CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNG
Trang 1
Phương trình đường thẳng
MỤC LỤC Loại 1 Các dạng phương trình đường thẳng 2 Loại 2 Các bài toán về tam giác 14
Trang 2Loại 1 Các dạng phương trình đường thẳng
A Tóm tắt lý thuyết
1 Phương trình tổng quát
* Định nghĩa: Phương trình: : ax by c 0, với a 2 b 2 0 là PTTQ của đường thẳng
nhận n a;b
làm vectơ pháp tuyến
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng:
+) : ax c 0, (a 0) song song hoặc trùng với Oy
+) : by , ( c 0 b 0) song song hoặc trùng với Ox
+) : ax by 0, (a 2 b 2 0) đi qua gốc tọa độ
+) PTĐT dạng đoạn chắn:
qua A a;0 và B 0;b (ab 0) +) PTĐT dạng hệ số góc: : y kx m , (k được gọi là hệ số góc của )
* Chú ý:
+) Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu
k 0 đặt M Ox, gọi Mt là nửa đường thẳng ở phía trên Ox Khi đó
k tan xMt (Hình 1)
+) Điều kiện để PTĐT có thể quy được về dạng hệ số góc: PTĐT ax by có c 0
thể đưa được về dạng hệ số góc nếu
b 0 Như vậy, đường thẳng có phương thẳng đứng (b 0) không có dạng hệ số góc
M
y
x O
t
Hình 1
2 Phương trình tham số và phương trình chính tắc
* Phương trình tham số: Hệ 0
0
, (a 2 b 2 0) là PTTS của đường thẳng qua
x ;y 0 0 và nhận u a;b
làm véc-tơ chỉ phương, với t là tham số
Trang 3* Chú ý:
+) Ý nghĩa của PTTS: - Thay mỗi t vào PTTS, ta được một điểm M x; y
- Điểm M x; y thì cĩ một số t sao cho x , y thỏa mãn hệ +) Một đường thẳng luơn cĩ vơ số PTTS
* Phương trình chính tắc: x x 0 y y 0
(ab 0 ) là PTCT của đường thẳng qua
0 0 0
M x ;y và nhận u a;b
là một vectơ chỉ phương
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: Xét A x ;y A A, B x ;y B B
đường thẳng AB cĩ PTCT là A A
AB :
+) x A x B AB : x x A
+) y A y B AB : y y A
3 Một số bài tốn cơ bản
Bài tốn 1 Viết PTĐT biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng
0 0
qua M x ;y
n a;b
: a x x 0 b y y 0 0
Bài tốn 2 Viết PTĐT biết vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng
0 0
qua M x ;y
/ u a;b /
0 0
qua M x ;y
n b; a
: b x x 0 a y y 0 0
Bài tốn 3 Viết PTĐT đi qua một điểm và song song với một đường thẳng
qua M x ;y 0 0
/ / ' : ax by c 0
0 0
qua M x ;y
n a;b
: a x x 0 b y y 0 0, (M )
Bài tốn 4 Viết PTĐT đi qua một điểm và vuơng gĩc với một đường thẳng
0 0
qua M x ;y
' : ax by c 0
0 0
qua M x ;y
n b; a
: b x x 0 a y y 0 0
Bài tốn 5 Viết PTĐT đi qua một điểm và cĩ hệ số gĩc cho trước
0 0
qua M x ;y
có hệ số óc : y k x x 0 y 0
Trang 4Bài toán 6 Viết PTĐT đi qua hai điểm
Đường thẳng đi qua hai điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ AB
làm vectơ chỉ phương (Bài toán 2)
Bài toán 7 Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
Quy về Bài toán 1: trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của
đoạn thẳng này và nhận AB
làm vectơ pháp tuyến
Bài toán 8 Viết PTĐT đi qua một điểm và tạo với Ox góc cho trước
đi qua M x ;y 0 0 và tạo với Ox góc ( 0 o 90 o) : y k x x 0 y 0
Bài toán 9 Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng
Giả sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng , ta làm như sau
* Lập phương trình đường thẳng ' qua M, vuông góc với (Bài toán 4)
* H là hình chiếu vuông góc của M lên H '
Bài toán 10 Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng
Giả sử cần tìm điểm M ' đối xứng với điểm M qua đường thẳng , ta làm như sau
* Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (Bài toán 9)
* M ' đối xứng với M qua ' M ' đối xứng với M qua H
Trang 5B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Đưa các PTĐT sau đây về dạng tổng quát
1) : x 2
2) x y
2 3
3) : y 1 2 x 7
4) x 1 y 2
Giải
1) : x 2 : x 2 0
2) x y
2 3
: 3x 2y 6 0
2
: x 2y 14 0
4) x 1 y 2
: 5x 7y 19 0
5) : x 1 2t
x 1 y 2
: 5x 2y 9 0
6) : x 1 2t
: y 2 : y 2 0
Ví dụ 2 Lập PTĐT trong các trường hợp sau
1) qua M 2; 1 và nhận n 3; 1
làm vectơ pháp tuyến
2) qua 1
2
M ;3 và nhận u 2;0
làm vectơ chỉ phương
3) qua M 1;4 và song song với đường thẳng ' : x 2y 12 0
4) qua 3
4
M 1; và vuông góc với đường thẳng ' : x 3y 12 0
5) qua M 1;4 và có hệ số góc bằng 5
6) đi qua hai điểm A 2;4 và B 2; 1
7) đi qua hai điểm A 3;0 và B 0; 1
8) là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A 1;7 và B 2; 4
9) qua 2
3
M 3; và tạo với Ox góc 30 o
Giải
Trang 61)
qua M 2; 1
n 3; 1
: 3 x 2 1 y 1 0 : 3x y 7 0
1 2
/ /u 2;0
1 2
n 0;1
2
: y 3 0
3) qua M 1;4
/ / ' : x 2y 12 0
n
qua M 1;4 1; 2
: 1 x 1 2 y 4 0
: x 2y 7 0
4
qua M 1;
' : x 3y 12 0
3 4
qua 1;
n 3;1
M
4
4
có hệ số óc
qua M 1;4
: y 5 x 1 4 : y 5x 1
6) Ta thấy x A x B 2 : x 2
7) đi qua hai điểm A 3;0 và B 0; 1
AB
qua A 3;0 / / 3; 1
AB
qua A 3;0
1; 3
: 1 x 3 3 y 0 0
: x 3y 3 0
Trang 78) I là trung điểm AB
x A x B 1
y A y B 3
x y
1 3
2 2
I ;
là trung trực của đoạn thẳng AB
3 1
2 2
qua I ;
AB 3; 11
: 3x 11y 15 0
9) đi qua 2
3
M 3; và tạo với Ox góc 30
3 1 3
: y k x 3
3 3
3 3
3 3
3 3
Ví dụ 3 Lập phương trình các cạnh của ABC biết M 2; 3 , 1
2
N ;0 , P 7;4 lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của tam giác
Giải
2
AB qua M 2; 3
AB / /NP ;4 / / 13; 8
AB qua M 2; 3
AB : 8 x 2 13 y 3 0
AB : 8x 13y 10 0
1 2
BC qua N ;0
BC / /PM 9; 7
1 2
BC qua N ;0
BC / /PM 7;9
2
BC : 7 x 9 y 0 0
2
BC : 7x 9y 0
Trang 8
2
CA qua P 7;4
CA / /MN ;3 / / 5; 6
CA qua P 7;4
CA : 6 x 7 5 x 4 0
CA : 6x 5y 22 0
Ví dụ 4 Cho : x 1 2t
1) Tìm điểm M sao cho MA 5 với A 1; 5
2) Điểm N 2;7 có thuộc không?
Giải
1) M tọa độ M có dạng M 1 2t; 1 t
Ta có MA 2t 2;t 4
MA 2t 2 t 4 5t 20
Do đó
MA 5 MA 2 25 5t 2 20 25 t 2 1 0 t 1
M 3; 2
2) Ta có 2 1 2t
3 2
t
t Vậy N
Ví dụ 5 Cho A 1;2 và B 3;7 Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : y x sao cho 4
1) ABC vuông tại C 2) ABC cân tại C
Giải
1) C d tọa độ C có dạng C c;c 4
CACB c 1 c 3 c 2 c 3 2c 3c 3 2c 2 3c 9
Do đó ABC vuông tại C CACB 0
2c 2 3c 9 0 3
2
c 3 c
3 5
2 2
C 3;7
2) Ta có CA 2 c 1 2 c 22 2c 2 6c , 5 CB 2 2 c 32 2c 2 12c 18
Trang 9Do đó ABC cân tại C CA CB CA 2 CB 2 2c 2 6c 5 2c 2 12c 18
18
c 13 85
18 18
Ví dụ 6 Cho hai đường thẳng 1 x 2 y
:
và 2 : x 2 2t
y t
Hãy tìm điểm A và 1
1
B sao cho đoạn thẳng AB nhận 13
2
I ;1 làm trung điểm
Giải
1
có PTTS là: x 2 3s
(s là tham số)
1
A , B tọa độ của 1 A, B có dạng A 2 3s; s , B 2 2t;t
AB nhận I là trung điểm
x A x B
I 2
y A y B
I 2
x y
s t
s 1
t 3
A 5; 1
B 8; 3
Chú ý: Trong một bài toán, nếu đồng thời sử dụng PTTS của nhiều hơn một đường thẳng thì ký
hiệu tham số của các đường thẳng khác nhau bắt buộc phải khác nhau Trong Ví dụ 6, hai tham
số của hai đường thẳng và 1 lần lượt là s và 2 t
Ví dụ 7 Cho hai đường thẳng 1 : mx y m 2 và 1 0 2 : 2 m x my 2 0 Biện luận theo m vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nói trên
Giải
Xét hệ gồm hai phương trình và 1 : 1
2
1
Ta có 1
2
2
2
3 x
Trang 10y
Do đó
* D 0 m 1
: Hệ có nghiệm duy nhất hai đường thẳng cắt nhau
* m 1 D D x D y 0 : Hệ có vô số nghiệm hai đường thẳng trùng nhau
* m 2
x
: Hệ có vô nghiệm hai đường thẳng song song
Trang 11C Bài tập
Bài 1 Viết phương trình tổng quát của
1) Đường thẳng Ox
2) Đường thẳng Oy
3) Đường thẳng đi qua M x ;y 0 0 và song song với Ox
4) Đường thẳng đi qua M x ;y 0 0 và song song với Oy
5) Đường thẳng OM với M x ;y 0 0 khác O
Bài 2 Lập phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau
1) qua M 1;2 và nhận n 1;3
làm vectơ pháp tuyến
2) qua 1
3
M 3; và nhận u 0; 1
làm vectơ chỉ phương
3) qua M 4;1 và song song với đường thẳng ' : 2x y 12 0
4) qua 3
4
M ;2 và vuông góc với đường thẳng ' : x 2y 12 0
5) qua M 1;4 và có hệ số góc bằng 5
6) đi qua hai điểm A 2;4 và B 2; 1
7) đi qua hai điểm A 3;0 và B 0; 1
8) là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A 1;7 và B 2; 4
9) qua 2
3
M 3; và tạo với Ox góc 30 o
Bài 3 Tìm tọa độ điểm A trong các trường hợp sau
1) A là giao điểm của các đường thẳng : 3x 4y 3 0 và ' : 10x 4y 10 0
2) A là giao điểm của các đường thẳng : x 2y 5 0 và ' : 4x 5y 14 0
3) A là hình chiếu vuông góc của B 3; 1 lên đường thẳng : x 3y 4 0
4) A đối xứng với B 1; 2 qua đường thẳng : x 2y 0
Bài 4 Viết phương trình các cạnh của ABC biết trung điểm của các cạnh là M 2;1 ,
N 5;3 , P 3; 4
Trang 12Bài 5 Cho A 3;5 và B 2;3 Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : x 3y 10 sao cho 0
ABC
cân tại C
Bài 6 [ĐH11B11Chuẩn] Cho : x và d : 2x y 4 0 Tìm tọa độ điểm y 2 0 N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng tại điểm M thỏa mãn
OM.ON 8
Bài 7 Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác cân ABC biết B 3; 2, C 5;2 và A nằm trên
đường thẳng d : x 2y 7 0
ĐS: A 1;4
Bài 8 Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng
1) d : 2x 1 5y 3 0 và d : 5x 2 2y 3 0
2) d : x 1 3y 4 0 và d : 0, 5x 1, 5y 2 4 0
3) d : 10x 1 2y 3 và 0 d : 5x 2 y 1, 5 0
Bài 9 Biện luận theo m vị trí tương đối của cặp đường thẳng
1
d : mx y 2 , 0 d : x 1 my m 1 0
Trang 14Loại 2 Các bài toán về tam giác
A Tóm tắt lý thuyết
Cho ABC Ta có
Trực tâm tam giác là giao điểm của ba đường cao
Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến
Cách xác định tọa độ trọng tâm theo tọa độ các đỉnh:
G là trọng tâm ABC
x A x B x C
y A y B y C
x y
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực
T là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC IA IB IC Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn tâm T, bán kính R IA IB IC
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong
I là tâm đường tròn nội tiếp ABC I nằm phía trong tam giác và
d I, AB d I, BC d I, CA Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn tâm I, bán kính r d I, AB d I, BC d I, CA
Trang 15B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho ABC có A 2; 5, B 0;7 , C 1;2
1) Hãy lập phương trình các cạnh, các đường cao, trung tuyến, trung trực của tam giác
2) Hãy xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
Ví dụ 2 Cho ABC có A 1; 2 Đường cao kẻ B, C có phương trình lần lượt là
1
d : 3x 5y 11 0, d : x 2 3y 7 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác
Giải
2
AB qua A 1; 2
AB qua A 1; 2
AB : 3 x 1 y 2 AB : 3x y 5 0
1
AC qua A 1; 2
: 3
AC
AC qua A 1; 2
5;3
AC : 5 x 1 3 y 2 AC : 5x 3y 1 0
1
B AB d B : 3x y 5 0
3x 5y 11 0
B 3;4
2
C AC d C : 5x 3y 1 0
x 3y 7 0
C 2;3
y 4
x 3
BC : x 5y 17 0
Vậy AB : 3x , AC : 5x y 5 0 3y 1 , BC : x 5y 17 0 0
Ví dụ 3 Cho ABC có AB : 4x 3y 7 0, trung tuyến qua A là d : x 4y Tìm tọa 5 0
độ các đỉnh của tam giác, biết AC cắt Ox tại điểm I có hoành độ bằng 3
2
và I là trung điểm của AC
Giải
1
A AB d A : 4x 3y 7 0
x 4y 5 0
A 1;1
Dễ thấy 3
2
I ;0 AC qua A 1;1 và 3
2
I ;0 x 1 y 1
2
AC : 2x 5y 3 0
Trang 16I là trung điểm AC C I A
C 4; 1
B AB tọa độ B có dạng 4b 7
3
B b;
J là trung điểm BC
y B y C
x B x C
x y
b 4 2b 2
J ;
J d b 4 2b 2
b 2 B 2;5
Vậy A 1;1 , B 2;5, C 4; 1
Ví dụ 4 Cho ABC có A 3;4 , đường cao qua B, trung tuyến qua C và trung trực của BC
lần lượt là d : 2x 1 5y 13 0, d : x 2 và 1 3 1
2
d : y x 1 Tìm tọa độ các đỉnh B, C của
tam giác
Giải
1
AC qua A 3;4
: 2x 5y 1
AC : 5 x 3 2 y 4 0 AC : 5x 2y 7 0
C AC tọa độ C có dạng 5c 7
2
C c;
* Gọi M là trung điểm của AB tọa độ M có dạng M 1;m (vì M d 2)
M là trung điểm AB B M A
B 1;2m 4
* Gọi N là trung điểm BC c 1 5c 4m 15
3
N d 5c 4m 15 c 1
2
c m 1
* Ta có 5c 4m 1
2
BC c 1;
, d : x 3 2y 2 0 n 1; 2
Vì BC / /n
nên 5c 4m 1
2
9c 4m 5 2
* Giải hệ 1 , 2 ta được 7
2
c 1 m
C 1; 1
Vậy B 1; 3, C 1; 1
Ví dụ 5 [ĐHA02] Cho tam giác ABC vuông tại A, BC: 3x y 3 0, A và B thuộc trục hoành , bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Trang 17Giải
x
C
B
O
A
B BC Ox B : 3x y 3 0
B 1;0
C BC tọa độ C có dạng C c; 3 c 1
Ta thấy A là hình chiếu của C lên Ox A c;0
AB c 1;0
AB c 1
AC 0; 3 c 1
AC 3 c 1
ABC
vuông tại A BC AB 2 AC 2 2 c 1
Do đó: nửa chu vi tam giác là AB CB CA 3 3
p c 1 , diện tích tam giác
2
3 AB.AC
S c 1 bán kính đường tròn nội tiếp S c 1
Giả thiết p 2 c 1
3 1 2
c 1 2 3 1
A 2 3 3;0
C 2 3 3;6 2 3
C 2 3 1; 6 2 3
7 4 3 6 2 3
1 4 3 6 2 3
Vậy 7 4 3 6 2 3
G ;
1 4 3 6 2 3
G ;