Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dưới dạng tích phân xác định

Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo to Giái tích ban sinh viên khoa Tốn - Trưòng hoc S pham H Nđi ắc biắt, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình giúp đõ em q trình hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Lan đau thnc hi¾n cơng tác nghiên cúu khoa hoc nên vi¾c trình bày khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che thieu sót Em xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Pham Th% Trang Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p “Nghi¾m cía phương trình vi phân tuyen tính dưái dang tích phân xác đ%nh” đưoc hoàn thành theo quan điem riêng cna cá nhân tơi Trong q trình làm khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Pham Th% Trang Mnc lnc Má đau Chương KIEN THÚC CHUAN B± .5 1.1 Khái ni¾m tong quan ve phương trình vi phân 1.1.1 Các khái ni¾m bán 1.1.2 Bài toán Cauchy 1.1.3 Nghi¾m tong quát 1.2 Đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân 1.3 Lý thuyet tong quát ve phương trình vi phân tuyen tớnh 1.3.1 Mđt so khỏi niắm bán .8 1.3.2 Sn phu thu®c tuyen tính v đc lắp tuyen tớnh cna cỏc hm 10 1.3.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 11 Chương NGHIfiM CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYEN TÍNH DƯéI DANG TÍCH PHÂN 17 2.1 M®t so nguyên lý tong quan .17 2.2 Nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính qua phép bien đoi tích phân 19 2.2.1 Bien đoi Laplace .19 2.2.2 Nhân K(x, t) cna bien đoi tích phân 26 2.2.3 Bien đoi Mellin 33 2.2.4 Nghi¾m xác đ%nh bói tích phân kép 37 Ket lu¾n 43 Tài li¾u tham kháo 44 Má đau Lí chon đe tài Phương trình vi phân m®t chun ngành cna Giái tích tốn hoc, đóng vai trò quan trong khoa hoc ky thu¾t, v¾t lí, kinh te nhieu lĩnh vnc khác Phương trình vi phân đơn gián yr(x) = dy dx the hi¾n moi quan hắ giua mđt long bien thiờn liờn tuc đưoc bieu dien bang hàm vói đ® bien thiên cna đai lưong đưoc bieu dien bang đao hàm b¾c nhat cna (ho¾c đao hàm cap cao hơn) Đoi vúi cỏc phng trỡnh thụng thũng, nghiắm l mđt giỏ tr% so thnc ho¾c so phúc Tuy nhiên, đoi vói cỏc phng trỡnh vi phõn nghiắm l mđt ho cỏc hm, sai lắch bang mđt hang so no ú, oc xác đ%nh tưòng minh có thêm đieu ki¾n đau ho¾c đieu ki¾n biên Nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính tong cna nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat tương ỳng vúi mđt nghiắm riờng cna phng trỡnh ú Cho đen nay, ngưòi ta đưa đưoc phương pháp xây dnng h¾ nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Tuy nhiên đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so khơng phái hang so vi¾c tìm nghi¾m cna g¾p phái nhung khó khăn nhat đ%nh Chang han phương trình dưói (1 − x2 ) d 2y dx2 dy + 2y = − 2x dx Phương trình phương trình vi phân cap hai vúi hắ so l hm so cna mđt bien đc lắp, nhng ta khụng the tỡm oc nghiắm riờng dúi dang mđt hm so s cap Viắc giỏi dang phương trình có nhieu úng dung quan khơng chí ngành Tốn hoc mà úng dung nhieu ngành khoa hoc khác v¾t lí, hóa hoc Vì v¾y, can xây dnng phương pháp tìm nghi¾m cho phương trình vi phân dang M®t nhung phương pháp huu ích úng dung phép tính tích phân đe tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính Đưoc sn đ%nh hưóng cna TS Nguyen Văn Hào nên em chon đe tài “Nghi¾m cía phương trình vi phân tuyen tính dưái dang tích phân xác đ%nh” nham nghiên cúu m®t úng dung cna phép tính tích phân vi¾c tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính, góp thêm mđt cụng cu huu ớch tỡm nghiắm oi vúi phng trình vi phân thưòng Khóa lu¾n đưoc bo cuc thành hai chng Chng Trỡnh by mđt so khỏi niắm tong quan ve phương trình vi phân; đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân; lý thuyet tong quát ve phương trình vi phân tuyen tính Chương Chương n®i dung cna khúa luắn ộ õy em trỡnh by mđt so phng pháp tìm nghi¾m cna phương trình vi phân dưói dang tích phân xác đ%nh thơng qua phép bien đoi bien đoi Laplace, bien đoi Euler, bien đoi Mellin Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Trình by mđt so phng phỏp tỡm nghiắm cna phng trỡnh vi phân tuyen tính dưói dang tích phân xác đ%nh Đoi tưang pham vi nghiên cNu Bói nghi¾m cna phương trình đưoc cho dưói dang tích phân xác đ%nh, nên đieu ki¾n can thiet liên quan đen van đe phái ke đen phép bien đoi tớch phõn Nghiờn cỳu mđt phng phỏp tỡm nghiắm cna phương trình vi phân tuyen tính Tuy nhiên, khn kho yờu cau oi vúi mđt khúa luắn tot nghiắp, nên em chí trình bày van đe pham vi tìm nghi¾m dưói dang tích phân xác đ%nh Phương pháp nghiên cNu Tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop xin ý kien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Khái ni¾m tong quan ve phương trình vi phân 1.1.1 Các khỏi niắm c bỏn Phng trỡnh vi phõn l mđt phương trình chúa hàm can tìm đao hàm cna Neu hàm can tìm chí phu thu®c m®t bien đc lắp, thỡ phng trỡnh ú oc goi l phương trình vi phân thưòng goi tat phương trình vi phõn Neu hm can tỡm phu thuđc hai hoắc nhieu bien đc lắp thỡ phng trỡnh oc goi l phương trình vi phân đao hàm riêng goi tat phương trình đao hàm riêng Phương trình vi phân thưòng phương trình có dang tong qt F (x, y, yr , yrr, , y(n)) = 0, (1.1) F hàm xác đ%nh m®t mien G cna khơng gian Rn+2 Trong phương trình (1.1) gom cỏc bien đc lắp x v y l hm cna bien đc lắp cựng cỏc ao hm cap mđt en cap n cna Cap cna m®t phương trình vi phân thưòng đưoc xác đ%nh bói cap cao nhat cna đao hàm xuat hi¾n phương trình Trong phương trình (1.1) cú the vang mắt mđt so cỏc bien x, y, yr , , y(n−1) y(n) nhat thiet phái có m¾t Neu tù (1.1) ta giái đưoc đao hàm cap cao nhat, túc phương trình (1.1) có dang y(n) = F (x, y, yr , , y(n−1)), (1.2) ta nói phương trình vi phân cap n giái đưoc vói đao hàm cap cao nhat y(n) qua bien lai ta nói phương trình giái đưoc đoi vói y(n) ho¾c ta goi phương trình có dang tac Nghi¾m cna phương trình (1.1) (1.2) hàm y = y(x) vi n lan khống (a, b) thóa mãn phương trình Đưòng cong y = y(x), x ∈ (a, b) goi đưòng cong tích phân cna phương trình cho Đe giái phương trình vi phân ta dùng thu¾t ngu "tích phân phương trình vi phân" lý Thơng thưòng nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân cap n phu thu®c n hang so tùy ý C1, C2, , Cn Trong thnc te ngưòi ta chí quan tâm đen nghi¾m cna (1.1) hoắc (1.2) thúa mđt so ieu kiắn no ay Mđt nhung ieu kiắn ú l ieu ki¾n ban đau y0 = y(x0), yr = yr(x0), , y 1.1.2 (n−1) = y(n−1)(x0) (1.3) Bài toán Cauchy Tìm nghi¾m y = y(x) cna phương trình (1.1) ho¾c (1.2) thóa mãn đieu ki¾n ban đau (1.3) Bài tốn đưoc goi tốn Cauchy 1.1.3 Nghi¾m tong quát Ta giá thiet rang G mien ton tai nhat nghi¾m cna phương trình (1.2), túc nghi¾m tốn Cauchy ton tai nhat đoi vói d =− 1)t dt t dt d + (c − d + t− t dt d + (e − 1)t dt , ó e hang so tùy ý Khi K(xt) thóa mãn phương trình vi phân đao hàm riêng Lx(K) = Mt(K) vúi u = K(z) l mđt nghiắm cna phương trình d2 u z(1 − z) du + {e − (a + b + 1)z} dz2 dz − abu = M¯ t(v) = Phương trình thóa mãn bói hàm v(t) = te−1(1 − t) c−e−1 , giói han cna tích phân đưoc xác đ%nh cho t e (1 c−e ∂u β − e) ∂t = α Neu u = F (a, b; e; xt), đieu ki¾n thóa mãn α = 0, β = vói c > e > Vúi nhung ieu kiắn ny, ta cú á1 ce1 F (a, b; e; xt)te−1 (1 − t) y(x) = dt thóa mãn (2.11) Tù ¸ y(0) = yr (0) = ab ¸ e c−e−1 te−1(1− t) dt = t1 ( c−e−1 t) − e) dt = Γ(e)Γ(c − e) , Γ(c) ab Γ(e + 1)Γ(c ab Γ(e)Γ(c − e) − e = Γ(c + 1) e Γ(c) , c ¸∞ xp−1e−xdx, p > đưoc goi hàm Gamma Γ(p) = Nhung đieu ki¾n ban đau xác đ%nh nghi¾m nhat Γ(e)Γ(c − e) F (a, b; c; x) Γ(c) Do ¸F c−e−1 (a, b; e; xt)te−1 (1 t) − dt = Γ(e)Γ(c − e) Γ(c) F (a, b; c; x) Đ¾c bi¾t, neu e = b, tù −a F (a, b; b; xt) = (1 − xt) , suy ¸ (1 −a b−1 − xt) t c−b−1 (1 t) dt = Γ(b)Γ(c − b) Γ(c) F (a, b; c; x) vói c > b > c) Nguon goc cúa tích phân xác đ%nh tN chuoi siêu b®i Sú dung tính chat cna hàm Gamma hàm Beta ¸1 B(p, q) = xp−1(1 − x) q−1 dx, p > 0, q > 0, ta de dàng bien đoi chuoi tù hàm siêu b®i thành tích phân xác đ%nh tương đương Bói b(b + 1) (b + r − 1) = Γ(b + r) , Γ(b) nên ∞ F (a,1b; r− ) rc; x) = + x a(a + 1) (a + r − 1)b(b + 1) (b + r!c(c + 1) (c + r − 1) r=1 ∞ Γ(c) Γ(b) = Γ(b ) Ta có a(a + 1) (a + r r) 1) Γ(b + − r! Γ(c +r=1 ) x Γ(c + r) r ¸1 Γ(b + r)Γ(c − = B(b + r, c − b) b) Γ(c + r) = c−b−1 tb+r−1(1 − t) dt vói phan thnc cna b + r c − b dương Do Γ(c) F (a, b; c; x) = = ∞ Γ(b)Γ(c − r= b) ¸1 Γ(c) Γ(b)Γ(c − b) a(a + 1) (a + r − tb+r−1(1 − ¸ 1) r t)c−b−1dt x r! ∞ Γ(c) a(a + 1) (a + r r r x t dt − 1) r! c−b−1 tb−1(1 − t) = r=0 ¸1 c−b−1 Γ(b)Γ(c − b) tb−1(1 − t) (1 − xt) −a dt Vi¾c hốn v% thú tn lay tong tích phân ó thnc hi¾n đưoc chuoi siêu b®i h®i tu đeu, nghĩa neu |x| ≤ ρ < Tuy nhiên bieu thúc tích phân xác đ%nh hàm so xác đ%nh vói moi x, bo sung cho sn xác đ%nh ta can có đieu ki¾n han che đoi vói b c Ta có the thay đoi đưòng tích phân e tớch phõn tao thnh mđt nghiắm đc lắp cna phương trình vi phân 2.2.4 Nghi¾m xác đ%nh bái tích phân kép a) Khái ni¾m Trong nhieu trưòng hop, viắc tỡm mđt tớch phõn xỏc %nh thúa phng trình vi phân tuyen tính cho có dang (2.1) khơng thnc hi¾n đưoc Khi có the giái tốn bang cách sú dung m®t tích phân bđi Chang han, mđt phng phỏp nh vắy dna trờn bien đoi Laplace khơng thnc hi¾n đưoc trù phương trình đưoc bien đoi cap phương trình đưoc giái có đieu ki¾n han che thích hop Trong phan se trình bày m®t phương pháp bieu dien nghiắm cna mđt phng trỡnh vi phõn búi m®t tích phân kép, trình bày m®t ví du cu the Giá sú Lx(y) = phương trình vi phân cho, hàm so K(x; s, t) thóa mãn LxK(x; s, t) = Ms,tK(x; s, t), (2.12) ó Ms,t m®t tốn tú vi phân đao hàm riêng cap hai có dang ∂2 ∂ ∂ Ms,t ≡ a + b + c + d, ∂s∂t ∂s ∂t ó a, b, c d hàm so cna s t (2.13) Xét tích phân kép ¸ ¸ y(x) = K(x; s, t)ω(s, t)dsdt, (2.14) cá hàm so ω(s, t) mien lay tích phân chưa xác đ%nh Giá sú phép lay vi phân dưói dau tích phân xác đ%nh đoi vói x, ¸¸ Lxy(x) = LxK(x; s, t)ω(s, t)dsdt ¸¸ = Ms,tK(x; s, t)ω(s, t)dsdt M¾t khác, lay tích phân tùng phan ta đưoc ¸¸ a ∂s ds + ω ∂s∂t ¸ ∂K ∂ 2K dsdt = aω ∂K ∂t dt ¸ ¸ − Kaω + K ∂2(a ¸¸ ∂dsdt, ∂ ω) ¸ ¸¸ bω ∂K dsdt = ∂s K ∂(bω) dsdt, bωKdt − ∂s ¸¸ ¸ ¸¸ ∂(cω) dsdt ∂K K cω dsdt = cωKds − ∂t ∂t Do ¸¸ Lxy(x) = K(x; s, t)M¯ ∂2 Ms,t ≡ s,t (ω)dsdt ∂ + [P {K, ω}], ∂ a b ∂s∂t − ∂s ∂t c+d (2.15) toán tú vi phân đao hàm riêng liên hop cna (2.13), P {K, ω} m®t bieu thúc song tuyen tính có the de dàng viet đưoc đay đn Trưòng hop thú nhat, (s, t) oc xỏc %nh nh mđt nghiắm cna phương trình vi phân đao hàm riêng M¯ s,t (ω) = (2.16) Như v¾y nghi¾m cna tốn phu thu®c vào lý thuyet phúc tap cna giái tích, lý thuyet phương trình vi phân đao hàm riêng Nhưng hau het trưòng hop, ω(s, t) có dang đ¾c bi¾t u(s)v(t) phương trình đao hàm riờng (2.16) oc thay the bang mđt cắp phng trỡnh vi phân thưòng cap α du dv + β = 0, γ ds + δ = 0, dt ó α, β hàm so cna s, γ δ hàm so cna t Trong trưòng hop thú hai, giá sú ω(s, t) xác đ%nh, vi¾c lai chon mien lay tích phân cho tích phân (2.14) ton tai bieu thúc [P {K, ω}] tri¾t tiêu Ví dn 2.3 Xét phương trình L (y) ≡ (x x − 1) d2 y dy + (a + b + 1)x + aby = dx dx2 Chúng ta không giái đưoc phương trình bang bien đoi Laplace đơn gián, bói h¾ so đau tiên b¾c hai Tuy nhiên, giái phương trình bói tích phân kép vói nhân cna exst, đưoc goi ý tù nhân cna Laplace ext Trong trưòng hop ta có Lxexst = x2s2t2 − s2t2 + (a + b + 1)xst + ab exst = s ∂ + a t ∂ + b − s2t2 exst ∂s ∂t xst = Ms,t e Do ω(s, t) thóa mãn phương trình vi phân Ms,t(ω) = s∂ a+ ∂s− 2 t ∂ b+ −s − t ∂t có the viet ω(s, t) = u(s)v(t), vói du s − (a − 1)u = −s2u d s u(s) = e vói − 2s sa−1, ω = 0, dv t − (b − 1) v = −t v d t v(t) = e1−2 t tb−1 Mien lay tích phân có the lay góc phan tư thú nhat x ≥ 0, y ≥ vói a b so có phan thnc dương Tù suy ¸∞ ¸∞ 2 xst− (s +t ) a−1 b−1 y1 = e s t dsdt, 0 tương tn ¸∞ ¸∞ y2 = 2 e−xst− (s +t )sa−1tb−1dsdt 0 nghi¾m cna phương trình cho b) Moi liên h¾ giĐa nghi¾m cho bái tích phân kép nghi¾m chuoi Tích phân kép thóa mãn phương trình vi phân phan trưóc có the de dàng suy tù nghi¾m chuoi bang cách sú dung tính chat cna hàm Gamma Γ(z + 1) = zΓ(z) Ta có c¾p nghi¾m chuoi, tương úng hàm chan hàm lé cna x ab a(a + 2)b(b + a(a + 2)(a + 4)b(b + 2) +· · · 2) (b + 4) Y1 = 1+ , x + x 2! x+ ! ! (a + 1)(b + (a + 1)(a + 3)(b + 1) +··· (b + 3) 1) Y2 = x x + x + 3! 5! Khi Γ 1a Γ 1 b 1 Y1 b aΓ a bΓ 2 2 = Γ 1a Γ +2 x2 2! b x4 + · · · a a + Γ b + Γ 1 2 b +24 a b 2 4! .1 = Γ 1a Γ Γ b + + 1 ∞ ∞ ¸ ¸ b +t x4 + · · · a + Γ b + 1 2 4! s2 t x + 2! sa−1 tb−1 + sa+3tb+3x4 a+1 b+1 4! 2− a− = 2b ¸∞ ¸∞ 1 e− (s ) = 22− a− 24 Γ a + Γ 1b + 2 x2 2! +· ·· e− (s +t )sa−1tb−1 cosh(xst)dsdt 2 = 21− a− b (y1 + y2 ) , tương tn, ta có the chúng minh đưoc ¸∞ ¸∞ 1 1 1 Γ a+ Γ2 2 e− (s +t )sa−1tb−1 sinh(xst)dsdt b+ Y2 = 21− a− b 2 1 = 2− a− b (y1 − y2 ) Chuoi Y1 Y2 h®i tu vói a b bat kỳ |x| < 1, tích phân tương úng ton tai vói tat cá giá tr% cna x phan thnc cna a b dương dsdt Ket luắn Trờn õy l ton bđ nđi dung cna khúa lu¾n tot nghi¾p “Nghi¾m cía phương trình vi phân tuyen tính dưái dang tích phân xác đ %nh” Nhung nđi dung chớnh luắn l Trúc het chỳng tụi hắ thong húa mđt so kien thỳc c bán ve lý thuyet phương trình vi phân; Đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân; Tong quan ve phương trình vi phân tuyen tính vi¾c tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đó nhung van e can thiet cho viắc trỡnh by nđi dung chớnh cna khóa lu¾n Ket q nghiên cúu bán cna khố lu¾n vi¾c trình bày phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính dưói dang tích phân xác đ%nh Van đe quan nhat khố lu¾n bien đoi tích phân như: bien đoi Laplace; bien đoi Euler; bien đoi Mellin Do lan đau làm quen vói phương pháp nghiên cúu khoa hoc nên lu¾n văn cna em khơng tránh khói nhung thieu sót, rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay cô giáo ban sinh viên đe em có the hồn thi¾n lu¾n văn có the nghiên cúu ó múc đ® sâu Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [1] E A Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equa- tions, Dover Publications, Inc, New York (1989) [2] W Hundsdorfer, Ordinary Differential Equations, Radboud Univer- siteit Nijmegen (2009) ... tài “Nghi¾m cía phương trình vi phân tuyen tính dưái dang tích phân xác đ%nh” nham nghiên cúu m®t úng dung cna phép tính tích phân vi c tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính, gúp thờm... b) Phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so * Nghi¾m riêng cía phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so phương trình. .. y(x) vi n lan khống (a, b) thóa mãn phương trình Đưòng cong y = y(x), x ∈ (a, b) goi đưòng cong tích phân cna phương trình cho Đe giái phương trình vi phân ta dùng thu¾t ngu "tích phân phương trình