Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu hopf lax oleinik cho nghiệm nhớt

Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Lời Cảm ơn Trong suốt trình thực đề tài, em nhận hướng dẫn bảo nhiệt tình thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng giảng viên tổ Toán Giải tích, toàn thể thầy cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Em xin chân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng toàn thể quý thầy, cô khoa Toán giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành tốt khoá luận Bằng nỗ lực thân, khoá luận hoàn thành Song khuôn khổ thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khoá luận khó tránh khỏi sai sót Em mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn sinh viên để thân tiếp tục hoàn thiện trình học tập giảng dạy Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên Thân Văn Tài GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -1- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Lời cam đoan Quá trình nghiên cứu khoá luận với đề tài: “Nghiệm nhớt phƣơng trình đạo hàm riêng cấp công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” giúp em hiểu sâu môn Giải tích đại, đặc biệt phương trình vi phân ĐHR Qua giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Em xin cam đoan khoá luận hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn, bảo nhiệt tình thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng thầy, cô tổ Toán Giải tích trường ĐHSP Hà Nội Và đề tài không trùng với đề tài tác giả khác Em mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên Thân Văn Tài GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -2- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Mục lục Lời cảm ơn ………………………………………………………………… Lời cam đoan ……………………………………………………………… Mục lục ………………………………………………………………………3 Lời nói đầu ………………………………………………………………….4 Chƣơng 1: Các ký hiệu kiến thức mở đầu …………………………… 1.1 Ký hiệu …………………………………………………………….6 1.2 Kiến thức giải tích thực…………………………………………8 1.3 Kiến thức giải tích hàm ……………………………………… 1.4 Kiến thức lý thuyết Tôpô-Độ đo-Tích phân ………………… 10 1.5 Một số bất đẳng thức ………………………………………… 11 Chƣơng 2: Nghiệm nhớt phƣơng trình đạo hàm riêng cấp …12 2.1 Mở đầu ………………………………………………………… 12 2.2 Khái niệm nghiệm nhớt ………………………………………… 13 2.3 Tính nghiệm nhớt ………………………………… 18 2.4 Các công thức Hopf-Lax ………………………………………23 Chƣơng 3: Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt ……….29 3.1 Các ký hiệu thường dùng………………………………………29 3.2 Công thức Hopf-Lax cổ điển …………………………………….30 3.3 Hamiltonian lồi phụ thuộc vào u …………………………… 32 3.4 Hamiltonian phụ thuộc u kiện ban đầu tựa lồi ……………34 Kết luận …………………………………………………………………….43 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………… 44 GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -3- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Lời nói đầu Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI Như ta biết phương trỡnh vi phõn ĐHR núi chung phương trỡnh phi tuyến núi riờng cú ứng dụng rộng rói thực tế Cú nhiều lĩnh vực nghiờn cứu đại mà phương trỡnh vi phõn ĐHR đóng vai trũ quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhúm nhiều chiều, lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết cỏc khụng gian vật lý toỏn Mặc dự đề cập từ lõu (khoảng kỷ 18 19), lý thuyết cỏc phương trỡnh phi tuyến chưa hoàn thiện Từ đầu kỷ 20 đến nhu cầu nghiờn cứu cỏch chặt chẽ phương trỡnh vi phõn ĐHR kớch thớch phỏt triển cỏc phương phỏp Giải tớch thực,Giải tớch hàm Tụpụ Một toỏn phương trỡnh vi phõn ĐHR, cú ý nghĩa thực tiễn thỡ chắn cú nghiệm, vấn đề nghiệm hiểu theo nghĩa mà thụi Cú nhiều phương trỡnh vi phõn ĐHR mà ta nghiờn cứu, đặc biệt phương trỡnh phi tuyến khụng cú nghiệm cổ điển Vấn đề đặt ta cố gắng xõy dựng lý thuyết cỏc nghiệm suy rộng nghiệm yếu chỳng, đặc biệt tớnh nghiệm (do nhu cầu ứng dụng thực tế) Khi nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR cấp thỡ kỹ thuật phương pháp triệt tiêu độ nhớt, ta thu nghiệm nhớt (một loại nghiệm yếu) toỏn Cauchy phương trỡnh Hamilton-Jacobi Như nghiệm nhớt cú ý nghĩa lớn việc nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR Vỡ tầm quan trọng lớn nú thực tế, nghiờn cứu khoa học nhằm giỳp cho bạn đọc cú cỏi nhỡn tổng quỏt phương trỡnh vi phõn ĐHR GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -4- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Nờn quỏ trỡnh nghiờn cứu khoỏ luận em mạnh dạn lựa chọn đề tài “Nghiệm nhớt phƣơng trỡnh đạo hàm riêng cấp cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” phần nhỏ lý thuyết phương trỡnh vi phõn ĐHR NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong khuụn khổ thời gian cú hạn nờn khoỏ luận em chủ yếu sõu vào số nội dung chớnh sau: Chƣơng 1: “Ký hiệu kiến thức mở đầu” Nhằm mục đích cung cấp cho người đọc ký hiệu thường dựng cỏc kiến thức cú liờn quan để tiện theo dừi cỏc phần Chƣơng 2: “Nghiệm nhớt phƣơng trỡnh đạo hàm riờng cấp một” Ta đề cập đến khỏi niệm nghiệm nhớt cụng thức kiểu Hopf-Lax chỳng, cựng cỏc ước lượng nghiệm trường hợp khụng cổ điển Chương ta đưa cỏi nhỡn tổng quỏt tớnh nghiệm yếu cụng thức Hopf-Lax cho trường hợp cỏc Hamiltonian lồi (dữ kiện ban đầu lồi) Chƣơng 3: “Cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” Chương cú phần: Phần đưa cỏc ký hiệu chung thường dựng cho cỏc phần Phần nhằm thiết lập cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt với phương trỡnh Hamilton-Jacobi trường hợp Hamiltonian khụng phụ thuộc vào ẩn hàm hàm ban đầu khụng thiết liờn tục Phần thực cụng việc tương tự Hamiltonian lồi phụ thuộc vào ẩn hàm cựng gradient theo cỏc biến khụng gian nú Phần Hamiltonian chứa biến thời gian ẩn hàm cựng với gradient theo cỏc biến khụng gian nú GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -5- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Chƣơng Kí HIỆU VÀ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Kí HIỆU 1.1.1 Ký hiệu hỡnh học (i)  n khụng gian Euclide thực n chiều (ii) U biờn U, U  U  U bao đóng U (iii) UT  U   0,T  (iv) T  U T  U T biờn parabolic U T (v) B0 ( x, r )   y   n | x  y  r hỡnh cầu mở  n với tõm x bỏn kớnh r > (vi) B ( x, r ) hỡnh cầu đóng với tõm x bỏn kớnh r > (vii)  n   x  ( x1, x2 , , xn )   n | x j  0j  1,2, , n nửa khụng gian mở phớa trờn;    x   | x  0 (viii) Một điểm  n1 thường ký hiệu ( x, t )  ( x1, x2 , , xn , t ) thường dựng t  xn1 biến thời gian 1.1.2 Ký hiệu cỏc hàm số (i) Nếu u : U   , ta viết u( x)  u( x1, x2 , , xn ) ( x U ) Ta núi u trơn u khả vi vụ hạn (ii) u   max(u,0), u    (u,0), u  u   u  , u  u   u  (iii) Hàm u : U   gọi liờn tục Lipschitz u ( x)  u ( y )  C x  y với số C với x, y U Ta viết GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -6- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Lip u  : sup x , yU , x  y u ( x)  u ( y ) x y (iv) Tớch chập cỏc hàm f , h ký hiệu: f*h ( f * h)( x) :  f ( y)h( x  y)dy 1.1.3 Các ký hiệu đạo hàm Giả thiết u : U   , x U (i) u u ( x  h i )  u ( x) , giới hạn tồn ( x)  lim h0 xi h (ii) Ta hay viết u xi thay cho u xi  2u  3u  u xi x j ,  u xi x j xk , v.v (iii) Tương tự xi x j xi x j xk n (iv) u   u xi xi  tr ( D 2u ) toỏn tử Laplace u i 1 1.1.4 Cỏc khụng gian hàm (i) C (U )  u : U   | u liờn tục  C (U )  u  C (U ) | u liờn tục  C k (U )  u : U   | u liờn tục khả vi k lần  C k (U )  u  C k (U ) | D u liờn tục với   k (ii) Lp (U )  u : U   | u đo Lebesgue, u Lp (U )   , u Lp (U )   U p u dx  p (1  p  ) L (U )  u : U   | u đo Lebesgue, u L (U )   , GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -7- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội u Khoá Luận Tốt Nghiệp L (U )  ess sup u U Lp loc (U )  u : U   | u  Lp (V ) với V  U  1.1.5 Hàm véctơ (i) Nếu m > u : U   m , u  (u1, u , , u m ), ( x U ) D u  ( D u1, D u , , D u m ) với đa số  ,  2 Dk u  D u |   k D k u    D u    k    (ii) Khi k = ta cú  u1   x1 Du     m  u  x  u1    xn    = ma trận gradient  u m   xn mn 1.2 KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH THỰC 1.2.1 Tính chất hàm trơn húa (i) f   C  (U ) (ii) f   f hầu khắp nơi   (iii) Nếu f  C (U ) , thỡ f   f trờn tập compact U (iv) Nếu  p   f  Lploc (U ) thỡ f   f Lploc (U ) 1.2.2 Định lý hàm ẩn Giả sử f  C1 (U ;  m ) J y f(x0 , y0 )  Khi tồn tập mở V  U với ( x0 , y0 ) V , tập mở W   n với x0  W , C ỏnh xạ g : W   m cho: GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -8- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp (i) g ( x0 )  y0 , (ii) f(x, g ( x))  z0 ( x  W) , (iii) Nếu ( x, y ) V f(x, y)  z0 thỡ y  g ( x) , (iv) Nếu f  C k thỡ g  C k (k  2, ), Hàm g xỏc định ẩn gần x0 phương trỡnh f(x, y)  z0 1.3 KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH HÀM 1.3.1 Khụng gian Banach 1.3.1.1 Định nghĩa khụng gian định chuẩn Ta gọi khụng gian định chuẩn (hay khụng gian tuyến tớnh định chuẩn) khụng gian tuyến tớnh X trờn trường P ( P  P  ) cựng với ỏnh xạ từ X vào tập số thực  , ký hiệu  đọc chuẩn, thỏa cỏc tiờn đề sau: (i) (x  X ) x  0, x   x   (ký hiệu phần tử khụng  ); (ii) (x  X ) (  P)  x   x ; (iii) (x, y  X ) x  y  x  y 1.3.1.2 Định nghĩa hội tụ khụng gian định chuẩn Dóy điểm ( xn ) khụng gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x  X , lim xn  x  Ký hiệu lim xn  x hay xn  x (n  ) n n  1.3.1.3 Định lý không gian Banach Khụng gian định chuẩn X khụng gian Banach khụng gian X chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ 1.3.2 Khụng gian Hilber Cho H khụng gian tuyến tớnh thực Ánh xạ (, ) : H  H   gọi tớch vụ hướng : GVHD:Th.S Trần Văn Bằng -9- SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp (i) (u, v)  (v, u ), u, v  H (ii) Ánh xạ u  (u, v) tuyến tớnh với v  H (iii) (u, v)  0, u  H (iv) (u, u )   u  Khụng gian Hilbert khụng gian Banach với chuẩn sinh tích vô hướng 1.3.3 Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn 1.3.3.1 Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn khụng gian Banach (i) Ánh xạ A : X  Y gọi toỏn tử tuyến tớnh nếu: A(u  v)   Au   Av, u, v  X ,  ,    (ii) Cho khụng gian định chuẩn X Y Toỏn tử tuyến tớnh A từ khụng gian X vào khụng gian Y gọi bị chặn, tồn số C cho: Ax  C x , x  X 1.3.3.2 Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn khụng gian Hilbert Cho H khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng (,) (i) Nếu A : H  H toỏn tử tuyến tớnh bị chặn, toỏn tử liờn hợp nú A*: H  H thỏa ( Au, v)  (u, A * v), u, v  H (ii) A đối xứng A*  A 1.4 KIẾN THỨC VỀ Lí THUYẾT Tễ Pễ - ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN 1.4.1 Khỏi niệm hầu khắp nơi Cho khụng gian độ đo (X, M,  ), A  M Ta núi tớnh chất (T) xẩy hầu khắp nơi trờn A (viết tắt h.k.n) tồn tập hợp B M cho B  A,  (B)  điểm x A\B cú tớnh chất (T) GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 10 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Bài làm Ta kiểm tra cỏc giả thiết hệ 3.2.1 thoả Tớnh trực tiếp ta nghiệm nhớt Lipschitz toỏn (3.7)-(3.8) x2 u(t,x) = ,  2t t  0, x  Tớnh chớnh quy tớnh nghiệm khẳng định sau Hệ 3.2.2 Nếu f UC ( n ) , H lồi đối hữu hạn, (3.4) xỏc định hàm u liờn tục Lipschitz  , T    n với   , u UC ( 0, T    n ) nghiệm nhớt toỏn (3.1)-(3.2) UCx (U ) Vớ dụ Cho a > , tỡm nghiệm nhớt Lipschitz toỏn sau: u u  ( )  0, t x t > 0, x , (3.9) u(0, x)  a x , x (3.10) Bài làm Dựa vào hệ 3.2.2 ta suy nghiệm nhớt toỏn (3.9)-(3.10)   a 2t   a x , x  at u (t , x)    x , x  at  2t 3.3 HAMILTONIAN LỒI VÀ PHỤ THUỘC VÀO u Xột toỏn Cauchy phương trỡnh Hamilton-Jacobi dạng u  H (u , Dxu )  U , t GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 32 - (3.11) SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp u (0, x)  f ( x) trờn  n (3.12) Ta luụn giả thiết rằng: (i) H ( , p) liờn tục  n1, H (, p) khụng giảm trờn  với p  n (ii) H ( , ) lồi dương bậc  n với   , tức H ( ,  p)   H ( , p),   0,    Định lý 3.3.1 Giả sử hàm H  H ( , p) thỏa điều kiện: H ( , p) hàm nửa liờn tục khụng giảm theo  p cố định; H ( , p) hàm lồi dương cấp theo p với   Khi H # hàm tựa lồi nửa liờn tục Hơn nữa, H liờn tục trờn  n1 thỡ inf H # ( z ) : z   n   , H # ( z )   z   H #*  H Bổ đề 3.3.1 Tập Q( H # ) : q   n : H # (q)   khỏc rỗng bị chặn Chứng minh Từ định lý 3.3.1 ta suy tồn N > cho H # ( z )  0,  z  N Như Q( H # ) bị chặn Nờn ta đặt h( z ) : H # ( z),0 Hiển nhiờn h nửa liờn tục trờn  n Nếu H # ( z )  , z , thỡ h hữu hạn nửa liờn tục Do từ định lý 3.3.1 ta cú GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 33 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp   h( z )  inf H # ( z )  inf H # ( z )   (vụ lý) z N z N zN Chứng tỏ Q( H # )   Như mệnh đề chứng minh Định lý 3.3.2 Giả sử (i)-(ii) thỏa kiện ban đầu f hàm liờn tục  n Khi hàm u (3.13) nghiệm nhớt toỏn (3.11)-(3.12): x y   u (t , x)  infn  H # ( )  f ( y) , (t, x) U y  t  (3.13) Hệ 3.3.1 Giả sử (i)-(ii) thỏa f  BUC ( n ) Khi u xác định (3.13) nghiệm nhớt toỏn (3.11)-(3.12) khụng gian BUC (U ) Vớ dụ Tỡm nghiệm nhớt toỏn: u u u  u   , u(0, x)  x , t x T t 0, x  (3.14) Bài làm Hiển nhiờn kiện ban đầu f ( x)  x khụng bị chặn Bài toỏn (3.14) cú nghiệm nhớt tớnh theo cụng thức (3.13), u (t , x)  x , (t , x)  0, T    1 t 3.4 HAMILTONIAN PHỤTHUỘC u VÀ DỮ KIỆN BAN ĐẦU TỰA LỒI 3.4.1 Kiến thức chuẩn bị Cho hàm f :  n   , đặt GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 34 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp  *  inf f (x) x n Xột hàm đa trị L cho L:( * ,+)  2 \  , n a  Eh,a ta gọi L đa trị sinh ( f ) Định nghĩa 3.4.1 Hàm f cú tớnh chất L -nửa liờn tục đa trị sinh L    -nửa liờn tục Cho f thỏa điều kiện: lim f ( x)   , (3.15) x  với a  , E f ,a bị chặn Do ta cú mệnh đề sau Mệnh đề 3.4.1 Nếu f liờn tục thỏa điều kiện (3.15) thỡ đa trị sinh L    nửa liờn tục L nửa liờn tục Lớp cỏc hàm cú tớnh chất L -nửa liên tục nhận biết thông qua định lý sau: Định lý 3.4.1 Cho f hàm khụng đạt cực tiểu địa phương tập mở  n \ Argmin f f thỏa điều kiện (3.15) Khi f cú tớnh chất L-nửa liờn tục Chứng minh Theo mệnh đề trờn ta cần chứng minh L hàm nửa liờn tục Thật vậy, giả sử ( i )i  ( * , ), V tập mở  n  i    ( * , ) , L( )  V   Ta chứng minh L( i )  V   với i đủ lớn GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 35 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Vỡ L( )  V   nờn tồn x  L( )  V Từ giả thiết f khụng đạt cực tiểu V, tồn x V cho f ( x)  f ( x)   Do  i   ,   f ( x)  , nờn ta tỡm số N  cho với i  N ta cú    i    f ( x) Hay ta cú  i  f ( x) với i  N , x  E f , i  L( i ) với i  N Vậy L( i )  V   với i  N Suy điều phải chứng minh Hệ 3.4.1 Cho hàm liờn tục f thỏa điều kiện (3.15) Nều f tựa lồi ngặt lồi thỡ f cú tớnh chất L-nửa liờn tục Bổ đề 3.4.1 Giả sử f :  n   hàm tựa lồi cú tớnh chất L-nửa liờn tục Khi họ ( f *( , p)) p 1 nửa liên tục đồng bậc ( * , ) , f * ( , p)      * Chứng minh Lấy   ( * , ) xột   tuỳ ý Do tớnh    -nửa liờn tục L , tồn       * cho L( )  L( )  B (0) trờn (   ,    ) Từ với p  1, f *( , p)  sup  p, x , f ( x)    GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 36 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp  sup  p, x , x  L( )   sup  p, x , x  L( )  B (0)   sup  p, x , x  y  z, y  L( ), z  B (0)   sup  p, y , y  L( )    p f *( , p)  f *( , p)   ,   (   ,    ) Từ bất đẳng thức cuối ta suy ( f *( , p)) p 1 nửa liên tục đồng bậc  3.4.2 Công thức kiện ban đầu tựa lồi Xột toỏn Cauchy phương trỡnh đạo hàm riờng phi tuyến cấp Hamiltonian phụ thuộc vào t , u, Dxu : u (t , x)  H (t , u (t , x), Dxu (t , x))  0, (t , x) U  (0, T )   n , t u(0, x)  f ( x), x  n (3.16) (3.17) Hamiltonian kiện ban đầu thỏa cỏc điều kiện: (i) Hàm giỏ trị ban đầu f ( x)  C ( n ) tựa lồi, cú tớnh chất L-nửa liờn tục thỏa điều kiện (3.15): f ( x)   x   (ii) Hamiltonian H :  0, T      n   hàm liờn tục _ H (t ,  ,  p)   H (t ,  , p ) (t ,  , p )   0,T      n ,   _ H (t ,  , p) khụng giảm theo   với (t , p)   0, T    n (iii) Hamiltonian H thỏa hai giả thiết sau: _ Với t0  (0,T ) cố định, tồn hàm h : 0,T      , h(t,  ) dương với hầu hết t  (0, T ), h(.,  ) khả tớch với  bất kỳ, cho GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 37 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp H (t ,  , p)  h(t ,  ) H (t0 ,  , p), (t ,  , p)  0, T      n _ Nếu   1, pi  1, i  1, m , m m i 1 i 1 m a i 1 i  thỡ H (t ,  ,  pi )   H (t ,  , pi ) (t ,  ) 0, T    Ta hy vọng tỡm nghiệm nhớt toỏn theo cụng thức sau:  u (t , x) : inf    : sup p n    t  p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p) d   ,  (t , x) U (3.18) Chỳ ý Từ tớnh liờn tục f điều kiện (3.15) ta suy :  * : inf  f (x):x  n  hữu hạn Chỳ ý Từ bổ đề 3.4.1, ta thấy u (t , x)   * (t , x)  0, T    n Bổ đề 3.4.2 Với giả thiết (ii) , f  C ( n ) tựa lồi thỏa (3.15) Khi hàm u(t,x) xỏc định (3.18) liờn tục thỏa u (0, x0 )  lim ( t , x )(0, x0 ) u (t , x)  f *# ( x0 )  f ( x0 ) Định lý 3.4.2 Với cỏc giả thiết (i)-(iii) Khi hàm u(t,x) xỏc định (3.18) nghiệm nhớt toỏn (3.16)-(3.17) Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần chứng minh số bổ đề Giả sử (t0 , x0 ) U chọn cỏch tựy ý, đặt   u(t0 , x0 ) Ta cú: GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 38 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Eu ,  (t , x)   0,T    n : u (t , x)      t    (t , x) : sup p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p)d   p 1    t    (t , x) : p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p)d  p 1 Ta thỏc triển Hamiltonian H cỏch liờn tục tới toàn khụng gian (n+1)chiều sau: H ( ,  , p)  H (0,  , p) t  ; H ( ,  , p)  H (T ,  , p) t  T Từ đú ta xột tập  xỏc định sau F (t , x; p) : p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p)d  0, p  S (0;1), t (t , x)     n Vỡ (t0 , x0 ) điểm U nờn tồn lõn cận V ' (t0 , x0 ), V '  U Như Eu ,  V '    V ' Tức Eu , ,  cú chung nún tiếp xỳc cú chung nún phỏp tuyến hướng (t0 , x0 ) Dễ kiểm tra hàm F (t , x; p) (t , x ) gradient nú D(t , x ) F (t , x; p) liờn tục theo (t , x ) , (t , x)     n , p  S (0;1) Gọi S tập số tác động (t0 , x0 ) U , tức tập cỏc số p  S (0;1) thỏa F (t0 , x0 ; p) Chỳng ta cần số kết liờn quan tới S Bổ đề 3.4.3 S0    *   Chứng minh Hiển nhiờn   u(t0 , x0 )   * Do  *   Giả sử với   GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 39 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp   t0 sup p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p) d    p 1 (3.19) Vỡ H hàm liờn tục nờn H liờn tục trờn tập compact: 0,T     1,   1  S (0;1) Do hàm G( , p) :  H ( ,  , p)d liờn tục trờn   1,   1  S (0;1) , t0 dẫn đến họ (G( , p)) p 1 liờn tục đồng bậc    1,   1 Theo bổ đề 3.4.2, họ (T ( , p)) p 1, T ( , p) : p, x0  f *( , p)   H ( ,  , p) d t0 nửa liờn tục trờn đồng bậc      ' ,    '  với   '  1,    * Từ (3.19) suy tồn     ' cho p, x0  f *( , p)   H ( ,  , p)d t0 t0  p, x0  f * ( , p )   H ( ,  , p )d   0 0  0, p  S (0;1),  :          Dẫn đến   sup p, x0  f * ( , p)   H ( ,  , p)d  p 1 t0   0,  :          Núi cỏch khỏc t0     sup  p, x0  f * (  , p)   H ( ,   , p) d   0, với   2 p 1   GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 40 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Điều mõu thuẫn với định nghĩa u( t0 , x0 )  Từ ta cú điều phải chứng minh Bổ đề 3.4.4 (t0 , x0 ) điểm chớnh quy  Chứng minh - Nếu S0   thỡ   t0 sup p, x0  f * ( , p)   H ( ,  , p) d  p 1 Do tớnh liờn tục hàm v chứng minh bổ đề 3.4.2 nờn tồn lõn cận V (t0 , x0 ) cho   t sup p, x  f * ( , p)   H ( ,  , p)d  (t , x) V p 1 Từ u(t , x)   , (t, x) V Nghĩa V  Eu , Như vậy, (t0 , x0 ) điểm Eu , điểm  Từ ta suy kết luận trường hợp - Khi S0   , ta thấy DF (t0 ,  ; p)  (H (t0 ,  , p), p)  với p  Tức vộctơ h  ( H (t0 ,  , p0 ),  p0 ) thoả ( H (t0 ,  , p0 ), p0 ), h   p0  1  0, p0  S0 , (t0 , x0 ) điểm chuẩn tắc  Nờn nú điểm chớnh quy  Từ bổ đề trờn ta cú nún phỏp tuyến hướng  Eu , (t0 , x0 ) cho m  N (t , x ) ( Eu , )   i DF (t0 , x0 ; pi ) : i  0, pi  S0 ,1  i  m  n  1  i 1  0 GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 41 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp Bổ đề 3.4.5   Ký hiệu S *   p   n : F (t0 , x0 ; p)  sup F (t0 , x0 ; p)  q 1   tập trờn sup đạt giỏ trị Khi S0  S * , (i )i tập gồm m số i  m  i 1 i  , ta cú m  m  i 1  i 1  i H (t0 ,  , pi )  H  t0 ,  , i pi  (3.20) Hệ 3.4.2 Cho f  C ( n ) hàm tựa lồi ngặt thỏa (3.15) Với cỏc giả thiết (i)-(ii) Khi cụng thức (3.18) cho ta nghiệm nhớt (3.16)-(3.17) Hệ 3.4.3 Cho f hàm lồi, hữu hạn thỏa (3.15) Giả thiết (i)-(ii) thỏa Khi nghiệm nhớt (3.16)-(3.17) xỏc định cụng thức (3.18) Vớ dụ Tỡm nghiệm nhớt toỏn Cauchy sau: u (t , x)  (1  t )  u (t , x ) Dxu (t , x)  0, (t , x)  (0, T )   t u(0, x)  x , x  (3.21) (3.22) Bài làm Theo cụng thức (3.18) ta nhận nghiệm nhớt (3.21)-(3.22) u(t , x)   , (t, x)  (0, T )     nghiệm phương trỡnh sau: t     (1   ) d  x  GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 42 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội GVHD:Th.S Trần Văn Bằng Khoá Luận Tốt Nghiệp - 43 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp KẾT LUẬN Trờn toàn nội dung khoỏ luận “Nghiệm nhớt phƣơng trình đạo hàm riêng cấp công thức kiểu Hopf-LaxOleinik cho nghiệm nhớt” Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu khoá luận em bước đầu làm quen với cách thức làm việc cú khoa học đạt hiệu cao Qua em củng cố thờm kiến thức toỏn học trờn ghế nhà trường, đồng thời thấy đa dạng phong phỳ toỏn học Khoá luận trình bày với cố gắng bước đầu nhằm đạt mục đích yêu cầu sau: Trỡnh bày cú hệ thống ký hiệu kiến thức giải tích Một mặt cung cấp cho bạn đọc khỏi niệm nghiệm nhớt trờn sở kỹ thuật phương phỏp triệt tiờu độ nhớt Mặt khỏc khẳng định lại lần tớnh nghiệm phương trỡnh vi phõn ĐHR Đưa cỏc Định nghĩa, Định lý, Cụng thức, vv Tương ứng với trường hợp Hamiltonian phương trỡnh vi phõn ĐHR Trong khuụn khổ thời gian cú hạn, lực thõn cũn nhiều hạn chế lần đầu tiờn em làm quen với việc nghiờn cứu khoa học nờn khoỏ luận khú trỏnh khỏi sai sút Em kớnh mong quý thầy, cụ cỏc bạn sinh viờn đóng gúp ý kiến cho khoỏ luận em thờm hoàn chỉnh Một lần em xin bày tỏ lũng biết ơn sõu sắc mỡnh tới thầy giỏo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng cựng toàn thể cỏc thầy, cụ khoa Toỏn trường ĐHSP Hà Nội nhiệt tỡnh giỳp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành khoỏ luận Em xin chân thành cảm ơn ! GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 44 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội GVHD:Th.S Trần Văn Bằng Khoá Luận Tốt Nghiệp - 45 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy, (2006), Giải tớch hàm, Nxb Khoa học Kỹ thuật [2] Nguyễn Xuõn Liờm, (1994), Tụpụ đại cương - độ đo - tớch phõn, Nxb Giỏo dục [3] Trần Đức Vân, (2005), Lý thuyết phương trỡnh vi phõn đạo hàm riêng, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Trần Đức Vân, (2005), Cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho phương trỡnh Hamilton- Jacobi, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 46 - SVTH: Thân Văn Tài [...]... nghĩa là u  v đạt cực đại địa phương ngặt tại 0 Định lý 2.2.2 (Tớnh hợp lý của nghiệm nhớt) Cho u là một nghiệm nhớt của (2.7), và giả sử rằng u khả vi tại điểm (t0 , x0 )  (0, )   n Khi đó ut (t0 , x0 )  H ( x0 , Du(t0 , x0 ))  0 Chứng minh - Áp dụng bổ đề trờn cho u với (  n1 thay cho  n và (t0 , x0 ) thay cho x0 ), ta khẳng định rằng tồn tại một hàm v  C1 sao cho u  v đạt cực đại ngặt... thiết của hệ quả 3.2.1 đều thoả món Tớnh trực tiếp ta được nghiệm nhớt Lipschitz của bài toỏn (3.7)-(3.8) là x2 u(t,x) = , 1  2t t  0, x  Tớnh chớnh quy và tớnh duy nhất của nghiệm được khẳng định như sau Hệ quả 3.2.2 Nếu f UC ( n ) , H lồi và đối hữu hạn, khi đó (3.4) xỏc định một hàm u liờn tục Lipschitz trong  , T    n với   0 , và u UC ( 0, T    n ) là nghiệm nhớt duy nhất của. .. món và dữ kiện ban đầu f là hàm liờn tục trong  n Khi đó hàm u trong (3.13) là một nghiệm nhớt của bài toỏn (3.11)-(3.12): x y   u (t , x)  infn  H # ( )  f ( y) , (t, x) U y  t  (3.13) Hệ quả 3.3.1 Giả sử rằng (i)-(ii) thỏa món và f  BUC ( n ) Khi đó u được xác định bởi (3.13) là nghiệm nhớt duy nhất của bài toỏn (3.11)-(3.12) trong khụng gian BUC (U ) Vớ dụ Tỡm nghiệm nhớt của. .. Lebesgue Một tập hợp M gồm cỏc tập con của  n được gọi là một  -đại số nếu: (i)  ,  n  M (ii) A M kộo theo  n \ A M (iii) Nếu  Ak   k 1  M thỡ    A ,  A  M k k 1 k k 1 1.4.2 Hàm đo đƣợc (i) Cho f :  n   Ta núi f là hàm đo được nếu f 1 (U )  M với mọi U là tập con mở trong  (ii) Một hàm đo được f là khả tổng nếu:  n f dx   1.5 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.5.1 Hàm lồi Một hàm f... và do đó uˆ (t , x)  sup inf  f ()  tH ( y)  y.( x  ) yY W  supinf  f ()  tH ( y)  y.( x  )  u (t , x) y  Chƣơng 3 CễNG THỨC KIỂU HOPF – LAX - OLEINIK CHO NGHIỆM NHỚT Việc chứng minh cỏc định lý, bổ đề trong chương này là rất dài và mang tớnh kỹ thuật cao Nờn trong phần này chủ yếu chỳng ta đưa ra cỏc cụng thức, định nghĩa, định lý, bổ đề, hệ quả và chỳ ý để tỡm hiểu về cụng thức. .. trong D 3.2 CễNG THỨC HOPF- LAX CỔ ĐIỂN Xột bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi u  H ( Dxu )  0 trong U , t u (0, x)  (3.1) lim u(t , y)  f ( x) trờn  n ( t , y )( o , x ) (3.2) t 0 Khi f là một hàm trong BUC ( n ) cựng với H là lồi và đối hữu hạn, tức là H ( p)   , p  p (3.3) lim nghiệm nhớt duy nhất của (3.1)-(3.2) được xỏc định bởi cụng thức Hopf- Lax thứ nhất u (t... với mọi x, y  n và với 0    1 1.5.2 Bất đẳng thức Jensen Giả thiết f :    là lồi và U   n là mở và bị chặn Cho u : U   là khả tổng Khi đó f Nhớ rằng 1  udx  U  U U   udx    f (u)dx U U udx là trung bỡnh của u trờn U GVHD:Th.S Trần Văn Bằng - 11 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá Luận Tốt Nghiệp Chƣơng 2 NGHIỆM NHỚT CỦA PHƢƠNG TRèNH ĐẠO HÀM RIấNG CẤP MỘT 2.1 MỞ ĐẦU... (2.2) sẽ hội tụ tới một loại nghiệm suy rộng của (2.1) 2.2 KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT Cho H là một hàm liờn tục theo  x, , p  và đo được theo t ; hơn nữa H  t ,0,0,0   L1  0,T  và  H  t , x, , p   H  t , x, ' , p   R t , x  y     '  p  q với x , y , , ' , p , q  R(với R>0 nào đó) , R  t , s  là hàm liờn tục, khụng õm , khụng giảm theo s và đo được theo t và R , s   L1... (2.15) ta suy ra điều phải chứng minh 2.3 TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM NHỚT Xột tớnh duy nhất của nghiệm nhớt đối với bài toỏn Cauchy: ut  H ( x, Du)  0 trong  0, T    n u  f trờn t  0   (2.16) n Bổ đề 2.3.1 (Cực trị tại thời điểm cuối) Giả sử u là một nghiệm nhớt của (2.16), v  C1   0,T    n  và u – v đạt cực đại (cựu tiểu) địa phương tại điểm  t0 , x0    0, T    n Khi đó vt... 2.4.1 (Cụng thức Hopf- Lax xỏc định nghiệm nhớt ) Giả thiết thờm rằng f là hàm bị chặn Khi đó nghiệm nhớt duy nhất của bài toỏn Cauchy (2.30) được xỏc định bởi cụng thức (2.31) Chứng minh - Dễ thấy hàm u xỏc định bởi (2.31) là liờn tục Lipschitz và u  f tại t 0 Nếu f bị chặn thỡ dễ thấy u cũng bị chặn trong  0, T    n - Xột v  C  ((0, )   n ) và giả sử u  v đạt cực đại địa phương tại (t0 , x0 ... Quá trình nghiên cứu khoá luận với đề tài: Nghiệm nhớt phƣơng trình đạo hàm riêng cấp công thức kiểu Hopf- Lax- Oleinik cho nghiệm nhớt giúp em hiểu sâu môn Giải tích đại, đặc biệt phương trình. .. nghiệm nhớt ………………………………… 18 2.4 Các công thức Hopf- Lax ………………………………………23 Chƣơng 3: Công thức kiểu Hopf- Lax- Oleinik cho nghiệm nhớt ……….29 3.1 Các ký hiệu thường dùng………………………………………29 3.2 Công thức. .. - 43 - SVTH: Thân Văn Tài Trường ĐHSP Hà Nội Khoá Luận Tốt Nghiệp KẾT LUẬN Trờn toàn nội dung khoỏ luận Nghiệm nhớt phƣơng trình đạo hàm riêng cấp công thức kiểu Hopf- LaxOleinik cho nghiệm nhớt