Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính fredholm (LV01954)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ THỊ THU HƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ THỊ THU HƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Khuất Văn Ninh Hà Nội-2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo Phòng Sau đại học, Trường đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Học viên Đỗ Thị Thu Hường i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả Đỗ Thị Thu Hường ii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Tổng quan phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 10 1.4.1 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 10 1.4.2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 11 1.5 Công thức cầu phương 11 1.6 Công thức hình thang 12 1.7 Công thức Simpson 13 1.8 Tích phân phụ thuộc tham số 14 Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 16 2.1 Các phương pháp giải tích 16 2.1.1 16 Phương pháp nhân suy biến iii 2.2 2.1.2 Phương pháp phân tích Adomian 24 2.1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 28 2.1.4 Phương pháp chuỗi lũy thừa 35 Phương pháp số 39 2.2.1 39 Phương pháp cầu phương Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 48 3.1 Phương pháp quy hóa 48 3.2 Phương pháp nhiễu đồng luân 51 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 iv Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán học phương trình tích phân phương trình hàm số chưa biết xuất dấu tích phân Phương trình tích phân xem công cụ toán học hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm, xấp xỉ, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa Nó có ứng dụng rộng rãi không toán học mà nhiều ngành khoa học khác, ví dụ nghiên cứu phương trình tích phân với điều kiện xác định để giải số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân mô tả tượng khuếch tán, tượng truyền Vì việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Một số toán (rất ít) có lời giải dạng giải tích, thường gọi “nghiệm đóng”, đa phần không Vì để tìm câu trả lời cho toán, ta cần biết số phương pháp cho nghiệm không dạng giải tích mà dạng bảng số Kiểu phương trình tích phân phương trình tích phân Fredholm Dưới hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc phương trình tích phân tuyến tính Fredholm, chọn đề tài “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm” làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Fredholm hệ thống lại số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm • Vận dụng phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm để giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu khái quát khái niệm giải tích hàm, phương trình tích phân tuyến tính Fredholm • Làm rõ số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm • Minh họa qua ví dụ, tập cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Sau phân hóa, hệ thống kiến thức • Một số phương pháp công cụ giải tích hàm, phương pháp giải phương trình tích phân, phương pháp số Các kết dự kiến Luận văn nhằm hệ thống số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm ứng dụng phương pháp để giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm cụ thể Chương Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 3.1 Phương pháp quy hóa Định nghĩa 3.1 Giả sử A toán tử H → H (không gian Hilbert) Nếu (Au, u) = +∞ A gọi toán tử lim u u to+∞ Phương pháp quy hóa bao gồm biến đổi toán đặt không chỉnh sang toán đặt chỉnh Phương pháp quy hóa biến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại b K(x, t)u(t)dt, x ∈ D f (x) = (3.1) a thành phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại b µ uµ (x) = f (x) − K(x, t)uµ (t)dt, x ∈ D a Nghiệm uµ hội tụ tới nghiệm u(x) µ → Ta có bổ đề sau 48 (3.2) Bổ đề 3.1 Giả sử toán tử tích phân (3.1) liên tục toán tử không gian Hilbert, f (x), u(x) uµ (x) xác định i |uµ | bị chặn độc lập với µ ii |uµ − u(x)| → µ → Phương trình tích phân loại (3.2) giải phương pháp mà ta trình bày trước đó, ta tìm uµ (x) Nghiệm u(x) (3.1) thu u(x) = lim uµ (x) µ→0 Sau ta trình bày số ví dụ minh họa, dùng phương pháp quy hóa để biến phương trình loại thành loại Phương trình loại giải phương pháp mà ta dùng trước chương Ví dụ 3.1 Dùng phương pháp quy hóa phương pháp nhân suy biến để giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1 x e = 1/4 ex−t u(t)dt (3.3) Dùng phương pháp quy hóa, phương trình (3.3) trở thành x uµ (x) = e − 4µ µ 1/4 ex−t uµ (t)dt (3.4) Ta phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại (3.4) Phương trình giải phương pháp nhân suy biến Phương trình (3.4) viết lại sau uµ (x) = α x e , − 4µ µ 49 (3.5) α = 1/4 −t e uµ (t)dt Để xác định α ta (3.4) vào (3.5), lấy tích phân vế ta + 4µ α= Dẫn đến ex uµ (x) = + 4µ Nghiệm u(x) phương trình u(x) = lim uµ (x) = ex µ→0 Ví dụ 3.2 Dùng phương pháp quy hóa phương pháp nhân suy biến để giải phương trình Fredholm loại 1 x (4tex + 3)u(t)dt e +1= (3.6) Dùng phương pháp quy hóa, phương trình (3.6) trở thành 1 uµ (x) = ex + − µ µ µ (4tex + 3)uµ (t)dt (3.7) Ta phương trình Fredholm loại (3.7) Phương trình giải phương pháp nhân suy biến Phương trình (3.7) viết lại sau uµ (x) = 4α x e + − µ µ 3β − µ µ , (3.8) α= tuµ (t)dt, β= uµ (t)dt 50 (3.9) Để xác định α, β ta (3.8) vào (3.9), lấy tích phân vế ta α= 3(e − − µ) −2(e + + µe) , β = 2(6e − 18 − 7µ − µ2 ) 6e − 18 − 7µ − µ2 Thế kết vào (3.8)cho ta nghiệm gần (1 + µ)ex + (7 − 3e + µ) uµ (x) = 6(3 − e) + (7µ + µ2 ) Nghiệm u(x) phương trình (3.6) thu − 3e ex + 6(3 − e) 6(3 − e) u(x) = lim uµ (x) = µ→0 Dễ dàng nghiệm khác phương trình u(x) = x2 Như nói trước đó, phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại toán đặt không chỉnh nên không tồn nghiệm, tồn nghiệm không 3.2 Phương pháp nhiễu đồng luân Sau ta trình bày phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trình tích phân Fredholm loại dạng b f (x) = K(x, t)u(t)dt (3.10) a Bây ta định nghĩa phép toán Đặt b L(u)(x) := f (x) − K(x, t)u(t)dt a 51 (3.11) Khi phương trình (3.10) có dạng L(u)(x) = Ta xác định đồng luân lồi có dạng H(u, p) = (1 − p)u(x) + pL(u)(x) = (3.12) Tham số nhúng p tăng đơn điệu từ đến Phương pháp nhiễu đồng luân dùng khai triển ∞ pn un u= (3.13) n=0 ∞ Đặt u(x) = lim p→1 n=0 pn un Chuỗi (3.13) hội tụ tới nghiệm nghiệm tồn Thế (3.13) vào (3.12) làm ta thu quan hệ truy hồi u0 (x) = 0, u1 (x) = f (x), b un+1 (x) = un (x) − K(x, t)un (t)dt, n ≥ (3.14) a Nếu hạt nhân tách tức K(x, t) = g(x)h(t) điều kiện sau b |1 − K(t, t)dt| < (3.15) a điều kiện đủ để dãy {un } hội tụ Ta xét trường hợp K(x, t) = g(x).h(t) Phương pháp nhiễu đồng luân dùng để giải phương trình tích phân Fredholm loại sau 52 Ví dụ 3.3 Dùng phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại sau x e = 1/3 ex−t u(t)dt biết 1/3 1− K(t, t)dt = < Dùng quan hệ truy hồi (3.14) ta tìm u0 (x) = 0, u1 (x) = ex , 1/3 ex−t un (t)dt, n ≥ un+1 (x) = un (x) − Dẫn tới thành phần u0 (x) = 0, u1 (x) = ex , 1/3 ex−t u1 (t)dt = ex , 1/3 u3 (x) = u2 (x) − ex−t u2 (t)dt = ex , 27 1/3 u4 (x) = u3 (x) − ex−t u3 (t)dt = ex , 81 u2 (x) = u1 (x) − 53 làm Do nghiệm gần cho + + + + 27 81 1 = ex 1− u(x) = ex = ex (3.16) Sự hội tụ dẫn đến nghiệm u(x) = ex Ví dụ 3.4 Dùng phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại sau −x e = 1/4 et−x u(t)dt biết 1/4 1− K(t, t)dt = < Dùng quan hệ truy hồi (3.14) ta tìm u0 (x) = 0, u1 (x) = e−x , 1/4 et−x un (t)dt, n ≥ un+1 (x) = un (x) − 54 Dẫn tới thành phần u0 (x) = 0, u1 (x) = e−x , 1/4 −x e , 16 1/4 u3 (x) = u2 (x) − et−x u2 (t)dt = e−x , 64 1/4 27 −x e , u4 (x) = u3 (x) − et−x u3 (t)dt = 256 et−x u1 (t)dt = u2 (x) = u1 (x) − làm Do nghiệm gần cho 27 + + + + 16 64 256 1 = e−x 1− u(x) = e−x = e−x Sự hội tụ dẫn đến nghiệm u(x) = e−x Ví dụ 3.5 Dùng phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại sau x= xtu(t)dt biết 1− K(t, t)dt = 55 < Dùng quan hệ truy hồi (3.14) ta tìm u0 (x) = 0, u1 (x) = x, un+1 (x) = un (x) − xtun (t)dt, n ≥ 1 Dẫn tới thành phần u0 (x) = 0, u1 (x) = x, xtu1 (t)dt = x, xtu2 (t)dt = x, u3 (x) = u2 (x) − u4 (x) = u3 (x) − xtu3 (t)dt = x, 27 u2 (x) = u1 (x) − làm Do nghiệm cho + + + 27 u(x) = x + = x 1− = 3x Vậy u(x) = 3x Ví dụ 3.6 Dùng phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại sau x= xtu(t)dt 56 biết 1− K(t, t)dt = < Dùng quan hệ truy hồi (3.14) ta tìm u0 (x) = 0, u1 (x) = x, un+1 (x) = un (x) − xtun (t)dt, n ≥ Dẫn tới thành phần u0 (x) = 0, u1 (x) = x, xtu1 (t)dt = x, 10 u3 (x) = u2 (x) − xtu2 (t)dt = x, 27 20 u4 (x) = u3 (x) − xtu3 (t)dt = x, 81 u2 (x) = u1 (x) − làm Do nghiệm gần cho u(x) = x + = x+ = = = = x 1+ + + + 9 27 x 1− 15 x+ x 45 + 90 x 54 135 x 54 5x 57 Sự hội tụ dẫn đến nghiệm u(x) = x Ví dụ 3.7 Dùng phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại sau x= xtu(t)dt biết 1− K(t, t)dt = < Dùng quan hệ truy hồi (3.14) ta tìm u0 (x) = 0, u1 (x) = x, un+1 (x) = un (x) − xtun (t)dt, n ≥ 1 Dẫn tới thành phần u0 (x) = 0, u1 (x) = x, 1 xtu1 (t)dt = x, 1 u3 (x) = u2 (x) − xtu2 (t)dt = x, u4 (x) = u3 (x) − xtu3 (t)dt = x, 27 u2 (x) = u1 (x) − 58 làm Do nghiệm gần cho u(x) = x + + + + 27 1 = x 1− 3 = x Vậy nghiệm u(x) = x 59 Kết luận Luận văn trình bày số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại loại Các kết trình bày luận văn bao gồm: Các phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại là: Phương pháp nhân suy biến, Phương pháp phân tích Adomian, Phương pháp xấp xỉ liên tiếp, Phương pháp chuỗi lũy thừa ví dụ minh họa Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại bao gồm: Phương pháp quy hóa, Phương pháp nhiễu đồng luân ví dụ minh họa Mặc dù tác giả cố gắng, song kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn 60 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất khoa học kĩ thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội 61 [B] Tài liệu tiếng Anh [7] R Kanwal (1997), Linear Integral Equations, Bir Khauser, Boston [8] A F Verlan, V C Sizikov (1986), Integral Equations, Handbook, Naukova Dumka, Kiev [9] A M Wazwar (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Springer 62 [...]... Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 2.1 2.1.1 Các phương pháp giải tích Phương pháp nhân suy biến Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II b ϕ(s) = f (s) + λ K(s, t)ϕ(t)dt (2.1) a Ta xét (2.1) trong trường hợp K(s, t) là nhân suy biến hoặc khi K(s, t) có thể xấp xỉ bởi một nhân suy biến Định nghĩa 2.1 Nếu nhân K(s, t) của phương trình tích phân. .. này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm, giải tích số như: Không gian metric, không gian định chuẩn, tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm, Những kiến thức này được sử dụng để trình bày các phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Các khái niệm này ta có thể tìm thấy trong [2] và [6] 1.1 Không gian metric Cho X là một tập tùy ý... gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H 1.4 Tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 1.4.1 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1 có dạng b K(s, t)ϕ(t)dt, s ∈ D f (s) = λ (1.3) a trong đó D là tập đóng, bị chặn trên trường số thực hàm ẩn ϕ(s) chỉ xuất hiện trong dấu tích phân, ... thực, λ là tham số cho trước Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1 là "đặt không chỉnh" nên nó có thể vô nghiệm hoặc nếu có nghiệm thì nghiệm đó có thể không duy nhất 1.4.2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 có dạng b K(s, t)ϕ(t)dt, s ∈ D ϕ(s) = f (s) + λ (1.4) a trong đó D là tập đóng, bị chặn trên trường số thực Hàm ẩn ϕ(s)... của (2.10) là ϕ(s) = −es + es + 1 = 1 23 2.1.2 Phương pháp phân tích Adomian Phương pháp phân tích Adomian (ADM) là phương pháp tìm ra nghiệm dạng chuỗi vô hạn Thành phần uj , j ≥ 0 dễ dàng tính được nếu biết số hạng không thuần nhất f (x) trong phương trình tích phân tuyến tính Fredholm b u(x) = f (x) + λ K(x, t)u(t)dt a là một đa thức của một hay hai số hạng Tuy nhiên, nếu hàm f (x) là tổ hợp của... ϕ(s) xuất hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân, hạt nhân K(s, t) và hàm f (s) là các hàm giá trị thực, λ là tham số Khi f (s) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất 1.5 Công thức cầu phương Phương pháp cầu phương dựa trên sự thay thế tích phân xấp xỉ bằng tổng tích phân Chia đoạn [a, b] bởi các điểm chia a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn = b Công thức cầu phương có dạng n b ϕ (x) dx = a Ak ϕ (xk... mỗi thành phần của uj = 0, j ≥ 1 Điều này dẫn đến nghiệm đúng là u(x) = x + sin−1 2.1.3 x+1 2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Cho phương trình Fredholm tuyến tính loại hai b u(x) = f (x) + λ K(x, t)u(t)dt, (2.28) a trong đó u(x) là hàm ẩn cần được xác định, K(x, t) là hạt nhân và λ là một tham số Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa trên quan hệ truy hồi u0 (x) = hàm giá trị thực được chọn bất kỳ, b K(x, t)un... 3 ⇔ 2 4λ    c2 = c1 λ  c2 = 3 9 − 12λ2 λ2 = Thay c1 , c2 vào (2.9) ta được 2λs 4λ2 3 2 2 ϕ(s) = + + s λ = 3 − 4λ2 9 − 12λ2 4 là nghiệm của phương trình đã cho 21 t3 dt tdt + 3 4 Ví dụ 2.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 bằng phương pháp nhân suy biến 1 (st2 + s2 t)ϕ(t)dt ϕ(s) = s + (2.10) 0 1 1 2 (2.10) ⇔ ϕ(s) = s + s 2 t ϕ(t)dt + s 0 tϕ(t)dt (2.11) 0 Đặt 1 1 2 c1 = t ϕ(t)dt,... xác định trên tập Y và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b] Định lý 1.5 Giả sử f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d] thì tích phân phụ thuộc tham số b f (x, y)dx, y ∈ [c, d] I(y) = a là một hàm liên tục trong đoạn [c, d] 14 Định lý 1.6 (Tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số) Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D... giải phương trình (2.2) với nhân suy biến gồm các Trong đó Rn (s, t, λ) = bước sau: Bước 1: Tính các tích phân b fi = b Bj (t)f (t)dt; aij = a Bi (t)Aj dt; (i, j = 1, , n) a Bước 2 Giải hệ phương trình tuyến tính n ci − λ cj aij = fi , i = 1, 2, , n j=1 Nếu định thức của hệ khác không, thì tồn tại duy nhất ci , i = 1, , n Bước 3 Nghiệm cần tìm có dạng n ϕ(s) = f (s) + λ ci Ai (s) i=1 20 Ví dụ 2.1 Giải