Đang tải... (xem toàn văn)
Đó là dạng “bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm” và để giải quyết bài toán này tôi sẽ đưa ra hai mô hình để giải quyết... Tuy nhiên cách làm này hơi mất côn[r]
(1)“Bạn làm tôi” Nguyễn Chí Phương
Bài học 1: [Chuyên đề khảo sát hàm số]
BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM
Mơ hình 1:Dùng phương pháp bảng biến thiên
Đưa (*) dạng 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑚) Đặt: 𝑦 = 𝑔(𝑥) (𝐶) (đồ thị (𝐶) đường thẳng hay đường cong) 𝑦 = ℎ(𝑚) (∆) (đồ thi (∆) đường thẳng nằm ngang) Như ta đưa tốn bài tốn “ tìm m để (∆) cắt (C) 𝑛 điểm phân biệt “ Lập bảng biến thiên hàm 𝑦 = 𝑔(𝑥) ta có kết quả sau biện luận Sau vài ví dụ cho bạn :
Ví dụ 1: Cho phương trình 𝑡2− 4𝑡 + + 4𝑚 = (1) Tìm điều kiện 𝑚 để (1) có nghiệm thuộc [−1,1]. Giải Biến đổi: (1) ⇔ 𝑡2− 4𝑡 + = −4𝑚.
Đặt: 𝑦 = 𝑡2− 4𝑡 + (𝐶) 𝑦 = −4𝑚 (∆)
Lập bảng biến thiên hàm 𝑦 = 𝑡2− 4𝑡 + (hình bên) Để (1) có nghiệm 𝑡 ∈ [−1,1] (∆) cắt (𝐶) [−1,1] Nhìn BBT suy ≤ −4𝑚 ≤ ⇔ −2 ≤ 𝑚 ≤
Ví dụ 2: Cho phương trình 3𝑥2+ 4𝑚𝑥 − = (2) Tìm điều kiện 𝑚 để (2) có nghiệm thuộc [−1,1] Giải Biến đổi (2) ⇔4−3𝑥2
𝑥 = 4𝑚 Đặt 𝑦 =4−3𝑥2
𝑥 (𝐶) 𝑦 = 4𝑚 (∆) Lập bảng biến thiên hàm 𝑦 =4−3𝑥2
𝑥 (hình bên)
Để (2) có nghiệm [−1,1] (∆) cắt (𝐶) khoảng [−1,1] Nhìn BBT suy [ 4𝑚 ≤ −1
4𝑚 ≥ ⇔ [
𝑚 ≤ −1 𝑚 ≥1
4
Nhược điểm mơ hình việc biến đổi 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑚) thực với phương trình mà mũ tham số đồng bậc Trường hợp ngược lại sao? Ta xét tiếp mơ hình sau:
Mơ hình 2: Dùng tam thức bậc
Xét phương trình 𝑓(𝑥, 𝑚) = có nghiệm: 𝑥1, 𝑥2 (trường hợp có nghiệm tương tự) Kí hiệu 𝑎𝑓 hệ số với mũ cao 𝑓 Khi để nghiệm (*) thuộc [𝑎, 𝑏] ta có trường hợp sau: 1 Hai nghiệm thuộc [𝑎, 𝑏] tức là: 𝑎 ≤ 𝑥1< 𝑥2≤ 𝑏 ⇔ {
𝑎𝑓𝑓(𝑎) ≥ 0, 𝑎𝑓𝑓(𝑏) ≥ 0,
𝑎 ≤𝑆 2≤ 𝑏 2 Môt nghiệm thuộc [𝑎, 𝑏] tức là: [𝑎 ≤ 𝑥𝑥 1≤ 𝑏 ≤ 𝑥2
1≤ 𝑎 ≤ 𝑥2≤ 𝑏⇔ 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) ≤
Chào mừng bạn đến với blog “bạn làm tôi” Trong học xin trình bày tốn phổ biến nằm phần tốn hàm số Đó dạng “bài tốn tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm” để giải tốn tơi đưa hai mơ hình để giải Nào bắt đầu với tốn: Cho hàm số 𝒇(𝒙, 𝒎) = 𝟎 (*) tìm điều kiện
(2)“Bạn làm tơi” Nguyễn Chí Phương
3 Cả hai nghiệm không thuộc[𝑎, 𝑏]tức là: 𝑎 < 𝑏 ≤ 𝑥1< 𝑥2⇔ {
𝑎𝑓𝑓(𝑏) ≥ 0, 𝑏 ≤𝑆
2
𝑣à 𝑥1 < 𝑥2≤ 𝑎 < 𝑏 ⇔ {
𝑎𝑓𝑓(𝑎) ≥ 0, 𝑆
2≤ 𝑎
Ta xét lại ví dụ : Phương trình 𝑡2− 4𝑡 + + 4𝑚 = 0 có ∆′= − 4𝑚
+ Với ∆′= ⇔ 𝑚 =1
4 (1) có nghiệm 𝑥 = ∉ [−1,1] + Với ∆′> ⇔ 𝑚 <1
4 (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2 Để (1) có nghiệm thuộc [−1,1] trường hợp sau xảy ra:
Trường hợp nghiệm thuộc [−1,1] −1 ≤ 𝑥1< 𝑥2≤ ⇔ {
1 𝑓(−1) ≥ 𝑓(1) ≥ −1 ≤𝑆
2≤ ⇔ {
8 + 4𝑚 ≥ 4𝑚 ≥ −1 ≤ ≤
(𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) Trường hợp nghiệm thuộc [−1,1]
[−1 ≤ 𝑥𝑥 1≤ ≤ 𝑥2
1≤ −1 ≤ 𝑥2 ≤ 1⇔ 𝑓(−1)𝑓(1) ≤ ⇔ (8 + 4𝑚)4𝑚 ≤ ⇔ −2 ≤ 𝑚 ≤
Xét lại ví dụ : Phương trình 3𝑥2+ 4𝑚𝑥 − = có ∆′= 4𝑚2+ 12 > nên (2) ln có nghiệm phân
biệt Để (2) có nghiệm thuộc [−1,1] trường hợp sau xảy ra: Trường hợp nghiệm thuộc [−1,1]
−1 ≤ 𝑥1< 𝑥2≤ ⇔ {
𝑓(−1) ≥ 𝑓(1) ≥ −1 ≤𝑆
2≤ ⇔ {
−4𝑚 − ≥ 4𝑚 − ≥ −1 ≤−4𝑚
6 ≤
⇔ {
𝑚 ≤ −14 𝑚 ≥1
4 −3
2≤ 𝑚 ≤
(𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) Trường hợp nghiệm thuộc [−1,1]
[−1 ≤ 𝑥𝑥 1≤ ≤ 𝑥2
1 ≤ −1 ≤ 𝑥2≤ 1⇔ 𝑓(−1)𝑓(1) ≤ ⇔ (−4𝑚 − 1)(4𝑚 − 1) ≤ ⇔ [
𝑚 ≤ −1 𝑚 ≥1
4
Nhận xét: Rõ ràng từ tốn có nhiều cách làm…thật cịn có cách làm
là viết nghiệm (*) sau tìm điều kiện nghiệm thuộc hay khơng thuộc [𝑎, 𝑏] Tuy nhiên cách làm công mà lại không hay nghiệm tính có dạng phức tạp, cồng kềnh Hy vọng qua mơ hình tốn bạn có cho cách làm tốn tốt Cuối vài ví dụ cho bạn ơn tập
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sin22𝑥 + 2𝑚 sin 2𝑥 − = có nghiệm
Bài tập 2: Tìm m để phương trình 3𝑥2+ 𝑚𝑥 − = có nghiệm (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
Bài tập 3: Tìm m để phương trình 3(𝑚 − 1)2𝑥2+ 2𝑚𝑥 + = có nghiệm [−1,1]
Hướng dẫn
Bài tập 1: Đặt 𝑡 = sin 𝑥 chuyển qua phương trình bậc theo t…lưu ý với điều kiện 𝑡 Bài tập 2: Sử dụng mơ hình
Bài tập 3: Sử dụng mơ hình (do 𝑚 khơng đồng bậc)