Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến volterra

BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI T R Ầ N T H Ị LỆ H O A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP x ỉ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYÊN VOLTERRA LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ T O Á N HỌC H À N Ộ I, 2016 BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI T R Ầ N T H Ị LỆ H O A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP x ỉ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYÊN VOLTERRA C h u y ê n n gàn h : T o n g iả i tíc h M ã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TO ÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: P G S T S K H U A T H À N Ộ I, 2016 văn n in h LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn PG S.TS K huất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài, tận tâm hướng dẫn động viên suốt trình thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới thầy (cô) phòng Sau đại học, thầy cô dạy lớp T hạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích K18-đợt trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tố t nh ất cho suốt khóa học Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian hoàn th àn h luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả T rần T h ị L ệ H o a LỜI CAM Đ O A N Luận văn “M ộ t số ph ơng p h áp giải xấp xỉ ph ơng trìn h tích ph ân ph i tu y ế n V olterra” kết nghiên cứu th ân hướng dẫn PG S.TS K huất Văn Ninh Ngoài ra, tác giả tham khảo thêm m ột số tài liệu trình bày phần tài liệu tham khảo Vì xin khẳng định luận văn trùng lặp với đề tài tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả T rần T h ị L ệ H oa M ỤC LỤC MỞ ĐẦU C h ơng K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị 1.1 Không gian m etric 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa không gian định chuẩn Ví dụ 1.3 Chuỗi lũy thừa 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Điều kiện để m ột hàm khai triển th àn h chuỗi lũy thừa 1.4.1 Định nghĩa 8 1.4.2 T ính chất 1.4.3 Bảng biến đổi Laplace m ột số hàm thường gặp 1.4 Phép biến đổi Laplace 1.4.4 Phép biến đổi Laplace đạo hàm 11 1.4.5 Biến đổi Laplace ngược 11 1.4.6 Tích chập biến đổi Laplace 11 1.5 Phương trìn h tích phân 12 1.5.1 Các định nghĩa 12 1.5.2 Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra 13 1.5.3 Sự tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Volterra 15 Lập trình Maple 16 T ính tích phân hàm f ( x ) đoạn [a, 6] ĩ 16 Vòng lặp f o r 17 1.6.3 Lệnh điều kiện i j 17 1.6.4 Một số lệnh khác 18 C h ơng M Ộ T SỐ P H Ư Ơ N G P H Á P G IẢ I X A P x ỉ P H Ư Ơ N G T R ÌN H T ÍC H P H Â N P H I T U Y Ê N V O L T E R R A 19 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II 19 2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 19 2.1.2 Phương pháp chuỗi lũy thừ a 23 2.1.3 Phương pháp khai triển Adomian 27 2.2 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loai I 2 Phương pháp biến đổi Laplace 32 32 2 Phương pháp biến đổi phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra loại II C h ơng 35 P H Ư Ơ N G P H Á P SỐ VÀ Ứ N G D Ụ N G M A P L E T R O N G T ÍN H T O Á N 39 3.1 Phương pháp cầu phương 39 3.1.1 Phương pháp cầu phương 39 3.1.2 Phương pháp cầu phương giải phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra 40 3.2 Ví dụ 47 KẾT LUẬN 52 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O 53 lĩ MỞ ĐẦ U Lý chọn đề tài Trong Toán học đại, Giải tích số m ột môn học quan trọng Cùng với phát triển máy tính điện tử, giải tích số ngày thâm nhập sâu vào hầu hết lĩnh vực khoa học công nghệ, kỹ th u ậ t kinh tế Giải số lĩnh vực toán học rấ t rộng Nó nghiên cứu toán xấp xỉ, toán giải xấp xỉ phương trình toán tối ưu Lý thuyết phương trình tích phân Volterra m ột lĩnh vực quan trọng Nó có nhiều ứng dụng khoa học công nghệ Nhà toán học Volterra bắt đầu tìm hiểu phương trình tích phân từ năm 1884 Tới năm 1908, phương trình thức m ang tên ông Việc giải xác phương trìn h thường gặp nhiều khó khăn giải Do đó, nhà khoa học nghiên cứu m ột số phương pháp giải gần phương trìn h phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adom ia n , Dưới hướng dẫn PG S.TS K huất Văn Ninh chọn đề tài: " M ột số phư ơng p h áp giải x ấ p x ỉ phư ơng trìn h tích ph ân phi tu y ế n V olterra" để làm luận văn tố t nghiệp bậc sau đại học Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến Volterra, số phương pháp giải gần phương trình tích phân phi tuyến Volterra, lập trình M aple tín h toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra m ột số phương pháp giải gần phương trình tích phân phi tuyến V olterra,lập trình Maple tính toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra loại m ột, loại hai Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, m ột số phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào giải gần m ột số phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra cụ thể, lập trình Maple tính toán Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm , nghiên cứu tài liệu liên quan Vận dụng m ột số phương pháp giải tích hàm, giải tích số, lí thuyết phương trình tích phân P hân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra Chương K IẾN THỨC C H U Ẩ N BỊ 1.1 Không gian metric Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Một tập X gọi không gian m etric Với cặp phần tử X, y X xác định, theo m ột quy tắc đó, m ột số thực p(xì y), gọi "khoảng cách X y " Quy tắc nói thỏa m ãn điều kiện sau a) p(x , y) > X / ỉ/; p(x , y) = X = y b) p(x,y) — p(y,x) với \/x,y (tính đối xứng) c) p(x, y) < p(x, z) + p(z, y) với Vx, y , z (bất đẳng thức tam giác) Hàm số p(x,y) gọi m etric không gian V í dụ 1.1 Tập M đường thẳng R, độ dài đoạn nối X y : p ( x ,y ) = IX — y\ m ột m etric (M, p) m ột không gian metric Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Cho không gian m etric X b ất kỳ Một ánh xạ p từ X vào gọi ánh xạ co, có m ột số < < cho, P x phần tử ứng với X ánh xạ p , ta có V x i,x ex, p ( P x i , P x 2) < ỡ p ( x i , x 2) Điểm bất động ánh xạ điểm m ảnh trùng với Đ ịn h lý 1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co p từ không gian metric đủ X vào có điểm bất động 1.2 Không gian định chuẩn Đ ịn h n g h ĩa k h ô n g g ia n đ ịn h ch u ẩ n Đ ịn h n gh ĩa 1.3 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) m ột không gian tuyến tính X trường P(P trường số thực M hay trường số phức C) với m ột án h xạ từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu ||.|| (đọc chuẩn), thỏa m ãn tiên đề sau 1) (Wx e X) ||zỊỊ > 0, ỊỊz|| = X = 2) (Vx e X) (Vqí G p) 3) (V a ;,ỉ/€ X ) ||aa;|| = |a |||x || \\x + y\\ 00 x n —> x ( n —> oo) Đ ịn h lý 1.2.3 Dãy điểm (x n) không gian định chuẩn X gọi dẫy lim ||z n — x m \\ = n,m—¥00 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Hoàn toàn tương tự ta thu [ v ( x ) = -c o s h x H— cosh2x — / sinh(x —t )vi (t )dt 3 J f 2 = - cosha; H— cosh 2a: —J sinh(a: —t ) ( — cosht H— cosh2t + )dt 4 = — cosh X -ị— cosh 2x -\— sinh X 9 X f v ( x ) = - cosha; H— cosh 2a: — / sinh(a: —t ) v (t)dt 3 J , = - cosh X + - cosh x — 3 f 4 / sinh(a: — i) (—- cosh Í + - cosh + —t sinh t )dt J 9 14 n 14 11 n = —— cosh X + — cosh 2a: + — X sinh X — — X cosh X + 12 27 27 36 Mà X3 X5 X7 sinh X = X H - H - H - r + 3! 5! 7! a;2 a:4 X6 c o s h x = l + ^ +^ + ^ + cosh 2a: = Thay vào (2.42) ta ^3 (a:) 1+ sinh2 X = + X2 + —XA+ — Xe + Xấp xỉ cuối m ột chuỗi Taylor cosh2 X, hay v{x) = cosh2 X Do u(x) = ic o s h a : 38 (2.43) Chương PH Ư Ơ N G P H Á P SỐ VÀ ỨNG D Ụ N G M APLE TRO NG TINH TO ÁN 3.1 Phương pháp cầu phương 1 P h n g p h p c ầ u p h n g Chia đoạn [a, 6] điểm a = XI < X < X < < Xn - < x n = b Khi ^ / íp(x)dx = a n E A kip(xk) + En[ip] (3.1) *=1 n Với A k hệ số công thức cầu phương, Aỵ > 0, 's^ ẽ Aỵ = b — a k= Xỵ (k = 1, 2, ) nút công thức cầu phương En [(f\ phần dư công thức cầu phương Việc chọn quy tắc tính khác có công thức cầu phương khác tương ứng với A k ì Xk,£n- 39 Quy tắc hình thang h = b —a n —1 Aị = A n = ị h A — A = — A n-1 — h Xị = a + h(i — 1), ỉ = 1, , n M — supịip” (X) I X e [a, b] M ( b - a) h K M < 12 Quy tắc Simpson A \ — A m + — —h A — = A 2m — —h A = = A m - = —h h b —a n —1 Xi = a + /i(ỉ — 1), với ỉ = 1, , n = 2m + 1, m > M = ma z Ị k n MI < X G [a, &] M ( t > - a ) hị 180 P h n g p h p c ầ u p h n g g iả i p h n g tr ìn h tíc h p h â n p h i tu y ế n V o lte r r a Xét phương trình tích phân Volterra X u (z) = f ( x ) + / K [ x , t , u ( t ) ] d t , a < X < b a 40 Hay X u (x) — / K[ x , t, u(t)]dt — f ( x ) (3.2) a Trong K [ x , t , u ( t ) ] f ( x ) hàm liên tục Phương trình gọi phương trình tích phân Volterra loại II dạng Urysohn Thay X — a vào (3.2) ta uịa) = f ( a ) hay Chọn h làm khoảng chia, xét Kí hiệu Ui u(xị) X = Xi, = a + h(i — 1), = fị ỉ = 1, n nghiệm xác phương trình tai nghiệm gần Khi Xị Uị Xị tìm theo phương pháp cầu phương Xi (3.1) trở thành Xị J u {Xị) - K[xị,t,u(t)]dt = f{xị) (3.3) a Sử dụng công thức cầu phương cho tích phân (3.3) với Xj]j = 1,4 điểm nút t, ta có hệ phương trình đại số phi tuyến (bỏ qua phần dư) Ui = / i ỉ ui ^ jKịj(U j) = fi, %— (3.4) , Ti 3= Với Aịj Uị hệ số công thức cầu phương đoạn giá trị xấp xỉ nghiệm (Uj ) K(xị,tj,Uj),tj u{x) [a,a^j], X ị, fi = f ( x ị) , Xj Viết lại hệ phương trìn h (3.4) sau \Uị = fị i—1 Uị AịịKịị{ĩiị} — fị T Aij Ki j(ui ), I — 3= Lưu ý: Đối với phương trìn h dạng ix)- J X u P(x,t)$(t,u(t))dt = f(x) a 41 _ 2, 77, (3.5) (Còn gọi phương trình tích phân Volterra loại II dạng Ham m erstein) Với X\ =■ a, ta áp dụng phương pháp cầu phương hệ ị u i = f; _ _ I Uị AịjPịj&j(ỉlj^ l j =1 fịj ĩ 2, Tỉ với Pịj — P{Xi , t j) ® Á u ỉ) = Giá trị xấp xỉ hàm nghiệm cần tìm nghiệm hệ phương trình phi tuyến Ui = / i ỉ—1 < A Ui ị ị P — fị ~ị~ ^ V í d ụ 3.1 ^ V Aịj PịjĩỊ? %— _ 2, n 3= Giải phương trình sau phương pháp cầu phương, sử dụng công thức hình thang với n = 25 u xt(u2(t))dt 12 a := ; b := ; n := 25; 25 h := ( b - a ) / ( n - ) ; 24 42 X + , < X< Bienl := 0; Bien2 := 0; B i e n l :=0 B i e n :=0 for i f r o m to n x[i] for i f r o m to n if i:=l if t h e n A[i] i:=n then := A[i] := a + ( i - l ) * h od: ( l / ) * h else := ( l / ) * h e l s e A[i] :=h := l - * x [i]*( / ) od: fi: fi: od: for i f r o m to n f[i] for i f r o m to n B i e n l [i] Bien2 := A [i] *x [i] *u [i] *u [i] ; := B i e n + B i e n l [ i ] od: for i from vdl := e v a l f ( s o l v e ( { e q n [ l ] , e qn[2], eqn[6], to n eqn[i] eqn[7], eqn[8], := - B i e n * x [ i ] +u[i] e qn[9], eq n [ ] , eqn[10], = f[i] eq n [ ] , eqn[ll], od: e qn[5], eqn[12], eqn[13], eqn[14], e q n [15], e q n [16], eqn[17], e q n [20], e q n [21], e q n [22], e q n [23], e q n [24] ,e q n [25] }) ) ; for i from u[l] = u [2] = 1.013949620 u [3] = 1.027899240 u [4] = 1.041848860 u [5] = 1.055798479 u [6] = 1.069748099 u [7] = 1.083697719 u [8] = 1.097647339 u [9] = 1.111596959 u [10] to n l p r i n t ( u [ i ] = 1.125546578 43 = subs(vdl, e q n [ ] , e q n [19], u[i])) od: u[ll] = 1.139496198 u [12] = 1.153445818 u[13] = 1.167395438 u [14] = 1.181345058 u [15] = 1.195294678 u [16] = 1.209244297 u [17] = 1.223193917 u [18] = 1.237143537 u [19] = 1.251093157 u [20] = 1.265042776 u [21] = 1.278992397 u [22] = 1.292942017 u [23] = 1.306891636 u [24] = 1.320841256 u [25] = 1.334790876 V í d ụ 3.2 Giải phương trình sau phương pháp cầu phương, sử dụng công thức Simpson với n — 40 X u (z ) = J x t ( u (t ))dt — — a := ; b := ; n := 40; 40 h := ( b - a ) / ( n - ) ; 39 44 Bienl := 0; Bien2 := 0; B i e n l :=0 B i e n :=0 for i f r o m to n for i f r o m to n x[i] := a+(i-l)*h if i:=l t h e n A[i] := (l/3)*h else if i := n t h e n A[i] := (l/3)*h else if m o d p ( i , A [i] 2) = t h e n A[i] od: := * h * (1/3) else := * h * (1/3) fi: fi: fi: fi: od: for i f r o m to n for i f r o m to n Bienl[i] Bien2 f[i] := l - * x [ i ] *( / ) od: := A [i] *x [i] *u [i] *u [i] ; := B i e n + B i e n l [ i ] od: for i from eqn[i] to n := - B i e n * x [i] + u [i] = f [i] od: vdl := e v a l f ( s o l v e ( { e q n [1] , e q n [2], eqn[6], eqn[7], eqn[8], e qn[9], eq n [ ] , eqn[10], eq n [ ] , eqn[ll], e qn[5], eqn[12], e q n [13], e q n [14], e q n [15], e q n [16], e q n [17], e q n [18], e q n [19], e q n [20], e q n [21], e q n [22], e q n [23], e q n [24], e q n [25], e q n [26], e q n [27], e q n [28], e q n [29], e q n [30], e q n [31], e q n [32], e q n [33], e q n [34], e q n [35], e q n [36], e q n [37], for e q n [38], i from e q n [39], e q n [40]})); to n 45 lprint(u[i] = subs(vdl, u[i])) od: uCl] = u[2] = 1.008530168 u[3] = 1.017060335 u[4] = 1.025590503 u[5] = 1.034120671 u [6] = 1.042650839 u [7] = 1.051181006 u [8] = 1.059711174 u[9] = 1.068241342 u [10] = 1.076771510 u [11] = 1.085301677 u [12] = 1.093831845 u [13] = 1.102362013 u [14] = 1.110892181 u [15] = 1.119422348 u [16] = 1.127952516 u [17] = 1.136482684 u [18] = 1.145012852 u [19] = 1.153543020 u [20] = 1.162073187 u [21] = 1.170603355 u [22] = 1.179133522 u [23] = 1.187663690 u [24] = 1.196193858 u [25] = 1.204724026 u [26] = 1.213254194 u [27] = 1.221784361 u [28] = 1.230314529 u [29] = 1.238844697 46 u [30] = 1.247374865 u [31] = 1.255905032 u [32] = 1.264435200 u [33] = 1.272965368 u [34] = 1.281495536 u [35] = 1.290025703 u [36] = 1.298555871 u [37] = 1.307086039 u [38] = 1.315616206 u [39] = 1.324146375 u [40] = 1.332676542 3.2 Ví dụ Dưới giới thiệu m ột ví dụ giải hai phương pháp khác Đầu tiên việc sử dụng m ột phương pháp giới thiệu chương Để đơn giản, chọn phương pháp xấp xỉ liên tiếp Phương pháp lại phương pháp số m vừa giới thiệu chương kết hợp với lập trình Maple V í d ụ 3.3 Giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra sau X u ( x ) = / t u (t)dt — - X + X, < X < a) Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình (3.6) Ta xây dựng dãy lặp —X + X ^n+l 47 (3.6) Chọn u ữ(x) = ị lii(x ) — Jf fl\2 (-] tdt — - X + X X í , 4 - td t — - X + X lí2 — -X + X 4 2_ I 4^ 8® ~ i x + x u {x) = - ^ - x + X + Ị t ị^t2 - dt = - ì x + X + / í ( ¿ í + í + i2 - L i ' + JÍ3 - ỉ í 5) it X = —- X + X + Ị, ,( L í- + L í -» +, -í3 - Ả í- + ịt* - h ' ) di V64 16 16 4 / í6 í 10 í4 í8 í5 í7 ' - - - X + X + í — + 16>10 + 4- + _ 2/7, - +' s + X1U H'—Lxi“* - — X8 + — X5 —X7 = X4 +' X 384 160 128 20 14 „8 _ + -X10 X6 — — X7 _ — X8 x + 2QX + 384 14 128 ' 160' Do lim un(x) = X ( x n —¥ n n—¥oo oo, ỊxỊ < 1) Phương trình tích phân phi tuyến có nghiệm w(x) = X Lập bảng sai số nghiệm phương pháp xấp xỉ liên tiếp v ’ 20 384 14 với nghiệm ta bảng sau 48 128 160 Nghiệm p p xấp xỉ liên tiếp 0 0 0,1 0,1 0,1000004954 0,0000004954 0,2 0,2 0,2000152330 0,0000152330 0,3 0,3 0,3001073013 0,0001073013 0,4 0,4 0,4004011735 0,0004011735 0,5 0,5 0,5010207403 0,0010207403 0,6 0,6 0,6019165285 0,0019165285 0,7 0,7 0,7025535996 0,0025535996 0,8 0,8 0,8014473782 0,0014473782 0,9 0,9 0,8955606118 0,0044393882 1 0,9796130952 0,0203869048 X Sai số b) Sử dụng phương pháp cầu phương giải phương trình (3.6) u(x) = in t(t* u (t)* u (t), t = x)-((l/4)*x*x)*x*x+ x; X u ( x ) = J tu 2(t)dt — -X — +X n := 11; a := 0; b := 1; h := (b-a)/(n-l); n:=ll a: =0 b : =1 h:= — 10 for i from to n x[i] := a + h * ( i - l ) for i from to n f[i] := - ( ( / ) * x [ i ] * x [ i ] ) * x [ i ] * x [ i ] + x [ i ] for i from to n A[i, 1] := ( l / ) * h od: for i from to n A[i, i] := ( l / ) * h od: for i from to n for j from to i-1 A[i, j] 49 := h od: od od: od: for i from for to n j from to i K[i, j] := x[j] od: od: i := ’i ’ ; i :=i j == ’j ’ ; j :=j for i to n e q n [i] := u[i] = sum(A[i, j] * K [ i , j] *u [j] *u [j] , j = i)+f[i] od: vd2 := e v a l f (so l v e ({ e q n [1] , e q n [2], e q n [6], e q n [7], e q n [8], for i from u[l] = u[2] = 0.1000250250 u [3] = 0.2001004519 u [4] = 0.3002279057 u [5] = 0.4004115457 u[6] = 0.5006596355 u [7] = 0.6009866869 u [8] = 0.7014167263 u [9] = 0.8019886476 e q n [9], e q n [10], to n l p r i n t ( u [ i ] u [10] = 0.9027654237 u[ll] = 1.003850566 e q n [3], e q n [4], e q n [5], e q n [11]})); = subs(vd2, u[i]))od: Dễ thấy u*(x ) = X nghiệm (3.6) Ta có bảng sai số nghiệm thu từ phương pháp cầu phương với nghiệm 50 X Nghiệm Phương pháp cầu p h n g 0 0 0,1 0,1 0,1000250250 0,0000250250 0,2 0,2 0,2001004519 0,0001004519 0,3 0,3 0,3002279057 0,0002279057 0,4 0,4 0,4004115457 0,0004115457 0,5 0,5 0,5006596355 0,0006596355 0,6 0,6 0,6009866869 0,0009866869 0,7 0,7 0,7014167263 0,0014167263 0,8 0,8 0,8019886476 0,0019886476 0,9 0,9 0,9027654237 0,0027654237 1 1,0038505660 0,0038505660 Sai số C h ú ý: với n lớn h n q u trình giải b ằ n g p h n g p h p cầu p h n g m ấ t nhiều thời gian 51 KẾT LUẬN Luận văn trình bày m ột số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I loại II Trong chương tác giả trình bày kiến thức chuẩn bị Trong chương tác giả trình bày m ột số phương pháp giải xấp xỉ phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra loại II bao gồm phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian phương pháp biến đổi Laplace giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại I Trong chương tác giả trình bày phương pháp số giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II Trong chương trình bày phương pháp cầu phương Đóng góp chủ yếu tác giả hệ thống vấn đề, giới thiệu m ột ví dụ giải hai phương pháp khác có áp dụng lập trình Maple giải số phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra Do hạn chế thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không trán h khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân th àn h cảm ơn 52 [...]... ỘT SỐ PH Ư Ơ N G P H Á P GIẢI X Ấ P XỈ PH Ư Ơ N G TR ÌN H TÍCH P H Â N PH I T U Y Ề N VOLTERRA ở chương này chúng tôi giới thiệu m ột số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra với giả sử rằng các phương trìn h này tồn tại nghiệm 2.1 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II Các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II thường được giải bằng ba phương. .. gọi là phương trìn h toán tử tích phân hay phương trình tích phân Dựa vào cận của tích phân, người ta chia ra hai loại sau 1) Nếu các cận của tích phân là không thay đổi thì phương trình tích phân được gọi là phương trình tích phân Predholm 12 2) Nếu ít nhất m ột cận tích phân là biến thì phương trình tích phân được gọi là phương trìn h tích phân Volterra Khi Ả không tuyến tính th ì phương trình (1.1)... phương trìn h phi tuyến Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Có hai loại phương trình tích phân phi tuyến b Các phương trình dạng f ( x ) = J K[ x , t , u ( t ) ] d t được gọi là phương trình a tích phân phi tuyến loại I 0 Các phương trình dạng u{x) = f ( x ) + A Ị K{x, t , u( t ) ]dt được gọi là a phương trình tích phân phi tuyến loại II Trong đó K[ x, í, u(t)] (còn gọi là nhân hay hạch của tích phân) là các hàm số. .. dấu tích phân Phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra loại II có dạng sau X u( x) = f ( x ) + Ị K(x,t)F(u(t))dt 0 b P h ư ơ n g trìn h tích ph i tu y ế n V o lterra loại I Trong các phương trìn h tích phân phi tuyến Volterra loại I, hàm phi tuyến F( u ( x ) ) nằm trong dấu tích phân Phương trìn h tích phân phi tuyến 13 Volterra của loại I có dạng f (x) = Ị K(x,t)F(u(t))dt 0 c C ác v í d ụ Các phương. .. ) F( u 2{t))dt 0 X u n+1 (x) = f ( x ) + Ị K ( x , t ) F ( u n(t))dt 0 Phương pháp diên tả quá trình tìm nghiệm của phương trìn h (2.1) bằng cách xây dựng dãy lặp (2.2) gọi là phương pháp xấp xỉ liên tiếp với m (x ) = lim u n+i ( x ) (2.3) V í dụ 2.1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra sau X u( x) = ex + ỉ z ( l — e 3x (2.4) 0 Khai triển hàm ex và... bằng ba phương pháp sau: phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp khai triển Adomian (ADM) 2 1 1 P h ư ơ n g p h á p x ấ p x ỉ liê n tiế p Xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II X ( 2 1) 0 19 trong đó K ( x , t ) là hạt nhân, u ( x ) là hàm chưa biết Ta xây dựng dãy lặp X u n+l{x) = f ( x ) + / K ( x , t ) F ( u n(t))dt, n> 0 (2 2) 0 với xấp xỉ ban đầu Uq(x... )F2(s ) 0 1.5 Phương trình tích phân 1 5 1 C á c đ ịn h n g h ĩa Cho A là toán tử từ không gian Banach X vào chính nó Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Phương trình dạng Ax = f ( 1 1) / E X cho trước được gọi là phương trình toán tử loại I; Phương trìn h dạng X = f + XAx (1.2) được gọi là phương trình toán tử loại II ở đây tham số À trên trường số thực hoặc phức Khi A là toán tử tích phân th ì phương trình (1.1)... w(í), f ( t ) là các hàm số liên tục trên đoạn [ữ, b], tham số A G 1 hoặc À Ẽ c 1 5 2 C á c p h ư ơ n g tr ìn h tíc h p h â n p h i tu y ế n V o lte r r a Tùy theo sự xuất hiện của hàm ẩn u( x) m à phương trình tích phân phi tuyến Volterra được chia th àn h các loại sau a P h ư ơ n g trìn h tíc h p h ân ph i tu y ế n V o lterra loại II Trong các phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II, hàm... 2a0a2 —l)x4 + z 24 (2.12) Đồng nhất hệ số của lũy thừ a của X ở cả hai vế của (2.12) và giải hệ phương trình ta tìm được «0 = 1 dị = 1 «2 = ị(a l - 1) = i ( l 2 - 1) = 0 ữ3 = ì ( a 0ữi - 1) = i ( l l - 1) = 0 an = 0 với n > 3 Vậy nghiệm của phương trình là u(x ) = 1 + X V í dụ 2.4 Sử dụng phương pháp chuỗi lũy thừ a để giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra sau X u (x) = 1 + ị x 2 - ị x 4... x ) Đầu tiên, chúng ta tính tích phân bên phải của (2.7) và thu th ập các hệ số lũy thừ a của X Sau đó tiếp tục đồng nh ất các hệ số của các lũy thừ a cùng bậc của X trong cả hai vế của phương trìn h để tìm các d j , j > 0 Thế các dj vào (2.7) là ta đã có ngay kết quả của bài toán 23 V í dụ 2.3 Sử dụng phương pháp chuỗi lũy thừ a để giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra sau X u( x ) = 1 +