CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Mục lục Loại 1. Phương pháp lũy thừa 2 A. Nội dung phương pháp 2 B. Một số ví dụ 3 C. Bài tập 8 D. Đáp số 9 Loại 2. Phương pháp ẩn phụ 11 A. Nội dung phương pháp 11 B. Một số ví dụ 11 C. Bài tập 17 D. Đáp số 18 Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích 19 A. Nội dung phương pháp 19 B. Một số ví dụ 19 C. Bài tập 21 D. Đáp số 21 Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt 22 A. Một số ví dụ 22 B. Bài tập 24 C. Đáp số 24 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 Loại 1. Phương pháp lũy thừa A. Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là một số tình huống tiêu biểu: 1. Lũy thừa hai vế phương trình vô tỷ      f x g x         0g x f x g x       ;      f x g x         2 0g x f x g x       . 2. Lũy thừa hai vế bất phương trình vô tỷ      f x g x         0g x f x g x       ;      f x g x         0g x f x g x       .      f x g x             2 0 0 0 g x f x g x f x g x                   .      f x g x             2 0 0 0 g x f x g x f x g x                   .      f x g x           2 0 0 g x f x f x g x        . BI GING ễN THI VO I HC PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH Vễ T THS. PHM HNG PHONG GV TRNG H XY DNG D: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 f x g x 2 0 0 g x f x f x g x . B. Mt s vớ d Vớ d 1. Gii phng trỡnh: 3 2 5 2 1 x x x . 1 Gii Ta cú 1 2 3 2 5 2 1 2 1 0 x x x x 3 2 4 2 4 0 2 1 2 x x x x . 2 2 2 2 2 x x x 2 1 3 1 3 thoỷa maừn loaùi thoỷa maừn x x x . Vy tp nghim ca 1 l 1;1 3 . Vớ d 2. [HD06] Gii phng trỡnh: 2 2 1 3 1 0 x x x . 1 Gii Ta cú 1 2 2 1 3 1 x x x 2 2 2 1 3 1 3 1 0 x x x x x . 2 3 3 2 3 1 0 x x 3 5 3 5 2 2 x . 4 2 4 3 2 6 11 8 2 0 x x x x 2 2 1 4 2 0 x x x 1 4 2 2 4 2 2 4 thoỷa maừn thoỷa maừn khoõng thoỷa maừn x x x . Tp nghim ca 1 l 1;2 2 . Vớ d 3. Gii phng trỡnh 4 1 1 2 x x x . 1 Gii BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 ĐK: 4 0 1 0 1 2 0 x x x             1 4 2 x    . Ta có   1  4 1 2 1 x x x      . Bình phương hai vế phương trình trên ta được phương trình tương đương 2 4 2 3 2 2 3 1 x x x x        2 2 3 1 2 1 x x x      2 2 2 3 1 4 4 1 2 1 0 x x x x x            2 2 7 0 2 1 0 x x x         0 7 2 1 2 x x x                 0 7 2 x x       . Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 0 x  . Ví dụ 4. Giải phương trình 1 1 x x x x    .   1 Giải ĐK: 1 0 0 x x x          2 1 0 0 x x x          1 x  . Bình phương hai vế phương trình   1 , ta được phương trình hệ quả 1 1 2 x x x x      1 1 x   1 x  . Thử lại, ta thấy 1 x  là nghiệm của   1 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1 x  . Ví dụ 5. Giải phương trình 3 3 3 1 2 2 3 x x x      .   1 Giải Lập phương hai vế của phương trình   1 , ta thu được phương trình tương đương      3 3 3 2 3 3 1 2 1 2 2 3 x x x x x x                3 3 3 1 2 1 2 0 x x x x       BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5     3 3 3 1 2 0 1 2 0 x x x x               3 3 1 2 1 2 2 x x x x            . Lại có   2    1 2 x x      3 2 x  . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 3 1;2; 2       . Ví dụ 6. [ĐHA05] Giải phương trình 5 1 1 2 4 x x x      .   1 Giải ĐK: 5 1 0 1 0 2 4 0 x x x             2 x  . Ta có:   1  5 1 2 4 1 x x x       2 5 1 3 5 2 2 6 4 x x x x        2 2 6 4 2 x x x     (do 2 x   2 0 x   )  2 2 2 6 4 4 4 x x x x       2 10 0 x x    0 10 x   Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của   1 là   2;10 . Ví dụ 7. [ĐHA04] Giải bất phương trình   2 2 16 7 3 3 3 x x x x x        .   1 Giải ĐK: 2 16 0 3 0 x x         4 x  . Ta có   1    2 2 16 3 7 x x x         2 2 16 10 2 x x       2 2 10 2 0 10 2 0 2 16 100 40 4 x x x x x                    2 5 5 20 66 0 x x x x              BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6  5 5 10 34 10 34 x x x                  10 34 x   (thỏa mãn). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là   10 34;   . Ví dụ 8. Giải phương trình:   2 3 6 5 2 4 x x x x        .   1 Giải ĐK: 6 x  . Ta có   1    2 2 3 3 2 2 9 18 3 3 2 2 20 x x x x x x            2 2 2 9 18 2 20 x x x x      2 x  (loại). Vậy   1 vô nghiệm. Ví dụ 9. Giải phương trình: 7 4 1 5 6 2 2 3 x x x x        .   1 Giải ĐK: 3 2 x  . Ta có   1    7 2 2 3 5 6 4 1 x x x x         2 2 9 5 4 2 11 21 9 5 2 20 19 6 x x x x x x           2 2 2 2 11 21 20 19 6 x x x x           2 2 4 2 11 21 20 19 6 x x x x       2 12 63 78 0 x x     2 4 21 26 0 x x     2 13 4 x x       . Thử lại ta thấy chỉ 13 4 x  là nghiệm của   1 . Vậy   1 có nghiệm duy nhất 13 4 x  . Nhận xét: +) Hai phương trình:     f x g x  và     2 2 f x g x  nói chung là không tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại. +) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được 9 5 x  ở hai vế. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Ví dụ 10. Biện luận số nghiệm của phương trình 3 1 x x m x      .   1 Giải Ta có   1  3 2 2 1 1 0 x x m x x x               3 2 1 2 1 x x x m x            . Do đó số nghiệm của   1 bằng số nghiệm thỏa mãn 1 x  của   2 nên bằng số điểm chung của đường thẳng 1 y m    với đồ thị hàm số   3 2 f x x x x    ( 1 x  ). Ta có   2 ' 3 2 1 f x x x    .   ' 0 f x   1 1 3 x x        . Kết luận: +) 1 1 m     2 m   :   1 vô nghiệm; +) 25 1 7 m      18 7 m  :   1 có 1 nghiệm; +) 25 1 7 1 1 m m             18 7 2 m m        :   1 có 2 nghiệm; +) 25 1 1 7 m       18 2 7 m    :   1 có 3 nghiệm. Ví dụ 11. [ĐHB06] Tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 1 x mx x     .   1 Giải Ta có   1    2 2 2 2 1 2 1 0 x mx x x                 2 3 4 1 0 2 1 2 x m x x            .   2 là phương trình bậc hai có   2 4 12 0 m m          2 luôn có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x . Theo định lý Vi-ét thì 1 2 1 2 4 3 1 3 m x x x x             .   3 1 - 25 7 1 -∞ + + - 0 0 f x( ) f ' x( ) x -∞ 1 1 3 -1 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8   1 có hai nghiệm phân biệt    2 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 2   1 2 1 2 1 2 x x             1 2 1 0 2 1 0 2 x x             1 2 1 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 x x x x                                        1 2 1 2 1 1 1 0 1 1 0 2 4 x x x x x x            .   4 Thay   3 vào   4 ta thu được 4 1 0 3 1 1 4 1 0 3 2 3 4 m m                  1 0 2 9 0 m m         1 9 2 m m         9 2 m  . Vậy   1 có hai nghiệm phân biệt  9 2 m  . Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau: biến đổi   1 về dạng 2 3 4 1 1 2 x x m x x             .   1 có hai nghiệm phân biệt  y m  có hai điểm chung với đồ thị hàm số 2 3 4 1 x x y x    , 1 2 x   . C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 1) 2 2 3 x x x     ; 2) 2 2 3 1 0 x x x      ; 3) 3 3 1 2 x x x      ; 4) 3 2 6 28 5 x x x x      ; 5) 4 3 4 14 11 1 x x x x      ; 6)   4 3 2 5 12 17 7 6 1 x x x x x       ; Bài 2. Giải các phương trình sau 1) 4 1 1 3 4 x x     ; 2) 3 7 1 2 x x     ; 3) 2 2 9 7 2 x x     ; 4)   2 11 2 13 2 1 x x x      ; BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 5) 4 1 1 2 x x x      ; 6) 3 7 1 x x x      . Bài 3. Giải các phương trình sau 1) 3 3 1 2 2 2 x x x x       ; 2) 2 2 2 2 2 2 x x x x x x        ; Bài 4. Giải các phương trình sau 1) 33 3 1 1 2 x x x     ; 2) 33 3 1 3 2 x x    ; 3) 3 33 3 2 1 1 x x x     . Bài 5. Giải các bất phương trình sau 1) 9 2 4 5 x x     ; 2)   2 1 2 1 x x    ; 3) 2 2 5 4 3 x x x      ; 4) 2 2 2 3 2 4 3 2 5 4 x x x x x x         ; 5)     1 2 1 3 1 x x x     ; 6) 2 2 2 2 1 1 x x x     . Bài 6. Giải và biện luận theo m các phương trình 1) 2 1 x x m    ; 2) x m x m m     . Bài 7. [ĐHB07] Chứng minh với mọi 0 m  , phương trình   2 2 8 2 x x m x     có hai nghiệm phân biệt. Bài 8. Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau 1) 2 m x x m     ; 2) 2 x m x    . D. Đáp số Bài 1 1) 1 ; 2) 3  ; 3) 1  ; 4) 1 , 1 13 2   . 5) 2  , 1 ; 6) 2 3   ; Bài 3 1) 1 ; 2) vô nghiệm. Bài 4 1) 0 , 1  ; 2) 1 , 3 ; 3) 0 , 1 , 3 1 2 ; Bài 5 1) 0 x  . 2) 1 x   hoặc 1 3 x   . 3) 14 1 5 x  . 4) 1 x  hoặc 4 x  . 5) 1 2 x   . 6) 1 0 2 x    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Bài 6 1) 1 m   hoặc 0 1 m   : vô nghiệm; 1 0 m    hoặc 1 m  : 2 1 2 m x m    . 2) 0 m  hoặc 0 2 m   : vô nghiệm; 0 m  : 0 x  ; 2 m  : 2 4 4 m x   . Bài 8 1) 1 m   : 1 x m    ; 1 m   : x m  hoặc 2 1 m x m       . 2) 9 2 4 m   : x m  ; 9 4 m  : 9 5 4 2 x   ; 2 m  : 2 x  . [...]... DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích A Nội dung phương pháp Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số... GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Loại 2 Phương pháp ẩn phụ A Nội dung phương pháp Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau: +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa...  0  x 1 Ta thấy cả 2 giá trị 0 và 1 đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa Vậy tập nghiệm của phương trình là 0;1 Ví dụ 2 [ĐHD02] Giải bất phương trình  x 2  3x  2 x 2  3 x  2  0 1 Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1  x Đk: 2 x  3 x  2  0 ...    Thay phương trình trên vào phương trình dưới của hệ trên ta có x  t  5 x  3 x  2 hoặc      xt  6 t  2 t  3 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vậy tập nghiệm của 1 là 2;3 Chú ý: Định lý Vi-ét đảo x  y  S Xét hệ   xy  P (1) và phương trình t 2 ... Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1  x  1  x  2 1  x2  4 1) 3 3) x 3  3x 2  2 5) 2) 4)  6x  0 3 x  6  x  3 6) 2 x 2  x 2  5 x  6  10 x  15  x  2 3x...  5 Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 2) 1  x 2  3x  3 x 2  3x  10  0 t  0 Đặt t  x 2  3x   2 , ta thu được phương trình x  3x  t 2  t  2 t 2  3t  10  0    t  5   thoûa maõn   loaïi  THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC  PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ x  1 x 2  3 x ...  x2  x  1  0  x x 2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1  5    Vậy tập nghiệm của phương trình là    2    Ví dụ 3 Giải các phương trình 1) 2 x  x  1  x  2 x 2  x  1 2) x 2  2 x  x  3  2 x x  3  9 1 1 Giải t  1  1) Đặt t  x  1  x   2 2... violet.vn/phphong84 14 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Thay t  0 vào  2  ta có x 2  2 x  1  0  x 2  2 x  1  0  x  1  2 Thay t  2 1  x  vào  2  ta có x 2  2 x  1  2 1  x  2 1  x   0    2 2 x  2x 1  4 x  8x  4  x  1 x  1 5  10    2   5  10  x  3 3x  10 x  5 x   3  5  10    Vậy tập nghiệm của phương trình là 1  2;  3...    Ví dụ 6 Giải phương trình x 3 35  x 3 x  3 35  x 3  30 1 Giải Đặt t  3 35  x3 ta có t 3  35  x 3  x 3  t 3  35  2 Thay t  3 35  x3 vào 1 , ta có xt  x  t   30  3 Ta có hệ gồm hai phương trình  2  và  3 :  x  t 3  3 xt  x  t   35  x 3  t 3  35      xt  x  t   30  xt  x  t   30    Thay phương trình dưới vào phương trình trên của hệ trên... HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Loại 4 Một số phương pháp đặc biệt A Một số ví dụ Ví dụ 1 [ĐHD05] Giải phương trình 2 x  2  2 x  1  x  1  4 1 Giải Đk: x  1  0  x  1  2 2  x  1  1  x  1  1  x  1  1 2  x  1  1  x  1  4  x  1  2  x  1  4 x  2  2 x 1  Ta có Do đo 1   x  3 (thõa mãn  2  ) Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  3 Ví dụ 2 Giải phương trình . tích A. Nội dung phương pháp Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích. Nhân. THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19 Loại 3. Phương trình và bất phương trình. violet.vn/phphong84 2 Loại 1. Phương pháp lũy thừa A. Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau