CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU V CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Phương trình mặt cầu A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình       2 2 2 2 0 0 0 x x x x x x R       , với 0 R  , là phương trình chính tắc của mặt cầu tâm   0 0 0 I x ; ; y z , bán kính R . * Phương trình 2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d        , với điều kiện 2 2 2 a b c d    , là phương trình tổng quát của mặt cầu tâm   ; ; I a b c , bán kính 2 2 2 R a b c d     . B. Các dạng toán hay gặp Dạng 1. Lập phương trình mặt cầu  Nguyên tắc chung Để lập phương trình mặt cầu ta có hai phương pháp sau. Phương pháp 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. Phương pháp 2: Xác định các hằng số a , b , c , d trong phương trình tổng quát.  Một số ví dụ Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu   S có tâm là điểm   1;1;1 I và tiếp xúc với mặt phẳng   : 10 0 P x y z     . Giải Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng   P nên bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng   P , tức là     7 , 3 R d I P  . Vậy         2 2 2 49 : 1 1 1 3 S x y z      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 Ví dụ 2. Cho   0; 3;0 A  ,   4;0;0 B ,   0;3;0 C ,   4;0;4 D . Viết phương trình mặt cầu   S có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng   BCD . Giải Ta có   4;3;0 BC   ,   0;0;4 BD  .   BCD là mặt phẳng đi qua điểm   4;0;0 B và có véc-tơ pháp tuyến là   , 12;16;0 n BC BD          . Lại có véc-tơ n  cùng phương với véc-tơ   ' 3;4;0 n  . Do đó     :3 4 4 0 P x y    , hay   :3 4 12 0 P x y    . Bán kính R của mặt cầu chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng   BCD . Do đó     12 , 5 R d A BCD  . Vậy     2 2 2 3 25 144 : x y zS     . Ví dụ 3. Cho bốn điểm   1;2;2 A ,   1;2; 1 B   ,   1;6; 1 C  và   1;6;2 D  . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . ĐS:     2 2 2 1 2 29 4 4 x y z     . Ví dụ 4. [D04] Cho ba điểm   2;0;1 A ,   1;0;0 B ,   1;1;1 C và mặt phẳng   : 2 0 P x y z     . Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A , B , C và có tâm thuộc mặt phẳng   P . ĐS:     2 2 2 1 1 1 x y z      . Ví dụ 5. [D08] Cho bốn điểm   3;3;0 A ,   3;0;3 B ,   0;3;3 C và   3;3;3 D . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Đáp số: 2 2 2 3 3 3 27 2 2 2 4 x y z                         . Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , biết các đỉnh   S 3;2;4 ,   A 1;2;3 ,   C 3;0;3 . Gọi H là tâm hình vuông ABCD . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 Dạng 2. Sự tương giao của mặt cầu và mặt phẳng Ví dụ 7. Cho   :16 15 12 75 0 P x y z     . 1) Lập phương trình mặt cầu   S có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng   P . 2) Hãy tìm tọa độ tiếp điểm H của   P với   S . Ví dụ 8. Cho mặt cầu   2 2 2 : 4 S x y z    và mặt phẳng   : 2 P x z   . Chứng minh rằng mặt phẳng   P cắt mặt cầu   S . Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn   C là giao tuyến giữa   P và   S . Ví dụ 9. Cho mặt cầu         2 2 2 : 1 1 1 9 S x y z       và họ mặt phẳng   2 : 2 2 3 0 m P x y z m m      ( m là tham số). 1) Cho 2 m  . Chứng minh rằng mặt phẳng   2 P tiếp xúc với   S . Tìm tọa độ tiếp điểm. 2) Xác định m để   m P cắt   S theo một đường tròn có bán kính 2 2 r  . Ví dụ 10. Cho các đường thẳng 1 1 2 3 : 1 2 3 x y z d      , 2 1 2 3 : 1 1 1 x y z d      và mặt cầu     2 2 2 : 1 1 S x y z     . Lập phương trình mặt phẳng   P tiếp xúc với mặt cầu   S biết rằng   P song song với cả hai đường thẳng 1 d và 2 d . Ví dụ 11. Cho đường thẳng 1 2 3 : 2 1 2 x y z d      và các mặt phẳng   1 6 :2 0 P x y z     ,   2 : 2 2 1 0 P x y z     . Lập phương trình mặt cầu   S có tâm nằm trên d và tiếp xúc với hai mặt phẳng   1 P ,   2 P . Ví dụ 12. Hỏi tương tự bài 11 với đường thẳng 1 1 1 : 2 2 1 x y z d       và các mặt phẳng   1 6 :2 0 P x y z     ,   2 : 2 2 0 P x y z     . Ví dụ 13. Hãy viết phương trình mặt phẳng: 1) Tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2 : 2 4 6 2 0 S x y z x y z        và song song với mặt phẳng   P : 4x 3y 12z 1 0     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 2) Chứa 2 1 0 : 1 0 x y d x y z           và tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2 : 2 4 6 2 0 S x y z x y z        . Tìm toạ độ tiếp điểm. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 Dạng 3. Sự tương giao của mặt cầu và đường thẳng Ví dụ 14. Cho đường thẳng 5 4 3 20 0 : 3 4 8 0 x y z x y z             và điểm   2;3; 1 I  . 1) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  . 2) Viết phương trình mặt cầu   S tâm I và cắt đường thẳng  tại hai điểm phân biệt A , B sao cho 8 AB  . Ví dụ 15. Cho mặt cầu   2 2 2 : 2 6 4 13 0 S x y z x y z        . Viết phương trình đường thẳng d qua O , nằm trong mặt phẳng   P : x y z 0    và tiếp xúc với   S . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Dạng 4. Bài tập tổng hợp Ví dụ 16. [B07] Cho mặt cầu   2 2 2 : 2 4 2 3 0 S x y z x y z        và mặt phẳng   :2 2 14 0 P x y z     . 1) Viết phương trình mặt phẳng   Q chứa trục Ox và cắt   S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 . 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu   S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng   P lớn nhất. Đáp số: 1)   : 2 0 Q y z   . 2)   1; 1; 3 M    . Ví dụ 17. Cho mặt phẳng   : 2 2 5 0 P x y z     và điểm   1;2; 1 I  . 1) Lập phương trình mặt cầu   S tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu   S và mặt phẳng   P là đường tròn có chu vi bằng 8  . 2) Chứng minh rằng mặt cầu   S nói trên tiếp xúc với đường thẳng :2 2 3 x y z      . 3) Lập phương trình mặt phẳng đi qua  và tiếp xúc mặt cầu   C . Ví dụ 18. Cho mặt phẳng   P : x y z 1 0     và đường thẳng 1 1 1 1 : y x z d     . 1) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD , biết A , B , C là giao điểm tương ứng của   P với các trục Ox , Oy , Oz , D là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Oxy . 2) Viết phương trình mặt cầu   S qua các điểm A , B , C , D . 3) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu   S với mặt phẳng   ACD . Ví dụ 19. Cho hai mặt cầu:   2 2 2 1 : 2 4 1 0 S x y z x z       ,   2 2 2 2 : 2 3 0 S x y z x      . 1) Chứng minh rằng   1 S có giao với   2 S . 2) Lập phương trình mặt cầu qua giao tuyến của   1 S và   2 S đồng thời qua điểm   M 3;0;0 . . ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Phương trình mặt cầu A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình . trình tổng quát của mặt cầu tâm   ; ; I a b c , bán kính 2 2 2 R a b c d     . B. Các dạng toán hay gặp Dạng 1. Lập phương trình mặt cầu  Nguyên tắc chung Để lập phương trình mặt. Viết phương trình mặt cầu   S có tâm là điểm   1;1;1 I và tiếp xúc với mặt phẳng   : 10 0 P x y z     . Giải Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng   P nên bán kính R của mặt cầu