Nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton - Jacobi

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN PHAN VĂN L®C NGHIfiM NHéT LIÊN TUC CUA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON JACOBI KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2011 LèI CÃM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khố lu¾n cúa Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham H Nđi 2, Ban chỳ nhiắm khoa Toỏn ó tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khố luắn ny Trong khuụn kho cú han cỳa mđt bi khoỏ luắn, ieu kiắn thũi gian, trỡnh đ có han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa thay ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Phan Văn L®c LèI CAM ĐOAN Khố lu¾n ket q cúa bán thân em q trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh em đưoc sn quan tâm cúa thay giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang Trong nghiên cúu hồn thành bán khố lu¾n em ó tham khỏo mđt so ti liắu ó ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cúa đe tài “Nghi¾m nhát liên tnc cúa phương trình Hamilton-Jacobi” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cúa đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Phan Văn L®c Mnc lnc Mé đau .1 Chương Nghi¾m nhét cúa phương trình HamiltonJacobi 1.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán .3 1.2 M®t so phép tốn tính chat nâng cao cúa nghi¾m nhót12 1.3 Hàm marginal .21 Chương Tính nhat tính quy cúa nghi¾m nhét 27 2.1 Tính nhat sn so sánh nghi¾m 27 2.2 Tính quy cúa nghi¾m nhót .40 2.2.1 Tính liên tnc Lipschitz cúa nghi¾m nhót .40 2.2.2 Tính núa lõm 46 Ket lu¾n 51 Tài li¾u tham kháo 52 Me ĐAU 1.Lý chon đe tài Khi xét m®t tốn cúa phương trình đao hàm riêng ta thưòng g¾p nhung khác ve nghiắm cỳa nú Ta núi mđt bi toỏn cỳa phương trình đao hàm riêng đ¾t neu nghi¾m thóa mãn cá ba đieu ki¾n: ton tai nghi¾m cúa tốn, nghi¾m nhat, nghi¾m phn thuđc liờn tnc vo cỏc du kiắn cỳa bi toỏn Mđt cỏch tn nhiờn, ta ũi húi nghiắm cỳa phng trình đao hàm riêng cap k F(x, u, Du, , Dku) = 0, ∀x ∈ Ω ⊂ RN m®t hm k lan khỏ vi liờn tnc Nghiắm vúi đ trơn the đưoc goi nghi¾m co đien Nhưng thnc te, nhung phương trình đao hàm riêng có nghi¾m co đien rat Vì v¾y đòi hói phái a mđt khỏi niắm nghiắm suy rđng thớch hop (nghi¾m khơng can vi đen cap k, th¾m chí khụng liờn tnc) Mđt nhung loai nghiắm suy rđng có ý nghĩa rat quan “nghi¾m nhót” Khái ni¾m “nghi¾m nhót” đưoc M G Gandall P L Lions đưa vào nhung năm đau cúa th¾p ký 80, ó mú mđt húng nghiờn cỳu hiắu q vi¾c nghiên cúu phương trình đao hàm riêng phi tuyen cap 1, cap 2, có phương trỡnh HamiltonJacobi Thay vỡ buđc nghiắm u phỏi thúa phương trình vi đen cap k , tác giá chí đòi hói nghi¾m liên tnc, thóa mãn bat thúc vi phân thông qua “hàm thú” đú trơn ho¾c qua khái ni¾m vi phân, dưói vi phân Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chun ngành Tốn khn kho cúa khố lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình cúa thay Tran Văn Bang tơi chon đe tài “Nghi¾m nhát liên tnc cúa phương trình Hamilton - Jacobi” 2.Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình Hamiltol-Jacobi 3.Đoi tưeng pham vi nghiên cNu Nghiên cúu nghi¾m nhót liên tnc cúa lóp phương trình HamiltonJacobi bao gom khái ni¾m, tính chat cúa 4.Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat 5.Cau trúc khóa lu¾n Ngồi mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo, khố lu¾n gom chương: Chương Nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình HamiltonJacobi Chương Tính nhat tính quy cúa nghi¾m nhót Chương Nghi¾m nhét cúa phương trình Hamilton-Jacobi 1.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán Trong mnc ta se trình bày hai đ%nh nghĩa tương đương cúa nghi¾m nhót cúa phương trình Hamiltol-Jacobi nghiên cúu moi quan h¾ cúa chúng dna vào nguyên lý so sánh nghi¾m moi quan h¾ vói khái ni¾m nghi¾m co đien cúa phương trình HamiltonJacobi (viet tat (HJ)) Cho phương trình Hamilton-Jacobi dang: F(x, u(x), Du(x)) = x ∈ Ω (HJ) Trong l mđt mú cỳa Rn v hm Hamilton F(x, r, p) m®t hàm liên tnc lay giá tr% thnc Ω × R × Rn Đ%nh ngha 1.1 Mđt hm u C() l mđt nghiắm nhót dưói cúa phương trình Hamilton-Jacobi neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) : F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ (1.1) tai bat kỳ điem cnc đai đ%a phương x0 ∈ Ω cúa hàm u − ϕ Tương tn m®t hàm u C() l mđt nghiắm nhút trờn cỳa phng trình Hamilton-Jacobi neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) : F(x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ (1.2) tai bat kỳ điem cnc tieu đ%a phương x1 ∈ Ω cúa hàm u − ϕ Cuoi u nghi¾m nhót neu vùa nghi¾m nhót vùa nghi¾m nhót dưói Hàm ϕ(x) đưoc goi hàm thú Chúng ta biet rang m®t cách xác đ%nh nghĩa đưoc áp dnng cho phương trình Hamilton-Jacobi tien hóa có dang: ut (t, y) + F(t, y, u(t, y), Dyu(t, y)) = 0, (t, y) ∈ [0, T ] × D Th¾t v¾y, phương trình có the đưoc đưa ve phương trình (HJ) bang cách đ¾t : x = (t, y) ∈ Ω = [0, T ] × D ⊆ Rn+1 , F˜ (x, r, p) = qn+1 + F(x, r, p1 , , qN ) vói q = (q1 , , qN, qN+1) ∈ Rn+1 Nh¾n xét 1.1 Trong đ%nh nghĩa nghi¾m nhót dưói ta ln có the giá sú rang x0 điem cnc đai đ%a phương ng¾t cúa hàm u − ϕ (neu khơng ta có the thay ϕ(x) bói ϕ(x) + |x − x0 | ) Hơn nua (1.1) chí phn thu®c vào giá tr% cúa Dϕ tai x0, nên khơng mat tính tong quát ta có the giá sú rang Tù nhung đ%nh nghĩa ta thay rang u0(x; q) ≤ ∂ − u(x, q) ≤ ∂ +u(x, q) ≤ u0(x; q), ∀x ∈ Ω, q ∈ RN, (2.24) đieu có nghĩa vói u ∈ Liploc(Ω), D−u(x) ∪ D+ u(x) ⊆ ∂ u(x), ∀x ∈ Ω (2.25) Cũng thay rang D+u(x), D−u(x) t¾p bi ch¾n Ket tiep theo ve sn ton tai cúa đao hàm theo hưóng co đien (m®t phía) cúa hàm liên tnc Lipschitz đ%a phương, ∂u u(x + t q) − u(x) (x) := ∂ u(x, q) := lim ∂q , |q| = →0+ t M¾nh đe 2.3 Cho u ∈ Liploc(Ω) Khi đó, vói moi q mà |q| = 1, ton tai ∂u (x) = ∂q p x) + ∈D u( p q = u0(x; q) · tai moi x ∈ Ω mà D+u(x) = ∂ u(x, q) Chúng minh Cho p ∈ D+u(x) |q| = Khi u(x + tq) − u(x) −t p.q ≤ o(|t|), vói t đú nhó Ta có u(x + t q) − u(x) p.q ≥ t o(t ) , vói t > nhó t − Tù suy inf p∈D+u(x ) Ket hop vói ( 2.24) ta đưoc p · q ≥ ∂ +u(x, q) (2.26) u0(x; q) ≤ ∂ − u(x; q) ≤ ∂ +u(x; q) ≤ inf p∈D+u(x) p · q M¾t khác ta có u0(x; q) = p∈∂ u(x) p · q; v¾y (2.26) neu x thóa mãn D+u(x) = ∂ u(x, q) M¾nh đe cho phép ta chỳng minh mđt bien the rat huu ớch cỳa Mắnh đe 1.10 đoi vói bán vi phân đao hàm theo hưóng cúa hàm biên u đưoc xác đ%nh bói u(x) := inf g(x, b) b∈B M¾nh đe 2.4 Giá sú B t¾p compact , g liên tnc Ω × B, vi đoi vói x vói Dxg liên tnc Ω × B Khi u ∈ Liploc(Ω), D+u(x) = ∂ u(x, q) vói moi x ket lu¾n cúa M¾nh đe 1.10 van Chúng minh Tù giá thiet x ›→ g(x, b) Lipschitz đ%a phương đoi vói b ∈ B, suy u ∈ Liploc(Ω) Tiep theo ta chúng minh rang D+u(x) = coY (x) Y (x) = {Dxg(x, b) : b ∈ M(x)} b)} M(x) = {b ∈ B : u(x) = g(x, Theo Bo đe 1.5 D+u(x) ⊆ coY (x) M¾t khác, (2.23) (2.25) nên D∗u(x) ⊆ Y (x) Cho p ∈ D∗u(x) lay xn → x thóa mãn Du(xn) → p Khi lay bn ∈ M(xn ), khơng mat tính tong quát ta giá sú rang bn → b¯ ∈ B Tù g(xn, bn) ≤ g(xn, b) vói moi n ∈ N b ∈ B, tù tính liên tnc cúa g ta ket lu¾n đưoc rang ∈ M(x) Theo tính vi cúa u tai xn Bo đe 1.5, b¯ ta có Du(xn ) = Dx g(xn , bn ) Cho n → +∞, ta đưoc p = Dx g(x, b¯ ); túc p ∈ Y (x) Sn ton tai đao hàm theo hưóng cơng thúc ∂u (x) = y · q, ∀q mà |q| = ∂q y∈Y (x) (2.27) đưoc suy trnc tiep tù M¾nh đe 2.3 Ta can chúng minh rang D−u(x) = {y} Y (x) l mđt iem {y} Thay rang trưòng hop ( 2.27) tró thành ∂ u(x; q) = y · q vói moi q, đieu cho thay y ∈ D−u(x) hay {y} ⊆ D−u(x) Chieu ngưoc lai đưoc suy trnc tiep tù Bo đe 1.5 2.2.2 Tính nNa lõm Đ%nh nghĩa 2.2 Ta nói rang hàm u : Ω → R hàm núa lõm t¾p loi đóng Ω neu có m®t hang so C ≥ thóa mãn µu(x) + (1 − µ)u(y) ≤ u(µx + (1 − µ)y) + Cµ(1 − µ) | x − y| vói moi x, y ∈ Ω µ ∈ [0, 1] Đieu đan đen tính lõm cúa hàm x ›→ u(x) −2 C |x| (2.28) Neu u liờn tnc thỡ ta cú mđt ieu kiắn tng đương vói (2.28) u(x + h) − 2u(x) + u(x − h) ≤ C |h| , (2.29) vói moi x ∈ Ω h ∈ RN , vói |h| đú nhó Tat nhiên hàm lõm hàm núa lõm M®t lóp hàm núa lõm khơng tam thưòng lóp hàm vi liên tnc vói gradient Lipschitz đ%a phương M®t lóp hàm núa lõm khơng vi hàm u(x) = infb∈B g(x, b) vói x ›→ g(x, b) thóa mãn (2.28) Ví dn 2.1 Cho S ⊆ RN, S ƒ= ∅, d(x) = dist(x, S) = inf |x − s| s∈S Khi d2 hàm núa lõm RN x ›→ |x −s | thu®c C∞ vói đao hàm cap hang so M¾t khác , bán thân d hàm núa lõm moi t¾p compact có khống cách dương đoi vói S, bói x ›→ |x − s| có đoa hàm cap b% chăn t¾p v¾y Nhung tính chat hàm núa lõm se đưoc trình bày M¾nh đe 2.5 M¾nh đe 2.6 sau M¾nh đe 2.5 Cho hàm u hàm núa lõm Ω Khi u liên tnc Lipschitz đ%a phương Ω Chúng minh Vói x ∈ Ω vói moi h thóa mãn x + h ∈ Ω, C u(x + h) − u(x) = ψ(x + h) − ψ(x) + Cx · h + |h| , ψ(x) = u(x) − C |x| hàm lõm liên tnc Lipschitz đ %a phương v¾y m¾nh đe đưoc chúng minh xong Trong 2.2.1 ta biet rang D+u(x) ⊆ ∂ u(x) = coD∗u(x) vói moi u ∈ Liploc(Ω) Neu thêm giá thiet u hàm bán lõm D+u(x) = ∂ u(x) Đieu m®t so tính chat vi khác cúa hàm bán lõm đưoc trình bày m¾nh đe sau M¾nh đe 2.6 Cho u hàm bán lõm Ω Khi vói moi x ∈ Ω (a) (b) (c) (d) D+u(x) = ∂ u(x) = coD∗u(x); ho¾c D−u(x) = ∅ ho¾c u vi tai x; neu D+u(x) l mđt iem thỡ u khỏ vi tai x; ∂u (x) = minp D+ p · q vói moi vector đơn v% q ∂p ∈ u(x) Mắnh e 2.7 Cho u l mđt hm bỏn lừm thóa mãn F(x, u(x, Du(x))) ≥ h.k.n Ω, (2.30) F liên tnc Khi u nghi¾m nhót cúa phương trình F(x, u(x, Du(x))) = Ω (2.31) Chúng minh Tù M¾nh đe 2.6 (b), tai moi điem x ∈ Ω ho¾c D−u(x) = ∅ ho¾c D+u(x) = D−u(x) = {Du(x)} Trong trưòng hop đieu ki¾n nghi¾m nhót đưoc thóa mãn Giá sú rang x m®t điem mà tai u vi Khi đó, ton tai dãy xn → x thóa mãn u vi tai xn F(xn, u(xn), Du(xn)) ≥ ∀n (2.32) (có the lay xn ≡ x, cho ( 2.30) tai x) Tù u liên tnc Lipschitz đ %a phương , theo đ%nh nghĩa cúa D∗u(x) ta có Du(xn) → p ∈ D∗u(x) n → +∞, tai nhat m®t dãy Trong trưòng hop này, D∗u(x) = D+u(x) = D−u(x) = {Du(x)} đó, cho n → +∞ ta đưoc F(x, u(x), p) ≥ ∀p ∈ D−u(x) V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh xong Ket tiep theo ve tính núa lõm cúa nghi¾m nhót cúa phương trình (HJ) Đ%nh lý 2.4 Cho u ∈ BC(RN ) Lip(R)N l mđt nghiắm nhút cỳa phng trỡnh u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ RN, (HJ) vói hang so Lipschitz Lu Giá sú H thóa mãn |H(x, p) − H(x, q)| ≤ ω |p−q| ∀x, p, q ∈ RN, (H3) vói C > Lr > 2Lu, H6 xác đ%nh bói H(x + h, p + Ch) − 2H(x, q) + H(x − h, p −Ch) ≥ | −C |h (H6) vói moi x, h ∈ RN, p ∈ B(0, Lr) Khi u hm nỳa lừm trờn RN Mđt cỏch rat thuắn tiắn e xap xớ nỳa lừm cỳa mđt hm cho trúc l dna vo phộp chắp-inf, õy l mđt cụng cn rat bán giái tích loi giái tớch khụng trn Cho l mđt cỳaRN v u l mđt hm b% chắn Vúi moi > 0, đ¾t uε := in f u(y) − 12 2ε :y∈ Ω (2.33) |x − y| hàm uε đưoc goi ε ch¾p-inf cúa u Tương tn, uε := sup |x − y| : y ∈ u(y) − 2ε Ω ε ch¾p-sup cúa u Bo đe 2.1 Cho u liên tnc b% ch¾n Ω Khi (2.34) (a) uε uε núa lõm Ω; (b) uε ƒ u, uε \ u, ε → 0+, h®i tn đeu đ%a phương Ω; (c) inf sup ( 2.33) ( 2.34) đat đưoc neu ε < d2(x, ∂ Ω)/(4 "u"∞) Tù Bo đe 2.1 (c) vói ε > đú nhó ta có the đ¾t Mε (x) := arg minu, (y) + |x − y| /2ε, , Mε (x) := arg max , y∈Ω (y) − |x − y| /2ε, u y∈Ω Bo đe 2.2 Cho u ∈ C(Ω) hàm b% ch¾n, x ∈ Ω ε < d2(x, ∂ Ω)/ (4 "u"∞) Khi đó, ho¾c D−uε (x) = ∅ ho¾c D−uε (x) = {(x − y)/ε}, {yε } = Mε (x) (tương úng, ho¾c D+uε (x) = ∅ ho¾c D+uε (x) = {−(x − y)/ε}, {yε } = Mε (x)) Hơn nua, vói moi yε ∈ Mε (x) (tương úng, Mε (x)), √ (i) |x − yε | ≤ ε "u"1/2 ∞ (ii) |x − yε | /ε → 0, ε → 0+, t¾p compact cúa Ω; (iii) (x − yε ) /ε ∈ D−(y) (tương úng − (x − yε ) /ε ∈ D+(y)) Các Bo đe 2.1 2.2 cho thay rang nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình (HJ) cú mđt xap xớ eu tự hai phớa búi nghiắm nhót liên tnc Lips- chitz đ%a phương cúa phương trình xap xí Chính xác hơn, ta có M¾nh đe 2.8 Giá sú H thóa mãn |H(x, p) − H(y, p)| ≤ ω1(|x − y| (1 + |p|)), (H1) vói x, y ∈ Ω, p ∈ RN , ω1 l mđt modul Neu u C() l mđt nghiắm nhót dưói cúa (HJ) Ω, uε ∈ Liploc () l mđt nghiắm nhút dúi cỳa phng trỡnh uε (x) + H(x, Duε (x)) = ρ ε (x) vói Ωε = , Ωε , √ , ∈ Ω : d(x, ∂ Ω) > ε "u" 1/2∞ (HJε ) x ρ ε (x) → 0+ ε → 0, t¾p compac cúa Ω KET LU¾N Trong q trình tìm hieu nghiên cúu khố lu¾n, em bưóc đau làm quen vói cách thúc làm vi¾c khoa hoc, hi¾u q Qua đó, em có nét hình dung đau tiên ve tốn hoc hi¾n đai, chuyên ngành đao hàm riêng, đong thòi thay đưoc sn phong phú, lý thú cúa tốn hoc Đ¾c bi¾t khoỏ luắn ny em ó nghiờn cỳu mđt cỏch khái qt ve nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình Hamilton-Jacobi, cú the xem nh l mđt ti liắu tham kháo tot cho nhung ngưòi quan tâm ve nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình Hamilton-Jacobi nói riêng phương trình đao hàm riêng nói chung Đó thành cơng cúa đe tài Như v¾y có the nói đe tài hồn thành nhi¾m nghiên cúu đ¾t Đe hồn thành khố lu¾n tot nghi¾p em xin trân cám ơn thay cô to Giái tích, thay khoa Tốn M¾c dù em có nhieu co gang, song nhieu han che ve thòi gian kien thúc nên khố lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Em kính mong thay ban đoc đóng góp ý kien trao đoi đe khố lu¾n hồn thi¾n tot Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Xn Liêm, Giái tích hàm, NXB Giáo Dnc, 1997 [2] Tran Đúc Vân, Lý thuyet phương trình vi phân đao hàm riêng, NXB Đai Hoc Quoc Gia H Nđi, 2005 [B] Ti liắu tieng Anh [3] Martino Bardi, Italo Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions Birkhauser, 1997 of Hamilton-Jacobi-Benllmam Equations, ... liên tnc cúa phương trình Hamilton - Jacobi 2.Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình Hamiltol -Jacobi 3.Đoi tưeng pham vi nghiên cNu Nghiên cúu nghi¾m nhót liên. .. nhót liên tnc cúa phương trình HamiltonJacobi Chương Tính nhat tính quy cúa nghi¾m nhót Chương Nghi¾m nhét cúa phương trình Hamilton- Jacobi 1.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán Trong mnc ta se trình. .. cúa phương trình Hamiltol -Jacobi nghiên cúu moi quan h¾ cúa chúng dna vào nguyên lý so sánh nghi¾m moi quan h¾ vói khái ni¾m nghi¾m co đien cúa phương trình HamiltonJacobi (viet tat (HJ)) Cho phương