MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER ELLIPTI[r]
(1)MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON UNBOUNDED DOMAINS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng NGUYỄN CỬU HUY HV Cao học khoá 2004-2007 TÓM TẮT Các tính chất nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục trên miền bị chặn đã nghiên cứu nhiều tác các nguyên lý so sánh, các định lý nghiệm và các định lý tồn nghiệm Bài báo này trình bày nguyên lý so sánh nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn ABSTRACT The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order on bounded domains have been investigated by many authors providing comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems This paper describes a comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations on unbounded domains ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng: F( u, Du, D u) = f(x), (1.1) n đó, F: R × R × S(n) → R với S(n) là ký hiệu tập hợp tất các ma trận vuông đối xứng cấp n Ta xét hàm số F( u, Du, D u) với u là hàm số giá trị thực xác định trên toàn R n , Du là ký hiệu gradient u và D u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai u, và f là hàm cho trước Tuy nhiên, khuôn khổ bài toán sau đây, Du và D u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai Ta khảo sát tính chất nghiệm nhớt cho phương trình F = f, đó F phải thỏa mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition): F(r, p, X) ≤ F(s, p, Y) với r ≤ s và Y ≤ X (1.2) n Trong đó r, s ∈ R, p ∈ R , X, Y ∈ S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường nó Lưu ý rằng, điều kiện trên cho ta hai điều kiện: F(r, p, X) ≤ F(s, p, X) với r ≤ s Lop12.net (1.3) (2) F(r, p, X) ≤ F(r, p, Y) với Y ≤ X (1.4) GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 2.1 ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM NHỚT Để mô tả nghiệm nhớt cho phương trình (1.1) ta sử dụng các ký hiệu sau đây : C ( R n ) = { u : R n → R | u liên tục trên R n } UC ( R n ) = { u : R n → R | u liên tục trên R n } J 2, + J 2, − Ta ký hiệu và hàm số u sau: n × ∈ ϕ C2 u −ϕ x x ( Dϕ ( x ), D ϕ ( x )) R u( )={ S(n) | là và đạt cực đại địa phương } 2, − n × ∈ ϕ u − ϕ x x J ( Dϕ ( x ), D ϕ ( x )) R C u( )={ S(n) | là và đạt cực tiểu địa phương } Cho J 2, + u ∈ C(R n ) Ta định nghĩa : J 2, + J 2, − u(x) ={(p, X) u(x) ={(p, X) ∈ Rn × ∃ xn pn X n ∈ R n × R n × p n X n ∈ J 2, + x n S(n) | ( , , ) S(n), ( , ) u( ) và ( → x n , u( x n ), p n , X n ) ( x, u(x), p, X)} ∈ Rn × ∃ xn pn X n ∈ R n × R n × p n X n ∈ J 2, − x n S(n) | ( , , ) S(n), ( , ) u( ) và ( → x n , u( x n ), p n , X n ) ( x, u(x), p, X)} ĐỊNH NGHĨA: n ∈ a Một nghiệm nhớt phương trình (1.1) là hàm u C ( R ) cho : ∈ J 2, + ≤ x ∈ Rn F( u(x), p, X) f(x) với và ( p, X) u(x) ; n ∈ b Một nghiệm nhớt trên phương trình (1.1) là hàm u C ( R ) cho : ∈ J 2, − ≥ x ∈ Rn F(u(x), p, X) f(x) với và ( p, X) u(x) ; n ∈ c Một nghiệm nhớt phương trình (1.1) là hàm u C ( R ) cho u vừa là nghiệm nhớt vừa là nghiệm nhớt trên phương trình (1.1) 2.2 TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM n n Định lý: Cho f ∈ UC ( R ) Giả sử F ∈ UC ( R × R × S (n)) thỏa mãn (1.2) và tồn số thực γ > , hàm liên tục ω : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn ω (0+) = cho : (i) γ (r − s) ≤ F(r, p , X) - F(s, p, X) với (ii) F(r, p, X) - F(r, q, Y) r ≥ s, ( p, X ) ∈ R n × S (n), ≤ ω (| p − q | + X − Y ) với p, q Lop12.net ∈ Rn ,r ∈R , và X, Y ∈ S (n) Khi (3) đó, u là nghiệm nhới (1.1) và v là nghiệm nhớt trên (1.1) cho u và v biến n thiên hầu tuyến tính, thì u ≤ v trên R Chứng minh: n Ta chứng minh định lý theo hai bước Trước hết, ta lưu ý vì f ∈ UC ( R ) nên tồn số K cho : sup ( f ( x) − f ( y ) − K | x − y | ) < ∞ R n ×R n , (2.1) ta chứng minh sup (u ( x) − v( y ) − R n ×R n 2K |x− y| )<∞ γ (2.2) Vì u và v biến thiên hầu tuyến tính, nên tồn số L > cho: u ( x) − v( y ) ≤ L(1+ | x | + | y |) n n trên R × R (2.3) n Chọn họ β r các hàm C trên R tham số hóa r ≥ với các tính chất: (i) β r ≥ 0, lim inf (ii) (iii) | x| → ∞ β r ( x) ≥ L, |x| | Dβ r ( x) | + D β r ( x) ≤ C lim β r ( x) = với r ≥ 1, x ∈ R n , x ∈ Rn r →∞ (iv) với , đó C là số Từ (2.3) và (ii), ta thấy hàm số : Φ ( x, y ) = u ( x ) − v ( y ) − 2K (1+ | x − y | ) / − ( β r ( x) + β r ( y )) γ đạt giá trị lớn điểm ( x , y ) Bây (2.2) đúng với r lớn ta có Φ ( x , y ) > và điều này cho ta : 2K | x − y |≤ u ( x ) − v( y ) γ Lưu ý Lop12.net (2.4) (4) ( p + Dβ r ( x ), Z + D β r ( x )) ∈ J 2, + x u( ) ( p − Dβ r ( y ),− Z − D β r ( y )) ∈ J 2, − y v( ), đó, p=( 2K D z (1+ | z | )1 / ) | z = x − y γ , Z =( 2K D z (1+ | z | )1 / ) | z = x − y γ Theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có : F (u ( x ), p + Dβ r ( x ), Z + D β r ( x )) ≤ f ( x ) F (v( y ), p − Dβ r ( y ),− Z − D β r ( y )) ≥ f ( y ) Từ đây ta dùng (2.4) và lưu ý p và Z là bị chặn và độc lập với r ≥ , ta có γ u ( x ) − v( y )) ≤ F (u ( x ), p + Dβ ( x ), Z + D β ( x )) F (v( y ), p + Dβ ( x ), Z + D β ( x )) r r r r ( = F (u ( x ), p + Dβ r ( x ), Z + D β r ( x )) F (v( y ), p − Dβ r ( y ),− Z − D β r ( y )) - F (v( y ), p − Dβ r ( y ),− Z − D β r ( y )) F (v( y ), p + Dβ r ( x ), Z + D β r ( x )) + - ≤ f ( x ) − f ( y ) + C ≤ K | x − y | +C ≤ γ (u ( x ) − v( y )) + C , đó C là số độc lập với r ≥ Do đó u ( x ) − v( y ) là bị chặn độc lập với r ≥ r→∞ Vì Φ ( x, y ) ≤ Φ ( x , y ) ≤ u ( x ) − v( y ), nên ta cho và thu 2K u ( x) − v( y ) − (1+ | x − y | )1 / γ là bị chặn và (2.2) đúng ~ Bây giờ, ta quay trở lại định lý Giả sử tồn x cho u(~ x ) − v( ~ x ) = 2δ > Ta đặt Ψ ( x, y ) = u ( x ) − v ( y ) − đó ε , α là các tham số dương Với ε α | x − y | −ε (| x | + | y | ), ~ ~ đủ nhỏ, ta thấy Ψ ( x , x ) ≥ δ và theo (2.2) Ψ đạt cực đại ( xˆ , yˆ ), và đó: Lop12.net (5) α 2K α 4K 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ | x − y | +ε (| x | + | y | ) ≤ u ( x) − v( y ) ≤ | x − y | +C ≤ | x − y | + + C, γ αγ (2.5) với số C nào đó Hơn nữa, tồn X , Y ∈ S(n) cho (α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) ∈ J 2, + u (xˆ ), và α I -3 (α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , Y − 2εI ) ∈ J 2, + v( yˆ ) 0 ≤ X 0 ≤ α I − Y I − I -I I (2.6) Như trên, ta thu γ u ( xˆ ) − v( yˆ )) ≤ F (u ( xˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) ( = F (u ( xˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) - F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , Y − 2εI ) ˆ ˆ ˆ ˆ + F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , Y − 2εI ) - F (v( y ),α ( x − y ) + 2εx, X + 2εI ) ≤ f ( xˆ ) − f ( yˆ ) + F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , Y − 2εI ) - F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ, X + 2εI ) ~ ~ Vì δ ≤ Ψ ( x , x ) ≤ u ( xˆ ) − v( yˆ ), và vì X ≤ Y theo (2.6), ta có γδ ≤ ω f (| xˆ − yˆ |) + F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , X − 2εI ) F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) - , ωf là modulus liên tục f 2 α ≥1 Ta lưu ý rằng, từ (2.5) ta thấy α | xˆ − yˆ | và ε (| xˆ | + | yˆ | ) là bị chặn độc lập với và < ε ≤ ε → εxˆ , εyˆ → | xˆ − yˆ |→ Vì và α ( xˆ − yˆ ) bị chặn Mặt khác α → ∞ ε > Do đó, từ giả thiết liên tục f và F ta nhận cho ε → thì α → ∞ : đó γδ ≤ 0, và đưa đến điều vô lý Như vậy, định lý chứng minh KẾT LUẬN Bài báo đã đưa nguyên lý so sánh nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến loại elliptic miền không bị chặn Trong trường hợp này, giả thiết nghiệm biến thiên hầu tuyến tính là cần thiết để đánh giá nghiệm miền khảo sát không bị chặn Tất nhiên, chúng ta có thể nghiên cứu bài toán này mà không cần giả thiết ấy, đó là vấn đề khá phức tạp Lop12.net (6) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M G Crandall, H Ishii, P L Lions, User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull Amer Math Soc 1[27], 1992 [2] M G Crandall, P L Lions, The maximum principle for semicontinuous functions, Diff Int Equ [3], 1990 [3] R Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch Rat Mech Anal [101], 1988 Lop12.net (7)