Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến

Tác giả xin trân tr ngọ c mả nơ Ban giám hi uệ trườ Đ ing ạ học Sư ph mạ Hà N iộ 2, phòng Sau đ iạ h cọ , các th yầ cô giáo trong nhà trườ và các th yng ầ cô giáo d yạ cao học chuyên ngà

LỜI CẢM ƠN

Lu nậ văn đượ hoàn thành t ic ạ trườ Đ ing ạ học Sư ph mạ Hà

N iộ 2 dưới sự hướng d nẫ c aủ th yầ giáo PGS TS Khu tấ Văn Ninh Sựgiúp đỡ và hướng d nẫ t nậ tình song r tấ nghiêm túc c aủ th yầ trongsuốt quá trình thực hi nệ lu nậ văn này đã giúp tác giả trưở thànhng

h nơ r tấ nhiều trong cách ti pế c nậ m tộ vấn đề m i.ớ Tác giả xin bày

tỏ lòng bi tế n,ơ lòng kính tr ngọ sâu s cắ nh tấ đ iố với th yầ

Tác giả xin trân tr ngọ c mả nơ Ban giám hi uệ trườ Đ ing ạ học

Sư ph mạ Hà N iộ 2, phòng Sau đ iạ h cọ , các th yầ cô giáo trong nhà

trườ và các th yng ầ cô giáo d yạ cao học chuyên ngành Toán gi iả tích đãgiúp đ ,ỡ t oạ đi uề ki nệ thu nậ l iợ cho tác giả trong suốt quá trình học

t p.ậ

Tác giả xin chân thành c mả nơ Sở GD-ĐT t nh ỉ Vĩnh Phúc, Bangiám hiệu, các th yầ cô giáo, đồng nghi pệ trường Trung c p ấ kỹ thu tậVĩnh Phúc cùng gia đình, ngườ thân, b ni ạ bè đã giúp đ ,ỡ động viên và

t oạ đi uề ki nệ thu nậ l iợ để tác giả hoàn thành khóa học Th cạ sĩ vàhoàn thành lu nậ văn này

Hà N i, ộ ngày 20 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Nụ

Lu nậ văn đượ hoàn thành t ic ạ trườ Đ ing ạ Học Sư ph mạ Hà N iộ

2 dưới sự hướng d nẫ c aủ PGS TS Khu tấ Văn Ninh

Tôi xin cam đoan lu nậ văn là công trình nghiên cứu c aủ riêngtôi Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành lu nậ văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học c aủ các nhà khoa học và đồng nghi pệ với

sự trân tr ngọ và bi tế n.ơ Tôi xin cam đoan r ngằ các thông tin trích

d nẫtrong lu nậ văn đã đượ chỉ rõ ngu nc ồ gốc

Hà N i, ộ ngày 20 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Nụ

Mục lục

L

ờ i cam đo an ii

Bản g ký hiệ u v i Mở đ ầ u 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 M tộ số không gian c aủ gi iả t ích hàm

3 1.1.1 Không gian metric 3

1.1.2 Không gian đ nhị chu nẩ và không gian Banach 6 1 2 Đ ạ o h à m F r e c h et 7

1.3 Cơ sở c a phủ ươ ng pháp tuy ế n tính hóa 10

1.4 Ph ươ ng trình toán tử tích phân 11

1.4.1 Các đ nhị nghĩa 11

1.4.2 M tộ số nh nậ xét 14

1.4.3 Các đ nhị lý về sự t nồ t iạ và duy nh tấ nghi mệ c aủ các phương trình tích phân phi tuyến 17

3

2.1 Ph ươ ng pháp x pấ xỉ liên ti pế 222.1.1 Phương pháp x pấ xỉ liên ti pế 222.1.2 Phương pháp x pấ x ỉ liên ti pế gi iả phương trình

tích phân phi tuyến 232.2 Ph ươ ng pháp c u phầ ươ ng 262.2.1 Phương pháp c uầ phương 262.2.2 Phương pháp c uầ phương gi iả phương trình tích

phân phi tuyến 272.3 Ph ươ ng pháp Newton - Kant oro vich 312.3.1 Phương pháp Newton - Kantorovich 312.3.2 Phương pháp Newton - Kantorovich gi iả phương

trình tích phân phi tuyến 332.4 S ự k ế t h pợ c a phủ ươ ng pháp Newton - Kant oro vich và ph

ươ ng pháp c u phầ ươ ng 39

3 Một số ứng dụng của phương pháp giải xấp xỉ

3.1 G i iả g nầ đún g ph ư ơ n g t rì n h t í c h ph ân ph i t u y nế F r e dh o lm 4 63.1.1 M tộ số phương pháp gi iả g nầ đúng phương trình

tích phân phi tuy nế Fredholm 463.1.2 Các ví dụ gi iả phương trình tích phân phi tuyến

Fredholm 51

4

3.2 Gi iả g nầ đúng ph ươ ng trình tích phân phi tuy ế n V o lte rr a 623.2.1 M tộ số phương pháp gi iả g nầ đúng phương trình

tích phân phi tuy nế Volterra 623.2.2 Các ví dụ gi iả phương trình tích phân phi tuyến

Volterra 68Kết

l u ận 78T

ài liệu t ham khảo 79

5

Rn Không gian Euclide n - chi uề

C [a;b] Không gian các hàm số thực liên t cụ trên đo nạ [a; b]

L2[a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]

L (X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên t cụ từ X vào

Y

Q K tế thúc chứng minh

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhi uề bài toán thực tế đã d nẫ đến vi cệ gi iả phương trình ho cặ

hệ phương trình tích phân phi tuyến Vi cệ gi iả chính xác các phươngtrình thường g pặ nhiều khó khăn ho cặ không thể thực hi nệ đượ Vìc

v yậ ngườ ta nghiên cứu các phương pháp gi ii ả x pấ xỉ các phươngtrình nói trên Với mong muốn tìm hi uể sâu h nơ và nghiên cứu vềphương trình tích phân phi tuyến và các cách gi iả x pấ xỉ các phươngtrình đó nên tôi đã chọn đề tài

“ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu m tộ số phương pháp gi iả x pấ x ỉ Phân tích các ưu

đi m,ể nhượ đi mc ể c aủ từng phương pháp Nêu các ứng d ngụ c aủcác phương pháp vào gi iả m tộ số phương trình tích phân cụ th ể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp x pấ xỉ liên ti p.ế

Phương pháp c uầ phương

Phương pháp tuyến tính hóa

Phương pháp Newton - Kantorovich

M tộ số ứng d ngụ vào các phương trình cụ thể và gi iả số trên máy

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử d ngụ các ki nế thức, phương pháp c aủ Đ iạ số tuyến tính,

Gi iả tích hàm, Gi iả tích số và l pậ trình cho máy tính

Sưu t m,ầ nghiên cứu các tài li uệ liên quan

Suy lu nậ logic, phân tích, t ngổ h pợ và hệ th ngố hóa

6 Dự kiến đóng góp mới

Đề tài nghiên cứu m tộ cách có hệ th ngố m tộ số phương pháp

gi iả x pấ xỉ phương trình tích phân phi tuyến Nêu lên các ứng d ngụ c aủphương pháp tuyến tính hóa vào gi iả m tộ số l pớ phương trình tíchphân phi tuyến

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số không gian của giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 Dãy đi m ể {x n } trong không gian metric (X, d)

Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric (X, d) đư c ợ g i ọ là đ y ầ đủ

n u ế m i ọ dãy cơ b n ả trong X đ u ề h i ộ tụ t i ớ m t ộ ph n ầ tử c a ủ X.

Định lý 1.1.1 M i ọ t p ậ đóng trong không gian metric đ y ầ đủ là không gian metric đ y ầ đ ủ

Ch ng ứ minh Giả sử F là m tộ t pậ đóng trong không gian metric đ yầ đủ

(X, d) Giả sử {x n} là m tộ dãy cơ b nả trong F t cứ là

lim

m,n→∞d (x m , x n) = 0

Suy ra {x n} là m tộ dãy cơ b nả trong X.

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {x n} h iộ t ,ụ t cứ là

∃x0 ∈ X : x n → x0, n → ∞

Như vậy (x n) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞ Do F là t pậ đóng nên

x0 ∈ F

V yậ F là không gian metric đ yầ đ ủ

Ví dụ 1.1.1 Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình c uầ đóng

S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} , r ∈ R+

là không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.1.5 Cho hai không gian metric tùy ý (X, d1) và (Y,

Ch ng ứ minh Lấy m tộ đi mể b tấ kỳ x0 ∈ X và l p ậ dãy x n = A

n

−

Vì 0 α < 1 nên lim

n→∞

2

≤

Nh n ậ xét 1.1 N u ế A là ánh xạ co từ không gian metric đầy (X, d) vào chính nó thì A cũng là ánh xạ co từ hình c u ầ đóng S (x0, r) ⊂ X vào

chính nó, n uế d (Ax0, x0) ≤ (1 − α) r, α là hệ số co c aủ A.

1 3

Ch ng ứ minh i, Theo đ nh ị lý 1.1.1 thì S (x0, r) là không gian metric đầy.

ii, Giả sử A là ánh xạ co với hệ số co α

d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ X

⇒ d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ S (x0, r)

iii, Ta chứng minh A .S (x0, r) ⊂ S (x0, r) t cứ là với ∀y ∈ S (x0, r)

ta ph iả chứng minh d (Ay, x0) ≤ r Th tậ v yậ

d (Ay, x0) ≤ d (Ay, Ax0) + d (Ax0, x0)

≤ αd (y, x0) + d (Ax0, x0) ≤ α.r + d (Ax0, x0)

N uế giả thi tế d (Ax0, x0) ≤ (1 − α) r thì d (Ay, x0) ≤ α.r + (1 − α)

r = r

⇒ Ay ∈ S (x0, r) ⇒ A .S (x0, r) ⊂ S (x0, r)

Như v yậ nguyên lý Banach về ánh xạ co có thể áp d ngụ trên hình c uầ đóng c aủ không gian metric đ yầ đ ủ

1.1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là m t ộ không gian vectơ trường K ( K

= R hoặc C) M t ộ chu n ẩ trong X, ký hi u ệ ".", là m t ộ ánh xạ từ X vào t p ậ số th c ự R th a ỏ mãn các tiên đề sau

i) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = 0 ⇔ x = θ;

ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) "αx" = |α| "x" ;

iii) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y"

Số "x" g i ọ là chu n ẩ ( hay độ dài)c a ủ véc tơ x.

M t ộ không gian vectơ X cùng v i ớ m t ộ chu n ẩ xác đ nh ị trong

không gian đó được g i ọ là không gian đ nh ị chu n ẩ

Định lý 1.1.3 Giả sử X là không gian đ nh ị chu n, ẩ đ t ặ

d (x, y) = "x − y" , ∀x, y ∈ X

Khi đó, d là m t ộ metric trên X.

4

Định nghĩa 1.1.7 Dãy đi m ể {x n } c a ủ không gian đ nh ị chu n ẩ X

Định nghĩa 1.1.8 Dãy đi m ể {x n } trong không gian đ nh ị chu n ẩ X

đư c ợ g i ọ là dãy cơ b n ả (hay dãy Cauchy) n u ế

lim

m,n→∞"x n − x m " = 0.

Định nghĩa 1.1.9 M t ộ không gian đ nh ị chu n ẩ X được g i ọ là không gian Banach n u ế m i ọ dãy cơ bản trong X đ u ề h i ộ t ụ

Ví dụ 1.1.2 Rn - Không gian vectơ Euclide n - chiều là không

gian Banach với chuẩn

C [a;b]- Không gian các hàm số liên t cụ trên đo nạ [a; b] là không gian

Banach với chuẩn

"x" = max |x (t)| , ∀x ∈ C [a;b]

t ∈[a;b]

L2[a;b]- Không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue trên đo nạ

[a; b] là không gian Banach với chuẩn

b

"x" = ¸ x2 (t) dt, ∀x ∈ L2

a

1.2 Đạo hàm Frechet

Định nghĩa 1.2.1 Cho X, Y là hai không gian đ nh ị chu n, ẩ U là

m t ộ t p ậ mở c a ủ X, toán tử f : U → Y Khi đó, toán tử tuy n ế tính liên t c ụ

[a;b

]

Toán tử T g i ọ là đ o ạ hàm Frechet c a ủ f t i ạ x0, ký hi u ệ T = f ′

Như v y ậ df (x0, h) = .f ′(x0 )

∂x i

x0 = .f i.′(x0).

Khi X1 = X2 = = X n = Y = R thì đạo hàm riêng

Frechet trùng v iớ đ oạ hàm riêng thông thường

f = (f1, f2, , f m) : Rn → Rm , ∀x ∈ R n , f (x) = (f1(x), f2(x), ,

f m (x))

là hàm vectơ nhiều bi nế có đ oạ hàm t iạ x và

1 7

m t ộ toán tử tuy n ế tính liên t c ụ từ X → Y , t c ứ là f ′ : U → L (X, Y

) Ta nói toán tử f hai l n ầ khả vi t i ạ x n u ế f ′ khả vi t i ạ x, nghĩa là

(x

)

f

Lipschitz theo bi nế đó.

1.3 Cơ sở của phương pháp tuyến tính hóa

Gi ả sử toán t ử f : R → R không giả thi tế tuy nế tính t c ứ phi tuy nế và x0 ∈ R Ta có

Và nhà toán h cọ Kantorvich đã phát tri nể lên v iớ các toán tử trên

các không gian Banach f : X → Y thể hi nệ trong phươ phápngNewton - Kantorvich sẽ đượ trình bày cụ thể trong chc ươ 2.ng

19

(x0 )

(x0 )

1.4 Phương trình toán tử tích phân

trong đó, f ∈ X cho trước, tham số λ ∈ R hoặc λ ∈ C được g i ọ

là ph ươ trình toán tử loại II ng

Khi A là toán tử tích phân thì các ph ươ trình (1.1) và (1.2) ng

g i ọ là các ph ươ trình toán tử tích phân hay ph ng ươ trình tích phân ng Khi A không gi thi t tuy n ả ế ế tính t c ứ A phi tuy n thì ế các

ph ươ trình (1.1) và (1.2) g i ng ọ là các ph ươ trình phi tuy n ng ế

trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba bi n ế liên t c ụ trên mi n ề

D = [a; b] × [a; b] × R, y(t), f (x) là các hàm số liên t c ụ trên đoạn

[a; b] , tham số λ ∈ R hoặc λ ∈ C, (1.3), (1.4) t ươ ng ng ứ g i ọ là

ph ươ trình tích phân phi tuy n ng ế loại I và loại II.

K [x, t, y(t)] g i ọ là nhân ( hay h ch) ạ c a ủ tích phân.

Nhân K [x, t, y(t)] được g i ọ là suy bi n ế ( hay tách) n u ế

¸

y(x) −

a

K [x, t, y(t)] dt = f (x), a ≤ x ≤ b (1.6)

trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba bi n ế liên t c ụ trên mi n ề

D = [a; b] × [a; b] × R, y(t), f (x) là các hàm số liên t c ụ trên đoạn

[a; b] , (1.5), (1.6) t ươ ng ng ứ g i ọ là ph ươ trình tích phân phi tuy n ng ế Volterra

d ng ạ Urysohn loại I và loại II.

Đ t ặ u(x) = y(x) − f (x), ph ươ trình (1.6) rút g n ng ọ về d ng ạ chính

¸

y(x) −

a

P (x, t)Φ(t, y(t))dt = f (x), a ≤ x ≤ b (1.9)

trong đó, hàm số P (x, t) liên t c ụ trên mi n ề [a; b] × [a; b] , y(t), f (x),

Φ là các hàm số liên t c ụ trên đoạn [a; b], (1.8), (1.9) t ươ ng ng ứ g i ọ là

y(x) −

a

K(x, t, y(t))dt = f (x) (1.12)

trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba bi n ế liên t c ụ trên mi n ề

D = [a; b] × [a; b] × R, y(t), f (x) là các hàm số liên t c ụ trên đoạn

[a; b] , (1.11), (1.12) t ươ ng ng ứ g i ọ là ph ươ trình tích phân phi ng

¸

y(x) −

a

P (x, t)Φ(t, y(t))dt = f (x) (1.15)

trong đó, hàm số P (x, t) liên t c ụ trên mi n ề [a; b] × [a; b] , y(t), f

(x), Φ là các hàm số liên t c ụ trên đoạn [a; b], (1.14), (1.15) t ươ ng ng

ứ g i ọ là ph ươ trình tích phân phi tuy n ng ế Fredholm d ng ạ Hammerstein loại I và

P (x, t) Φ∗ (t, u(t)) dt

(1.16)

23

1.4.2 Một số nhận xét

Nh n ậ xét 1.3 Phương trình tích phân Volterra là trường hợp riêng

của phương trình tích phân Fredholm

Th tậ vậy, đ tặ

K˜ [x, t, y(t)] :=

K˜ [x, t, y(t)] dt

Nh n ậ xét 1.4 Phương trình tích phân d ngạ Hammerstein là trườ h png ợ

đ cặ bi tệ c aủ phương trình tích phân d ngạ Urysohn tươ ứng.ng

Nh n ậ xét 1.5 Phươ trình tích phân phi tuy nng ế Volterra lo iạ II đ uề

có thể đ aư về phươ trình tích phân phi tuy n ng ế d ngạ chính t cắ tươngng

gi ngố như với phương trình tích phân tuyến tính

M tộ đ cặ tr ngư khác nữa c aủ phương trình tích phân phi tuyến

là nó thường có nhiều nghi m.ệ

Nh n ậ xét 1.6 Có m tộ số tính ch tấ chỉ có trong phương trình tích phân phi tuyến mà không có trong phương trình tích phân tuyến tính

Ta xét các ví dụ sau :

)

Ví dụ 1.4.1 Xét phương trình tích phân Volterra với tính chất phi

25

tuyến lũy thừa n

Nghi mệ c aủ (1.18) phụ thu cộ vào tham số n và b.

Trường hợp b > 0 : Nghi mệ c aủ (1.18) xác đ nhị b iở công th cứ

Đi uề này không có đối với các phương trình Volterra tuy nế tính

Trường hợp b = 0 : Với b t ấ kỳ 0 < n < ∞, 0 < a < ∞, phươ ngtrình (1.17) có nghi mệ t mầ thườ y(x) ≡ 0 H nng ơ n aữ , v iớ 0 < n < 1

N uế theo thu tậ ngữ như c aủ phương trình tuyến tính thì λ g iọ

là giá trị đ cặ tr ngư c aủ phương trình phi tuyến nếu với giá trị λ đó

phương trình có nghi mệ không t mầ thường, nghi mệ không t mầthường đó g iọ là nghi mệ riêng

Suy ra phương trình (1.20) có các kho ngả vô h nạ c aủ giá trị

A

=

λ

y(t)dt (1.24)

có nghi mệ tìm thấy từ y(x) = Af (x) , trong đó A là h ngằ số xác

1.4.3 Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

của các phương trình tích phân phi tuyến1.4.3.1.Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

phi tuyến Volterra x

y(x) = f (x) + ¸

a

K [x, t, y(t)] dt, a ≤ x ≤ b

i, f (x) là hàm khả tích và bị ch nặ trên đo nạ [a; b];

ii, f (x) th aỏ mãn đi uề ki nệ Lipschitz trong kho ngả (a; b)

|f (x1) − f (x2)| ≤ k |x1 − x2| , ∀x1, x2 ∈ (a; b) , k =

const, k ≥ 0; iii, K [x, t, y(t)] là hàm khả tích và bị ch n ặ |K| <

M, a ≤ x, t ≤ b; iv, K [x, t, y(t)] th aỏ mãn đi uề ki nệ Lipschitz

theo y

|K (x, t, y1) − K (x, t, y2)| ≤ L |y1 − y2| , ∀y1, y2 ∈ C [a;b].1.4.3.2.Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

Xét phương trình phi tuyến Hammerstein

Định lý 1.4.1 Giả sử có b t ấ đ ng ẳ th c ứ |Φ(t, y)| ≤ C1 |y| + C2

trong đó, C1, C2 là các h ng ằ số d ươ và C ng 1 < λ1, λ1 là giá trị đ c ặ trưng nhỏ nh t ấ c a ủ nhân P(x, t) Khi đó, ph ươ trình tích phân phi ng tuy n ế (1.16) có ít nh t ấ m t ộ nghi m ệ liên t c ụ

Định lý 1.4.2 N u ế v i ớ b t ấ kỳ t cố đ nh ị thuộc đoạn [a; b], hàm

Φ(t, y) không tăng theo y thì ph ươ trình tích phân phi tuy n ng ế (1.16)

có không quá m t ộ nghi m ệ

Định lý 1.4.3 Phương trình tích phân phi tuy n ế (1.16) có không quá m t ộ nghi m ệ n u ế hàm Φ(t, y) th a ỏ mãn đi u ề ki n ệ Lipschitz theo y

đ c ặ trưng nhỏ nh t ấ λ1 không thay đ i ổ trong mi n ề a ≤ x, t ≤ b Và

v i ớ đi u ề ki n ệ Φ(t, y) > λ1y(t), ∀t ∈ [a; b] thì ph ươ trình (1.16) vô ng nghi m ệ

• Giả sử nhân P(x, t) c aủ phương trình (1.16) xác đ nhị dương, liên t cụ (không c nầ đ iố xứng, P(x, t) ƒ= P(t, x)), hàm Φ(t, y) liên t c.ụ Ta cócác đ nhị lý :

thỏa mãn v i ớ h ng ằ số A < λ1, trong đó λ1 là giá trị đ c ặ trưng nhỏ nh t ấ

c a ủ nhân P(x, t), thì ph ươ trình (1.16) có ít nh t ng ấ m t ộ nghi m ệ liên t c ụ

Khi nhân P(x, t) xác đ nhị dương và không bị ch nặ thì ta có cáckết quả :

Định lý 1.4.6 Giả thi t ế nhân P(x, t) th a ỏ mãn đi u ề ki n ệ

Định lý 1.4.7 Cho nhân P(x, t) d ươ ng, liên t c ụ trong mi n ề a ≤ x, t

≤ b Giả thi t ế hàm Φ(t, y) liên t c ụ trong mi n ề a ≤ t ≤ b, y > 0, không âm v i ớ y ≥ 0 và d ươ v i ng ớ y > 0 và v i ớ h u ầ kh p ắ các t Giả thi t ế m t ộ trong các đi u ề ki n ệ sau được th a ỏ mãn :

i, Φ(t, y) không gi m ả theo y và y −β Φ(t, y) không tăng theo y, trong đó

h i ộ tụ đ n ế nghi m ệ y(x) trên đoạn [a; b].

Định lý 1.4.10 Giả sử hàm K (x, t, y) liên t c ụ trên mi n ề xác đ nh ị

L

Ω = {a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ b, |y| ≤ ρ}33

thì v i ớ đi u ề ki n ệ |λ| ≤ ρ

Ω , ph ươ trình (1.13) có ng

ít nh t ấ m t ộ nghi m ệ liên t c ụ thỏa mãn |y(x)| ≤ ρ.

Định lý 1.4.11 Giả sử hàm K (x, t, y) liên t c ụ trên mi n ề xác đ nh ị

Các đ nhị lý 1.4.1 đến 1.4.12 có thể xem trong [7]

(b − a) max |K (x, t,

y)|

Chương 2

Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi

tuyến

2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Cho toán tử A từ không gian Banach X vào chính nó.

Giả sử tìm đượ đi uc ề ki nệ để T là ánh xạ co v iớ hệ s ố co α ∈ [0;

1) Do X là không gian Banach nên X là không gian metric đầy đủ.Theo nguyên lý ánh xạ co thì phương trình (2.1) có nghi mệ duy nh tấ

x = x∗

Dãy l pặ

x n+1 = λAx n + f, n = 0, 1, 2, (2.2)với x pấ xỉ ban đ uầ tùy ý x0 ∈ X đều h iộ tụ đến nghi mệ x∗

Ta có các đánh giá sau :

22

Có thể mở r ngộ h nơ khi T chưa là ánh xạ co nhưng T k là ánh

xạ co với hệ số α ∈ [0; 1) thì phương trình (2.1) có nghi mệ duy nh tấ

x∗ là

gi iớ h nạ c aủ dãy l pặ (2.2) và tốc độ h iộ tụ là

"x n − x∗" ≤ (√

k

n − k

α) k "x k − x∗"

Quá trình tìm nghi mệ c aủ phương trình (2.1) b ngằ cách xây

dựng dãy l pặ (2.2) g iọ là phương pháp x pấ xỉ liên ti p.ế

2.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương

trình tích phân phi tuyến

Xét phươ trình tích phân phi tuy nng ế lo iạ II

trong đó, f ∈ C [a;b] cho trướ , hàm K [x, t, y(t)] liên t cc ụ trên

D = [a; b] × [a; b] × R, c n ầ tìm y ∈ C [a;b]

a

bi nế x trên đo n ạ [a; b] Suy ra A : C [a;b] → C [a;b]

Giả thi tế K′ (x, t, y) liên t c ụ trên D và ký hi uệ

Định lý 2.1.1 Giả sử hàm K [x, t, y(t)] dt và đ o ạ hàm riêng K′ (x,

t, y) liên t c ụ trên D và α := M (b − a) |λ| < 1 Khi đó, ph ươ trình ng (2.3) có nghi m ệ duy nh t ấ y = y∗ Nghi m ệ y∗ là gi i ớ h n ạ c a ủ dãy được xây d ng ự

37

y

a {K [x, t, y(t)] − K [x, t, y(t)]} dt, ∀y, y ∈ C [a;b]

Xét bi uể th cứ K [x, t, y(t)] − K [x, t, y(t)], cố đ nhị hai bi nế x, t

⇒ "T y − T y" ≤ α "y − y" , ∀y, y ∈ C [a;b] , α ∈ [0; 1)

Suy ra T là ánh xạ co từ C [a;b] vào chính nó

Do C [a;b] là không gian metric đ yầ đủ nên theo nguyên lý ánh xạ co

thì T có đi mể b tấ động duy nh tấ y = y∗, t cứ là T y∗ = y∗, theo (2.4) ta

−

y

y∗ (x) = λ ¸

a

K [x, t, y∗(t)] dt + f (x)

39

Suy ra y∗ là nghi mệ c aủ phương trình (2.3).

Cũng theo nguyên lý ánh xạ co thì y∗ là gi iớ h nạ c aủ dãy (y n)

y n = T y n−1, n = 1, 2, , y0 ∈ C [a;b] cho trướ tùy ý,c