Chuyen de phuong trinh duong thang trong mat phang

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : 3x 4y 5 0 Bài tập 11Khối B-2009: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A[r]

Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng MỤC LỤC Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phạm vi, đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài CHƢƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phƣơng trình đƣờng thẳng Khoảng cách và góc Các dạng bài tập CHƢƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN 13 Điểm và đƣờng thẳng 13 Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tam giác 19 Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tứ giác 37 CHƢƠNG III TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU 54 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đƣờng thẳng mặt phẳng là nội dung hay và khó toán THPT, nó là phần nằm các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng giải toán nên tôi chọn đề tài “phƣơng trình đƣờng thẳng mặt phẳng” Với mong muốn củng cố cho các em kiến thức bản, nhận dạng các bài toán và rèn kĩ giải toán qua dạng bài tập Mục đích nghiên cứu Mục đích chính sáng kiến là giúp các em làm đƣợc các dạng toán này, tránh sai lầm dễ mắc phải Nhiệm vụ nghiên cứu Đƣa đƣợc dạng bài tập đƣờng thẳng mặt phẳng Phạm vi, đối tƣợng nghiên cứu  Phạm vi: Học sinh lớp 10, ôn thi THPPQG  Đối tƣợng: Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG Phƣơng pháp nghiên cứu - Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấp THPT nhiều năm và kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực đổi CT - SGK vừa qua - Phƣơng pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài - Phƣơng pháp thử nghiệm - Phƣơng pháp quan sát: qua các tiết dự thao giảng - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận - Phƣơng pháp khảo sát, thống kê Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng mặt phẳng Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng CHƢƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phƣơng trình đƣờng thẳng 1.1 Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng  Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng a2 b2 có dạng ax by c 0 với n a;b là véc tơ pháp tuyến  Nhận xét: Nếu n là véc tơ pháp tuyến đƣờng thẳng véc tơ pháp tuyến đƣờng thẳng thì k n là 1.2 Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng  Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng phƣơng u a1;a2 x y là: x0 y0 qua điểm M x ; y và có véc tơ a1t ( a12 a2t a22 , t là tham số)  Nhận xét: Nếu u là véc tơ phƣơng đƣờng thẳng là véc tơ phƣơng đƣờng thẳng thì k u 1.3 Phƣơng trình chính tắc đƣờng thẳng qua điểm M x ; y và có véc tơ Phƣơng trình chính tắc đƣờng thẳng phƣơng u a1;a2 là: x x0 y a1 y0 a2 , a1.a2 1.4 Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn Phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm A a;0 và B 0;b , a,b x a y b là: đƣợc gọi là phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Chú ý: Nếu có hai điểm A x A; yA và B x B ; yB , x B x A, yB yA thì ta có qua điểm A x A; yA và B x B ; yB là: phƣơng trình đƣờng thẳng x xB xA xA y yA yB yA Khoảng cách và góc 2.1 Khoảng cách  Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: ax by Khoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng  Cho đƣờng thẳng cắt ax by c và điểm M x ; y đƣợc tính công thức: ax d M, c by a2 c b2 có phƣơng trình: ax và by c và Phƣơng trình đƣờng phân giác góc hai đƣờng thẳng ax by a2 c ax b2 by a M x M ; yM , N x N ; yN không nằm trên +) Hai điểm M, N nằm cùng phía với ax M byM c ax N byM c ax N by c và hai điểm Khi đó: và byN +) Hai điểm M , N nằm khác phía với ax M có phƣơng trình: ax Chú ý: Cho đƣờng thẳng là: c b và byN c và c by c 2.2 Góc Cho đƣờng thẳng phƣơng trình: a x có phƣơng trình: ax by c và đƣờng thẳng có Ths Trần Hải 0982 358 268 Gọi Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng là góc hai đƣờng thẳng và ta có: Cos aa a2 bb b2 a b Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Các dạng bài tập Chú ý:  Các điểm đặc biệt tam giác Cho tam giác ABC, đó: +) Trọng tâm G ( +) Trực tâm H: xA xB xC y A ; AH BC BH AC +) Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp I: yB yC IA2 IB IA2 IC )  Các đƣờng đặc biệt tam giác: +) Đƣờng trung tuyến tam giác: Khi gặp đƣờng trung tuyến tam giác, ta chủ yếu khai thác tính chất qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện +) Đƣờng cao tam giác: Ta khai thác tính chất qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện +) Đƣờng trung trực tam giác: Ta khai thác tính chất qua trung điểm và vuông góc với cạnh đó +) Đƣờng phân giác tam giác: Ta khai thác tính chất M thuộc AB, M’ đối xứng với M qua phân giác góc A thì M’ thuộc AC  Một số bài toán bản: Bài toán 1: Cho đỉnh và hai đƣờng cao không qua đỉnh đó Tìm các yếu tố còn lại Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Cách giải: - Viết phƣơng trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK - Viết phƣơng trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH A (a,b) H K C B Bài toán 2: Cho đỉnh và hai đƣờng trung tuyến không qua đỉnh đó Tìm các yếu tố còn lại Cách giải: - Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm tìm tọa độ điểm C , thay tọa độ C vào phƣơng trình CN tìm tham số và điểm C - Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, theo công thức trung điểm tìm tọa độ điểm B , thay tọa độ B vào phƣơng trình BM tìm tham số và điểm B A(a,b) N B M C Bài toán 3: Cho đỉnh và hai đƣờng phân giác không qua đỉnh đó Tìm các yếu tố còn lại Cách giải: - Gọi A ' và A '' là hai điểm đối xứng A qua đƣờng phân giác BB ' và CC ' ( A ' và A '' thuộc cạnh BC ) - Viết phƣơng trình cạnh BC , tìm tọa độ điểm B và C Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng A' A C B A'' Bài toán 4: Cho diện tích, cho điểm trên đoạn thẳng theo tỉ số cho trƣớc Tìm các yếu tố còn lại Cách giải: - Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k … Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng : ax thuộc by c a2 b2 và hai điểm A x A;yA , B x B ; yB không Xác định điểm M trên đƣờng thẳng , biết đƣờng thẳng AM vuông góc với đƣờng thẳng AB Cách giải: - Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AM qua A và vuông góc với đƣờng thẳng AB - Xác định tọa độ giao điểm đƣờng thẳng AM và đƣờng thẳng :ax+by+c=0 M AxA;yA BxB;yB Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng : ax by c a2 b2 và điểm C xC ; yC không thuộc định tọa độ điểm A trên đƣờng thẳng Xác , biết góc hai đƣờng thẳng AC và C xC;yC Cách giải:  A :ax+by+c=0 - Tham số hóa điểm A AC u ( u là véc tơ phƣơng đƣờng - Sử dụng công thức cos AC u thẳng ) - Giải phƣơng trình bƣớc và kết luận Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt A x A; yA , B x B ; yB Xác định điểm M trên đƣờng thẳng AB, biết AM kBM ; k R, k Cách giải: B - Giả sử M x ; y A M1 M2 - Xác định M hai trƣờng hợp: - Trƣờng hợp 1: AM kBM (điểm M nằm đoạn AB) - Trƣờng hợp 2: AM kBM (điểm M nằm ngoài đoạn AB) Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng : ax by c a2 b2 và hai điểm A x A;yA , B x B ; yB không M 10 Ths Trần Hải 0982 358 268 B Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Xác định tọa độ điểm M thuộc cho thuộc d M , AB k k R, k Cách giải: - Tham số hóa điểm M - Sử dụng công thức tính khoảng cách d M , AB - Giải phƣơng trình bƣớc và kết luận Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A x A;yA , B x B ; yB Viết phƣơng trình đƣờng thẳng và thỏa mãn hệ thức d A, k.d B, ;k R, k qua điểm M x ; y 0 A Cách giải: - Giả sử : ax by ax by0 a b2 M B - Sử dụng hệ thức d A, k d B, a a b * b - Chọn a, b đại diện và thỏa mãn *  Một số bài toán dựng hình +) Hình chiếu vuông góc H điểm A lên đƣờng thẳng Lập đƣờng thẳng d qua A và vuông góc với H d +) Dựng A’ đối xứng với A qua đƣờng thẳng Dựng hình chiếu vuông góc H điểm A lên 11 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng x 2x H x A Lấy A’ đối xứng với A qua H: A ' yA ' 2yH yA +) Dựng đƣờng thẳng d’ đối xứng với d qua đƣờng thẳng Lấy hai điểm M, N thuộc d Dựng M’, N’ lần lƣợt đối xứng với M, N qua Khi đó d ' M 'N ' 12 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng CHƢƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN Điểm và đƣờng thẳng A-Ví dụ Ví dụ 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm I ( 2;3) tạo với đƣờng thẳng d :2x 3y góc 450 Lời giải: qua điểm I ( 2;3) có dạng: Phƣơng trình đƣờng thẳng a x Hay b y : ax by , a2 2a 3b 0 Mà góc tạo đƣờng thẳng d và 2a Cos 450 b2 450 suy ra: 3b a b 13 2a 3b 2 a b 13 2 2a 3b 13 a b 5a 24ab 5b + Chọn b a 5a ( loại) a + Chọn b Vậy PT đƣờng thẳng 24a là: 5x y a 13 5 x 5y 13  Chú ý: Hs cần nắm công thức tính cosin góc hai đường thẳng Hs cần hiểu rõ đường thẳng có vô số vectơ phương nên ta có thể chọn a, b bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ a và b Ví dụ 2: 13 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm I ( 2;3) và cách điểm A(5; 1) và B(3;7) Lời giải: qua điểm I ( 2;3) có dạng: Phƣơng trình đƣờng thẳng a x : ax Hay b y Mà d A; by 2a a2 0, 3b b2 5a 4b d B; 7a 4b a b2 7a 4b a a là: 4x Vậy có đƣờng thẳng a b2 5a 4b 4b y y  Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên cách xét hai trường hợp là song song trùng với AB , đường thẳng qua trung điểm AB Ví dụ 3: có phƣơng trình: x Cho đƣờng thẳng đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng y và cách Viết phƣơng trình khoảng Lời giải: PT đƣờng thẳng x y m song song với đƣờng thẳng 0, m Chọn điểm M ( 2;0) thuộc m 2 m có dạng: Theo bài ta có: d M , Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng m m là: x hay y x y Ví dụ 4( Khối A-2006): 14 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đƣờng thẳng d1 : x y 0, d2 : x y 0và d3 : x 2y Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M đến d1 lần khoảng cách từ M đến d2 Lời giải: Gọi M 2a;a d3 Theo bài ta có d M , d1 2d M ,d2 2a a 3a a 2a 2a a 4 11 a Vậy M 22; 11 N 2,1 Ví dụ 5( Khối B-2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng d :2x y :x y và Tìm tọa độ điểm N thuộc đƣờng thẳng d cho đƣờng thẳng ON cắt đƣờng thẳng điểm M thỏa mãn OM.ON = Lời giải: +) Gọi N a;2a d và M b;b +) Đƣờng thẳng ON cắt đƣờng thẳng OM kON b ka b k 2a điểm M nên O, M, N thẳng hàng hay a b 2a 2b b 4a a (1) +) Mà 15 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng OM ON b2 5a 8a b 4 a a 5a 6a 2 a2 2a 5a 2 64 10a 5a 6a 0 a ; 5 Vậy N 0; N Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M(1;2) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M cắt tia Ox, Oy A, B cho tam giác AOB có diện tích nhỏ Lời giải: PT đƣờng thẳng d cắt tia Ox A(a;0), cắt Oy B(0;b): x a y b M 1,2 a,b a b d 1 a Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Mà : S ab AOB S AOB Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d là: b x y a.b a a b b ab a b B-Bài tập Bài tập 1: Cho điểm A 2; Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng d :2x y cho AM ĐS: M 1; , M 2 11 ; 5 16 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài tập 2: Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M 1; lên đƣờng thẳng d :x y ĐS: H 2; Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M là đối xứng M 1;1 qua đƣờng thẳng d :x y ĐS: M 3; qua A 1; và cách điểm Bài tập 4: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng B 2;1 khoảng bẳng ĐS: :x 0; :5x 12y 41 Bài tập 5: Viết phƣơng trình đƣờng phân giác góc A tam giác ABC biết A 1;1 , B 4;5 ,C ĐS: 4x 7y 11 4; 11 Bài tập 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M 3;1 cắt Ox, Oy lần lƣợt A và B cho: a) OA OB nhỏ b) Diện tích tam giác OAB nhỏ c) OA2 ĐS: a) nhỏ OB x 3 y Bài tập 7: Cho đƣờng thẳng d : x , b) x 2y 3y , c) 3x y 10 và hai điểm A 1; , B 2;0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng d cho: a) MA MB nhỏ b) MA MB lớn 17 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 31 33 ĐS: a) M , b) M 5; ; 35 35 Bài tập 8: ( Khối B-2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 1;1 và B 4; Tìm điểm C thuộc đƣờng thẳng x 2y cho khoảng cách từ C đến AB ĐS: C(7;3) Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng d :2x điểm I 1;1 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng y và cách điểm I khoảng 10 và tạo với đƣờng thẳng d góc 450 ĐS: 3x y 0, 3x y 14 0, x 3y 0, x 3y 12 Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d1 : 3x y 2MA 3MB ĐS: x y 0, d2 : x qua y điểm M và cắt đƣờng thẳng lần lƣợt hai điểm A, B cho 0,x Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M 1;2 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M cắt Ox, Oy A, B khác O cho OA2 OB nhỏ ĐS: 2x 9y 20 Bài tập 12: Cho đƣờng thẳng d : x y và A 2;1 , B 1; ,C 1;3 Tìm M thuộc d cho: a) MA MB lớn b) MA2 MB c) MA MB MC nhỏ MC nhỏ 18 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tam giác A- Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 1; , B :x điểm C thuộc y 3;3 Tìm tọa độ cho tam giác ABC vuông C  Nhận xét: Ở đây ta phải nắm điều kiện hai đường thẳng vuông góc Lời giải: Gọi C c;c ta có: AC c 1;c 4, BC c Mà tam giác ABC vuông C suy AC BC c c c 2c c c c c 3;c 0 Vậy có điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán:C 1; , C ; 2 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho A 2;1 Tìm tọa độ điểm B trên :x 2y và điểm C trên d :x 2y cho tam giác ABC vuông cân tai A  Nhận xét: Tương tự ví dụ thêm điều kiện Lời giải: Gọi B 2b;b AC 2c 4;c 1, , C 2c 2;c d , ta có AB 2b;b Theo bài tam giác ABC cân A nên: AB AC AB AC 19 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 2b 2c b c 1 4b Xét PT (1): b 2b 2c 2c b c c 1 2 Nếu b = thì c = không thỏa mãn PT (2) suy b 2c Khi đó PT (1) b c 2b Thay vào PT (2) ta đƣợc 4b b 4b c c c 1 c 2 4b 2 c c 0 4b 2b 2b c 2b Trƣờng hợp 1: 2c b Suy B 2 1 4b b 4b c b c b 3 4 ; , C ; 3 3 Trƣờng hợp 2: c 2c 2b b c b Suy B 4; , C 4;3 20 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 4 Vậy với B ; , C ; B 4; , C 4;3 thỏa mãn yêu cầu bài toán 3 3 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết PT các đƣờng thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lƣợt là: 4x góc A có phƣơng trình: x 3y 2y 0; x y Phân giác Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Lời giải: A B C D Tọa độ điểm A là nghiệm hệ PT: 4x x 3y 2y x y 0 A 2; Tọa độ điểm B là nghiệm hệ PT: 4x x 3y y x y B 1; Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua điểm A a x b y Gọi d :x 2y ax by 2a 2; có dạng: 4b 0 Theo bài ta có d là phân giác góc A nên: Cos AB, d Cos AC ,d 1.a 2.b a2 b2 a b a2 4.1 2.3 25 b2 21 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 4b a 3a a 3a 4b +) Nếu a +) Nếu 3a 4b b Suy AC : 4x 0.Do đó AC : y : chọn a 3y 4 4thìb (trùng với AB ) Vậy PT đƣờng thẳng AC là :y Tọa độ điểm C là nghiệm hệ PT: y x y Vậy với A x y C 5; 2;4 ; B 1;0 ; C 5;4 thỏa mãn yêu cầu bài toán  Nhận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm ảnh B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC Khi đó ta viết phương trình đường AC A B' B D C Ví dụ 4( Khối D-2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B tâm G 1;1 và đƣờng phân giác góc A có PT: x y 4;1 , trọng Tìm tọa độ đỉnh A và C  Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta làm tương tự ví dụ trên Lời giải: 22 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng A G KM I B C E Gọi AE là đƣờng phân giác góc A suy AE :x y Gọi M là trung điểm AC Do G là trọng tâm tam giác ABC nên BG GM Mà BG 5; suy xM yM Từ B kẻ BK vuông góc với AE (K xM yM M ;1 AC ) I; Tam giác ABK có AI vừa là đƣờng cao vừa là đƣờng phân giác nên cân A, suy I là trung điểm BK AE nên BK có dạng : x Đƣờng thẳng BK Mà B BK nên c c y Suy PT đƣờng thẳng BK :x Ta thấy I x x y y BK,I y c AE nên tọa độ điểm I là nghiệm hệ: x y 0 I 1; Lại có I là trung điểm BK nên ta có tọa độ điểm K 2; Suy MK ; 1; Đƣờng thẳng AC qua điểm M ,K nên có phƣơng trình: x y 4x y 13 Tọa độ điểm A là nghiệm hệ: 23 Ths Trần Hải 0982 358 268 4x x y y Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 13 x A 4; y M là trung điểm AC nên C 3; Vậy A 4;3 ;C 3; Ví dụ 5( Khối D-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 0;2 và O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên thẳng là đƣờng thẳng qua Viết phƣơng trình đƣờng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Lời giải: là: u a;b , Gọi véc tơ phƣơng a2 x y H at;bt AH AH at;bt AH u a 2t Lại có: d H , 0x b 2t a 2t Từ , tacó :a Chọn a at bt b2 2b b2 AH a 2t 4bt a là: 2b t qua O 0; và có véc tơ phƣơng u a;b PT tham số đƣờng thẳng H b2 bt 2 a 2.b 2 tacó : b b4 2b b 24 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng x Vậy PT đƣờng thẳng là y 2t 5t x y 2t 5t Ví dụ 6( Khối B-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C 4;1 , phân giác góc A có PT: x y Viết phƣơng trình đƣờng thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dƣơng  Nhận xét: Ở đây ta phải nắm điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác phía với đường thẳng C A C' B Lời giải: Gọi: d là đƣờng phân giác góc A, A a;5 AC a; a a d Đƣờng thẳng d có véc tơ pháp tuyến n 1;1 suy có véc tơ phƣơng u 1; Tam giác ABC vuông A ta có: AC u Cos AC , d AC u a a a a 2 25 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 2a 4a a 2a 32 a a2 a 16 ( a có hoành độ dƣơng) Suy A 4;1 suy AC và AC 8, Gọi B x ; y ta có AB x 4; y Theo bài ta có: S AB.AC 24 Mà AB.AC ABC x 2 x Thay vào (1) ta đƣợc y Xét hàm số: F x ; y AB y y y y (1) y x x x Suy B 4;7 B 4; 5 Với B 4;7 , ta có: F x B ; yB F xC ; yC 48 Suy B và C nằm khác phía với đƣờng phân giác góc A Còn B 4; (loại) Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng BC : 3x 4y 16  Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta có thể làm sau: B1: Tìm C’ là ảnh C qua d B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A B3: Viết phương trình đường AC’ B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’ Tính diện tích AB Với điều kiện B, C’ nằm cùng phía với điểm A Hay AB cùng chiều với AC ' Ví dụ 7( Khối A-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A 6;6 , đƣờng thẳng qua trung điểm các cạnh AB và AC có phƣơng 26 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng : x y Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm E 1; trình: nằm trên đƣờng cao qua đỉnh C tam giác đã cho Lời giải: A E I B C H Gọi H là chân đƣờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC suy AH có phƣơng trình: x AH AH qua A suy c c y Phƣơng trình đƣờng cao AH là: x c và AH nên tọa độ I là nghiệm hệ: Gọi I là giao điểm x y y x y x y 0 2 A(2;2) Theo tính chất đƣờng trung bình ta có I là trung điểm AH Suy H 2; có dạng: x PT đƣờng thẳng BC qua H và song song với H thuộc BC d d CE ;C x ; x x 2;1 x ; AB d Suy phƣơng trình đƣờng thẳng BC : x Gọi B x1; x1 y y 4 ta có: x1 6; x 10 Theo bài ta có: CE AB x x1 x2 Mặt khác H là trung điểm BC nên: x1 x1 x2 10 (1) (2) 27 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng x1 x1 Từ (1), (2) ta có: x2 x2 Vậy B 0; ;C 4;0 B 6;2 ,;C 2; Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác AD : x y 0, đƣờng cao CK : 2x y 0, đƣờng thẳng AC qua M 0; Viết phƣơng trình các cạnh biết BA 2MA Lời giải: A K N M I B C D Gọi N đối xứng với M qua AD thì N thuộc AB Phƣơng trình đƣờng thẳng MN qua M và vuông góc với AD suy MN : x y Gọi I là giao MN và AD suy tọa độ điểm I là nghiệm hệ: x x y y 1 2 x 0 y Mà I là trung điểm MN nên N I 1 ; 2 1; Đƣờng thẳng AB qua N và vuông góc với CK suy AB : x 2y Tọa độ điểm A là nghiệm hệ: x 2y x y 0 x y 1 Đƣờng thẳng AC qua A và M nên AC : x A 1;1 2y 28 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Tọa độ điểm C là nghiệm hệ: x 2y 2x y Gọi B 2b 1;b Ta có: AB Mà BA 0 y 2MA 2 b 4MA2 , MA2 AB B 5b b +) Nếu b ; 2 C AB 2b +) Nếu b 2 x 2 20 b b 3; Thỏa mãn B 5;3 không thỏa mãn B,C nằm cùng phía so với AD Suy đƣờng thẳng BC qua B và C là: x y 11 Vậy phƣơng trình các cạnh là: AB :x 2y 0, AC :x 2y 0, BC : x y 11 Ví dụ ( Khối B-2013): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đƣờng cao hạ từ đỉnh A là H 17 ; , chân đƣờng phân giác góc A là D 5; và 5 trung điểm AB là M 1; Tìm tọa độ đỉnh C Lời giải: 29 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng A N M K B C H D Ta có AH qua H và vuông góc với HD nên AH có phƣơng trình: x 2y Gọi A Suy 3 AH Do M là trung điểm AB nên MA 2a;a 2a a a 13 a 17 ( loại A thì A ; 5 +) Nếu a +) Nếu a 3thì A H ) 3;3 Phƣơng trình đƣờng thẳng AD qua A và D là: y Gọi N a,b là điểm đối xứng với M qua AD suy N góc AD hay MN AD a.8 b.0 Gọi K là giao điểm MN và AD suy K K AD b MH b a AC và MN vuông a b ; 2 Do đó N 0;5 Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua A và N là: 2x 3y Phƣơng trình đƣờng thẳng BC qua H và D là: 2x y 15 0 Tọa độ điểm C là nghiệm hệ: 2x 3y 2x y 15 x y 11 C 9;11 Vậy C 9;11 30 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 10 ( THPTQG-2015): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng B qua H ; K là hình chiếu vuông góc C trên đƣờng thẳng AD Giả sử H 5; , K 9; và trung điểm cạnh AC thuộc đƣờng thẳng x y 10 tìm tọa độ điểm A Lời giải: A M B H C D K Gọi M là trung điểm AC Ta có MH MK AC , nên M thuộc đƣờng trung trực HK Đƣờng trung trực HK có phƣơng trình 7x y 10 0, nên tọa độ M thỏa mãn hệ x y 10 7x y 10 Suy M 0;10 , Ta có HKA HA HCA HK Mà MA HAB HAD, nên AHK cân H , suy MK, nên A đối xứng với K qua MH 5;15 ; đƣờng thẳng MH có phƣơng trình 3x Ta có MH Trung điểm AK thuộc MH và AK x x 9 Suy A y 3 y 10 y 10 MH nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ 0 15;5 31 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng  Nhận xét: Mấu chốt đây là ta nhớ tính chất đường trung tuyến tam giác vuông để MH=MK Nhớ tính chất HAK HKA B- Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có A 2;2 và các phân giác góc B, góc C lần lƣợt là: Đáp số: B B :x 3y 0, C :x y Tìm tọa độ B và C 14 ; , C 9; 15 Bài tập 2: Cho các điểm A 1;1 , B 2;5 ,C 4;7 Chứng minh tam giác ABC có góc A nhọn Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua A asao cho d B ,d d C ,d lớn Đáp số: 2x 5y Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm K thuộc đoạn BC cho CK 3KB Điểm G thỏa mãn AG 2GK Điểm D thuộc BC cho GD GB Biết D 7; , phƣơng trình AK :3x y 13 0 và điểm A có tung độ âm Viết phƣơng trình AB Đáp số: x Bài tập 4: Cho tam giác ABC có: AB : x y 0, AC :2x y 0, BC :4x Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M y ;6 mà chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Đáp số: d : 6 34 x 34 15 y Bài tập 5: Cho tam giác ABC CM :3x 7y 81 34 có trực tâm H 2; , trung tuyến Trung trực BC là d : x Tìm tọa độ điểm A 32 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 16 Đáp số: A 2;2 , A 2; Bài tập 6: Cho tam giác ABC , phân giác AD : x BH :2x y AB qua M 1;1 , S ABC 0, đƣờng cao 27 Tìm A, B,C A A Ox (0 Bài tập 7: Cho tam giác ABC có y xA 2,5) Hai đƣờng cao hạ từ B,C có phƣơng trình lần lƣợt là: d1 : x y 0; d2 :2x y Tìm tọa độ A, B,C để diện tích tam giác ABC lớn Đáp số: A ;0 ,B ; ,C ; 2 Bài tập 8: Cho tam giác ABC và đƣờng thẳng D 4; :x 3y Giả sử 14 19 ,E ; , N 3; theo thứ tự là chân đƣờng cao từ A, B và trung 10 điểm AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết trung điểm M BC nằm trên và hoành độ điểm M nhỏ Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trực tâm H 3; và trung điểm BC là I 6;1 Đƣờng thẳng AH : x 2y Gọi D, E lần lƣợt là chân đƣờng cao kẻ từ B và C tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết đƣờng thẳng DE : x Đáp số: A và điểm D có tung độ dƣơng 1;2 , B 4; ,C 8;5 Bài tập 10( Khối D-2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 2; là trung điểm cạnh AB Đƣờng trung tuyến và đƣờng cao qua đỉnh A lần lƣợt có phƣơng trình : 7x 2y 0; 6x y Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AC 33 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : 3x 4y Bài tập 11(Khối B-2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A và các đỉnh B, C thuộc đƣờng thẳng :x y 1; X ác định tọa độ các điểm B và C biết diện tích tam giác ABC 18 Đáp số: B 11 3 5 11 ; ;C ; B ; ;C ; 2 2 2 2 Bài tập 12(Khối B-2008): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu C lên đƣờng thẳng AB là H góc A có phƣơng trình x phƣơng trình: 4x 3y y 1; , đƣờng phân giác và đƣờng cao kẻ từ B có 10 ; Đáp số: C Bài tập 13(Khối B-2007): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2;2 và các đƣờng thẳng d1 : x y 0,d2 : x y Tìm hai điểm B, C thuộc d1, d2 cho tam giác ABC vuông cân A Đáp số: B 1;3 ,C 3;5 B 3; ,C 5;3 Bài tập 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB 5, đỉnh x 2y x y Đáp số: A 4; 0, C 1; , đƣờng thẳng trọng tâm tam giác AB có phƣơng trình: ABC thuộc đƣờng thẳng: Xác định tọa độ các đỉnh A, B tam giác ABC 3 , B 6; , A 6; B 4; 2 2 34 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài tập 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4; , phƣơng trình đƣờng cao kẻ từ C và đƣờng trung trực BC lần lƣợt là: x y 0, 3x 4y Xác định tọa độ các đỉnh C , B tam giác ABC ; ;C 4 Đáp số: B ; 4 Bài tập 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 2, Đƣờng thẳng 4x 6y PT: 2x tích qua trung điểm AB, AC 2y có phƣơng trình: Trung điểm cạnh BC nằm trên đƣờng thẳng d có Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tam giác ABC có diện và đỉnh C có hoành độ lớn Đáp số: B 1;1 , C 4;3 Bài tập 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, phƣơng trình các cạnh AB, BC lần lƣợt là: x 2y 0, 3x y Viết phƣơng trình cạnh AC biết AC qua điểm M 1; Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC: 2x 11y 31 Bài tập 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phƣơng trình đƣờng phân giác góc A là d1 : x từ B là d2 : 2x y y 0, phƣơng trình đƣờng cao vẽ 0, cạnh AB qua M 1; Viết phƣơng trình cạnh AC Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC: x 2y Bài tập 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng d1 : 2x 5y 0, d2 : 5x 2y cắt A và điểm P 7; 35 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua P tạo với d1,d2 thành tam giác cân A và có diện tích 29 Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng d3 : 7x 3y 25 36 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tứ giác  Chú ý: Khi giải các bài toán hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông, chúng ta cần chú ý đến tính chất đối xứng Chẳng hạn, giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng hình bình hành; hai đường chéo hình thoi là trục đối xứng… A- Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phƣơng trình các cạnh hình bình hành ABCD biết tâm hình bình hành là I 1;6 còn các cạnh AB, BC , CD, DA lần lƣợt qua M 3;0 ; N 6;6 ; P 5;9 ; Q 5;4  Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm hình bình hành Lời giải: M A B Q I D Q' C M' P N Do I là tâm hình bình hành nên lấy M đối xứng với M qua I M ( 1;12), M x 2y 23 CD PT đƣờng thẳng CD qua P và M là: PT đƣờng thẳng AB qua M và song song với CD là: x Lấy Q đối xứng với Q qua I Q (7;8) và Q PT đƣờng thẳng BC qua N và Q là: 2x y 2y 23 AB :x 2y BC :2x y AD :2x y 13 BC PT đƣờng thẳng AD qua Q và song song BC là: 2x Vây PT các cạnh HBH là: CD :x 2y y 13 0 37 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng  Nhận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng điểm N, P qua tâm I Khi đó ta tìm tọa độ hai điểm đối xứng là N’ và P’ nằm trên hai đường thẳng AD và AB Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I đƣờng thẳng AB :x 2y 2AD Tìm tọa độ các đỉnh và AB ; và hình chữ nhật  Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm hình chữ nhật Lời giải: M A B I D C M' Lấy M 0;1 thuộc đƣờng thẳng AB Do I là tâm HCN nên lấy M đối xứng với M qua I M (1; 1), M đƣờng thẳng CD qua M và song song với AB là: x 2y Tacó : AD d AB,CD AB 2AD d M , AB PT đƣờng thẳng AD vuông góc với đƣờng thẳng AB là: 2x d I , AD c Suy đƣờng thẳng AD có PT: 2x y Trƣờng hợp 1: Nếu AD : 2x y c c 5 5 d I , AD CD PT y c và 2x y Tọa độ điểm A là nghiệm hệ PT: 38 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng x A 2, C 3; y x 2y 2x y Tọa độ điểm D là nghiệm hệ PT: x 2y 2x y x y 0 D Trƣờng hợp 2: Nếu AD : 2x y B 2;2 1; Tọa độ điểm A là nghiệm hệ PT: x 2y 2x y x y 0 2 A 2;2 C 1; B 2; Tọa độ điểm D là nghiệm hệ PT: x 2y 2x y 0 x y D 3; Vậy tọa độ các đỉnh hình chữ nhật là: A 2;0 ; B 2;2 ; C 3;0 ; D A 2;2 ; B 2;0 ; C 1; 1; ; D 3;0 Ví dụ 3( Khối D-2012): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đƣờng thẳng AC và AD lần lƣợt có phƣơng trình là 2x y 0và x y 0, đƣờng ;1 Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật thẳng BD qua điểm M ABCD Lời giải: A B N I M D O C 39 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Tọa độ điểm A là nghiệm hệ PT: x 3y x y x y A 3;1 Gọi d là đƣờng thẳng qua M và song song với AD thì phƣơng trình d có dạng: x y M m d m 4 m d :x y Tọa độ điểm N là nghiệm hệ PT: x y x 3y x y 1 N 1; 2 ; 3 Gọi I là trung điểm MN thì I Gọi x là đƣờng thẳng qua I và vuông góc với AB thì phƣơng trình y n là: Điểm I n :x y Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì tọa độ điểm O là nghiệm hệ PT: x 3y x y x y 0 0 O 0; Phƣơng trình đƣờng thẳng BD qua điểm M, O có dạng: x 3y Tọa độ điểm D là nghiệm hệ PT: 3x x y y x y D 1; Do O là trung điểm AC và BD nên ta có B 1; ; C 3; Vậy D tọa độ các đỉnh 1;3 ;B 1; ;C 3; ; A hình chữ nhật là: 3;1  Nhận xét: Ở đây ta để ý để ON=OM 40 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Ta có thể dùng cách 2: Viết phương trình đường thẳng BD qua M tạo với AD góc (AD,AC) Khi đó hai đường có đường song song với AC Ví dụ 4( Khối A-2012): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD cho CN 11 và đƣờng thẳng AN có phƣơng trình: 2x ; 2 M y 2ND Giả sử Tìm tọa độ điểm A Lời giải: B A M D Đặt BAM tan , DAN BM AB ,tacó : DN AD ,tan tan tan tan tan Mặt khác: tan MAN C N 1 1 450 450  Nhận xét: Mấu chốt bài toán là ta MAN 450 Đến đây thì bài toán trở nên dễ dàng Gọi A a;2a Ta có: AM AN , 11 a; a 11 2a;7 4a 41 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Đƣờng thẳng AM , AN có véc tơ phƣơng lần lƣợt là: AM 11 2a;7 4a , AN 1;2 ta có: AM AN Cos 45 AM AN 10a 25 11 2a 2a a2 5a 2a 2 4a 2a 10a 17 2a 10a 17 a a 4 Vậy có điểm A cần tìm là: A1 1; , A2 4;5 Ví dụ 5( Khối A- 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD với điểm C thuộc đƣờng thẳng d : 2x y 0và A 4;8 Gọi M là điểm đối xứng B qua C, N là hình chiếu vuông góc B trên MD.Tìm tọa độ các điểm B và C, biết N 5; Lời giải: A(-4;8) B I C D N(5;4) M 42 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Gọi C t; 2t d, gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD suy I là trung điểm t AC nên I ; 2t Tam giác BDN vuông N nên IN = IB (trong tam giác vuông đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) suy IN = IA Do đó ta có phƣơng trình: t 4 t 2t 2 t 2 2t C 1, Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB Mà CB = AD và CM song song với AD ( tính chất hình chữ nhật) nên tứ giác ACMD là hình bình hành Suy AC song song DM Lại có BN DM , suy BN AC và CB CN Vậy B là điểm đối xứng với N qua AC Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua A và C là: 3x Đƣờng thẳng BN qua N và vuông góc với AC là: x Gọi B 3a K 3y 17;a , gọi K là trung điểm BN suy K AC Vậy B y 3a 22 a 4 a 17 3a B 22 a ; 4; 4; ,C 1; Ví dụ 6( Khối B- 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đƣờng chéo vuông góc với và AD = 3BC Đƣờng thẳng BD có phƣơng trình: x 2y và tam giác ABD có trực tâm H 3;2 Tìm tọa độ các đỉnh C và D 43 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Lời giải: B C I H A D Gọi I là giao điểm AC và BD suy IB ICB 450 IC (gt) nên tam giác BIC vuông cân I Mà IB BH IC AD BH HBC vuông cân B suy I là trung điểm BC HC Gọi C a;b Do CH I I BD Từ (1), (2) suy Ta có IC ID Mà :CD Gọi D Vậy C 2 b a b 2 BC AD IC ID 2a C 1, 6 IB ID 2t, t 2t b ; CH BD a BD a t 2 (1) (2) 3IC 10IC DB vàCD b ID ( theo pitago) t t 50 1;6 , D 4;1 C 1;6 , D 8;7 Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đƣờng chéo BD nằm trên đƣờng thẳng :x y Điểm M 4; nằm trên đƣờng 44 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng thẳng chứa cạnh BC, điểm N 5;1 nằm trên đƣờng thẳng chứa cạnh AB Biết BD Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD , biết điểm D có hoành độ âm  Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng trục hình thoi Lời giải: N(-5;1) B A C I M(4;-4) M' D Gọi M đối xứng với M qua BD M 2;2 Đƣờng thẳng AB qua M N nên AB : x 3y 128 d Tọa độ điểm B là nghiệm hệ PT: x y x 3y Gọi D d, d doBD x y B 7;5 , d 7 d D 1, Gọi I là tâm hình thoi suy I 3;1 , đó đƣờng thẳng AC qua I và vuông góc với BD suy AC có phƣơng trình: x y Tọa độ điểm A là nghiệm hệ PT: x y x 3y 0 x y A 1, C 5, Vậy tọa độ các đỉnh hình thoi là: A 1;3 , B 7;5 , C 5; , D 1; 45 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng  Nhận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng điểm N qua trục đối xứng AC Khi đó ta tìm tọa độ điểm đối xứng là N’ nằm trên đường thẳng AD Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD đó A thuộc thẳng d1 : x đƣờng thẳng d2 :2x y y 0, và C, nằm D trên đƣờng Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông biết hình vuông có diện tích Lời giải: C D A B Gọi I là tâm hình vuông ABCD Gọi A a;1 a d1,tacó SABCD d A, d2 2a AD a 5 a A 1;0 suy phƣơng trình cạnh AD : x 2y 3a *) Với a a Tọa độ điểm D là nghiệm hệ PT: 2x y x 2y 0 Gọi C a,b tacóC x y 1 d2 và DC D 1;1 Tọa độ điểm C là nghiệm hệ PT: 46 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 2a a b a b b a b Suy C 0; C +) Với C 0, +) Với C 2, *) Với a x 13 2y 2; 1 ; 2 I B 2;2 1 ; 2 I B(0; 2) 10 suy phƣơng trình cạnh AD là: ; 3 A Tọa độ điểm D là nghiệm hệ PT: 2x x y 13 2y x y Gọi C a;b tacóC D d2 và DC ; 3 Tọa độ điểm C là nghiệm hệ PT: a 2a a b 3 b b a b +) Với C ; 3 I 11 11 ; 6 3 13 B 10 ; 3 47 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 13 23 16 +) Với C ; I ; B ; 3 6 3 Vậy có hình vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán là: A 1;0 ,B 2;2 ,C 0;3 , D A 1;0 ,B 0; ,C 1;1 2; ,D 1;1 A 10 ; ,B 3 10 ; ,C 3 ; ,D 3 A 10 ; ,B 3 16 13 ; ,C ; ,D 3 3 ; 3 ; 3 Ví dụ (Khối A-2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB , N thuộc cạnh AC cho AN 3NC Viết phƣơng trình đƣờng thẳng CD, biết M 1;2 , N 2; Lời giải: D I C N A Ta có MN Ta có AM nên MN 5a Do đó M B 10 Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD, a 3AC a và AN AM 10 AN a 3a , 2AM AN cos MAN 5a 48 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Gọi I x ; y là trung điểm CD Ta có IM AD và IN BD 2, nên ta có hệ phƣơng trình x x 2 +) Với x y y 1; y 2 16 x 1; y x 17 ;y ta có I 1; và IM 0; Đƣờng thẳng CD qua I có vtpt IM có phƣơng trình: y +) Với x 17 ;y 17 ta có I và IM ; 5 12 ; 5 Đƣờng thẳng CD qua I có vtpt IM có phƣơng trình: 3x 4y 15 B- Bài tập: Bài tập 1: Cho hình thang cân ABCD có A 1;2 , B 3;0 Chân đƣờng cao H kẻ từ đỉnh A xuống đáy lớn CD thỏa mãn tam giác AHC vuông cân H và có diện tích Tìm tọa độ các đỉnh hình thang Bài tập 2(Khối A-2005): Trong mặt phẳng Oxy, cho đƣờng thẳng d1 : x y 0, d2 : 2x y Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc đƣờng thẳng d1, đỉnh C thuộc đƣờng thẳng d2 và B, D thuộc trục hoành Đáp số: A 1;1 ,B 0;0 ,C 1; , D 2;0 A 1;1 ,B 2;0 ,C 1; ,D 0;0 Bài tập 3( Khối A-2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I 6;2 là giao điểm hai đƣờng chéo AC và BD Điểm M 1;5 thuộc đƣờng thẳng AB và trung điểm E cạnh CD thuộc đƣờng thẳng :x y Đáp số: AB: y x 4y 19 49 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đƣờng thẳng AB, AD lần lƣợt qua các điểm M 2;3 ,N 1;2 Hãy lập phƣơng trình đƣờng thẳng BC và CD, biết hình chữ nhật ABCD có tâm I độ dài đƣờng chéo AC Đáp số: BC : x y BC : 3x 4y 14 ; và 2 26 0, CD :x y 0,CD : 4x 3y 12 Bài tập 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I 3; và AC 2BD Điểm M 2; 13 thuộc đƣờng thẳng AB, điểm N 3; 3 thuộc đƣờng thẳng CD Viết phƣơng trình đƣờng chéo BD biết B có hoành độ nhỏ Đáp số BD : 7x y 18 Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đƣờng chéo BD nằm trên đƣờng thẳng :x thẳng chứa cạnh BC, điểm N Biết BD y Điểm M 4; nằm trên đƣờng 5;1 nằm trên đƣờng thẳng chứa cạnh AB Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD, biết điểm D có hoành độ âm Đáp số: A 1;3 ,B 7;5 ,C 5; , D 1; Bài tập 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A : 7x 4;5 , và đƣờng chéo có phƣơng trình y Viết phƣơng trình các cạnh hình vuông Đáp số: AB : 3x 4y 31 0, AD : 4x BC : 4x 3y 24 0,CD : 3x 3y 4y 0, 50 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài tập 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD Biết A 0;2 ,D 2; và giao điểm I AC và BD nằm trên đƣờng thẳng có phƣơng trình: d : x thang góc AID y Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình 450 Đáp số: B 2;2 B 2;2 ,C 2;2 , C 4 2; 2 Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A 1;0 , B 0;2 và giao điểm I hai đƣờng chéo nằm trên đƣờng thẳng y Đáp số: C x Tìm tọa độ các đỉnh C và D 8 ; , D ; C 3 3 1;0 , D 0; Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Biết AB ;1 , đƣờng thẳng BC qua 2BC , đƣờng thẳng AB qua điểm M điểm N 0; , đƣờng thẳng AD qua điểm P 4; , đƣờng thẳng CD qua điểm Q 6;2 Viết phƣơng trình các cạnh hình vuông ABCD Đáp số: AB : 3x 9y BC : 3x AB : 3x BC : 17 y 17y 3y 0, AD : 9x 13 0, CD : x 0, AD : 17x 13 3y 0, CD : 3x 17y 3y 35 0, 71 0, 3y 52 Bài tập 11: Cho tam giác ABC Gọi A , B ,C ABA C , BCB A,CAC B là các hình là các điểm cho bình hành Biết 51 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng H 0; , H 2; , H 0;1 là trực tâm các tam giác BCA ,CAB , ABC Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Đáp số: A 1;1 , B 2; ,C 1; Bài tập 12: Cho hình chữ nhật ABCD có H 1;2 là hình chiếu vuông góc A xuống BD, điểm M ; là trung điểm BC Trung tuyến kẻ từ A tam giác ADH là d :4x y Đáp số: BC :2x y Viết phƣơng trình đƣờng thẳng BC 0, BC :2x 12 8y 33 Bài tập 13: Cho hình chữ nhật ABCD có A 5; , điểm C nằm trên đƣờng thẳng d1 : x y thẳng AB là d2 ;3x Đƣờng thẳng qua đỉnh D và trung điểm đoạn 4y 23 tìm tọa độ B và C biết điểm B có hoành độ dƣơng Đáp số: B 33 21 ; ,C 1;5 5 Bài tập 14: Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm cạnh CD và đƣờng thẳng BN :13x cho AC 10y 13 0, điểm M 4AM Gọi H là điểm đối xứng N qua C Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành, biết 3CA :2x 1;2 thuộc đoạn AC 3y Đáp số: A 2AB và điểm H thuộc đƣờng thẳng 7 13 ; ,B ; ,C 1;1 , D 3 3 3; Bài tập 15: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đƣờng thẳng d :2x y và A 4; Gọi M là điểm đối xứng với B qua C , N là hình chiếu B lên MD Tìm tọa độ B,C , biết N 5; 52 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng 4;7 ,C 1; Đáp số: B Bài tập 16: Cho đƣờng thẳng: d1 :3x 2y 0, d2 : x Tìm tọa độ điểm A,C y d3, B Đáp số: B 4;4 , D 2;4 , A,C 0, d3 : x d1, D d2 cho ABCD là hình vuông 3;3 ; 3;5 Bài tập 17: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB, đƣờng thẳng DM :2x y và điểm C 1; Tìm tọa độ điểm D Bài tập 18 (Khối B-2014): Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD Điểm M 3; là trung điểm cạnh AB , điểm H 0; là hình chiếu vuông góc B trên AD và điểm G ; là trọng tam tam giác BCD Tìm tọa độ các điểm B, D 53 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng CHƢƠNG III TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M 1; là trung điểm cạnh BC, N AN ; là điểm trên cạnh AC cho 2 AC Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD , biết D nằm trên đƣờng thẳng x y Phân tích: - Ta nhận thấy giả thiết bài toán xoay quanh ba điểm D, M, N nên chúng xuất mối quan hệ đặc biệt Bằng trực quan ta đƣa giả thuyết DN MN Nếu giả thuyết là đúng dựa vào bài toán ta tìm đƣợc tọa độ điểm D Từ đó ta tìm đƣợc các đỉnh còn lại hình vuông phƣơng pháp tham số hóa quen thuộc - Ta cụ thể bài toán trên để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra: Giả sử ta chọn hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A 2;2 , B 2;2 ,C 2; , DN MN DN 2; Khi đó MN Giải Trƣớc hết ta chứng minh DN MN Ta có thể chứng minh các cách sau: Cách (Thuần túy hình phẳng) A B N I M F D C 54 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Gọi I là giao điểm hai đƣờng chéo AC và BD Điểm F là trung điểm đoạn DI Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam DN Mà CF / /MN nên DN giác NDC nên CF MN Cách (Sử dụng công cụ véc tơ) Đặt DA x ; DC y x.y A 0; x B N y Ta có M x DN x y; MN DN x DM y C D x 16 Suy DN MN y y DN MN Cách (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ Khi đó D 0;0 , A 0;a ,C a;0 , Nên M a; a a 3a ,N ; Do đó DN MN 4 a 16 a 16 DN MN Cách (Sử dụng công cụ lƣợng giác) Đặt AB BC CD DA a - Xét tam giác AND , ta có DN AN AD 2AN AD.cosA a - Xét tam giác CMN , ta có MN CN CM 2CN CM.cosC a 55 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng - Xét tam giác DCM , ta có DM DC CM a Suy DM DN MN DN MN B A N M Sau chứng minh DN MN ta có Phƣơng trình đƣờng thẳng DN : x x x Tọa độ điểm D là nghiệm hệ Giả sử A m; n , từ AC AB M DC 13 B 5m ; Từ đó ta có y 4AN 2m;4 y y C C D x y 0 3m;2 D 1; 3n Từ 2n Suy tọa độ điểm 5n 13 5m 5n m n A 3; , B 1; ;C 3;2 Nhận xét: Để giải bài toán ta mở “ nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm D nhờ mối quan hệ DN MN Nhƣ bài toán thực chất đƣợc xây dựng trên bài toán hình phẳng túy : Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC; N là điểm trên cạnh AC cho AN DN AC Chứng minh MN Bài toán 1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC , N ; là điểm trên cạnh AC cho 2 56 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng AC Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD , biết đƣờng AN thẳng DM có phƣơng trình x Phân tích: - Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M, N Bằng trực quan ta dễ nhận thấy nét giống bài toán - Theo kết bài toán 1, ta đã có DN MN Tuy nhiên vấn đề nảy sinh là giả thiết bài toán không đủ để “mở nút thắt đầu tiên” với mối quan hệ vuông góc Từ đó ta đƣa nhận định, ba điểm này có mối quan hệ ràng buộc - khác Ta dễ dàng nhận mối quan hệ này là tam giác DMN vuông cân, hay NDM 450 từ cách giải bài toán Giải: Để chứng minh tam giác DMN vuông cân N ta có thể thực theo các A cách sau: B N Cách 1: (Sử dụng công cụ lƣợng giác) M Đặt AB BC CD DA a D C Xét tam giác AND , ta có DN AN AD 2AN AD.cosA a Xét tam giác CMN , ta có MN CN CM 2CN CM cosC a Xét tam giác DCM , ta có DM DC CM a Suy DN MN DM DN MN DMN vuông cân N Cách 2: (Thuần túy hình phẳng) 57 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Gọi I là giao điểm hai đƣờng chéo AC và BD Điểm F là trung điểm đoạn DI Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác NDC nên CF DN Mà CF//MN nên DN Tứ giác DNMC nội tiếp nên NMD MN 450 Từ đó suy tam giác NCD DMN vuông cân N Cách 3: (Sử dụng công cụ véc tơ) Đặt DA x ; DC x DN y; MN x 16 DM MN Lại có DN MN y x.y x y DN y a Ta có x DM y; Suy y x 0; x y DN x 16 x 16 2 y 16 MN y 16 2 a a ; DN MN Từ đó suy tam giác DMN vuông cân N Cách 4: ( Sử dụng công cụ tọa độ ) Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ Khi đó D 0;0 , A 0;a ,C a;0 Ta có M a; a a 3a ;N ; 4 Do đó DN a 3a ; ; MN 4 3a a ; 4 DN MN a 16 a 16 DN MN 58 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng MN a Hay tam giác DMN vuông cân N Và DN Sau chứng minh tam giác DMN vuông cân N ta có: Giả sử D 1;d , ta có DN u DM cos NDM DN u DM Với d 2 d 2 d 2 d d D 1; Phƣơng trình đƣờng thẳng NM : x y Suy M (1;3) Từ đó theo kết bài toán ta có A Với d 3;0 ; B 1;4 ;C 3;2 D 1; Phƣơng trình đƣờng thẳng AN Suy M (1; 2) Từ đó theo kết bài toán 1.1 ta có M Nhận xét : - Ta nhận thấy bài toán và bài toán là giống mặt hình thức, song kết bài toán và bài toán lại có khác Nguyên nhân khác này chính là việc lựa chọn mối quan hệ ba điểm tạo thành góc AM cách phát biểu bài toán - Từ đó ta dễ dàng nhận bài toán thực đƣợc xây dựng dựa trên bài toán túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC , N là điểm trên cạnh AC AN cho AC Chứng minh tam giác DMN vuông cân Một số bài tập áp dụng 59 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phƣơng trình đƣờng chéo AC : x y Trên tia đối tia CB lấy điểm M và trên tia đối tia DC lấy điểm N cho DN BM Đƣờng thẳng song song với AN kẻ từ M và đƣờng thẳng song song với AM kẻ từ N cắt F 0; Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết điểm M nằm trên trục hoành Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A 1; Trên tia đối tia CB lấy điểm M và trên tia đối tia DC lấy điểm N cho BM Đƣờng thẳng song song với AN kẻ từ M và đƣờng thẳng song DN song với AM kẻ từ N cắt F Biết phƣơng trình đƣờng thẳng CF : x y Xác định tọa độ các điểm M , N Biết M nằm trên trục hoành Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đƣờng chéo cắt I 0; Kẻ AH và BK lần lƣợt vuông góc với BD và AC Đƣờng thẳng AH và BK cắt E ; Xác định tọa độ các 2 đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm H nằm trên đƣờng thẳng x 2y Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đƣờng chéo cắt I Kẻ AH và BK lần lƣợt vuông góc với BD và AC Đƣờng thẳng AH và BK cắt E Xác định tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết phƣơng trình đƣờng thẳng BK : 3x phƣơng trình đƣờng thẳng IE : x y y và tọa độ điểm H 0, ; 5 60 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, D là trung điểm đoạn AB Biết I 11 13 ; ,E ; lần lƣợt là tâm đƣờng 3 3 tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác ADC Các điểm M 3; , N 3;0 lần lƣợt thuộc các đƣờng thẳng DC , AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết A có tung độ dƣơng Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, D là trung điểm đoạn thẳng AB Điểm E trình đƣờng thẳng CD : x 13 ; là trọng tâm tam giác ADC Phƣơng 3 , đƣờng cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC qua N 2; Xác định tọa độ tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, E 2;1 là điểm thuộc cạnh BC Đƣờng thẳng qua M vuông góc với DE cắt ; 5 các đƣờng thẳng DE và DC theo thứ tự H và K 5; Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông , biết đƣờng thẳng CH có phƣơng trình 7x y 16 Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông N 3; 13 là điểm thuộc cạnh BC Đƣờng thẳng qua B vuông góc với DE cắt các đƣờng thẳng DE và DC theo thứ tự H 62 34 ; và K 5; Xác định tọa độ các 25 25 đỉnh hình vuông, biết điểm C thuộc đƣờng thẳng x 2y 61 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, gọi E là trung 11 là hình chiếu vuông góc B lên CE và ; 5 điểm cạnh AD, H M là trung điểm BH Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ; 5 ABCD, biết điểm A có hoành độ âm Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi M là điểm trên cạnh AC cho AB 2AM Đƣờng tròn tâm I 1; đƣờng kính CM cắt BM D Xác định tọa độ các đỉnh biết đƣờng thẳng BC qua N CD : x 3y ABC ; , phƣơng trình đƣờng thẳng và điểm C có hoành độ dƣơng Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;1 , đƣờng cao từ đỉnh A có phƣơng trình 2x đƣờng thẳng :x 2y y và các đỉnh B, C thuộc Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, có tâm O và hai cạnh kề lần lƣợt qua M 1;2 , N 3; Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phƣơng trình đƣờng thẳng chứa các cạnh AB và CD lần lƣợt là 4x 3y 0;4x 3y 18 Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết tâm I thuộc đƣờng thẳng :x y Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB vàCD, hai đƣờng chéo AC và BD vuông góc với Biết A 0; , 62 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng B 3; và điểm C nằm trên trục hoành Xác định tọa độ đỉnh D hình thang ABCD Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I 3; và AC N 3; 2BD Điểm M 2; thuộc đƣờng thẳng AB, điểm 13 thuộc đƣờng thẳng CD Viết phƣơng trình đƣờng chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ 63 Ths Trần Hải 0982 358 268 Chuyên đề phương trình đường thẳng mặt phẳng KẾT LUẬN Phƣơng trình đƣờng thẳng mặt phẳng là nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh phải biết cách tƣ duy, biến đổi, lựa chọn phƣơng pháp giải phù hợp Đề tài đã nêu lên các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng, các phƣơng pháp giải phù hợp Tuy nhiên, đây là nội dung rộng, nên việc đƣa các phƣơng pháp đôi còn mang tính tƣơng đối Hi vọng qua bài viết này phần nào giúp cho học sinh có tƣ tốt hơn, thành thạo kỹ giải toán và số các kiến thức liên quan Các kiến thức đề tài đã đƣợc tôi áp dụng với học sinh các lớp tôi dạy và thu đƣợc số kết khả quan Tuy nhiên, kiến thức cá nhân có hạn, kinh nghiệm giảng dạy còn nhiều hạn chế và bài viết chƣa đƣợc áp dụng nhiều các đối tƣợng nên chắn còn nhiều thiếu sót Hi vọng nhận đƣợc góp ý các thầy cô, anh chị đồng nghiệp để đề tài đƣợc hoàn thiện và có ứng dụng rộng rãi Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo, 2008, Hình học 10 bản, NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh, 2008, Hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục [3] Trần Phƣơng, 2007, Hình học giải tích, NXB Trẻ [4] Tủ sách toán học và tuổi trẻ, 2012, NXB Giáo dục [5] Tuyển tập tạp chí Toán học và Tuổi trẻ năm 2004 64 Ths Trần Hải 0982 358 268