2 t x x t                 Khi đó        2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 23 2cos2 cos t dt t dt dx x x I  t 3 3 cos sin 2 2 t u dt udu     i cn 0 2 3 2 4 t u t u                    Khi đó www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... 1998) Tính tích phân sau I 1 cos 2 x 0 dx 4 HD: Phân tích 1 cos2 x 1 1 sin 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x ho t 2 sin 2 x t 2 Bài 5 cos 2 x sin 4 x cos 4 x dx – 1998) Tính tích phân: I 0 0 HD: Phân tích sin 4 x cos 4 x 1 1 2 sin 2 x 2 t sin 2 x 2 Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I 0 sin 2 x dx 4 cos 2 x ln 4 3 sin x cos 3 x dx 2 0 1 cos x 2 – 1997) Tính tích phân sau: I 6 – 1997) Tính tích phân sau:... Tính tích phân sau I 1 sin x x e dx 1 cos x 0 2 2 2 x 1 cos xdx Bài 23: Tính tích phân sau I 0 e2 4 Bài 24: Tính tích phân sau I x 1 cos x dx 0 2 1 2 4 2 8 1 2 1 Bài 25: Tính tích phân sau a I 0 sin x 1 cos 2 x 4 b I cos x tan(sin x) dx 4 0 sinx cos 3 x x 2 sin 3 x dx 2 Bài 26: (HVKHQS – 1999) Tính tích phân sau I cos x.ln 1 cos x dx 0 2 1 TÍCH PHÂN LIÊN K sin 6 x dx 6 cos 6 x 0 sin x 2 – 2000) Tính tích. .. www.MATHVN.com 2 2 x 2 cos x dx – D 2007) Tính tích phân sau I 0 2 4 3 2 Bài 5: ( e3 x sin 5 xdx – 2005) Tính tích phân sau I K 3.e 2 5 34 0 1 e x sin 2 – 2000) Tính tích phân sau I 2 x dx 1 4 0 HD: H e 1 2 às 4 2 x 2cos 2 x 1 dx – 1998) Tính tích phân sau: I Bài 8 0 2 Bài 8: 3 2e 13 e 2 x sin 3 x.dx – B 1998) Tính tích phân sau: I 0 Bài 9: Tính các tích phân sau: 1 x tan 2 xdx a (HVKTMM – 2000) I tan1... Tính tích phân sau I Bài 10 HD: Phân tích cos 2 x sin 2 x cos 2 x 1 2 cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x 4 sin 2 x cos 2 x 4 76 105 1 tan 8 x dx Bài 11: Tính tích phân sau I 0 HD: Phân tích 1 tan 8 x tan 8 x tan 6 x Tính tích phân I D Ho I f cot x f cot x 1 cot 2 x dx tan 6 tan 4 x 1 dx sin 2 x u u cot x du tan 4 x tan 2 x cot x du tan 2 x 1 1 dx sin 2 x 1 dx sin 2 x Bài t 2 Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích. .. 3cot x 1 ho t 3cot x 1 4 Bài 3: Tính tích phân sau: I 1 2 sin x cot x dx 6 HD: t cot x www.MATHVN.com 25 Giáo viên: Nguy ành Long 3 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com 1 dx sin x 9 cos 2 x Bài 6: Tính tích phân sau: I 2 3 HD: Phân tích sin 2 x 9cos 2 x 9cot 2 x 1 sin 2 x 2 Bài 7: Tính tích phân sau: I ecot x dx sin 2 x t e 1 t cot x cot x 4 D ng 6: Tính tích phân d u sin x cos x Ho I I du f sin... Bài 1: Tính tích phân sau I sin x cos x 3 sin x cos x dx 3 HD: t 3 sin x cos x ho t www.MATHVN.com sin x cos x ho bi 27 Giáo viên: Nguy ành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com 3 cos x sin x – 1999) Tính tích phân sau I 3 sin 2 x dx arcsin 3 1 4 4 HD: Phân tích 3 sin 2 x 4 sin x cos x 2 Bài 3: Tính tích phân sau I 2 t sin x cos x 1 sin 2 x dx sin x cos x 1 ln 2 2 4 HD: Phân tích 1 sin... 2001) Tính tích phân sau I cos 2 x 10 3 1 tan 2 x 1 tan 2 x 6 HD: Bi tan x 1 ln 2 2 1 tan 2 x cos 2 x cos 2 x s d Ho t tan 4 x dx cos 2 x 6 – A 2008) Tính tích phân sau I Bài 3 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com tan x cos x 1 cos 2 x 5 dx 3 4 HD: Phân tích cos x 1 cos 2 x Ho t cos x cos 2 x 1 1 cos 2 x cos 2 x tan 2 x 2 t tan 2 x 2 tan x 2 – 1999) Tính tích phân sau I HD: Phân tích 1 sin... 1 2 4 2 2 Bài 10 2 x 1 cos 2 xdx – D 2005) Tính tích phân sau: I 8 0 4 Bài 11: – A 2003) Tính tích phân sau: I x dx 1 cos 2 x 0 Bài 12: ( – D 1999) Tính tích phân sau: I x 2 sin 2 xdx 4 1 ln 2 4 8 2 1 2 4 0 3 Bài 13 – A 2001) Tính tích phân sau: I x sin x dx cos 2 x 4 3 ln 2 2 3 3 3 e x (sin x cos x 1) dx (1 cos x) 2 0 4 Bài 14: (BCVT – 1998) Tính tích phân sau: I HD: e x (sin x cos x 1) dx (1 cos x)2... cos 6 x 0 sin x – 2001) Tính tích phân sau I 4 ln 2 3 6 HD: sin 4 x sin x cos6 x Phân tích 14 30 I Ho 2sin 2 x cos 2 x 3 2 1 sin 2 x 4 6 1 1 3 2 sin 2 x 4 3 2 sin 2 x 4 d 1 4 Bài 2: Tính tích phân sau: I 0 HD: t t sin 2 x ho t 3 2 sin 2 x 4 1 1 3 2 ln 1 sin 2 x 4 3 4 0 4 ln 2 3 e tan x dx cos 2 x tan x 3 8 Tính tích phân sau: I 3 8 dx sin x cos 2 x 2 8 3 8 Cách 2: Phân tích I 4 1 cos 2 x 1 dx sin 2... Tính tích phân sau: I Gmail: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com v 2 e x dx 1 1 cos x sin 2 x ln tan x dx cos 4 x 4 HD: 3 I sin 2 x ln tan x dx cos 4 x tan 2 x ln tan x dx cos 2 x 3 4 4 tan x h t e tan x sin x dx cos3 x 0 4 Bài 16: Tính tích phân sau: I tan x e tan x tan x dx cos 2 x 0 4 t 2 e2 x sin 3 xdx Bài 17: (NN I – B 1998) Tính tích phân sau: I 0 3 2e 13 2 x 2 1 sin xdx - 1997) Tính tích phân .            Khi đó www. MATHVN. com www. MATHVN. com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail .com D: 01694 013 498 2 . 3 3 3 1 2 x t x t                    www. MATHVN. com www. MATHVN. com Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail .com D: 01694 013 498 3 Khi