Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu Hopf - lax - oleinik cho nghiệm nhớt

Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Lời Cảm ơn Trong suốt trình thực đề tài, em nhận hướng dẫn bảo nhiệt tình thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng giảng viên tổ Tốn Giải tích, tồn thể thầy khoa Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Em xin chân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng tồn thể q thầy, khoa Toán giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hồn thành tốt khố luận Bằng nỗ lực thân, khố luận hồn thành Song khn khổ thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khố luận khó tránh khỏi sai sót Em mong nhận đóng góp ý kiến q thầy, bạn sinh viên để thân tiếp tục hồn thiện trình học tập giảng dạy Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên Thân Văn Tài GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -1- SVTH: Thân Văn Tài Lời cam đoan Q trình nghiên cứu khố luận với đề tài: “Nghiệm nhớt phƣơng trình đạo hàm riêng cấp công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” giúp em hiểu sâu mơn Giải tích đại, đặc biệt phương trình vi phân ĐHR Qua giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Em xin cam đoan khố luận hồn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn, bảo nhiệt tình thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng thầy, tổ Tốn Giải tích trường ĐHSP Hà Nội Và đề tài không trùng với đề tài tác giả khác Em mong nhận đóng góp ý kiến q thầy, bạn sinh viên để khố luận hồn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên Thân Văn Tài Mục lục Lời cảm ơn ………………………………………………………………… Lời cam đoan ……………………………………………………………… Mục lục ………………………………………………………………………3 Lời nói đầu ………………………………………………………………….4 Chƣơng 1: Các ký hiệu kiến thức mở đầu …………………………… 1.1 Ký hiệu …………………………………………………………….6 1.2 Kiến thức giải tích thực…………………………………………8 1.3 Kiến thức giải tích hàm ……………………………………… 1.4 Kiến thức lý thuyết Tơpơ-Độ đo-Tích phân ………………… 10 1.5 Một số bất đẳng thức ………………………………………… 11 Chƣơng 2: Nghiệm nhớt phƣơng trình đạo hàm riêng cấp …12 2.1 Mở đầu ………………………………………………………… 12 2.2 Khái niệm nghiệm nhớt ………………………………………… 13 2.3 Tính nghiệm nhớt ………………………………… 18 2.4 Các công thức Hopf-Lax ………………………………………23 Chƣơng 3: Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt ……….29 3.1 Các ký hiệu thường dùng………………………………………29 3.2 Công thức Hopf-Lax cổ điển …………………………………….30 3.3 Hamiltonian lồi phụ thuộc vào u …………………………… 32 3.4 Hamiltonian phụ thuộc u kiện ban đầu tựa lồi ……………34 Kết luận …………………………………………………………………….43 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………… 44 Lời nói đầu Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI Như ta biết phương trỡnh vi phõn ĐHR núi chung phương trỡnh phi tuyến núi riờng cú ứng dụng rộng rói thực tế Cú nhiều lĩnh vực nghiờn cứu đại mà phương trỡnh vi phõn ĐHR đóng vai trũ quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhúm nhiều chiều, lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết cỏc khụng gian vật lý toỏn Mặc dự đề cập từ lõu (khoảng kỷ 18 19), lý thuyết cỏc phương trỡnh phi tuyến chưa hoàn thiện Từ đầu kỷ 20 đến nhu cầu nghiờn cứu cỏch chặt chẽ phương trỡnh vi phõn ĐHR kớch thớch phỏt triển cỏc phương phỏp Giải tớch thực,Giải tớch hàm Tụpụ Một toỏn phương trỡnh vi phõn ĐHR, cú ý nghĩa thực tiễn thỡ chắn cú nghiệm, vấn đề nghiệm hiểu theo nghĩa mà thụi Cú nhiều phương trỡnh vi phõn ĐHR mà ta nghiờn cứu, đặc biệt phương trỡnh phi tuyến khụng cú nghiệm cổ điển Vấn đề đặt ta cố gắng xõy dựng lý thuyết cỏc nghiệm suy rộng nghiệm yếu chỳng, đặc biệt tớnh nghiệm (do nhu cầu ứng dụng thực tế) Khi nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR cấp thỡ kỹ thuật phương pháp triệt tiêu độ nhớt, ta thu nghiệm nhớt (một loại nghiệm yếu) toỏn Cauchy phương trỡnh Hamilton-Jacobi Như nghiệm nhớt cú ý nghĩa lớn việc nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR Vỡ tầm quan trọng lớn nú thực tế, nghiờn cứu khoa học nhằm giỳp cho bạn đọc cú cỏi nhỡn tổng quỏt phương trỡnh vi phõn ĐHR Nờn quỏ trỡnh nghiờn cứu khoỏ luận em mạnh dạn lựa chọn đề tài “Nghiệm nhớt phƣơng trỡnh đạo hàm riêng cấp cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” phần nhỏ lý thuyết phương trỡnh vi phõn ĐHR NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong khuụn khổ thời gian cú hạn nờn khoỏ luận em chủ yếu sõu vào số nội dung chớnh sau: Chƣơng 1: “Ký hiệu kiến thức mở đầu” Nhằm mục đích cung cấp cho người đọc ký hiệu thường dựng cỏc kiến thức cú liờn quan để tiện theo dừi cỏc phần Chƣơng 2: “Nghiệm nhớt phƣơng trỡnh đạo hàm riờng cấp một” Ta đề cập đến khỏi niệm nghiệm nhớt cụng thức kiểu Hopf-Lax chỳng, cựng cỏc ước lượng nghiệm trường hợp khụng cổ điển Chương ta đưa cỏi nhỡn tổng quỏt tớnh nghiệm yếu cụng thức Hopf-Lax cho trường hợp cỏc Hamiltonian lồi (dữ kiện ban đầu lồi) Chƣơng 3: “Cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” Chương cú phần: Phần đưa cỏc ký hiệu chung thường dựng cho cỏc phần Phần nhằm thiết lập cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt với phương trỡnh Hamilton-Jacobi trường hợp Hamiltonian khụng phụ thuộc vào ẩn hàm hàm ban đầu khụng thiết liờn tục Phần thực cụng việc tương tự Hamiltonian lồi phụ thuộc vào ẩn hàm cựng gradient theo cỏc biến khụng gian nú Phần Hamiltonian chứa biến thời gian ẩn hàm cựng với gradient theo cỏc biến khụng gian nú Chƣơng Kí HIỆU VÀ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Kí HIỆU 1.1.1 Ký hiệu hỡnh học (i)  khụng gian Euclide thực n chiều n (ii) ∂ biờn U, U = U U  ∂U (iii)UT = U × ( 0,T (iv)Γ = U T − UT T (v) n x − y n biờn parabolic UT B (x, r) = { y ∈ ] bao đóng U | < r} hỡnh cầu mở □ với tõm x bỏn kớnh r > (vi) B(x, hỡnh cầu đóng với tõm x bỏn kớnh r > r) (vii)  = x = (x1, )∈ | x j > 0∀j = 1, 2, ,n}  + x2 , ,{ x nửa khụng gian n n n mở phớa trờn;  | x > 0} + ={ x ∈ (viii) ột điểm  (x,t) = (x1, x2 , , xn ,t) n + thường ký hiệu 1.1.2 Ký hiệu cỏc hàm số thường dựng t = xn+1 biến thời gian (i) Nếu u :U →  , ta viết u(x) = u(x1, x2 , , xn ) (x ∈U ) Ta núi u trơn u khả vi vụ hạn + (ii) u = max(u,0), − + u = u= u −min (u,0), − u − , (iii) Hàm u :U → + − u= u + u  gọi liờn tục Lipschitz u(x) − u( y) ≤ C x − y với số C với x, y ∈U Ta viết u(x) − u( Lip [u ] := sup x, y) y∈U , x≠ y x− y (iv) Tớch chập cỏc hàm f , h ký hiệu: f*h ∫ f ( y)h(x − ( f * h)(x) := y)dy 1.1.3 Các ký hiệu đạo hàm Giả thiết u :U →  , x ∈U ∂u u(x + hεi ) − u(x) (x) = lim , giới hạn tồn (i) h→0 ∂xi h (ii) Ta hay viết u thay cho x ∂u i ∂ u ∂x ∂ u i (iii) Tương tự ∂x ∂x = u x ∂x ∂x x , ∂x = u x x v.v x , i i j i j i k toỏn tử Laplace u n (iv) ∆ u = j k j uxi xi = ∑ i= tr(D u) 1.1.4 Cỏc khụng gian hàm (i) C(U ) = {u :U →  |u liờn tục C(U ) = {u ∈C(U ) | u C k (U ) = {u :U → |u } liờn tục } liờn tục khả vi k lần } k C (U ) = α {u ∈C liờn tục với k α ≤ k} (U ) | D u đo Lebesgue, (ii) Lp (U ) = {u :U → |u u Lp (U ) T Từ đú ta xột tập Γ xỏc định sau F (t, x; p) p, := x t − f * (γ , p) − ∫ (τ ,γ , p)dτ ≤ 0, H p ∈ S(0;1), (t, x) ∈ ×  , x điểm U nờn tồn lõn cận V ' n Vỡ (t ) 0 ' (t , x ), V ⊂ U Như 0 Eu,γ V ' = Γ V ' Tứ E , Γ cú chung nún tiếp xỳc cú chung nún phỏp tuyến u, c γ hướng (t0 , x0 ) F (t, x; Dễ kiểm tra hàm p) (t, x) gradient nú D(t ,x) F(t, x; p) n liờn tục theo (t, x), (t, x) ∈ ×  , p ∈ S tập số tác động S(0;1) Gọi (t0 , x0 ) ∈U , tức tập cỏc p ∈ S(0;1) số thỏa F(t0 , x0 ; p) Chỳng ta cần số kết liờn quan tới S0 Bổ đề 3.4.3 S0 ≠ φ γ ≠ γ * Chứng minh Hiển nhiờn γ = u(t0 , x0 ) ≥ γ * Do γ * < γ Giả sử với ε> ( p, sup x p =1 t0 < H (τ , p) ∫0 0, ,γ − − f * (γ (3.19) )< p)dτ −ε0 Vỡ H hàm liờn tục nờn H liờn tục trờn tập compact: [0,T ] × [γ −1, γ +1] × S(0;1) Do hàm G(γ , p) := ∫ t H (τ , γ , p)dτ liờn tục trờn [γ −1, γ +1] × S(0;1) , dẫn đến họ (G(γ , p)) p =1 liờn tục đồng bậc γ ∈[γ −1, γ +1] Theo bổ đề 3.4.2, họ (T (γ , p)) p =1, T (γ , p) := t − f *( γ , p) H (τ , γ , p)dτ p, x0 − ∫ ' nửa liờn tục trờn đồng bậc γ − δ + δ  với ' ∈ ,γ γ 0< δ < ' {1, γ − γ* } Từ (3.19) suy tồn < δ cho < δ ' p, x0 t − f * (γ , p) − ∫ H (τ , γ , p)dτ t ε −(γf * ≤ p, x ε0 < − , p) − ∫ < ∀p ∈ ∀ − δ 0, S (0;1), γ: < γ γ < γ −ε − f * (γ , p) − ∫ H (τ , γ , p)dτ ≤ ) p =1 Núi cỏch khỏc  p, x − sup * (γf   p =1 − − 2 δ ∫t + δ < ∀ − 0, γ : γ < t0 ( 0 Dẫn đến p, sup x ,Hγ (τ , p)dτ + δ + δ γ < γ 0 , p)0 H (τ − δ , p)dτ với δ > ,γ  ≤ 0,   Điều mõu thuẫn với định nghĩa chứng minh u( t0 , x0 )= γ Từ ta cú điều phải Bổ đề 3.4.4 (t0 , x0 điểm chớnh quy Γ ) Chứng minh - Nếu S = thỡ φ p, x −(γf * sup ( p =1 , p) − t0 ∫ , p)dτ H (τ ,γ )