Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm và bài toán biên của phương trình vi phân thường

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Trương Mỹ An Ngọc 2 LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Trương Mỹ An Ngọc 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Cho X và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và YXT  : là toán tử phi tuyến tính và f  Y. Xét phương trình Tu = f (1) Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử trên không gian định chuẩn. Có thể nói phương trình toán tử dạng: Tu = f là có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi toán tử T là toán tử khả nghịch và trong trường hợp này nghiệm là u = fT 1 . Vấn đề đặt ra là tìm điều kiện để phương trình giải được và có nghiệm duy nhất. Trong trường hợp tìm nghiệm giải tích từ phương trình (1) là rất khó hoặc không thể tìm được thì người ta nghiên cứu để tìm nghiệm xấp xỉ. Một trong những phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ là phương pháp chiếu. Nhờ có phương pháp chiếu, phương trình toán tử giải trong không gian vô hạn chiều được đưa về giải một dãy các phương trình toán tử trong không gian hữu hạn chiều. Nghiệm của phương trình toán tử trong không gian hữu hạn chiều cho ta một nghiệm xấp xỉ. Vì vậy tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm và bài toán biên của phương trình vi phân thường ”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp chiếu và ứng dụng của phương pháp chiếu để giải phương trình toán tử, phương trình toán tử tích phân Fredholm, phương trình vi phân thường. Ứng dụng vào các bài tập cụ thể có sử dụng phần mềm Maple. 4 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về phương pháp chiếu để giải xấp xỉ phương trình toán tử. Phương pháp chiếu để giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm, phương trình vi phân thường. - Ứng dụng giải một số phương trình vi phân thường. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về các phương pháp chiếu và thuật toán phép chiếu xấp xỉ, nghiệm xấp xỉ của phương trình tích phân Fredholm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên của phương trình vi phân thường. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập. 6. Đóng góp đề tài Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phương pháp chiếu. Trình bày về một số phương pháp chiếu giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm, và bài toán biên của phương trình vi phân thường. Ví dụ về phương pháp giải xấp xỉ vào phương trình vi phân thường. 5 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 1 LỜI CAM ĐOAN 2 MỞ ĐẦU 3 MỤC LỤC 5 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ 6 1.1. Một số khái niệm về không gian, không gian con hữu hạn chiều, không gian Banach, không gian Hilbert 6 1.2. Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn, không gian Hilbert. 10 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP CHIẾU 12 2.1. Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (I) 12 2.2. Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (II) 21 2.2.1 Các ví dụ về phương pháp chiếu xấp xỉ 25 2.2.2 Giải xấp xỉ phương trình toán tử compact 30 2.2.3 Thuật toán phép chiếu trong không gian Banach 35 2.3. Nghiệm xấp xỉ của phương trình tích phân Fredholm và bài toán biên của phương trình vi phân thường. 39 2.3.1. Phương trình tích phân Freholm và nghiệm xấp xỉ 40 2.3.2. Nghiệm xấp xỉ của bài toán biên của phương trình vi phân thường 46 2.3.3. Phương pháp Galerkin 51 2.3.4. Giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính loại hai 52 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 57 3.1. Ứng dụng phần mềm Maple và các ví dụ 57 KẾT LUẬN………………………………………………………………………… 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………….68 6 Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Một số khái niệm về không gian, không gian con hữu hạn chiều, không gian Banach, không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X khác rỗng cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1, ( , ) ( , ) 0, ( , ) 0 , x y X d x y d x y x y       (tiên đề đồng nhất); 2, ( , ) ( , ) ( , ), x y X d x y d y x    (tiên đề đối xứng); 3, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), x y X d x y d x z d z y     (tiên đề tam giác). Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric. Không gian metric được kí hiệu là M = (X,d). Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X,d). Một tập hợp con bất kì 0 X khác rỗng của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric. Không gian metric ),( 00 dXM  gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho. Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric M(X,d), dãy điểm Xx n )( , điểm Xx  0 . Dãy điểm )( n x gọi là hội tụ tới điểm 0 x trong không gian M khi   n nếu * 0 0 0 ( 0), ( ) ( ) ( , ) . n n N n n d x x          7 Kí hiệu: 0 lim n n x x   hay )( 0  nxx n Điểm 0 x còn được gọi là giới hạn của dãy )( n x trong không gian M. Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric M = (X,d) gọi là tách được nếu tập X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong không gian M. Ví dụ. Không gian metric R 1 là không gian tách được. Thật vậy, tập số hữu tỉ Q là tập đếm được trù mật khắp nơi trong không gian R 1 . Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là g đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) ( ) 0, 0x X x x x        (kí hiệu phần tử không là  ); 2) ( ) ( ) ; x X P x x         3, ( , ) x y X x y x y      . Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.1.6. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Ví dụ 1.1. Cho không gian vecto 2 l . Đối với vecto bất kì 2 ( ) n x x l   ta đặt 2 1n x x     . (1.1) Từ công thức ),(  xdx  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1) cho một chuẩn trên 2 l . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là 2 l . Dễ thấy 2 l là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.7. Tập 0 X khác rỗng gọi là không gian định chuẩn con của không gian định chuẩn X. Nếu 0 X là không gian tuyến tính con của không gian 8 X và chuẩn xác định trên 0 X là chuẩn xác định trên X. Nếu 0 X đồng thời là tập đóng trong không gian X, thì 0 X gọi là không gian con đóng của không gian X. Định nghĩa 1.1.8. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert. Định nghĩa 1.1.9. Ta gọi một tập H khác  gồm những phần tử x, y, z,…nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện: 1, H là không gian tuyến tính trên trường P; 2, H được trang bị một tích vô hướng (. , .); và H là không gian tiền Hilbert. 3, H là không gian Banach với chuẩn ( , ), . x x x x H   Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H. Ví dụ 1.2. Kí hiệu R k là không gian vectơ thực k chiều. Với k n Rxx  )( ,   1 2, , , , , k x x x hoặc   1 2 , , , k y y y y  ta đặt n k n n yxyx    1 ),( . (1.2) Dễ dàng thấy hệ thức (1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.2) 2 1 ( , ) , ( ) k k n n n x x x x x x R       . Trùng với chuẩn    k j j xx 1 2 đã biết trong không gian R k . Nên không gian vectơ thực R k cùng với tích vô hướng (1.2) là một không gian Hilbert. Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X. Dãy   n x X  gọi là hội tụ yếu tới phần tử , x X  nếu với mọi lân cận yếu U của x, tìm được một số nguyên dương 0 n sao cho với 0 n n   thì n x U  , kí hiệu êy u n x x    n   . 9 Định nghĩa 1.11. X là không gian định chuẩn   n x là một dãy, nếu n x x  tiến đến 0 khi n   thì ta nói n x hội tụ mạnh đến x. Định nghĩa 1.12. Giả sử X là không gian lồi địa phương được chứa trong không gian lồi địa phương Y. Ánh xạ : I X Y  thỏa mãn điều kiện: . I x x  với x X   , thì được gọi là ánh xạ nhúng hay phép nhúng X và Y hay I gọi là toán tử nhúng. Ta nói X được nhúng liên tục vào Y nếu ánh xạ I là ánh xạ liên tục. X được nhúng liên tục vào Y nếu mọi tập G mở trong Y thì   1 f G  là mở trong X. Định lí 1.1. (Định lí hình chiếu lên không gian con đóng) Cho không gian Hilbert H và 0 H là không gian con đóng của H. Khi đó phần tử bất kì x H  biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng 0 0 , , x y z y H z H     (1.3) Phần tử y trong biểu diễn (1.3) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian con 0 H . Chứng minh. Đặt 0 inf u H d x u    theo tính chất cận dưới đúng, tồn tại một dãy phần tử   0 n u H  sao cho lim n n x u d    . Ta có 2 2 2 2 2 2 4 2 n m n m n m u u x u x u x u u         . Kí hiệu   1,2, . k k d x u k   Vì   0 1 2 n m u u H   nên   2 2 2 2 2 2 4 , 1,2, n m n m u u d d d n m     Do đó , lim 0 n m n m u u    . Do H là không gian Banach và tính đóng của không gian con 0 H ta được 0 lim n n u y H    , nghĩa là 10 lim n n x y x u d      . Đặt z = x - y, ta chứng minh 0 z H  . Thật vậy, giả sử 0 v H   mà   , 0 z v c   , do đó v   . Suy ra phần tử   0 w , c y v H v v    và       2 2 2 w , , , , c c c d x x y v z v z v v v v v v v                           2 2 2 2 2 . , , , , , c c c c c z c c v v z d v v v v v v v v        . điều này vô lí. Suy ra (z,u) = 0, 0 u H   hay 0 z H  . Hệ thức (1.2) được chứng minh. Định lý 1.2. (Nguyên lý thác triển Hahn- Banach) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con 0 X của không gian định chuẩn X 0 ( ) X X  đều có thác triển lên toàn không gian X với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định trên toàn không gian X sao cho: 1, F(x) = f(x),   0 x X   , 2, 0 X X F f  . 2.1 Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn, không gian Hilbert. Định nghĩa 2.1. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P là trường số thực hoặc trường số phức C ). Ánh xạ A đi từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện sau: 1, ( , ' ) x x X   ( ') ' A x x Ax Ax    , 2, ( )( ) x X P      AxxA    . [...]... ta giải bài toán (2.19)-(2.20) để được nghiệm cổ điển xấp xỉ, sau đó tìm nghiệm của phương trình biến phân (2.21) để tìm nghiệm xấp xỉ suy rộng, cả hai đều giải bằng phương pháp chiếu xấp xỉ 27 (1) Trước tiên phát biểu bài toán (2.19)-(2.20) như là phương trình tích phân và tìm nghiệm xấp xỉ cổ điển của nó Có thể dễ dàng thấy rằng bài toán biên (2.19)-(2.20) được biểu diễn bởi phương trình tích phân. .. đều có sơ đồ phép chiếu xấp xỉ trực giao 2.2.1 Các ví dụ về phương pháp chiếu xấp xỉ Trong mục này, ta sử dụng bài toán biên hai điểm làm ví dụ về vi c đưa bài toán của phương trình vi phân thường về dạng phương trình toán tử và sau đó là giải bằng phương pháp chiếu xấp xỉ Xét bài toán biên u "  q ( x)u  f ( x), 0  x  1 u (0)  0, u (1)  1 Với u '  (2.19) (2.20) du , hàm số q  x   C  0,1... một sơ đồ tính toán, khi đó để tìm dãy nghiệm { un } của phương trình toán tử (2.3), ta gọi nó là sơ đồ xấp xỉ của phương trình toán tử (2.1), kí hiệu sơ đồ tính toán  n :  n  { X n , Pn , Yn , Qn } Để có thể định nghĩa sơ đồ xấp xỉ là hiệu quả và có ích, ta phải bàn đến một số vấn đề quan trọng sau: 13 (1) Phương trình xấp xỉ (2.3) có một nghiệm (duy nhất) với mỗi n không? (2) Nếu mỗi phương trình. .. bình phương khả tích tuyệt đối trên (a,b)  thì u(x) thỏa mãn phương trình vi phân (2.19) hầu khắp nơi trên khoảng (0,1) Chú ý Tích vô hướng và chuẩn của không gian Sobolev H 2 (0,1) được định nghĩa bởi 1 u, v H 2   (uv  u ' v  u " v ") dx và u H2  u, u 1/ 2 H2 0 Bây giờ, ta chứng tỏ bài toán biên hai điểm có thể vi t dưới dạng phương trình toán tử và khi đó giải được bằng phương pháp chiếu xấp xỉ. .. Lagrange và đa thức lượng giác cũng có thể được sử dụng để định nghĩa toán tử chiếu 2.2 Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (II) Nhiều phương trình toán tử trong toán giải tích được đưa ra từ phương trình Tu = f , f X* (2.15) ở đây X * là không gian đối ngẫu của không gian Banach X và toán tử T : X *  X * Trong trường hợp sơ đồ phương pháp xấp xỉ  n  { X n , Pn ; Yn , Qn } được xây dựng bởi Qn  Pn* và Yn... = Y và  i  i , i  1, 2, 3, , ta có phương pháp BubnovGalerkin Bây giờ, ta trở về phương trình toán tử (2.1) và sơ đồ xấp xỉ  n  { X n , Pn , Yn , Qn } được định nghĩa trong (2.2) - (2.3) Để thuật toán phép chiếu xấp xỉ và để cho sơ đồ xấp xỉ hội tụ thì ta yêu cầu dãy không gian con { X n } và toán tử chiếu {Pn } thỏa mãn một vài điều kiện sau: (i) X n  X n 1 , n  1,2, (ii) Hợp của một dãy... với phương trình Galerkin-Petrov a  u n , j   f , j L2 ; (2.30) j  1, , n Thông thường X n và Yn là các không gian spline khác nhau Đặc biệt, nếu  j   j , j  1, , n , khi đó phương trình (2.28) và (2.30) là đồng nhất, nó là các phương trình Bubnov- Galerkin 2.2.2 Giải xấp xỉ phương trình toán tử compact 2.2.2.1 Toán tử compact và phương trình với toán tử compact Định nghĩa 2.1.4 Cho X và Y... hàm f và f  a 12 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU 2.1 Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (I) Cho X và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và T : X  Y là toán tử phi tuyến tính (không nhất thiết phải tuyến tính) và f  Y Xét phương trình Tu = f (2.1) Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử trên không gian định chuẩn Trước tiên ta chọn một dãy không gian con tuyến tính { X n } của X và một dãy... Nếu mỗi phương trình (2.3) có một nghiệm un thì dãy nghiệm {un } có hội tụ không? (3) Với giả thiết nếu dãy nghiệm {un } hội tụ thì giới hạn của nó có là nghiệm chính xác của phương trình (2.1) không? Nếu dãy un hội tụ đến nghiệm chính xác của phương trình (2.1) thì ta nói un là nghiệm xấp xỉ của phương trình (2.1) Vi c tìm nghiệm un được gọi là giải xấp xỉ phương trình toán tử (2.1) Định nghĩa 2.1.1... lớn sơ đồ xấp xỉ, toán tử Pn và Qn được giới thiệu ở trên là toán tử tuyến tính Nếu Pn : X  X n và Qn : Y  Yn là phép chiếu tuyến tính thì tương ứng với sơ đồ xấp xỉ, ta có phương pháp chiếu số và sơ đồ đó gọi là thuật toán chiếu xấp xỉ Đặc biệt, tùy theo điều kiện khác nhau trên toán tử T và bốn phần tử trong sơ đồ  n = { X n , Pn , Yn , Qn } , ta có các phân loại sau: (i) Nếu X  Y và X n  Yn . bản của phương pháp chiếu. Trình bày về một số phương pháp chiếu giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm, và bài toán biên của phương trình vi phân thường. Ví dụ về phương pháp giải xấp. của phương trình tích phân Fredholm và bài toán biên của phương trình vi phân thường. 39 2.3.1. Phương trình tích phân Freholm và nghiệm xấp xỉ 40 2.3.2. Nghiệm xấp xỉ của bài toán biên của. về các phương pháp chiếu và thuật toán phép chiếu xấp xỉ, nghiệm xấp xỉ của phương trình tích phân Fredholm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên của phương trình vi phân thường. 5. Phương pháp