Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dưới dạng tích phân xác định

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với một nghiệm riêng của phương trình đó.. Phươ

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ

Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà

Nội 2 Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS

Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành

khóa luận tốt nghiệp

Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa

luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Em xin chân thành

cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn

sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Phạm Thị Trang

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóa

luận tốt nghiệp “Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

dưới dạng tích phân xác định” được hoàn thành theo quan điểm

riêng của cá nhân tôi

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các

nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Phạm Thị Trang

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Khái niệm tổng quan về phương trình vi phân 5

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 5

1.1.2 Bài toán Cauchy 6

1.1.3 Nghiệm tổng quát 6

1.2 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân 8 1.3 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính 8

1.3.1 Một số khái niệm cơ bản 8

1.3.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các hàm 10

1.3.3 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính 11

Chương 2 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN 17

2.1 Một số nguyên lý tổng quan 17

2.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính qua các phép biến đổi tích phân 19

2.2.1 Biến đổi Laplace 19

2.2.2 Nhân K(x, t) của biến đổi tích phân 26

2.2.3 Biến đổi Mellin 33

2.2.4 Nghiệm xác định bởi tích phân kép 37

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình vi phân là một chuyên ngành của Giải tích toán học,

đóng vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật, vật lí, kinh tế và nhiều

lĩnh vực khác Phương trình vi phân đơn giản

y0(x) = dy

dx

thể hiện mối quan hệ giữa một đại lượng biến thiên liên tục được biểu

diễn bằng hàm với độ biến thiên của đại lượng đó được biểu diễn bằng

đạo hàm bậc nhất của nó (hoặc đạo hàm cấp cao hơn) Đối với các

phương trình thông thường, nghiệm là một giá trị số thực hoặc số phức

Tuy nhiên, đối với các phương trình vi phân nghiệm là một họ các hàm,

sai lệch bằng một hằng số nào đó, được xác định tường minh khi có thêm

điều kiện đầu hoặc điều kiện biên

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính là tổng của

nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương

ứng với một nghiệm riêng của phương trình đó Cho đến nay, người ta

đã đưa ra được phương pháp xây dựng hệ nghiệm tổng quát của phương

trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số Tuy nhiên đối với phương

trình vi phân tuyến tính mà hệ số không phải là hằng số thì việc tìm

nghiệm của nó còn gặp phải những khó khăn nhất định Chẳng hạn như

phương trình dưới đây

(1 − x2)d

2y

dx2 − 2xdy

dx + 2y = 0.

Phương trình trên là phương trình vi phân cấp hai với hệ số là hàm số

của một biến độc lập, nhưng ta không thể tìm được nghiệm riêng dưới

dạng một hàm số sơ cấp Việc giải các dạng phương trình trên có nhiều

ứng dụng quan trọng không chỉ trong ngành Toán học mà còn ứng dụng

trong nhiều ngành khoa học khác như vật lí, hóa học Vì vậy, chúng ta

cần xây dựng các phương pháp tìm nghiệm cho các phương trình vi phân

dạng này Một trong những phương pháp hữu ích là ứng dụng các phép

tính tích phân để tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

Được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hào nên em đã chọn đề

tài “Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dưới dạng

tích phân xác định” nhằm nghiên cứu một ứng dụng của phép tính

tích phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính,

góp thêm một công cụ hữu ích tìm nghiệm đối với phương trình vi phân

thường

Khóa luận được bố cục thành hai chương

Chương 1 Trình bày một số khái niệm tổng quan về phương trình vi

phân; định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân; lý

thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính

Chương 2 Chương này là nội dung chính của khóa luận Ở đây em

trình bày một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân

dưới dạng tích phân xác định thông qua các phép biến đổi như biến đổi

Laplace, biến đổi Euler, biến đổi Mellin

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân

tuyến tính dưới dạng tích phân xác định

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bởi vì nghiệm của phương trình được cho dưới dạng tích phân xác

định, nên điều kiện cần thiết liên quan đến vấn đề này phải kể đến các

phép biến đổi tích phân

Nghiên cứu một phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân

tuyến tính Tuy nhiên, do khuôn khổ yêu cầu đối với một khóa luận tốt

nghiệp, nên em chỉ trình bày vấn đề trong phạm vi tìm nghiệm dưới

dạng tích phân xác định

4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của

người hướng dẫn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Khái niệm tổng quan về phương trình vi phân

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm cần tìm và các

đạo hàm của nó Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc một biến độc lập,

thì phương trình đó được gọi là phương trình vi phân thường gọi tắt là

phương trình vi phân Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai hoặc nhiều biến

độc lập thì phương trình được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng

gọi tắt là phương trình đạo hàm riêng

Phương trình vi phân thường là phương trình có dạng tổng quát

F (x, y, y0, y00, , y(n)) = 0, (1.1)

trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian

Rn+2 Trong phương trình (1.1) gồm các biến độc lập x và y là hàm củabiến độc lập cùng các đạo hàm cấp một đến cấp n của nó Cấp của một

phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao nhất của đạo

hàm xuất hiện trong phương trình

Trong phương trình (1.1) có thể vắng mặt một số các biến x, y, y0, , y(n−1)

nhưng y(n) nhất thiết phải có mặt

Nếu từ (1.1) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình

(1.1) có dạng

y(n) = F (x, y, y0, , y(n−1)), (1.2)

thì ta nói phương trình vi phân cấp n đã giải ra được với đạo hàm cấp

cao nhất y(n) qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được

đối với y(n) hoặc ta còn gọi phương trình có dạng chính tắc

Nghiệm của phương trình (1.1) cũng như (1.2) là hàm y = y(x) khả vi

n lần trên khoảng (a, b) nào đó thỏa mãn các phương trình đó Đường

cong y = y(x), x ∈ (a, b) gọi là đường cong tích phân của phương trình

đã cho Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ "tích phân

phương trình vi phân" vì lý do này

Thông thường nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n phụ

thuộc n hằng số tùy ý C1, C2, , Cn Trong thực tế người ta chỉ quan

tâm đến nghiệm của (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn một số điều kiện nào đấy

Một trong những điều kiện đó là điều kiện ban đầu

y0 = y(x0), y00 = y0(x0), , y0(n−1) = y(n−1)(x0) (1.3)

1.1.2 Bài toán Cauchy

Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn

điều kiện ban đầu (1.3) Bài toán này được gọi là bài toán Cauchy

1.1.3 Nghiệm tổng quát

Ta giả thiết rằng G là miền tồn tại và duy nhất nghiệm của phương

trình (1.2), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với

mỗi điểm

(x0, y0, y00, , y(n−1)0 ) ∈ G

Hàm

y = ϕ(x, C1, C2, , Cn)

xác định trong miền biến thiên của các biến x, C1, C2, , Cn có tất cả các

đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát

của phương trình (1.2) trong miền G nếu trong G từ hệ phương trình

và hàm y = ϕ(x0, C10, C20, , Cn0) là nghiệm của phương trình (1.2) ứng

với mỗi hệ C10, C20, , Cn0 xác định được từ trên khi (x0, y0, y00, , y0(n−1))

biến thiên trong G

1.2 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương

trình vi phân

Đối với phương trình vi phân, việc nghiên cứu về vấn đề tồn tại và

duy nhất nghiệm là khá phức tạp Dưới đây, chúng tôi chỉ phát biểu kết

quả cho trường hợp tổng quát

Định lý 1.1 (Tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp

Nếu vế phải của phương trình trên là một hàm liên tục của n + 1 biến

trong một miền nào đó của Rn+1 chứa điểm

liên tục thì tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 để trên khoảng này

tồn tại và duy nhất một hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng đó và

thỏa mãn điều kiện đầu (1.3)

1.3 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân

tuyến tính

1.3.1 Một số khái niệm cơ bản

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương trình có dạng

y(n)+ p1(x)y(n−1) + · · · + pn−1(x)y0 + pn(x)y = f (x), (1.4)

trong đó p1(x), p2(x), , pn−1(x), pn(x), f (x) là những hàm liên tục trên

khoảng (a, b) nào đó

Nếu trong phương trình (1.4) hàm f (x) ≡ 0, thì phương trình được gọi

là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n Trong trường hợp pi(x)

(i = 1, 2, , n) là các hằng số thì phương trình (1.4) được gọi là phương

trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số

Từ định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, với các điều kiện đã nêu của

phương trình vi phân tuyến tính cấp n ta thấy phương trình luôn tồn tại

duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu cho trước Vế phải của (1.4)

thường được kí hiệu là Lnx(y) và gọi là toán tử vi phân tuyến tính cấp

n Khi đó phương trình (1.4) được viết dưới dạng

Lnx(y) = f (x)

Chú ý: tính tuyến tính và thuần nhất của phương trình được bảo toàn

qua mọi phép đổi biến số độc lập x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm số

bất kỳ khả vi n lần, mà đạo hàm ϕ0(t) 6= 0 trên đoạn đang xét của biến

số t

Tính tuyến tính và thuần nhất được bảo toàn cả qua phép biến đổi tuyến

tính thuần nhất của hàm số chưa biết y(x) = α(x)z(x)

Để xây dựng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính

Chúng ta cần đến một số khái niệm và kết quả liên quan đến hàm số

dưới đây

1.3.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các

hàm

Các hàm y1(x), y2(x), , ym(x) xác định trên khoảng (a, b) được gọi là

phụ thuộc tuyến tính trên khoảng đó nếu tồn tại các hằng số c1, c2, , cm

không đồng thời bằng 0 sao cho

m

X

k=1

với mọi x ∈ (a, b) Các hàm số đó được gọi là độc lập tuyến tính trên

khoảng (a, b) nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, tức là hệ thức (1.5)

chỉ xảy ra khi c1 = c2 = = cm = 0

Giả sử các hàm y1, y2, , ym xác định và có đạo hàm đến cấp m − 1 trên

khoảng (a, b) nào đó, ta đặt

W [y1, y2, , ym] = Det

Giá trị trên được gọi là định thức Wronski của các hàm y1, y2, , ym trên

khoảng (a, b)

Bổ đề 1.1 Nếu các hàm y1, y2, , ym phụ thuộc tuyến tính thì W (x) = 0

với mọi x ∈ (a, b)

Bổ đề 1.2 Cho các hàm y1, y2, , ym xác định trên khoảng (a, b) là

nghiệm của phương trình Lnx(y) = 0 Khi đó để y1, y2, , ym độc lập

tuyến tính thì điều kiện cần và đủ là W [y1, y2, , ym] 6= 0 với mọi x ∈

(a, b)

1.3.3 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

a) Định nghĩa

Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình

y(n)+ p1(x)y(n−1)+ · · · + pn−1(x)y0 + pn(x)y = 0

gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó

Định lý 1.2 Nếu y1, y2, , ym là các nghiệm độc lập tuyến tính của

phương trình Lnx(y) = 0, thì nghiệm tổng quát của phương trình có

Định lý 1.3 Nếu y1, y2, , yn là một hệ nghiệm cơ bản của phương

trình Lnx(y) = 0 và ˜y là một nghiệm riêng của phương trình

Như vậy công thức (1.7) cho ta nghiệm của phương trình Lnx(y) = f (x)

Ta cần chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình Lnx(y) = f (x)

Như vậy nghiệm y∗ có dạng (1.7).

b) Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số

* Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính thuần

nhất hệ số hằng số

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số là phương

trình có dạng

Lnx(y) = y(n) + pn−1y(n−1)+ · · · + p1y0 + p0y = 0, (1.8)

trong đó pn−1, pn−2, , p0 là các hằng số thực Ta tìm nghiệm riêng của

phương trình (1.8) dưới dạng y = eλx, trong đó hằng số λ được xác định

sao cho y là nghiệm của (1.8) Khi đó

y0 = λeλx, y00 = λ2eλx, , y(n) = λneλx

Thay vào phương trình (1.8) ta được

Lnx(y) = Lnx(eλx) = (λn+ pn−1λn−1 + · · · + p1λ + p0)eλx = 0

Bởi vì eλx 6= 0 nên ta có

Pn(λ) = λn+ pn−1λn−1 + · · · + p1λ + p0 = 0 (1.9)

Như vậy, nếu λ là một nghiệm của phương trình (1.9) thì y = eλx là một

nghiệm của phương trình (1.8) Phương trình (1.9) được gọi là phương

trình đặc trưng của phương trình (1.8) Đa thức Pn(λ) gọi là đa thức

đặc trưng của phương trình (1.8) Để xây dựng được hệ nghiệm cơ bản

của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số, ta cần một số

bổ đề sau

Bổ đề 1.3 Nếu λ1, λ2, , λm là các nghiệm khác nhau của phương trình

(1.9), thì

eλ1 x, eλ2 x, , eλm x

là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.8)

Bổ đề 1.4 Nếu λ1 là một nghiệm bội m của phương trình (1.9) thì các

hàm

eλ1 x, xeλ1 x, , xm−1eλ1 x

là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (1.8)

Bổ đề 1.5 Nếu α ± iβ là cặp nghiệm phức bội m của phương trình

(1.9) thì hệ các hàm

eαxcos βx, xeαxcos βx, , xm−1eαxcos βx

và

eαxsin βx, xeαxsin βx, , xm−1eαxsin βx

là 2m nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (1.8)

* Phương pháp giải phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số

hằng số

Từ "định lý cơ bản của đại số" đa thức đặc trưng Pn(λ) có đúng n

nghiệm kể cả nghiệm bội Do đó ta xây dựng được n nghiệm độc lập

tuyến tính của phương trình (1.8) qua các bổ đề đã trình bày trên đây

từ đó, ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

* Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính

Để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không

thuần nhất, ta lấy một nghiệm riêng của phương trình không thuần

nhất cộng với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương

ứng Vấn đề này đã được ta chứng minh trong phần định lý cấu trúc

nghiệm riêng dưới dạng

y = eαxQn(x)

* Nếu α là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng, thì ta có thể tìm

nghiệm riêng của phương trình dưới dạng

y = xmeαxQn(x),

trong đó Qn(x) là một đa thức bậc n của x

Dạng 2 Vế phải có dạng f (x) = eαx[Pm1(x) cos βx + Qm2(x) sin βx],

trong đó Pm1(x), Qm2(x) là những đa thức bậc m1, m2 và α, β là hằng

số

* Nếu α + iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm

nghiệm riêng ˜y(x) của phương trình dưới dạng

˜y(x) = eαx[Rm(x) cos βx + Sm(x) sin βx]

* Nếu α + iβ là nghiệm bội m (m ≥ 1) của phương trình đặc trưng thì

ta tìm nghiệm riêng ˜y(x) của phương trình dưới dạng

˜y(x) = xmeαx[R(x) cos βx + S(x) sin βx] ,

trong đó R(x) và S(x) có bậc bằng bậc lớn nhất của các đa thức P (x)

và Q(x)

Để xác định các hệ số của Rm(x), Sm(x) ta thay ˜y(x) vào phương trình

và tiến hành như ở trường hợp trên

Dạng 3 Vế phải có dạng

f (x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x),

trong đó mỗi hàm fk(x) có dạng trong dạng 1 và dạng 2 Trước hết ta

tìm nghiệm riêng ˜yk của phương trình

Lnx(y) = fk(x), k = 1, 2, , m

Khi đó nghiệm riêng của phương trình Lnx(y) = fk(x) là

˜y(x) = ˜y1(x) + ˜y2(x) + · · · + ˜yn(x)

Chương 2

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH DƯỚI

Trong tích phân xác định ở trên có ba yếu tố phân biệt là

(i) hàm số K(x, t) được gọi là nhân của tích phân xác định,

(ii) hàm số v(t),

(iii) các giới hạn (cận) của tích phân, α và β

Giả sử có thể tìm được nhân K(x, t) thoả mãn phương trình vi phân

đạo hàm riêng có dạng

ở đó Mt là một toán tử vi phân tuyến tính chỉ phụ thuộc vào t và ∂

∂t.Khi đó nếu có thể áp dụng toán tử Lx vào tích phân xác định y(x), thì

Để tích phân (2.1) là một nghiệm của phương trình (2.2), thì các số

hạng ở vế phải của phương trình trên phải bằng không, tức là v(t) là

một nghiệm của phương trình

¯

Mt(v) = 0,

và giới hạn của tích phân được chọn sao cho

[P {K, v}]t=βt=α = 0,

phương pháp này được xét một cách tổng quát Do đó, chẳng hạn ta giả

sử không có nhân K(x, t) nào thoả mãn phương trình vi phân đạo hàm

riêng (2.3) nhưng có thể tìm được hai hàm số K(x, t) và k(x, t) thỏa

2.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

qua các phép biến đổi tích phân

2.2.1 Biến đổi Laplace

a) Khái niệm về biến đổi Laplace

Nếu trong toán tử Lx mỗi hệ số có bậc m và toán tử có cấp n, thì Lx có

thể được viết dưới dạng mở rộng

Phương trình (2.7) được gọi là biến đổi Laplace của Lx(y) = 0 và ext là

nhân của phép biến đổi từ v(t) thành y(x) Đặc trưng của phương pháp

này là có thể thu được một nghiệm cụ thể của phương trình đã cho từ

một nghiệm của (2.7) Trong trường hợp đặc biệt với m = 1, nghĩa là

các hệ số của phương trình đã cho tuyến tính đối với x, biến đổi Laplace

là một phương trình tuyến tính cấp 1 và do đó có thể lấy tích phân xác

định

Một quan hệ thuận nghịch quan trọng tồn tại giữa các phương trình

Lx(y) = 0 và Mt(v) = 0 là biến đổi Laplace, nhân của phép biến đổi là

e−xt Điều này suy ra ngay đồng nhất thức

là một nghiệm của (2.7) Liên hệ giữa (2.6) và (2.8) cho ta một ví dụ về

biến đổi ngược của tích phân xác định, nghĩa là xác định một hàm số

v(t) chưa biết trong tích phân sao cho tích phân xác định có thể biểu

diễn hàm số y(x) đã biết

vMt(u) − u ¯Mt(v) = d

dt[t(t + 1)uv]

... data-page="14">

Như nghiệm y∗ có dạng (1.7).

b) Phương trình vi phân tuyến tính hệ số số

* Nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính

nhất hệ số số

Phương trình vi phân tuyến. .. 2

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH DƯỚI

Trong tích phân xác định có ba yếu tố phân biệt

(i) hàm số K(x, t) gọi nhân tích phân xác định,

(ii)... qua bổ đề trình bày

từ đó, ta nhận nghiệm tổng quát phương trình cho

* Nghiệm tổng qt phương trình vi phân tuyến tính

Để nhận nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính khơng