Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, các t hầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung cấp kỹ thuật Vĩnh Phúc cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa họ c Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Bích Nụ LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan luận văn là công tr ình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn t ôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa họ c và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thô ng tin t rích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Bích Nụ Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số không gian của giải tích hàm . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian định chuẩn và không gian Banach . . 6 1.2. Đạo hàm Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Cơ sở của phương pháp tuyến tính hóa . . . . . . . . . . 10 1.4. Phương trình toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2. Một số nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3. Các định lý về sự tồn tạ i và duy nhất nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . 17 2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phươn g trình tích phân iii phi tuyến 22 2.1. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . 22 2.1.2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . 2 6 2.2.2. Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 2.3. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . 31 2.3.2. Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Sự kết hợp của phương pháp Newton - Kantorovich và phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Một số ứng dụng của phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến 46 3.1. Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 46 3.1.1. Một số phương pháp giải gần đúng phương trì nh tích phân phi tuyến Fredholm . . . . . . . . . . . 46 3.1.2. Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến Fr edholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra 62 3.2.1. Một số phương pháp giải gần đúng phương trì nh tích phân phi tuyến Volterra . . . . . . . . . . . . 62 iv 3.2.2. Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 v BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R + Tập số thực dương C Tập số phức K Tập số thực hoặc phức R n Không gian Euclide n - chiều C [a;b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b] L 2 [a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích t rên [a; b] L (X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán thực tế đã dẫn đến việc giải phương trình hoặc hệ phương trình tích phân phi tuyến. Việc giải chính xác các phương trình thường gặp nhiều khó khăn hoặc không thể thực hiện được. Vì vậy người ta nghiên cứu các phươ ng pháp giải xấp xỉ các phương trình nói trên. Với mong muốn tìm hiểu sâ u hơn và nghiên cứu về phương trình tích phân phi tuyến và các cách giải xấp xỉ các phương trình đó nên tôi đã chọn đề tài “ Một số phương pháp giải xấp xỉ p hương trình tích phân phi tuyến ”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương t rình tích phân phi t uyến, ứng dụng vào giải một số phương trình cụ thể, giải số trên máy tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ. Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp. N êu các ứng dụng của các phương pháp vào giải một số phương trình tích phân cụ thể. 2 4. Đối tượng và ph ạm vi nghiên cứu Phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Phương pháp cầu phương. Phương pháp tuyến tính hóa. Phương pháp Newton - Kantorovich. Một số ứng dụng vào các phương trình cụ thể và giải số trên máy. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức, phương pháp của Đại số tuyến tính, Giải tích hàm, G iải tích số và l ập trình cho máy tính. Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan. Suy luận logic, phân tích, tổng hợ p và hệ thống hóa. 6. Dự kiến đóng góp mới Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến. Nêu lên các ứng dụng của phương pháp tuyến tính hóa vào giải một số lớp phương trình tích phân phi tuyến. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số không gian của giải tích hàm 1.1.1. Không gian metric Cho X là một tập hợp tùy ý và X = φ. Định nghĩa 1.1.1. Một metric tro ng X là một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: i) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d (x, y) = 0 ⇔ x = y; ii) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X; iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X. Tập hợp X và một metric tro ng X gọi là một không gian met ric, ký hiệu là (X, d). Số d (x, y) g ọi là khoảng cách giữa cá c điểm x và y. Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm {x n } trong kh ông gian me t ric (X, d) được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim n→∞ d (x n , x) = 0. Ký h i ệu lim n→∞ x n = x hay x n → x khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.3. Một dãy điểm { x n } trong không g i an metric (X, d) được gọi là dãy cơ bản ( ha y dãy Cauchy ) nếu lim m,n→∞ d (x m , x n ) = 0. 3 4 Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X. Định lý 1.1.1. Mọi t ập đóng tro ng không gian met ric đầy đủ là k hông gian metric đầy đủ. Chứng m i nh. Giả sử F là một tập đóng trong không gia n m etric đầy đủ (X, d). Giả sử {x n } là một dãy cơ bản trong F tức là lim m,n→∞ d (x m , x n ) = 0. Suy ra {x n } là một dãy cơ bản trong X. Do X là không gian đầy đủ nên dãy {x n } hội tụ, tức là ∃x 0 ∈ X : x n → x 0 , n → ∞ Như vậy (x n ) ⊂ F : x n → x 0 ∈ X, n → ∞. Do F là tập đóng nên x 0 ∈ F . Vậy F l à không gian metric đầy đủ. Ví dụ 1.1.1. Trong k hông gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng S (x 0 , r) = {x ∈ X : d (x, x 0 ) ≤ r}, r ∈ R + là không gian metric đầy đủ . Định nghĩa 1.1.5. Cho hai không gian me tric tùy ý (X, d 1 ) và (Y, d 2 ). Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) sao cho ∀x 1 , x 2 ∈ X ta đều có d 2 (A(x 1 ), A(x 2 )) ≤ αd 1 (x 1 , x 2 ). α gọi là hệ số co c ủa ánh xạ co A. Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh x ạ co A ánh xạ khôn g gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có mộ t điểm bất động duy nhất, ngh ĩ a là tồn tại duy nhất một điểm x ∗ ∈ X thỏa mãn Ax ∗ = x ∗ , x ∗ là giới hạn của dãy (x n ) , x n = A (x n−1 ) , x 0 ∈ X tùy ý và d (x n , x ∗ ) ≤ α n 1 −α d (x 1 , x 0 ) d (x n , x ∗ ) ≤ α 1 −α d (x n , x n−1 ) , n = 1, 2, trong đó, α là hệ số co của ánh xạ co A. [...]... trưng khác nữa của phương trình tích phân phi tuyến là nó thường có nhiều nghiệm Nhận xét 1.6 Có một số tính chất chỉ có trong phương trình tích phân phi tuyến mà không có trong phương trình tích phân tuyến tính Ta xét các ví dụ sau : Ví dụ 1.4.1 Xét phương trình tích phân Volterra với tính chất phi 15 tuyến lũy thừa n x y(x) = a 0 n y(t) dt + b, a > 0, b ≥ 0, n > 0 (1.17) Phương trình (1.17) được biến... f (x) Các phương trình tích phân phi tuyến Fredholm loại II b K(x, t, y(t))dt + f (x) y(x) = a đều có thể đưa về phương trình tích phân phi tuyến Fredholm dạng chính tắc b y(x) = a K [x, t, y(t)] + (b − a)−1f (x) dt Điều này có nghĩa là sự phân biệt giữa phương trình tích phân phi tuyến thuần nhất và không thuần nhất là không cần thiết, không giống như với phương trình tích phân tuyến tính Một đặc trưng... toán tử tích phân thì các phương trình (1.1) và (1.2) gọi là các phương trình toán tử tích phân hay phương trình tích phân Khi A không giả thiết tuyến tính tức A phi tuyến thì các phương trình (1.1) và (1.2) gọi là các phương trình phi tuyến Định nghĩa 1.4.2 Các phương trình dạng b K [x, t, y(t)] dt = f (x) (1.3) a b K [x, t, y(t)] dt + f (x) y(x) = λ (1.4) a trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba biến... riêng của phương trình tích phân Fredholm Thật vậy, đặt K[x, t, y(t)] := thì ta có K[x, t, y(t)], a ≤ t ≤ x 0, x < t ≤ b b x K [x, t, y(t)] dt = K [x, t, y(t)] dt a a Nhận xét 1.4 Phương trình tích phân dạng Hammerstein là trường hợp đặc biệt của phương trình tích phân dạng Urysohn tương ứng Nhận xét 1.5 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II đều có thể đưa về phương trình tích phân phi tuyến. .. thể xem trong [7] Chương 2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến 2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Cho toán tử A từ không gian Banach X vào chính nó Xét phương trình toán tử loại II x = λAx + f (2.1) trong đó, f ∈ X cho trước, λ ∈ R hoặc λ ∈ C Đặt T x = λAx + f Giả sử tìm được điều kiện để T là ánh xạ co với hệ số co α ∈ [0; 1) Do X là không... nhất x∗ là giới hạn của dãy lặp (2.2) và tốc độ hội tụ là √ n−k xn − x∗ ≤ ( k α) k xk − x∗ Quá trình tìm nghiệm của phương trình (2.1) bằng cách xây dựng dãy lặp (2.2) gọi là phương pháp xấp xỉ liên tiếp 2.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình tích phân phi tuyến Xét phương trình tích phân phi tuyến loại II b K [x, t, y(t)] dt + f (x) y(x) = λ (2.3) a trong đó, f ∈ C[a;b] cho trước, hàm... C2 là các hằng số dương và C1 < λ1 , λ1 là giá trị đặc trưng nhỏ nhất của nhân P(x, t) Khi đó, phương trình tích phân phi tuyến (1.16) có ít nhất một nghiệm liên tục Định lý 1.4.2 Nếu với bất kỳ t cố định thuộc đoạn [a; b], hàm Φ(t, y) không tăng theo y thì phương trình tích phân phi tuyến (1.16) có không quá một nghiệm Định lý 1.4.3 Phương trình tích phân phi tuyến (1.16) có không quá một nghiệm nếu... b] 2.2.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến Xét phương trình tích phân phi tuyến loại II b y(x) − λ (2.3) K [x, t, y(t)] dt = f (x) a Áp dụng quy tắc (2.6) ta có n y(x) − λ Ak K [x, tk , y(tk )] + εn [Ky ] = f (x) (2.7) k=1 trong đó, tk = xk , k = 1, n, xk là các nút của công thức cầu phương Ta giả thiết rằng |λεn [Ky ]| nhỏ và có thể không cần tính đến Trong phương trình (2.7)... x vào phương trình (2.5) thỏa mãn Vậy y ∗ (x) = x là nghiệm đúng của phương trình (2.5) 2.2 Phương pháp cầu phương 2.2.1 Phương pháp cầu phương Bản chất của phương pháp cầu phương là sự thay thế tích phân bằng tổng hữu hạn Chia đoạn [a; b] bởi các điểm a = x1 < x2 < < xn = b, ta có b n a (2.6) Ak ϕ (xk ) + εn [ϕ] ϕ(x)dx = k=1 trong đó, Ak , xk tương ứng là các hệ số và nút của công thức cầu phương, ... theo thuật ngữ như của phương trình tuyến tính thì λ gọi là giá trị đặc trưng của phương trình phi tuyến nếu với giá trị λ đó phương trình có nghiệm không tầm thường, nghiệm không tầm thường đó gọi là nghiệm riêng Suy ra phương trình (1.20) có các khoảng vô hạn của giá trị đặc trưng λ là (−∞; 0) , (0; +∞) Ví dụ 1.4.3 Xét phương trình tích phân dạng Hammerstein với tính chất phi tuyến siêu việt 1 y(x) . 39 3 Một số ứng dụng của phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến 46 3.1. Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 46 3.1.1. Một số phương pháp giải gần đúng phương. giải xấp xỉ p hương trình tích phân phi tuyến ”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương t rình tích phân phi t uyến, ứng dụng vào giải một số phương trình. phương trình tích phân phi tuyến Volterra 62 3.2.1. Một số phương pháp giải gần đúng phương trì nh tích phân phi tuyến Volterra . . . . . . . . . . . . 62 iv 3.2.2. Các ví dụ giải phương trình tích