Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính fredholm loại 2

Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội dạy dỗ bảo tận tình thầy cô, em tiếp thu nhiều kiến thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tồn thể thầy, khoa Tốn – người ln chăm lo, dìu dắt chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, người tận tình hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Phạm Thị Kim Anh Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh với cố gắng thân Trong q trình nghiên cứu em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Sinh viên Phạm Thị Kim Anh MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Chương I: Một số kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.1.1 Ánh xạ 1.1.2 Không gian Metric 1.1.3 Không gian định chuẩn 1.1.4 Không gian Hilbert 1.1.5 Điều kiện Lipschits 1.1.6 Không gian C[a;b] 1.1.7 Không gian £ p [a;b ] 1.2 Tổng quan phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 11 1.2.1 Phương trình tốn tử 1.2.2 Phương trình tích phân Chương II: Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2.1 Phương pháp ánh xạ co .14 2.1.1 Ánh xạ co 2.1.2 Phương pháp giải 2.2 Phương pháp cầu phương 21 Chương III: Một số ví dụ ứng dụng 3.1 Phương pháp ánh xạ co .25 3.2 Phương pháp cầu phương 33 3.3 Ứng dụng giải số lập trình Maple 12 40 3.3.1 Phương pháp ánh xạ co 3.3.2 Phương pháp cầu phương Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI NĨI ĐẦU Tốn học mơn khoa học gắn liền với thực tiễn, toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng toán học vào giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, thường gặp nhiều tốn có liên quan đến việc giải phương trình tích phân Nó xem cơng cụ tốn học có ứng dụng rộng rãi khơng tốn học mà nhiều ngành khoa học khác, ví dụ nghiên cứu phương trình tích phân nhằm giải phương trình vi phân với điều kiện biên xác định để giải số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân mô tả tượng khuếch tán, tượng truyền, ….Vì việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng lý thuyết tốn học Được hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh với lòng say mê nghiên cứu khoa học, sinh viên sư phạm chuyên ngành toán, em mạnh dạn chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là: “ Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại ” Có nhiều phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian nghiên cứu nên khn khổ khóa luận em xin bày tỏ số vấn đề sau: Chương I: Một số kiến thức sở Chương gồm số kiến thức ánh xạ, không gian ( Metric, Banach, không gian định chuẩn,….), điều kiện Lipschits, tổng quan phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Chương II: Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Trong chương em tập trung vào hai phương pháp là: Phương pháp ánh xạ co phương pháp cầu phương vào giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Chương III: Một số ví dụ ứng dụng Trong chương em trình bày số ví dụ minh họa áp dụng hai phương pháp số tập áp dụng để bạn đọc tìm hiểu thêm Mặc dù cố gắng lần đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn sinh viên để em thực thành cơng khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu đề tài mức độ sâu Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Kim Anh Chương I Một số kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa1.1 Cho hai tập hợp khác rỗng Χ Y Gọi ánh xạ từ tập Χ đến tập Y quy tắc từ tập Χ đến tập Y cho với x ∈ Χ có phần tử y tương ứng, thường kí hiệu là: ∈ Y f: Χ → Y x y Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f từ Χ vào Y Nếu ánh xạ g từ Y vào Χ cho f −1 Ta có: gf = 1X fg = g gọi ánh xạ ngược f 1Y ( f )1 = −1 f 1.1.2 Không gian Metric Định nghĩa 1.3 Ta gọi không gian Metric tập hợp Χ ≠ φ với ánh xạ d từ tích Descartes Χ×Χ vào tập hợp số thực □ thỏa mãn tiên đề sau: M1: (∀x, y ∈ Χ) M2: (∀x, d ( x, y y ) ≥ , d ( x, y) = ⇔ x= y ( tiên đề đồng nhất) ∈ Χ ) M 3: d ( x, y ) = d ( y, x ) ( tiên đề đối xứng) (∀x, z ∈ Χ) y, d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y) ( tiên đề tam giác) M1, M2,M3 gọi hệ tiên đề Metric Ánh xạ d gọi Metric Χ, số d ( x, y ) gọi khoảng cách hai phần tử x y Khơng gian Metric thường kí hiệu là: Μ = ( Χ,d ) ( Χ, d ) Định nghĩa 1.4 Cho không gian Metric Μ Dãy điểm = ( x ⊂ Χ gọi dãy nếu: ( Χ,d ) ) n n=1 không âm cho với ∀m, n ≥ n0 Ta có: Với ∀ε > , ∃n0 d ( xn , xm ) < ε y lim ( x , xm ) = n n→∞ m→∞ Định nghĩa1.5 Cho không gian Metric Μ = ( Χ,d ) gọi không gian đầy (hay đủ) dãy không gian Μ hội tụ không gian Μ 1.1.3 Không gian định chuẩn Định nghĩa1.6 Cho không gian tuyến tính Χ xác định trường Κ ( Κ = □ Κ = □ ) Ta gọi Χ không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn )nếu khơng gian tuyến tính Χ với ánh xạ từ Χ vào tập số thực □ , kí hiệu , đọc chuẩn thỏa mãn tiên đề sau: 1) ∈ không) ( ∀x Χ) x ≥ 0, x = ⇔ x= θ ( θ kí hiệu phần tử (∀x ∈ Χ) , ( ∀α ∈Κ ) 2) 3) ∈ ( ∀x, Χ) y α x = α ⋅ x x+ y ≤ x + y Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Số x gọi chuẩn ( hay độ dài ) vectơ x ∈ Χ , không gian định chuẩn Χ kí hiệu ( Χ, ) n ... phân tuyến tính Fredholm loại 11 1 .2. 1 Phương trình tốn tử 1 .2. 2 Phương trình tích phân Chương II: Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2. 1 Phương pháp... tốn tử tích phân Fredholm ( 2. 3 ) gọi phương trình tích phân Fredholm loại Chương II Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2. 1 Phương pháp ánh xạ co 2. 1.1 Ánh... quan phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Chương II: Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Trong chương em tập trung vào hai phương pháp là: Phương