Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dưới dạng tích phân xác định

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích bạn sinh viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu thực công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa luận không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Trang Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp “Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính dạng tích phân xác định” hoàn thành theo quan điểm riêng cá nhân Trong trình làm khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Trang Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm tổng quan phương trình vi phân 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Bài toán Cauchy 1.1.3 Nghiệm tổng quát 1.2 Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân 1.3 Lý thuyết tổng quát phương trình vi phân tuyến tính 1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hàm 10 1.3.3 Cấu trúc nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 11 Chương NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN 2.1 Một số nguyên lý tổng quan 17 17 2.2 Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính qua phép biến đổi tích phân 19 2.2.1 Biến đổi Laplace 19 2.2.2 Nhân K(x, t) biến đổi tích phân 26 2.2.3 Biến đổi Mellin 33 2.2.4 Nghiệm xác định tích phân kép 37 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình vi phân chuyên ngành Giải tích toán học, đóng vai trò quan trọng khoa học kỹ thuật, vật lí, kinh tế nhiều lĩnh vực khác Phương trình vi phân đơn giản y (x) = dy dx thể mối quan hệ đại lượng biến thiên liên tục biểu diễn hàm với độ biến thiên đại lượng biểu diễn đạo hàm bậc (hoặc đạo hàm cấp cao hơn) Đối với phương trình thông thường, nghiệm giá trị số thực số phức Tuy nhiên, phương trình vi phân nghiệm họ hàm, sai lệch số đó, xác định tường minh có thêm điều kiện đầu điều kiện biên Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính tổng nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính tương ứng với nghiệm riêng phương trình Cho đến nay, người ta đưa phương pháp xây dựng hệ nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Tuy nhiên phương trình vi phân tuyến tính mà hệ số số việc tìm nghiệm gặp phải khó khăn định Chẳng hạn phương trình dy d2 y (1 − x ) − 2x + 2y = dx dx Phương trình phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm số biến độc lập, ta tìm nghiệm riêng dạng hàm số sơ cấp Việc giải dạng phương trình có nhiều ứng dụng quan trọng không ngành Toán học mà ứng dụng nhiều ngành khoa học khác vật lí, hóa học Vì vậy, cần xây dựng phương pháp tìm nghiệm cho phương trình vi phân dạng Một phương pháp hữu ích ứng dụng phép tính tích phân để tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Được định hướng TS Nguyễn Văn Hào nên em chọn đề tài “Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính dạng tích phân xác định” nhằm nghiên cứu ứng dụng phép tính tích phân việc tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính, góp thêm công cụ hữu ích tìm nghiệm phương trình vi phân thường Khóa luận bố cục thành hai chương Chương Trình bày số khái niệm tổng quan phương trình vi phân; định lý tồn nghiệm phương trình vi phân; lý thuyết tổng quát phương trình vi phân tuyến tính Chương Chương nội dung khóa luận Ở em trình bày số phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân dạng tích phân xác định thông qua phép biến đổi biến đổi Laplace, biến đổi Euler, biến đổi Mellin Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày số phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính dạng tích phân xác định Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bởi nghiệm phương trình cho dạng tích phân xác định, nên điều kiện cần thiết liên quan đến vấn đề phải kể đến phép biến đổi tích phân Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Tuy nhiên, khuôn khổ yêu cầu khóa luận tốt nghiệp, nên em trình bày vấn đề phạm vi tìm nghiệm dạng tích phân xác định Phương pháp nghiên cứu Tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp xin ý kiến định hướng người hướng dẫn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm tổng quan phương trình vi phân 1.1.1 Các khái niệm Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc biến độc lập, phương trình gọi phương trình vi phân thường gọi tắt phương trình vi phân Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai nhiều biến độc lập phương trình gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng gọi tắt phương trình đạo hàm riêng Phương trình vi phân thường phương trình có dạng tổng quát F (x, y, y , y , , y (n) ) = 0, (1.1) F hàm xác định miền G không gian Rn+2 Trong phương trình (1.1) gồm biến độc lập x y hàm biến độc lập đạo hàm cấp đến cấp n Cấp phương trình vi phân thường xác định cấp cao đạo hàm xuất phương trình Trong phương trình (1.1) vắng mặt số biến x, y, y , , y (n−1) y (n) thiết phải có mặt Nếu từ (1.1) ta giải đạo hàm cấp cao nhất, tức phương trình (1.1) có dạng y (n) = F (x, y, y , , y (n−1) ), (1.2) ta nói phương trình vi phân cấp n giải với đạo hàm cấp cao y (n) qua biến lại ta nói phương trình giải y (n) ta gọi phương trình có dạng tắc Nghiệm phương trình (1.1) (1.2) hàm y = y(x) khả vi n lần khoảng (a, b) thỏa mãn phương trình Đường cong y = y(x), x ∈ (a, b) gọi đường cong tích phân phương trình cho Để giải phương trình vi phân ta dùng thuật ngữ "tích phân phương trình vi phân" lý Thông thường nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp n phụ thuộc n số tùy ý C1 , C2 , , Cn Trong thực tế người ta quan tâm đến nghiệm (1.1) (1.2) thỏa mãn số điều kiện Một điều kiện điều kiện ban đầu (n−1) y0 = y(x0 ), y = y (x0 ), , y0 = y (n−1) (x0 ) (1.3) 1.1.2 Bài toán Cauchy Tìm nghiệm y = y(x) phương trình (1.1) (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) Bài toán gọi toán Cauchy 1.1.3 Nghiệm tổng quát Ta giả thiết G miền tồn nghiệm phương trình (1.2), tức nghiệm toán Cauchy tồn điểm (n−1) (x0 , y0 , y , , y0 ) ∈ G Hàm y = ϕ(x, C1 , C2 , , Cn ) xác định miền biến thiên biến x, C1 , C2 , , Cn có tất đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n gọi nghiệm tổng quát phương trình (1.2) miền G G từ hệ phương trình    y0 = ϕ(x0 , C1 , C2 , , Cn ),       y0 = ϕ x (x0 , C1 , C2 , , Cn ),       (n−2)   y0 (n−2) = ϕ0 (x0 , C1 , C2 , , Cn ),      y0 (n−1) = ϕ(n−1) (x0 , C1 , C2 , , Cn ) x ta xác định    C10 =       C20 =    (n−1) ), (n−1) ), ψ1 (x0 , y0 , y , , y0 ψ2 (x0 , y0 , y , , y0    (n−1)   C = ψ (x , y , y , , y ), n−1 0  n−1      Cn0 = ψn (x0 , y0 , y , , y0(n−1) ) hàm y = ϕ(x0 , C10 , C20 , , Cn0 ) nghiệm phương trình (1.2) ứng (n−1) với hệ C10 , C20 , , Cn0 xác định từ (x0 , y0 , y , , y0 biến thiên G ) 1.2 Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân Đối với phương trình vi phân, việc nghiên cứu vấn đề tồn nghiệm phức tạp Dưới đây, phát biểu kết cho trường hợp tổng quát Định lý 1.1 (Tồn nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n dạng tắc y (n) = f x, y, y , , y (n−1) Nếu vế phải phương trình hàm liên tục n + biến (n−1) miền Rn+1 chứa điểm x0 , y0 , y , , y0 đạo hàm riêng ∂f ∂f ∂f , , , (n) ∂y ∂y ∂y liên tục tồn khoảng (a, b) chứa điểm x0 để khoảng tồn hàm y = y(x) khả vi n lần khoảng thỏa mãn điều kiện đầu (1.3) 1.3 Lý thuyết tổng quát phương trình vi phân tuyến tính 1.3.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân tuyến tính cấp n phương trình có dạng y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y + pn (x)y = f (x), (1.4) −µ−2 có nghiệm v(t) = (1 − t2 ) Các giới hạn α β tích phân cho (x − t)µ − t2 −µ−1 t=β = t=α Khi µ = −n − 2, n + > |x| > 1, điều kiện thỏa mãn với α = −1, β = +1 Do tích phân xác định +1 n (x − t)−n−1 (1 − t2 ) dt y(x) = −1 thỏa mãn phương trình Legendre Thật vậy, Qn (x) hàm Legendre loại hai, Qn (x) = n (x − t)−n−t (1 − t2 ) dt 2n+1 −1 b) Tích phân Laplace Thay đổi đường lấy tích phân ta thu biểu thức tích phân hàm Legendre Pn (x) tương tự Qn (x) ví dụ Nhưng điều xảy không sử dụng biến phức Tuy nhiên việc xem xét tầm quan trọng đa thức Legendre, ta suy phương pháp đơn giản biểu diễn chúng dạng tích phân xác định Xét hàm số − 21 (1 − 2xh + h2 ) +1 h = Khi |h| nhỏ M in x + (x2 − 1) ; x − (x2 − 1) 30 , hàm số khai triển thành chuỗi lũy thừa h P0 (x) + hP1 (x) + h2 P2 (x) + · · · , P0 (x), P1 (x), P2 (x), đa thức x mà ta chứng minh đa thức Legendre Phương trình v = x + h(v − 1) có nghiệm v= (1 − 2xh + h2 ) h 1− x h = |h| đủ nhỏ khai triển thành chuỗi ∞ v =x+ n=1 hn ∂ n v n! ∂hn Dễ dàng ∂v ∂v = (v − 1) , ∂h ∂x φ(v) hàm v, ∂ ∂h φ(v) ∂v ∂x ∂v ∂h n ∂v (v − 1) 2n ∂x = ∂ ∂x φ(v) Giả sử có giá trị tích phân biết n ∂ nv ∂ n−1 v = ∂hn ∂xn−1 Khi ∂ n+1 v ∂n n ∂v = (v − 1) ∂hn+1 ∂xn−1 ∂h 2n ∂x n ∂ n ∂v = n (v − 1) ∂x 2n ∂h ∂n n+1 ∂v = n (v − 1) ∂x 2n+1 ∂x 31 Do đó, hệ thức n = 1, nên với tất giá trị n Bây giờ, cho h = v = x, ∂ nv ∂hn dn−1 = n−1 ∂x n (x − 1) 2n từ v= ∞ (1 − 2xh + h2 ) hn dn−1 =x+ h n! dxn−1 n=1 1− n (x − 1) n Như ∞ dv hn dn −1 = (1 − 2xh + h2 ) = + dx n! dxn n=1 n (x − 1) 2n Do dn n Pn (x) = n (x − 1) , n n! dx Pn (x) xác định theo công thức Rodrigues với đa thức Legendre dn n Pn (x) = n (x − 1) n n! dx với n số nguyên dương Bởi |b| < |a|, π dx = a + b cos x π (a2 − b2 ) , nên suy ∞ hn Pn (x) = n=0 (1 − 2xh + h2 ) π = π dt − hx − h (x2 − 1) cos t 32 Tích phân hội tụ tuyệt đối hội tụ với giá trị đủ nhỏ |h| Từ việc khai triển tích phân thành chuỗi lũy thừa tăng dần h so sánh hệ số hn ta thấy n π π Pn (x) = (x2 − 1) cos t x+ dt Đây tích phân Laplace cho đa thức Legendre Pn (x), không phụ thuộc (x2 − 1) vào việc chọn Tích phân tương tự ∞ Qn (x) = x+ −n−1 (x2 − 1) cosh t dt, π (n + 1)(n + 2) (n + m) Pnm (x) = π (x2 x+ − 1) cos t n cos mtdt, ∞ m Qm n (x) = (−1) n(n − 1) (n − m + 1) x+ (x2 − 1) cosh t −n−1 cosh mtdt 2.2.3 Biến đổi Mellin a) Khái niệm biến đổi Mellin Nhà toán học Mellin nghiên cứu cụ thể việc xác định nghiệm tích phân mà nhân hàm số tích xt Các nghiệm thu phương trình vi phân có dạng Lx (y) ≡ xn F x d d y+G x y = dx dx (2.10) Giả sử H đa thức đối số K(z) nghiệm phương trình vi phân thường znF z d dz K −H z 33 d dz K = 0, K(xt) thỏa mãn phương trình vi phân đạo hàm riêng xn F x d dx +G x d dx K= G t d dt + t−n H t d dt K hay Lx K = Mt K Tích phân β y= K(xt)v(t)dt α thỏa mãn (2.10), v(t) nghiệm ¯ t (v) = 0, M ¯ t toán tử liên hợp Mt giới hạn α β tích phân M cho b) Áp dụng biến đổi Mellin phương trình siêu bội Ta minh họa ví dụ phương trình siêu bội dy d2 y x(1 − x) + {c − (a + b + 1)x} − aby = dx dx (2.11) Nhân phương trình với x, ta Lx (y) ≡ x d x dx d + (a + b)x + ab y− dx d x dx + (c − 1)x d dx Giả sử d2 d + (e − c) dt2 dt d d t + (c − 1)t dt dt Mt ≡ t(1 − t) =− −1 +t 34 d t dt + (e − 1)t d dt , y = e số tùy ý Khi K(xt) thỏa mãn phương trình vi phân đạo hàm riêng Lx (K) = Mt (K) với u = K(z) nghiệm phương trình du d2 u − abu = z(1 − z) + {e − (a + b + 1)z} dz dz Phương trình ¯ t (v) = M thỏa mãn hàm v(t) = te−1 (1 − t)c−e−1 , giới hạn tích phân xác định cho e c−e ∂u t (1 − e) ∂t β = α Nếu u = F (a, b; e; xt), điều kiện thỏa mãn α = 0, β = với c > e > Với điều kiện này, ta có F (a, b; e; xt)te−1 (1 − t)c−e−1 dt y(x) = thỏa mãn (2.11) Từ te−1 (1 − t)c−e−1 dt = y(0) = Γ(e)Γ(c − e) , Γ(c) ab y (0) = e te (1 − t)c−e−1 dt = ab Γ(e + 1)Γ(c − e) ab Γ(e)Γ(c − e) = , e Γ(c + 1) c Γ(c) 35 ∞ Γ(p) = xp−1 e−x dx, p > gọi hàm Gamma Những điều kiện ban đầu xác định nghiệm Γ(e)Γ(c − e) F (a, b; c; x) Γ(c) Do F (a, b; e; xt)te−1 (1 − t)c−e−1 dt = Γ(e)Γ(c − e) F (a, b; c; x) Γ(c) Đặc biệt, e = b, từ F (a, b; b; xt) = (1 − xt)−a , suy (1 − xt)−a tb−1 (1 − t)c−b−1 dt = Γ(b)Γ(c − b) F (a, b; c; x) Γ(c) với c > b > c) Nguồn gốc tích phân xác định từ chuỗi siêu bội Sử dụng tính chất hàm Gamma hàm Beta xp−1 (1 − x)q−1 dx, B(p, q) = p > 0, q > 0, ta dễ dàng biến đổi chuỗi từ hàm siêu bội thành tích phân xác định tương đương Bởi b(b + 1) (b + r − 1) = 36 Γ(b + r) , Γ(b) nên ∞ F (a, b; c; x) = + r=1 Γ(c) = Γ(b) a(a + 1) (a + r − 1)b(b + 1) (b + r − 1) r x r!c(c + 1) (c + r − 1) ∞ Γ(b) + Γ(c) r=1 a(a + 1) (a + r − 1) Γ(b + r) r x r! Γ(c + r) Ta có Γ(b + r)Γ(c − b) = B(b + r, c − b) = Γ(c + r) tb+r−1 (1 − t)c−b−1 dt với phần thực b + r c − b dương Do Γ(c) F (a, b; c; x) = Γ(b)Γ(c − b) ∞ r=0 tb+r−1 (1 − t)c−b−1 dt Γ(c) = Γ(b)Γ(c − b) a(a + 1) (a + r − 1) r x r! ∞ b−1 t c−b−1 (1 − t) r=0 a(a + 1) (a + r − 1) r r x t dt r! = Γ(c) Γ(b)Γ(c − b) tb−1 (1 − t)c−b−1 (1 − xt)−a dt Việc hoán vị thứ tự lấy tổng tích phân thực chuỗi siêu bội hội tụ đều, nghĩa |x| ≤ ρ < Tuy nhiên biểu thức tích phân xác định hàm số xác định với x, bổ sung cho xác định ta cần có điều kiện hạn chế b c Ta thay đổi đường tích phân để tích phân tạo thành nghiệm độc lập phương trình vi phân 2.2.4 Nghiệm xác định tích phân kép a) Khái niệm Trong nhiều trường hợp, việc tìm tích phân xác định thỏa mãn 37 phương trình vi phân tuyến tính cho có dạng (2.1) không thực Khi giải toán cách sử dụng tích phân bội Chẳng hạn, phương pháp dựa biến đổi Laplace không thực trừ phương trình biến đổi cấp phương trình giải có điều kiện hạn chế thích hợp Trong phần trình bày phương pháp biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tích phân kép, trình bày ví dụ cụ thể Giả sử Lx (y) = phương trình vi phân cho, hàm số K(x; s, t) thỏa mãn Lx K(x; s, t) = Ms,t K(x; s, t), (2.12) Ms,t toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp hai có dạng Ms,t ∂ ∂ ∂2 + b + c + d, ≡a ∂s∂t ∂s ∂t (2.13) a, b, c d hàm số s t Xét tích phân kép y(x) = K(x; s, t)ω(s, t)dsdt, (2.14) hàm số ω(s, t) miền lấy tích phân chưa xác định Giả sử phép lấy vi phân dấu tích phân xác định x, Lx y(x) = = Lx K(x; s, t)ω(s, t)dsdt Ms,t K(x; s, t)ω(s, t)dsdt Mặt khác, lấy tích phân phần ta ∂ 2K aω dsdt = ∂s∂t aω ∂K ∂K ds + dt − Kaω + ∂s ∂t 38 K ∂ (aω) dsdt, ∂s∂t bω ∂K dsdt = ∂s bωKdt − K ∂(bω) dsdt, ∂s cω ∂K dsdt = ∂t cωKds − K ∂(cω) dsdt ∂t Do ¯ s,t (ω)dsdt + [P {K, ω}], K(x; s, t)M Lx y(x) = Ms,t ∂ ∂ ∂2 a− b− c+d ≡ ∂s∂t ∂s ∂t (2.15) toán tử vi phân đạo hàm riêng liên hợp (2.13), P {K, ω} biểu thức song tuyến tính dễ dàng viết đầy đủ Trường hợp thứ nhất, ω(s, t) xác định nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng ¯ s,t (ω) = M (2.16) Như nghiệm toán phụ thuộc vào lý thuyết phức tạp giải tích, lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhưng hầu hết trường hợp, ω(s, t) có dạng đặc biệt u(s)v(t) phương trình đạo hàm riêng (2.16) thay cặp phương trình vi phân thường cấp α du dv + β = 0, γ + δ = 0, ds dt α, β hàm số s, γ δ hàm số t Trong trường hợp thứ hai, giả sử ω(s, t) xác định, việc lại chọn miền lấy tích phân cho tích phân (2.14) tồn biểu thức [P {K, ω}] triệt tiêu 39 Ví dụ 2.3 Xét phương trình Lx (y) ≡ (x2 − 1) dy d2 y + (a + b + 1)x + aby = dx2 dx Chúng ta không giải phương trình biến đổi Laplace đơn giản, hệ số bậc hai Tuy nhiên, giải phương trình tích phân kép với nhân exst , gợi ý từ nhân Laplace ext Trong trường hợp ta có Lx exst = x2 s2 t2 − s2 t2 + (a + b + 1)xst + ab exst = s ∂ +a ∂s t ∂ + b − s2 t2 exst ∂t = Ms,t exst Do ω(s, t) thỏa mãn phương trình vi phân Ms,t (ω) = s ∂ −a+1 ∂s t ∂ − b + − s2 t2 ω = 0, ∂t viết ω(s, t) = u(s)v(t), s du − (a − 1)u = −s2 u ds với u(s) = e− s sa−1 , t dv − (b − 1)v = −t2 v dt với v(t) = e− t tb−1 40 Miền lấy tích phân lấy góc phần tư thứ x ≥ 0, y ≥ với a b số có phần thực dương Từ suy ∞ ∞ exst− (s y1 = tương tự +t2 ) a−1 b−1 s t dsdt, ∞ ∞ e−xst− (s y2 = +t2 ) a−1 b−1 s t dsdt nghiệm phương trình cho b) Mối liên hệ nghiệm cho tích phân kép nghiệm chuỗi Tích phân kép thỏa mãn phương trình vi phân phần trước dễ dàng suy từ nghiệm chuỗi cách sử dụng tính chất hàm Gamma Γ(z + 1) = zΓ(z) Ta có cặp nghiệm chuỗi, tương ứng hàm chẵn hàm lẻ x Y1 = 1+ ab a(a + 2)b(b + 2) a(a + 2)(a + 4)b(b + 2)(b + 4) x+ x+ x +· · · , 2! 4! 6! Y2 = x + (a + 1)(b + 1) (a + 1)(a + 3)(b + 1)(b + 3) x + x + ··· 3! 5! Khi 1 Γ a Γ b Y1 2 1 aΓ a bΓ 1 2 =Γ a Γ b + 22 2 2! 1 1 a a+1 Γ a b 2 2 +24 4! 41 b x2 1 b+1 Γ b 2 x4 + · · · a+1 Γ 1 =Γ a Γ b + 2 2! 24 Γ a+2 Γ + 4! b+1 22 Γ ∞ ∞ 2− 12 a− 12 b =2 e− (s +t2 ) e− (s +t2 ) a−1 b−1 sa−1 tb−1 + x2 b+2 x4 + · · · sa+1 tb+1 x2 sa+3 tb+3 x4 + + ··· 2! 4! dsdt 0 ∞ ∞ 1 = 22− a− b s t cosh(xst)dsdt = 21− a− b (y1 + y2 ) , tương tự, ta chứng minh ∞ ∞ 1 1 1 Γ Γ Y2 = 21− a− b a+ b+ 2 2 e− (s +t2 ) a−1 b−1 s t sinh(xst)dsdt = 2− a− b (y1 − y2 ) Chuỗi Y1 Y2 hội tụ với a b |x| < 1, tích phân tương ứng tồn với tất giá trị x phần thực a b dương 42 Kết luận Trên toàn nội dung khóa luận tốt nghiệp “Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính dạng tích phân xác định” Những nội dung luận văn Trước hết hệ thống hóa số kiến thức lý thuyết phương trình vi phân; Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân; Tổng quan phương trình vi phân tuyến tính việc tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Đó vấn đề cần thiết cho việc trình bày nội dung khóa luận Kết nghiên cứu khoá luận việc trình bày phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính dạng tích phân xác định Vấn đề quan trọng khoá luận biến đổi tích phân như: biến đổi Laplace; biến đổi Euler; biến đổi Mellin Do lần đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên luận văn em không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên để em hoàn thiện luận văn nghiên cứu mức độ sâu Em xin chân thành cảm ơn! 43 Tài liệu tham khảo [1] E A Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc, New York (1989) [2] W Hundsdorfer, Ordinary Differential Equations, Radboud Universiteit Nijmegen (2009) 44 [...]... CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN 2.1 Một số nguyên lý tổng quan Đối tượng mà chúng ta xét trong chương này là một tích phân xác định có dạng β y(x) = K(x, t)v(t)dt, (2.1) α ở đó x là một tham số, thoả mãn các phương trình vi phân tuyến tính đã cho Lx (y) = 0 (2.2) Trong tích phân xác định ở trên có ba yếu tố phân biệt là (i) hàm số K(x, t) được gọi là nhân của tích phân xác định, ... tuyến tính của phương trình (1.8) 13 * Phương pháp giải phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số Từ "định lý cơ bản của đại số" đa thức đặc trưng Pn (λ) có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội Do đó ta xây dựng được n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.8) qua các bổ đề đã trình bày trên đây từ đó, ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho * Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân. .. là một nghiệm của phương trình Lnx (y) = 0 Do đó theo định lý 1.2, tồn tại các hằng số c01 , c02 , , c0n để n ∗ c0k yk y − y˜ = k=1 hay n ∗ c0k yk y = y˜ + k=1 Như vậy nghiệm y ∗ có dạng (1.7) b) Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số * Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số là phương trình có dạng Lnx... trong phương trình (1.4) hàm f (x) ≡ 0, thì phương trình được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n Trong trường hợp pi (x) (i = 1, 2, , n) là các hằng số thì phương trình (1.4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số Từ định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, với các điều kiện đã nêu của phương trình vi phân tuyến tính cấp n ta thấy phương trình luôn tồn tại duy nhất nghiệm. .. một nghiệm của phương trình (1.8) Phương trình (1.9) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.8) Đa thức Pn (λ) gọi là đa thức đặc trưng của phương trình (1.8) Để xây dựng được hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số, ta cần một số bổ đề sau Bổ đề 1.3 Nếu λ1 , λ2 , , λm là các nghiệm khác nhau của phương trình (1.9), thì eλ1 x , eλ2 x , , eλm x là các nghiệm. .. diễn bởi một tích phân xác định 25 2.2.2 Nhân K(x, t) của biến đổi tích phân Xét phương trình vi phân tuyến tính dạng Laplace Lx (y) ≡ d dx xF d dx +G y=0 được thỏa mãn bởi một tích phân xác định β K(x − t)v(t)dt y(x) = α Rõ ràng K(x − t) thỏa mãn phương trình vi phân đạo hàm riêng xF ∂ ∂x ∂ ∂x +G K= − tF ∂ ∂t +H − ∂ ∂t K, (2.9) suy ra K(z) là hàm số của một biến z thỏa mãn phương trình tuyến tính thường... là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó Định lý 1.2 Nếu y1 , y2 , , ym là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình Lnx (y) = 0, thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng m y= ck yk (x), (1.6) k=1 trong đó c1 , c2 , , cm là các hằng số tùy ý Định lý 1.3 Nếu y1 , y2 , , yn là một hệ nghiệm cơ bản của phương trình Lnx (y) = 0 và y˜ là một nghiệm riêng của phương trình Lnx (y) = f (x), thì nghiệm. .. phụ thuộc tuyến tính thì W (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) Bổ đề 1.2 Cho các hàm y1 , y2 , , ym xác định trên khoảng (a, b) là nghiệm của phương trình Lnx (y) = 0 Khi đó để y1 , y2 , , ym độc lập tuyến tính thì điều kiện cần và đủ là W [y1 , y2 , , ym ] = 0 với mọi x ∈ (a, b) 10 1.3.3 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính a) Định nghĩa Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình y (n)... Mellin đã nghiên cứu khá cụ thể vi c xác định các nghiệm tích phân mà nhân là một hàm số của tích xt Các nghiệm này có thể thu được khi phương trình vi phân có dạng Lx (y) ≡ xn F x d d y+G x y = 0 dx dx (2.10) Giả sử H là đa thức bất kì của đối số và K(z) là nghiệm bất kì của phương trình vi phân thường znF z d dz K −H z 33 d dz K = 0, khi đó K(xt) thỏa mãn phương trình vi phân đạo hàm riêng xn F x d dx... trường hợp tổng quát, v(t) được chọn sao cho tích phân là một vi phân hoàn toàn, và từ đó giới hạn của tích phân phải được cố định Xác định của v(t) là nghiệm của phương trình ¯ t (v) = 0, M được gọi là biến đổi Euler của Lx (y) = 0 Khi p = 1, biến đổi Euler là một phương trình tuyến tính cấp 1 và khi đó v(t) có thể được xác định cụ thể Ví dụ 2.2 Cho phương trình Legendre dy d2 y (1 − x ) 2 − 2x + n(n ... phương trình vi phân; Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân; Tổng quan phương trình vi phân tuyến tính vi c tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Đó vấn đề cần thiết cho vi c... tài Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính dạng tích phân xác định nhằm nghiên cứu ứng dụng phép tính tích phân vi c tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính, góp thêm công cụ hữu ích tìm nghiệm. .. nghiên cứu Trình bày số phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính dạng tích phân xác định Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bởi nghiệm phương trình cho dạng tích phân xác định, nên điều