Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình ví phân tuyến tính phức

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày về vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính phức.. Tuy nhiên, do khuôn khổ yêu cầu đối với mộtkhóa luận tốt nghi

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổGiải tích và các bạn sinh viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm HàNội 2 Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS.Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thànhkhóa luận tốt nghiệp

Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóaluận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Em xin chân thànhcảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạnsinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Lê Thị Trang

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào,khóa luận tốt nghiệp “Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm củaphương trình vi phân tuyến tính phức” được hoàn thành theo quanđiểm riêng của cá nhân tôi

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Lê Thị Trang

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Số phức và mặt phẳng phức 6

1.1.1 Khái niệm và một số tính chất cơ bản 6

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức 8

1.2 Hàm biến phức 8

1.2.1 Hàm liên tục 8

1.2.2 Hàm chỉnh hình 9

1.2.3 Chuỗi lũy thừa 10

1.3 Tích phân phức 12

1.4 Đại cương về phương trình vi phân phức 16

Chương 2 Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính phức 18

2.1 Khái niệm về điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính phức 18

2.2 Đường cong kín bao quanh điểm kỳ dị 21

2.3 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính phức 25 2.3.1 Nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 25

2.3.2 Trường hợp nghiệm bội 27

2.3.3 Nghiệm của tập con chính tắc 31

2.3.4 Tìm nghiệm của tập con chính tắc bằng phương pháp loại trừ 35

2.4 Điều kiện cần đối với điểm kỳ dị chính quy 36

2.5 Điều kiện đủ đối với điểm kỳ dị chính quy 39Kết luận 47Tài liệu tham khảo 48

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễnmối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàmcủa nó (có bậc khác nhau) Phương trình vi phân đóng vai trò quantrọng trong kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác Chúng tahãy xét một phương trình vi phân đơn giản

f0(x) = df (x)

dx .Trong phương trình trên, nếu f (x) biểu diễn cho vận tốc của một vậtthì f0(x) chính là gia tốc của vật đó (là đại lượng đặc trưng cho độ biếnthiên vận tốc) Sự ra đời của phương trình vi phân cũng xuất phát từviệc xác định mối quan hệ xác định giữa một bên là một đại lượng biếnthiên liên tục (được biểu diễn bằng hàm f (x)) và bên còn lại là độ biếnthieen của đại lượng đó (biểu diễn bằng đạo hàm bậc nhất hoặc caohơn) Điều này được thể hiện rõ trong cơ học cổ điển Cụ thể là Địnhluật Newton về chuyển động cho phép xác định vị trí của một vật dựavào vận tốc, gia tốc và một số lực tác động được biểu diễn dưới dạnghàm vi phân theo thời gian

Đối với hàm thông thường, nghiệm là một giá trị số Còn trong phươngtrình vi phân, mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa biết nhằmthỏa mãn mối quan hệ đề ra Thông thường, nó sẽ là một họ các phương

trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó Hàm này sẽ được xác địnhchính xác khi có thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên Tuy nhiên,đối với một số phương trình chúng ta không thể áp dụng những phươngpháp đã biết để tìm nghiệm của nó Vì vậy, ta cần phải xây dựng mộtphương pháp tìm nghiệm khác cho những phương trình này Phươngpháp thông dụng là ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm của phươngtrình dưới dạng chuỗi lũy thừa

kỳ dị Lý thuyết nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính thực

đã có sự hoàn thiện khá căn bản Tuy nhiên chuyển sang miền phức cónhững khó khăn nhất định Được sự hướng dẫn của TS Nguyễn VănHào em chọn đề tài “Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm củaphương trình vi phân tuyến tính phức” để hoàn thành khóa luậntốt nghiệp chuyên ngành toán giải tích Khóa luận được bố cục thànhhai chương

Chương 1 Trong chương này, em đưa ra một số kiến thức chuẩn bịcho khóa luận Đó là số phức và mặt phẳng phức, hàm biến phức, tíchphân phức Cũng ở đây liên quan đến việc tìm hiểu phương trình vi phântuyến tính phức nên em trình bày khái niệm về phương trình vi phântuyến tính phức, định lý tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phức.Chương 2 Đây là phần chính của khóa luận Ở đây em giới thiệu về

vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyếntính phức Trong đó em trình bày vấn đề điểm kỳ dị, cấu trúc nghiệmcủa phương trình, điều kiện cần đối với điểm kỳ dị chính quy và điềukiện đủ đối với điểm kỳ dị chính quy.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày về vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình

vi phân tuyến tính phức

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm trong phương trình

vi phân tuyến tính phức Tuy nhiên, do khuôn khổ yêu cầu đối với mộtkhóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân toán học, nên chúng tôi chỉ trình bàyvấn đề này trong phạm vi về điểm kỳ dị chính quy của phương trình viphân tuyến tính phức Việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm tại những điểm

kỳ dị không chính quy khá phức tạp nên chúng tôi xin dành cho nhữngnghiên cứu về sau

4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến địnhhướng của người hướng dẫn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Số phức và mặt phẳng phức

1.1.1 Khái niệm và một số tính chất cơ bản

Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà

i2 = −1 Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)và

z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

Một số tính chất của phép cộng và nhân số phức

+ Tính chất giao hoán

z1 + z2 = z2 + z1; z1.z2 = z2.z1.+ Tính chất kết hợp

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3); (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3)

+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3.Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là

|z| = px2 + y2.Modul của số phức có các tính chất

(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,

(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,

(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C

Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là ¯z = x − iy.Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được

Rez = z + ¯z

2 ; Imz =

z − ¯z2ivà

|z|2 = z.¯z; 1

z =

¯z

|z|2 với z 6= 0.

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ Rđược gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác

định một cách duy nhất với sự sai khác một bội số của 2π) và

eiθ = cosθ + i sin θ

Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox

và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng,

ta lưu ý rằng z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì

z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức

Dãy số phức {zn} được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và viết là

(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z − z0| < δ thì

|f (z) − f (z0)| < ε

(ii) Với mọi dãy {zn} ⊂ Ω mà lim

n→∞zn = z0 thì lim

n→∞f (zn) = f (z0)

Hàm f (z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của

Ω Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục

Hàm f (z) có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay

C - khả vi tại z Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tạimọi điểm của Ω Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.Định lý 1.1 Nếu các hàm f, g chỉnh hình trên Ω, thì

Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thườngcủa hàm hai biến thực Thực vậy, hàm f (z) = ¯z tương ứng như ánh xạcủa một hàm hai biến thực F : (x, y) 7→ (x, −y) Hàm này khả vi theonghĩa hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyếntính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp haicác đạo hàm riêng của các tọa độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tạicác đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức Để hàm f khả viphức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đếnđiều kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây Để lý giảiđược điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong

đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R2 - khả

vi tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vitại điểm (x, y)

Định lý 1.2 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f (z) là C - khả vitại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f (z) là R2 - khả

vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann

1.2.3 Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

trong đó an ∈ C Từ Định lý Abel ta thấy rằng nếu chuỗi (1.2) hội tụđiểm z0 nào đó, thì nó cũng hội tụ tại mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0| Bây giờ

ta sẽ chứng minh luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.1) hội tụtuyệt đối

Định lý 1.3 (H’adamard) Cho chuỗi lũy thừa

(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ

Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R đượctính bởi công thức

Định lý 1.4 Chuỗi lũy thừa f (z) =

∞

P

n=0

anzn xác định một hàm chỉnhhình trong đĩa hội tụ của nó Đạo hàm của f cũng là một chuỗi lũy thừathu được bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f , tứclà

Hệ quả 1.1 Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.Đạo hàm của chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng

1.3 Tích phân phức

Một đường cong tham số là một hàm

z : [a, b] → C

t 7→ z(t) = x(t) + iy(t)

Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z0(t) liên tục trên đoạn[a, b] và z0(t) 6= 0, với mọi t ∈ [a, b] Tại các điểm t = a và t = b các đạilượng z0(a) và z0(b) được hiểu như giới hạn một phía

Đường cong được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b]

và tồn tại các điểm a0 = a < a1 < < an = b, ở đó z(t) là trơn trênmỗi đoạn [ak, bk+1] Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có thểkhác nhau với k = 1, 2, , n − 1

Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → C được gọi làtương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến[a, b] sao cho t0(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)) Điều kiện t0(s) > 0 đảm bảohướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b Họcủa tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định mộtđường cong trơn γ ⊂ C Đường cong γ− là đường cong thu được từ γbằng cách đổi hướng Một dạng tham số hóa của γ− được xác định nhưsau

z− : [a, b] → R2

z−(t) = z(b + a − t)

Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu

t 6= s thì z(t) 6= z(s) Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra s = a và

t = b Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là một đườngcong

Ví dụ 1.1 Xét đường tròn Cr(z0) tâm tại z0, bán kính r

Cr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r} Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số

z(t) = z0 + reit, t ∈ [0, 2π]

và hướng âm được cho bởi phương trình

z(t) = z0 + re−it, t ∈ [0, 2π]

Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương

Định nghĩa 1.1 Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phươngtrình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ Tích phân của hàm fdọc theo γ được xác định bởi

Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ là

γ

f (z)dz

... niệmđiểm kỳ dị phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phươngtrình vi phân tuyến tính cấp cao hồn tồn tương tự

Định nghĩa 2.1 Điểm z0 gọi điểm thường phương trình viphân tuyến. ..

kỳ dị tương tự phương trình vi phân tuyến tính thực

Phân loại điểm kỳ dị Điểm z0 gọi điểm kỳ dị quy củaphương trình (2.1) điểm kỳ dị phương trình đó, đồngthời hàm

(z −... data-page="20">

dị phương trình vi phân tuyến tính.

2.1 Khái niệm điểm kỳ dị phương trình vi

phân tuyến tính phức< /h3>

Để đơn giản việc trình bày, chúng tơi trình bày