Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình song nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung cấp kỹ thuật Vĩnh Phúc gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Bích Nụ LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Bích Nụ Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khơng gian giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.2 Đạo hàm Frechet 1.3 Cơ sở phương pháp tuyến tính hóa 10 1.4 Phương trình tốn tử tích phân 11 1.4.1 Các định nghĩa 11 1.4.2 Một số nhận xét .14 1.4.3 Các định lý tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến 17 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến 22 2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 22 2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp .22 2.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình tích phân phi tuyến 23 2.2 Phương pháp cầu phương 26 2.2.1 Phương pháp cầu phương 26 2.2.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến 27 2.3 Phương pháp Newton - Kantorovich 31 2.3.1 Phương pháp Newton - Kantorovich 31 2.3.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình tích phân phi tuyến 33 2.4 Sự kết hợp phương pháp Newton - Kantorovich phương pháp cầu phương 39 Một số ứng dụng phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến 46 3.1 Giải gần phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 46 3.1.1 Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 46 3.1.2 Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 51 3.2 Giải gần phương trình tích phân phi tuyến Volterra 62 3.2.1 Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân phi tuyến Volterra 62 3.2.2 Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra 68 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R+ Tập số thực dương C Tập số phức K Tập số thực phức Rn Không gian Euclide n - chiều C[a;b] Không gian hàm số thực liên tục đoạn [a; b] L2[a;b] Không gian hàm bình phương khả tích [a; b] L (X, Y ) Y Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Q Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều toán thực tế dẫn đến việc giải phương trình hệ phương trình tích phân phi tuyến Việc giải xác phương trình thường gặp nhiều khó khăn khơng thể thực Vì người ta nghiên cứu phương pháp giải xấp xỉ phương trình nói Với mong muốn tìm hiểu sâu nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến cách giải xấp xỉ phương trình nên tơi chọn đề tài “ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến ” Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến, ứng dụng vào giải số phương trình cụ thể, giải số máy tính Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ Phân tích ưu điểm, nhược điểm phương pháp Nêu ứng dụng phương pháp vào giải số phương trình tích phân cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Phương pháp cầu phương Phương pháp tuyến tính hóa Phương pháp Newton - Kantorovich Một số ứng dụng vào phương trình cụ thể giải số máy Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức, phương pháp Đại số tuyến tính, Giải tích hàm, Giải tích số lập trình cho máy tính Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan Suy luận logic, phân tích, tổng hợp hệ thống hóa Dự kiến đóng góp Đề tài nghiên cứu cách có hệ thống số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Nêu lên ứng dụng phương pháp tuyến tính hóa vào giải số lớp phương trình tích phân phi tuyến Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric Cho X tập hợp tùy ý X ƒ= φ Định nghĩa 1.1.1 Một metric X ánh xạ d:X×X →R thỏa mãn điều kiện sau: i) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d (x, y) = ⇔ x = y; ii) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X; iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X metric X gọi không gian metric, ký hiệu (X, d) Số d (x, y) gọi khoảng cách điểm x y Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm {xn} không gian metric (X, d) gọi hội tụ tới điểm x X lim d (x , x) = n ∈ n→∞ Ký hiệu lim xn = x hay xn → x n → ∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Một dãy điểm {xn} không gian metric (X, d) gọi dãy ( hay dãy Cauchy ) lim d (x , x ) = m,n→∞ m n Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Định lý 1.1.1 Mọi tập đóng khơng gian metric đầy đủ khơng gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử F tập đóng khơng gian metric đầy đủ (X, d) Giả sử {xn} dãy F tức lim d (x , x ) = m,n→∞ m n Suy {xn} dãy X Do X không gian đầy đủ nên dãy {xn} hội tụ, tức ∃x0 ∈ X : xn → x0, n → ∞ Như (xn) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞ Do F tập đóng nên x0 ∈ F Vậy F không gian metric đầy đủ Ví dụ 1.1.1 Trong khơng gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} , r ∈ R+ không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.1.5 Cho hai không gian metric tùy ý (X, d1) (Y, d2) Ánh xạ A : X → Y gọi ánh xạ co tồn số α ∈ [0, 1) cho ∀x1, x2 ∈ X ta có d2 (A(x1), A(x2)) ≤ αd1 (x1, x2) α gọi hệ số co ánh xạ co A Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào có điểm bất động nhất, nghĩa tồn điểm x∗ ∈ X thỏa mãn Ax∗ = x∗, x∗ giới hạn dãy (xn) , xn = A (xn−1) , x0 ∈ X tùy ý αn d (x , x ) d (xn, x ) α ≤ − d (xn, xn−1) , n = 1, 2, ∗ α d (xn, x ) α ≤ − đó, α hệ số co ánh xạ co A ∗ 10 3.2.2 Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra Ví dụ 3.3 Giải phương trình ¸x y (x) = ty2(t)dt − x + x, ≤ x ≤ (3.28) K [x, t, y(t)] = ty2 (t) Ky′ (x, t, y) = 2ty (t) a) Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình (3.28) : +) Điều kiện : Ta thấy K, liên tục miền D = {0 ≤ x, t ≤ 1, −∞ < y < y K′ +∞} |K(x, t, y)| ≤ ϕ (|y|) , ϕ (|y|) = |y| hàm không giảm, với x ∈ [0; 1] phương trình y′x = ϕ (|y|) có nghiệm +) Ta có cơng thức xây dựng dãy xấp xỉ liên tiếp ¸1 yn (x) = t n− (t)dt − x4 + x, n = 1, 2, , y0 ∈ [0;1] y C Chọn y0 (x) = y1 (x) = xx − 41 x4 ¸y2 (x) = t.−1 t4 + dt x + x = x − x7 + x10 − t 0x 14 160 ¸ 10 y3 (x) = t 16 t −1 t + dt − 41 x4 + x = t 1 22 16 191 = x − x10 + x13 + − 21280 + 563200 x 70 3136 104 x x Do |x| ≤ nên xn → n → ∞ Suy yn (x) → y∗ (x) = x n → ∞ Thay y∗ (x) = x vào phương trình (3.28) thỏa mãn Vậy y∗ (x) = x nghiệm phương trình (3.28) b) Sử dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình (3.28) : Chọn xấp xỉ ban đầu y0(x) = 10 10 Tính xấp xỉ thứ : x ¸ε0 (x) = ty2 (t) dt − x4 + x − y0 (x) = − x4 + x 0 ϕ0 (x) = ε0 (x) + ¸x 2ty0 (t) ϕ0 (t) dt = −4 x4 + x y1 (x) = y0 (x) + ϕ0 (x) = x −4 x4 Tính xấp xỉ thứ hai : x ¸ε1 (x) = ty2 (t)¸dt + x − x4 − y1 (x) = 1 x = x − 1 tt− 42 t dt x 14 ¸x + 10 160 x ϕ1 (x) = ε1 (x) + 2ty1 (t) ϕ1 (t) dt ⇒ ϕ1 (x) = 1 x − x x7 + ¸x10 + 2t t − 160 4 t ϕ1 (t) dt 14 Ta phương trình tuyến tính ϕ1 (x), giải phương trình phương pháp xấp xỉ liên tiếp ta có : (0) Ch (x) = x4 − x7 + x10 ọn ϕ (1) ⇒ ϕ1 (x) = 23 (1) ϕ (x) = y (x) = 23 1 160 14 x − x + 14 4 x − 1120 y1 (x) +ϕ (1) x13 − + 728 (x) = x − t− ¸x10 + 2t + 160 27 x10 x 5120 16 t t − 14 t t 10 dt 160 x 10 x + 27 x13 − x16 728 5120 1120 yn (x) → y∗ (x) = x n → ∞ với tốc độ hội tụ nhanh phương pháp xấp xỉ liên tiếp c) Sử dụng phương pháp cầu phương giải phương trình (3.28) : Lập trình Maple : >y(x)=int(t*y(t)*y(t),t=0 x)-x*x*x*x/4+x; ¸x y (x) = ty2 (t) dt − x4 + x >n:=5; n 10 := >for i from to n x[i]:=i/n od: >for i from to n f[i]:=-1/4*x[i]*x[i]*x[i]*x[i]+x[i] od: >for i from to n A[i,0]:=1/(2*n) od: 10 >for i from to n A[i,i]:=1/(2*n) od: >for i from to n for j from to (i-1) doA[i,j]:=1/n : od: od: >for i from to n for j from to i K[i,j]:=x[j] : od: od: >i:=’i’; i := i >j:=’j’; j := j >for i from to n eqn[i]:=y[i]=sum(A[i,j]*K[i,j]*y[j]*y[j],j=0 i)+f[i] : od: >sols:=evalf(solve(eqn[0],eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5])) : >for i from to n lprint(y[i]=subs(sols,y[i])) : od; y[0] = y[1] = 0.2004032290 y[2] = 0.4016596778 y[3] = 0.6040020028 y[4] = 0.8081380806 y[5] = 1.016013370 Với n lớn trình giải phương pháp cầu phương gặp khó khăn khơng thực d) Sử dụng phương pháp Newton - Kantorovich kết hợp phương pháp cầu phương giải phương trình (3.28) : Lập trình Maple : >y(x)=int(t*y(t)*y(t),t=0 x)-x*x*x*x/4+x; ¸x y (x) = ty2 (t) dt − x4 + x >n:=20; n := 20 >m:=4; m := >for i from to n x[i]:=i/n od: >for i from to n f[i]:=-1/4*x[i]*x[i]*x[i]*x[i]+x[i] od: 10 >for i from to n A[i,0]:=1/(2*n) od: >for i from to n A[i,i]:=1/(2*n) od: >for i from to n for j from to (i-1) doA[i,j]:=1/n : od: od: >for i from to n for j from to i K[i,j]:=x[j] : od: od: >for i from to n for j from to i L[i,j]:=2*x[j] : od: od: >for i from to n y[0,i]:=0 od: >i:=’i’; i := i >j:=’j’; j := j >for k from to m for i from to n eqn[k,i]:=y[k,i]=f[i] +sum(A[i,j]*(K[i,j]-L[i,j])*y[k-1,j]*y[k-1,j],j=0 i) +sum(A[i,j]*L[i,j]*y[k-1,j]*y[k,j],j=0 i): od: od: >sols:=evalf(solve(eqn[1,0],eqn[1,1],eqn[1,2],eqn[1,3],eqn[1,4],eqn[1,5], eqn[1,6],eqn[1,7],eqn[1,8],eqn[1,9],eqn[1,10],eqn[1,11],eqn[1,12],eqn[1,13], eqn[1,14],eqn[1,15],eqn[1,16],eqn[1,17],eqn[1,18],eqn[1,19],eqn[1,20],eqn[2,0], eqn[2,1],eqn[2,2],eqn[2,3],eqn[2,4],eqn[2,5],eqn[2,6],eqn[2,7],eqn[2,8], eqn[2,9],eqn[2,10],eqn[2,11],eqn[2,12],eqn[2,13],eqn[2,14],eqn[2,15],eqn[2,16], eqn[2,17],eqn[2,18],eqn[2,19],eqn[2,20],eqn[3,0],eqn[3,1],eqn[3,2],eqn[3,3], eqn[3,4],eqn[3,5],eqn[3,6],eqn[3,7],eqn[3,8],eqn[3,9],eqn[3,10],eqn[3,11], eqn[3,12],eqn[3,13],eqn[3,14],eqn[3,15],eqn[3,16],eqn[3,17],eqn[3,18],eqn[3,19], eqn[3,20],eqn[4,0],eqn[4,1],eqn[4,2],eqn[4,3],eqn[4,4],eqn[4,5],eqn[4,6], eqn[4,7],eqn[4,8],eqn[4,9],eqn[4,10],eqn[4,11],eqn[4,12],eqn[4,13],eqn[4,14], eqn[4,15],eqn[4,16],eqn[4,17],eqn[4,18],eqn[4,19],eqn[4,20])) : >for k from to m for i from to n lprint(y[k,i]=subs(sols,y[k,i])) : od: od; 10 y[1, 0] = y[2, 0] = y[1, 1] = 0.0499984375 y[2, 1] = 0.0500015627 y[1, 2] = 0.0999750000 y[2, 2] = 0.1000062535 y[1, 3] = 0.1498734375 y[2, 3] = 0.1500140849 y[1, 4] = 0.1996000000 y[2, 4] = 0.2000250875 y[1, 5] = 0.2490234375 y[2, 5] = 0.2500393157 y[1, 6] = 0.2979750000 y[2, 6] = 0.3000568429 y[1, 7] = 0.3462484375 y[2, 7] = 0.3500777265 y[1, 8] = 0.3936000000 y[2, 8] = 0.4001019044 y[1, 9] = 0.4397484375 y[2, 9] = 0.4501289531 y[1, 10] = 0.4843750000 y[2, 10] = 0.5001575908 y[1, 11] = 0.5271234375 y[1, 12] = 0.5676000000 y[2, 11] = 0.5501847420 y[2, 12] = 0.6002038870 y[2, 13] = 0.6502022925 y[1, 13] = 0.6053734375 y[2, 14] = 0.7001565518 y[1, 14] = 0.6399750000 y[2, 16] = 0.7997404489 y[1, 15] = 0.6708984375 y[2, 18] = 0.8981910436 y[1, 16] = 0.6976000000 y[1, 17] = 0.7194984375 y[1, 18] = 0.7359750000 y[1, 19] = 0.7463734375 y[1, 20] = 0.7500000000 y[2, 15] = 0.7500256438 y[2, 17] = 0.8491883325 y[2, 19] = 0.9464738237 y[2, 20] = 0.9936233599 11 y[3, 0] = y[4, 0] = y[3, 1] = 0.0500015627 y[4, 1] = 0.0500015627 y[3, 2] = 0.1000062535 y[4, 2] = 0.1000062535 y[3, 3] = 0.1500140850 y[4, 3] = 0.1500140850 y[3, 4] = 0.2000250885 y[4, 4] = 0.2000250885 y[3, 5] = 0.2500393241 y[4, 5] = 0.2500393241 y[3, 6] = 0.3000568905 y[4, 6] = 0.3000568905 y[3, 7] = 0.3500779365 y[4, 7] = 0.3500779365 y[3, 8] = 0.4001026729 y[4, 8] = 0.4001026729 y[3, 9] = 0.4501313874 y[4, 9] = 0.4501313874 y[3, 10] = 0.5001644614 y[4, 10] = 0.5001644614 y[3, 11] = 0.5502023918 y[3, 12] = 0.6002458166 y[4, 11] = 0.5502023918 y[4, 12] = 0.6002458166 y[4, 13] = 0.6502955497 y[3, 13] = 0.6502955494 y[4, 14] = 0.7003526235 y[3, 14] = 0.7003526225 y[4, 16] = 0.8004943785 y[3, 15] = 0.7504183420 y[4, 18] = 0.9006863865 y[3, 16] = 0.8004943587 y[4, 15] = 0.7504183467 y[4, 17] = 0.8505828279 y[4, 19] = 0.9508085077 y[4, 20] = 1.0009536500 y[3, 17] = 0.8505827520 y[3, 18] = 0.9006861156 y[3, 19] = 0.9508075986 y[3, 20] = 1.0009507670 Quan sát với m = m = ta thấy giá trị y hầu hết nút trùng Vì ta không cần tăng m nhiều n Với m = , n = 20 ta có : 11 x Nghiệm Nghiệm xấp xỉ Sai số 0 0 0.05 0.05 0.0500015627 0.0000015627 0.1 0.1000062535 0.0000062535 0.15 0.15 0.1500140850 0.0000140850 0.2 0.2000250885 0.0000250885 0.25 0.25 0.2500393241 0.0000393241 0.3 0.3000568905 0.0000568905 0.35 0.35 0.3500779365 0.0000779365 0.4 0.4001026729 0.0001026729 0.45 0.45 0.4501313874 0.0001313874 0.5 0.5001644614 0.0001644614 0.55 0.55 0.5502023918 0.0002023918 0.6 0.6002458166 0.0002458166 0.65 0.65 0.6502955497 0.0002955497 0.7 0.7003526235 0.0003526235 0.75 0.75 0.7504183467 0.0004183467 0.8 0.8004943785 0.0004943785 0.85 0.85 0.8505828279 0.0005828279 0.9 0.9006863865 0.0006863865 0.95 0.95 0.9508085077 0.0008085077 1.0009536500 0.0009536500 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Bảng Ví dụ 3.4 Giải phương trình x y (x) = ¸ xy (t) dt −3 x4 + x (3.29) Sử dụng phương pháp Newton - Kantorovich kết hợp phương pháp cầu phương giải phương trình (3.29) ta có kết sau : 11 y[1, 0] = y[2, 0] = y[1, 1] = 0.0499979166 y[2, 1] = 0.0500010418 y[1, 2] = 0.0999666666 y[2, 2] = 0.1000041693 y[1, 3] = 0.1498312500 y[2, 3] = 0.1500093925 y[1, 4] = 0.1994666667 y[2, 4] = 0.2000167359 y[1, 5] = 0.2486979167 y[2, 5] = 0.2500262391 y[1, 6] = 0.2973000000 y[2, 6] = 0.3000379366 y[1, 7] = 0.3449979167 y[2, 7] = 0.3500517783 y[1, 8] = 0.3914666667 y[2, 8] = 0.4000674152 y[1, 9] = 0.4363312500 y[2, 9] = 0.4500837116 y[1, 10] = 0.4791666667 y[2, 10] = 0.5000977529 y[1, 11] = 0.5194979167 y[1, 12] = 0.5568000000 y[2, 11] = 0.5501029854 y[2, 12] = 0.6000859390 y[2, 13] = 0.6500207358 y[1, 13] = 0.5904979167 y[2, 14] = 0.6998602585 y[1, 14] = 0.6199666667 y[2, 16] = 0.7988696616 y[1, 15] = 0.6445312500 y[2, 18] = 0.8955978778 y[1, 16] = 0.6634666667 y[1, 17] = 0.6759979167 y[1, 18] = 0.6813000000 y[1, 19] = 0.6784979167 y[1, 20] = 0.6666666667 y[2, 15] = 0.7495224420 y[2, 17] = 0.8476786499 y[2, 19] = 0.9420890393 y[2, 20] = 0.9863494987 11 y[3, 0] = y[4, 0] = y[3, 1] = 0.0500010418 y[4, 1] = 0.0500010418 y[3, 2] = 0.1000041693 y[4, 2] = 0.1000041693 y[3, 3] = 0.1500093926 y[4, 3] = 0.1500093926 y[3, 4] = 0.2000167377 y[4, 4] = 0.2000167377 y[3, 5] = 0.2500262544 y[4, 5] = 0.2500262544 y[3, 6] = 0.3000380248 y[4, 6] = 0.3000380248 y[3, 7] = 0.3500521732 y[4, 7] = 0.3500521732 y[3, 8] = 0.4000688761 y[4, 8] = 0.4000688761 y[3, 9] = 0.4500883755 y[4, 9] = 0.4500883755 y[3, 10] = 0.5001109935 y[4, 10] = 0.5001109935 y[3, 11] = 0.5501371522 y[4, 11] = 0.5501371522 y[3, 12] = 0.6001673973 y[4, 12] = 0.6001673975 y[3, 13] = 0.6502024298 y[4, 14] = 0.7002431498 y[4, 13] = 0.6502024306 y[3, 14] = 0.7002431456 y[4, 15] = 0.7502907040 y[3, 15] = 0.7502906851 y[4, 17] = 0.8504126307 y[3, 16] = 0.8003464876 y[3, 17] = 0.8504123284 y[4, 16] = 0.8003465663 y[4, 18] = 0.9004913450 y[4, 19] = 0.9505858908 y[4, 20] = 1.0007004330 y[3, 18] = 0.9004902628 y[3, 19] = 0.9505822564 y[3, 20] = 1.0006889140 Phương trình (3.29) có nghiệm y∗ (x) = x Với m = 4, n = 20 ta có 11 x Nghiệm Nghiệm xấp xỉ Sai số 0 0 0.05 0.05 0.0500010418 0.0000010418 0.1 0.1000041693 0.0000041693 0.15 0.15 0.1500093926 0.0000093926 0.2 0.2000167377 0.0000167377 0.25 0.25 0.2500262544 0.0000262544 0.3 0.3000380248 0.0000380248 0.35 0.35 0.3500521732 0.0000521732 0.4 0.4000688761 0.0000688761 0.45 0.45 0.4500883755 0.0000883755 0.5 0.5001109935 0.0001109935 0.55 0.55 0.5501371522 0.0001371522 0.6 0.6001673975 0.0001673975 0.65 0.65 0.6502024306 0.0002024306 0.7 0.7002431498 0.0002431498 0.75 0.75 0.7502907040 0.0002907040 0.8 0.8003465663 0.0003465663 0.85 0.85 0.8504126307 0.0004126307 0.9 0.9004913450 0.0004913450 0.95 0.95 0.9505858908 0.0005858908 1.0007004330 0.0007004330 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Bảng 11 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hệ thống số phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến : phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp cầu phương, phương pháp Newton - Kantorovich phương pháp kết hợp phương pháp Newton - Kantorovich với phương pháp cầu phương Phân tích ưu điểm, nhược điểm phương pháp Nêu ứng dụng phương pháp vào giải phương trình tích phân phi tuyến Fredholm Volterra Giải số phương trình tích phân cụ thể, giải số máy tính Với khả thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn góp ý để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Kung Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer - Verlag - Berlin Heidelberg [6] Jafar Saberi Nadjafi, Mahdi Heidari (2010) , "Solving Nonlinear Integral Equations in the Urysohn form by Newton - Kantorovich quadrature method", Journal of Computers and Mathematics with Applications, 60, 2058-2065 [7] Andrei D Polyanin, Alexander V Manzhirov (2008),Handbook of Integral Equations, 2nd ed., Chapman & Hall/CRC Press 79 80 [8] Abdul Majid Wazwaz (2011),Linear and Nonlinear Integral Equations, Methods and Applications, Higher Education Press, Springer - Verlag - Berlin Heidelberg ... phi tuyến 17 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến 22 2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 22 2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp .22 2.1.2 Phương pháp xấp xỉ. .. phương trình tích phân phi tuyến cách giải xấp xỉ phương trình nên tơi chọn đề tài “ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến ” Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương. .. 3.1.1 Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 46 3.1.2 Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 51 3.2 Giải gần phương trình tích phân phi