u0 + u1 + u2 + u3 + u4 150 75 75 75 75 14 16 17 14 u10 + u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + 75 75 75 10 75 300 ⇔ u7 = −3.156 + +) i = 8, phương trình (2.38) trở thành 0.8 u8 ≈ u(0.8) = −1 − 3.(0.8) − 2.(0.8) + (0.8 − t)u(t)dt 34 (2.46) (0.8 + t)u(t)dt + 16 16 u0 + u1 + u2 + u5 + u4 75 75 75 75 75 16 16 17 + u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + u10 75 75 75 75 75 50 ⇔ u8 = −3.944 + (2.47) +) i = 9, phương trình (2.38) trở thành 0.9 (0.9 − t)u(t)dt u9 ≈ u(0.9) = −1 − 3.(0.9) − 2.(0.9) + + (0.9 + t)u(t)dt 6 u0 + u1 + u2 + u3 + u4 50 25 25 25 25 6 19 u10 + u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + 25 25 25 25 25 300 ⇔ u9 = −4.888 + (2.48) +) i = 10, phương trình (2.38) trở thành u10 ≈ u(1) = −1 − · (1) − 2.(1) + (1 − t)u(t)dt + 4 u0 + u1 + u2 + u5 + u4 15 25 15 15 15 4 + u5 + u6 + u7 + u8 + u4 + u10 15 15 15 15 15 15 (1 + t)u(t)dt ⇔ u10 = −6 + (2.49) Từ (2.40) đến (2.49) ta có hệ phương trình tuyến tính sau với ẩn (u0 , u1 , , u10 ) 35 1 1 u1 + 75 u2 + 25 u3 + 75 u4 + 15 u5 + 25 u6 + 75 u7 + 75 u8 −u0 + 75 + 25 u9 + 30 u10 = 73 150 u0 − 75 u1 + 50 u2 + 75 u3 + 30 u4 + 25 u5 + 150 u6 + 75 u7 + 50 u8 11 + 15 u9 + 300 u10 = 1.032 73 1 75 u0 + 75 u1 − 75 u2 + 15 u3 + 25 u4 + 75 u5 + 75 u6 + 25 u7 + 15 u8 11 + 75 u9 + 25 u10 = 1.136 23 11 50 u0 + 25 u1 + 25 u2 − 25 u3 + 150 u4 + 75 u5 + 30 u6 + 15 u7 + 150 u8 13 + 25 u9 + 300 u10 = 1.324 4 11 u0 + 75 u1 + 75 u2 + 75 u3 − 73 u4 + 50 u5 + 30 u6 + 150 u7 + 25 u8 75 75 13 + 150 u9 + 300 u10 = 1.608 u0 + u1 + u2 + u3 + u4 − 14 u5 + 11 u6 + u7 + 13 u8 60 15 30 15 30 15 300 25 300 u9 + 40 u10 = + 75 4 23 13 25 u0 + 25 u1 + 25 u2 + 25 u3 + 25 u4 + 25 u5 − 25 u6 + 75 u7 + 75 u8 + 51 u9 + 75 u10 = 2.512 14 7 14 14 61 150 u0 + 75 u1 + 75 u2 + 75 u3 + 75 u4 + 75 u5 + 75 u6 − 75 u7 + 10 u8 17 + 16 75 u9 + 300 u10 = 3.156 16 16 16 16 67 75 u0 + 75 u1 + 75 u2 + 75 u3 + 75 u4 + 75 u5 + 75 u6 + 75 u7 − 75 u8 17 u9 + 50 u10 = 3.944 + 75 6 6 50 u0 + 25 u1 + 25 u2 + 25 u3 + 25 u4 + 25 u5 + 25 u6 + 25 u7 + 25 u8 19 − 19 25 u9 + 300 u10 = 4.888 4 4 u0 + 25 u1 + 15 u2 + 15 u3 + 15 u4 + 15 u5 + 15 u6 + 15 u7 + 15 u8 15 14 u9 − 15 u10 = + 15 36 Ta sử dụng Maple giải hệ phương trình trên, phần mềm cho ta kết {u0 = 5.985821229, u1 = 7.168715235, u2 = 7.699239095, u3 = 9.548997246 u4 = 10.75412235, u5 = 11.92294159, u6 = 14.08533742, u7 = 14.30042745 u8 = 15.51679387, u9 = 16.68060558, u10 = 17.89882536} Bằng phương pháp chuỗi ta tìm nghiệm xác u(x) = + 12x So sánh kết với nghiệm xác u(x) = + 12x điểm chia ta có bảng sau i xi ui u(xi ) |u(xi ) − ui | 0 5.985821229 0.014178771 0.1 7.168715235 7.2 0.031284765 0.2 7.699239095 8.4 0.700760905 0.3 9.548997246 9.6 0.051002754 0.4 10.75412235 10.8 0.04587765 0.5 11.922294159 12 0.077705841 0.6 14.08533742 13.2 0.88533742 0.7 14.30042745 14.4 0.09977246 0.8 15.51679387 15.6 0.08320613 0.9 16.60860558 16.8 0.19139442 10 17.89882536 18 0.10117464 37 Kết luận Khóa luận trình bày Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm, đồng thời trình bày số ví dụ cụ thể Khóa luận gồm hai chương Chương trình bày kiến thức tảng liên quan đến đề tài: Không gian Banach, số khơng gian hàm, tích phân phụ thuộc tham số, cơng thức cầu phương, em chia cơng thức cầu phương thành cơng thức hình thang, cơng thức parabol có áp dụng cụ thể chương hai Chương hai trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra- Fredholm loại hai nhờ cơng thức hình thang cơng thức parabol có minh họa ví dụ cụ thể Trong ví dụ ta rời rạc hóa phương trình cơng thức cầu phương ta hệ phương trình tuyến tính, giải hệ phương trình tuyến tính phần mềm Maple ta nghiệm xấp xỉ dạng bảng số Sau ví dụ minh họa có lập bảng đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ thu phương pháp cầu phương Mặc dù em cố gắng hết sức, song kiến thức hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót, em mong nhân đóng góp thầy bạn để khóa luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tuấn (2009), Giải tích tập 3, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [5] Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội Tiếng Anh [6] Verlan, A.F and Sizikov, V.C., (1986), Integral equation: Methods, algorithm, program (in Russian), Handbook, Naukova, Dumka, Kiev [7] Wazwaz, A.M (2011), Linear and Nolinear Integral Equation, Springer 39 ... luận Khóa luận trình bày Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm, đồng thời trình bày số ví dụ cụ thể Khóa luận gồm hai chương Chương trình bày kiến... thức cầu phương ta hệ phương trình tuyến tính, giải hệ phương trình tuyến tính phần mềm Maple ta nghiệm xấp xỉ dạng bảng số Sau ví dụ minh họa có lập bảng đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ. .. pháp cầu phương giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra- Fredholm loại hai nhờ cơng thức hình thang cơng thức parabol có minh họa ví dụ cụ thể Trong ví dụ ta rời rạc hóa phương trình cơng